教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生靈活運(yùn)用“舊知”理解新知

吳晶

摘要：基于舊知引出新知、探究新知，是很多教師進(jìn)行課堂教學(xué)設(shè)計(jì)和教學(xué)引導(dǎo)的重要方式.數(shù)學(xué)是一門前后一致、邏輯連貫的學(xué)科，新學(xué)到一個(gè)知識(shí)或性質(zhì)后，在隨后的新知探究環(huán)節(jié)，前一個(gè)新知又成為后續(xù)新知的舊知.教學(xué)中，教師要深刻理解教學(xué)內(nèi)容，做出必要的課前預(yù)設(shè)，在課堂教學(xué)進(jìn)程中相機(jī)追問，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性.

關(guān)鍵詞：教學(xué)引導(dǎo)；舊知；新知；同底數(shù)冪的乘法；完全平方公式

1 從“同底數(shù)冪的乘法（第1課時(shí)）”聽課說起

筆者最近參加了學(xué)校組織的聽“新教師”（工作三年以內(nèi)）隨堂課活動(dòng)，其中有兩位新教師執(zhí)教了“同底數(shù)冪的乘法（第1課時(shí)）”，關(guān)于兩個(gè)同底數(shù)冪相乘（am·an）的教學(xué)都體現(xiàn)了“完整”的流程，這里的“完整”是指經(jīng)歷了“特例引路”“回到乘方定義進(jìn)行證明”“歸納法則”“性質(zhì)運(yùn)用”的過程．在練習(xí)環(huán)節(jié)，兩位教師可能覺得教材上的習(xí)題不夠全面、難度不大，都增加了三個(gè)同底數(shù)冪相乘的情形．比如，

計(jì)算am·an·ap.

學(xué)生解決這道題也很輕松，直接給出am＋n＋p的結(jié)果．第一位教師追問過學(xué)生理由，學(xué)生復(fù)述“同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加”之后，教師表示了肯定．第二位教師則要求學(xué)生進(jìn)行“過程展開”的證明，于是學(xué)生“回到乘方定義進(jìn)行了證明”，教師給予表揚(yáng)．

聽課隨感：由于教材上只對兩個(gè)同底數(shù)冪相乘（am·an）的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行了歸納和證明，但沒有推廣到三個(gè)同底數(shù)冪相乘（am·an·ap）的情形.在具體運(yùn)用時(shí)，如果學(xué)生直接使用“同底數(shù)幕相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加”進(jìn)行計(jì)算，教師也沒有引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步辨明其中的細(xì)微差別，則并不是很恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)處理.第二位教師引導(dǎo)學(xué)生“回到乘方定義進(jìn)行證明”就比較嚴(yán)謹(jǐn)，但是還不夠簡明，如果能引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用“兩個(gè)同底數(shù)冪相乘的運(yùn)算性質(zhì)”來解釋“三個(gè)同底數(shù)冪相乘”的運(yùn)算，就更有“數(shù)學(xué)味”了．具體解釋是am·an·ap＝am＋n·ap＝am＋n＋p，這個(gè)運(yùn)算解釋就是善于運(yùn)用本課所學(xué)，善于化歸轉(zhuǎn)化．這里教學(xué)細(xì)節(jié)的處理[1]往往是教師基本功的體現(xiàn)，不可小視．以下筆者就圍繞相關(guān)話題結(jié)合案例進(jìn)一步筆談自己的看法，與各位同仁交流．

2 借助“新學(xué)內(nèi)容”理解“新知”的教學(xué)案例

案例1

有理數(shù)乘方運(yùn)算

開課階段先安排學(xué)生計(jì)算（-2）×（-2）×（-2）×（-2）×（-2）．學(xué)生算出結(jié)果為-32之后，追問“這5個(gè)-2連乘怎樣書寫更加簡潔”，引出乘方的表示方法（-2）5；然后“由特殊走向一般”，把a(bǔ)·a·……·an個(gè)a簡寫為an；最后講授相關(guān)概念，引導(dǎo)學(xué)生“回到有理數(shù)乘法”研究乘方運(yùn)算的運(yùn)算法則、符號(hào)規(guī)律等．整個(gè)教學(xué)過程都體現(xiàn)了借助“新學(xué)內(nèi)容”（有理數(shù)乘法）理解“新知”（有理數(shù)乘方）的轉(zhuǎn)化思想．

案例2

完全平方公式

運(yùn)用整式乘法法則證明完全平方公式（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2后，可用類似的方法再證明（a-b）2＝a2-2ab＋b2．當(dāng)然，也可直接由（a+b）2=a2+2ab+b2來證明，如（a-b）2＝[a＋（-b）]2＝a2＋2a（-b）＋（-b）2，即（a-b）2＝a2-2ab＋b2．這個(gè)思路是視-b為一個(gè)整體，將兩個(gè)公式“合二為一”，也是一種“多題歸一”的思想．因此，后續(xù)計(jì)算（a＋b＋c）2時(shí)，也能將其變形，轉(zhuǎn)化為[（a＋b）＋c]2，再運(yùn)用完全平方公式展開進(jìn)行計(jì)算．特別地，將來高中階段學(xué)習(xí)“二項(xiàng)式定理”時(shí)，運(yùn)用“楊輝三角”展開形如（a-2b）5的式子時(shí)，就需要將其變形，轉(zhuǎn)化為[a＋（-2b）]5進(jìn)行計(jì)算．

案例3? 二次根式的乘除

學(xué)習(xí)二次根式的乘法公式（ab=a·b，a≥0，b≥0）之后，可以將其作為依據(jù)推導(dǎo)二次根式的除法公式．證明方法：ba＝ba·aa＝ba·aa＝ba（a>0，b≥0）．這個(gè)證明過程中并沒有采取將等式的左、右兩邊分別乘方（升冪）的方法，而是從分式的基本性質(zhì)出發(fā)，運(yùn)用新學(xué)的二次根式乘法公式進(jìn)行推理證明，體現(xiàn)了用新學(xué)的第一個(gè)公式證明第二個(gè)公式的特點(diǎn)．

案例4? 三角形全等的判定

學(xué)習(xí)了證明三角形全等的“邊角邊”這一基本事實(shí)后，可以借助它來證明“邊邊邊”這一基本事實(shí)．如圖1，△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，AC＝A′C′，BC＝B′C′．求證：△ABC≌△A′B′C′．

思路分析：如圖2，將△ABC與△A′B′C′拼在一起，使BC與B′C′重合，點(diǎn)A，A′位于BC的兩側(cè)，連接AA′．由AB＝A′B′，可得∠1＝∠2（這一步運(yùn)用的是“等邊對等角”）.同理可得∠3＝∠4，從而有∠BAC＝∠B′A′C′.再運(yùn)用“SAS”就可證明△ABC與△A′B′C′全等．

3 重視引導(dǎo)學(xué)生感受新舊知識(shí)之間的邏輯聯(lián)系

3.1 用舊知引出新知是開課情境的首選方式

眾所周知，數(shù)學(xué)是一門邏輯連貫、前后一致的學(xué)科．雖然新知識(shí)、新概念層出不窮，但都是在已有知識(shí)、概念的基礎(chǔ)上不斷生長、擴(kuò)展而來．從數(shù)的發(fā)展史來看，小學(xué)階段從自然數(shù)到分?jǐn)?shù)，初中階段引入負(fù)數(shù)后數(shù)系擴(kuò)充到有理數(shù)，出現(xiàn)無理數(shù)之后數(shù)系再次擴(kuò)充到實(shí)數(shù)，都沒有推翻此前數(shù)系的運(yùn)算法則與運(yùn)算通性，而是在將前面數(shù)系中的運(yùn)算性質(zhì)統(tǒng)統(tǒng)納入新的數(shù)系之中，成為其中的一部分．因此，教師在開展教學(xué)前，要充分思考本課時(shí)教學(xué)內(nèi)容的生長點(diǎn)在哪兒，然后精心選取舊知作為開課情境，這樣既符合學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，也能讓學(xué)生感受到“舊知引出新知”的教學(xué)一致性．當(dāng)然，有些“數(shù)學(xué)分支”的起始課（如函數(shù)單元起始課），不容易找到前續(xù)舊知的生長點(diǎn)，那就要充分挖掘教材中選取的生活情境的價(jià)值，盡量尊重教材上的數(shù)學(xué)情境，做好選編或加工轉(zhuǎn)化，不宜盲目離開教材另選情境，以“用教材教”為借口的“離開教材搞教學(xué)”的情形不值得提倡．

3.2 探究新知階段要重視從已有舊知出發(fā)

當(dāng)新學(xué)數(shù)學(xué)對象的定義或相關(guān)概念已得出，接下來就是研究這個(gè)數(shù)學(xué)對象的性質(zhì)或判定．具體探究時(shí)，也要引導(dǎo)學(xué)生從已有舊知出發(fā)．案例1中，為了探究有理數(shù)乘方的運(yùn)算法則，讓學(xué)生回到有理數(shù)的乘法運(yùn)算去分析乘方運(yùn)算結(jié)果的規(guī)律，特別是乘方運(yùn)算結(jié)果（冪）的符號(hào)規(guī)律，即需要關(guān)注到底數(shù)的正負(fù)、指數(shù)的奇偶性．再比如，研究等腰三角形的性質(zhì)或判定時(shí)，學(xué)生要回顧全等三角形的相關(guān)知識(shí)來解決．又如，研究平行四邊形的性質(zhì)時(shí)，需要綜合平行線的判定與性質(zhì)、全等三角形、等腰三角形、勾股定理等舊知識(shí)．在教學(xué)進(jìn)程中，學(xué)生如果探究新知出現(xiàn)困難、思維受阻，教師需要進(jìn)行必要的點(diǎn)撥或啟發(fā).這時(shí)不要急著“就題論題”，可以先組織或引導(dǎo)學(xué)生回顧某個(gè)數(shù)學(xué)舊知或基本圖形中蘊(yùn)含的重要性質(zhì)，然后再啟發(fā)學(xué)生“結(jié)合剛剛復(fù)習(xí)的一些舊知，現(xiàn)在大家解題有沒有進(jìn)展呢？”多進(jìn)行這樣“元認(rèn)識(shí)”式的啟發(fā)與點(diǎn)撥，不但能促進(jìn)學(xué)生自主獲得探究進(jìn)展，而且示范和傳遞了如何回到舊知探究新知解決問題的思路或方法．

3.3 新知運(yùn)用階段需要靈活運(yùn)用新舊知識(shí)

新知運(yùn)用階段主要是訓(xùn)練本課所學(xué)的新知識(shí)，但是有些習(xí)題常常具有一定的綜合性，解題時(shí)需要靈活運(yùn)用新舊知識(shí)．比如，學(xué)習(xí)圓的垂徑定理之后的例習(xí)題及練習(xí)題，可能就會(huì)用上垂徑定理和勾股定理；又如學(xué)習(xí)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)之后，有些習(xí)題可能會(huì)適當(dāng)綜合應(yīng)用一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．事實(shí)上，進(jìn)行必要的新、舊知識(shí)的綜合，也是發(fā)展學(xué)生思維靈活性[2]的需要．值得注意的是，新、舊知識(shí)是辯證的，有時(shí)在同一節(jié)課中，某個(gè)新學(xué)知識(shí)可以成為后學(xué)新知的舊知識(shí)，上文給出的案例2～4都說明了這一點(diǎn)．從這個(gè)角度來看目前教材上的有些編排，教師可以進(jìn)行更多的“學(xué)材再建構(gòu)”的專業(yè)處理，比如上文“案例4”提到的三角形全等“邊角邊”的證明；又如平行線分線段成比例（教材上給出的是“基本事實(shí)”，只是畫圖驗(yàn)證了其正確性，但并不安排學(xué)生證明）的證明，可以先證明平行線等分線段的結(jié)論（作為“引理”），然后再借助“引理”去證明平行線分線段成比例的基本事實(shí)．

參考文獻(xiàn)：

[1]任榮．從課堂細(xì)節(jié)處看教師真功夫——初中數(shù)學(xué)優(yōu)秀課例的細(xì)節(jié)觀察與思考[J]．初中生世界，2019（40）：49-51．

[2]林崇德．教育的智慧：寫給中小學(xué)教師[M]．北京：北京師范大學(xué)出版社，2007．