關(guān)注問題梯度，提升解題能力

秦哲

摘要：面積問題一直是中考的重點(diǎn)和難點(diǎn)，本文中以“一次函數(shù)面積問題”的教學(xué)設(shè)計為例，從學(xué)生已有的知識出發(fā)，對面積問題進(jìn)行變式拓展.由簡至難，層層遞進(jìn)，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度思考并解決問題，幫助學(xué)生總結(jié)方法與策略，深化解決面積問題常用的“割補(bǔ)法”“鉛垂法”和“平行面積轉(zhuǎn)化法”.

關(guān)鍵詞：一次函數(shù)；面積問題；變式教學(xué)；一題多解

面積問題一直是中考的重點(diǎn)和難點(diǎn)，平面直角坐標(biāo)系中的面積問題往往是幾何與函數(shù)的綜合問題，一般考查學(xué)生邏輯思維能力和數(shù)學(xué)知識的綜合應(yīng)用.學(xué)生遇到這類問題，通常無法將面積問題進(jìn)行有效轉(zhuǎn)化.本文中以八年級“一次函數(shù)面積問題”復(fù)習(xí)課的教學(xué)設(shè)計為例，闡述如何通過優(yōu)化問題結(jié)構(gòu)，以問題驅(qū)動課堂，以問題變化提高學(xué)生解題的熱情，引導(dǎo)學(xué)生從多角度和全方位進(jìn)行思考，形成解題策略，深化解決平面直角坐標(biāo)系中面積問題常用的方法.

1 問題引入，方法歸納

在平面直角坐標(biāo)系中，直線l1：y=x+2與y軸相交于點(diǎn)A，l1上點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為5.（文中的變式都使用此條件.）

問題1? 如圖1，連接OB求點(diǎn)B的坐標(biāo)和△OAB的面積.

解略.

簡解：將點(diǎn)B的縱坐標(biāo)代入直線l1的解析式，求出點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為3，此為△OAB底邊OA上的高.點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），即OA的長度為2，此作為△OAB的底.所以S△OAB=12×2×3=3，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，5）.

點(diǎn)評：在平面直角坐標(biāo)系中，若三角形的一邊在坐標(biāo)軸上或平行于坐標(biāo)軸（通常稱之為“橫平豎直三角形”），則可以直接利用三角形面積公式求出其面積.如問題1中△OAB的邊OA在y軸上，它是一個“橫平豎直三角形”.“橫平豎直三角形”是解決一次函數(shù)面積問題的突破口.

問題2? 如圖2，若點(diǎn)C（1，0），連接AC和BC，求△ABC的面積.

方法1：如圖3，過點(diǎn)B分別作x軸和y軸的垂線，垂足分別為F，E，從而把△ABC的面積轉(zhuǎn)化為矩形的面積與三個三角形的面積之差，即

[JZ]S△ABC=S矩形BFOE-S△AOC-S△BCF-S△EAB.

△ABC的面積由矩形的面積減去三個三角形的面積求得，這種方法稱之為“割補(bǔ)法”.

方法2：如圖4，過點(diǎn)C作y軸的平行線交AB于點(diǎn)D，則

S△ABC=S△ADC+S△BDC

=12CD·xD+12CD·（xB-xD）

=12CD·xB.

由點(diǎn)C（1，0），得D（1，3），即CD=3.故S△ABC=12×3×3=92.

由方法2可以發(fā)現(xiàn)S△ABC=12CD·|xB-xA|，我們稱CD為鉛垂高，|xB-xA|為水平寬，三角形的面積等于水平寬和鉛垂高之積的一半，這種方法稱之為“鉛垂法”.

方法3：如圖5，過點(diǎn)C作直線AB的平行線交y軸于點(diǎn)E，連接BE.因?yàn)椤鰽BC與△ABE同底，且它們的高為兩條平行線之間的距離，因此S△ABC=S△ABE，△ABE為前面所說的“橫平豎直三角形”.由于AB∥CE，因此直線AB和直線CE的斜率相等，可求出直線CE的解析式，進(jìn)而求出△ABC的面積.

利用“平行線間的距離處處相等”，將△ABC的面積轉(zhuǎn)化為△ABE（“橫平豎直三角形”）的面積，此方法稱之為“平行面積轉(zhuǎn)化法”.

點(diǎn)評：問題2中的△ABC不是問題1中的“橫平豎直三角形”，因此不能通過三角形的面積公式直接求解，需進(jìn)行轉(zhuǎn)化.問題2的解決引出解決面積問題的三種方法——“割補(bǔ)法”“鉛垂法”和“平行面積轉(zhuǎn)化法”，為解決后續(xù)復(fù)雜的面積問題提供了基本思路和出發(fā)點(diǎn).

2 變式訓(xùn)練，鞏固提升

變式1? 如圖6，第四象限內(nèi)的點(diǎn)C在直線l2：y=-12x上，連接AC和BC，若△ABC的面積為152，求點(diǎn)C的坐標(biāo).

方法1：“鉛垂法”.如圖7，過點(diǎn)C作y軸的平行線交直線AB于點(diǎn)D，

設(shè)點(diǎn)Ca，-12a，則D（a，a+2），因此CD為△ABC的鉛垂高，|xB-xA|為△ABC的水平寬.可列出方程152=12〖JB（［〗a+2--12a〖JB）］〗×3，解得a=2，即C（2，-1）.

方法2：“平行面積轉(zhuǎn)化法”.如圖8，過點(diǎn)C作線段AB的平行線交y軸于點(diǎn)D，連接BD.由于△ABD與△ABC同底等高，面積相等，因此S△ABD=S△ABC=152，并求得D（0，-3）.

由于AB∥CD，因此kCD=kAB=1，則直線CD的解析式為y=x-3.

因?yàn)辄c(diǎn)C為直線CD和直線l2的交點(diǎn)，所以聯(lián)立方程得x-3=-12x，解得x=2，故C（2，-1）.

點(diǎn)評：變式1中的點(diǎn)C由“定點(diǎn)”變?yōu)橹本€上的“動點(diǎn)”，題目雖變復(fù)雜了，但仍可使用問題2提及的方法來解決，讓學(xué)生體驗(yàn)方法應(yīng)用的廣泛性.方法1關(guān)注“方程思想”，使用“未知數(shù)”表示動點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用“鉛垂法”表示三角形的面積并利用面積的等量關(guān)系構(gòu)建方程求解；方法2關(guān)注“轉(zhuǎn)化思想”，使用“平行線”將△ABC的面積轉(zhuǎn)化為△ABD（“橫平豎直三角形”）的面積，將點(diǎn)C看成是兩條直線的交點(diǎn).

變式2? 如圖9，在變式1的條件下，P是線段AB上的動點(diǎn)，若直線CP平分四邊形OABC的面積，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

方法1：“割補(bǔ)法”.由于O，A，B，C四個點(diǎn)是定點(diǎn)，因此四邊形AOCB的面積是定值，通過四個點(diǎn)的坐標(biāo)求出S四邊形AOCB=192，則S△BPC=194.

如圖10，過點(diǎn)C作x軸的平行線，交直線AB于點(diǎn)D.過點(diǎn)P作PE⊥CD，垂足為E.由“割補(bǔ)法”可求得

S△DPC=414.

且△DPC為“橫平豎直三角形”，由CD=5，得PE=4110，則yP=3110，可求得P1110，3110.

方法2：“鉛垂法”.如圖11，由方法1，得S△BPC=194.過點(diǎn)C作y軸的平行線，交直線AB于點(diǎn)D.得D（2，4）.設(shè)點(diǎn)P（b，b+2），CD為△PBC的鉛垂高，|xB-xp|為△PBC的水平寬，又CD=5，|xB-xp|=3-b，可列方程194=12（3-b）×5，解得b=1110，即P1110，3110.

方法3：“平行面積轉(zhuǎn)化法”.如圖12，過點(diǎn)O作AC的平行線，交AB于點(diǎn)D.由△ADC與△AOC同底等高，可得S△AOC=S△ADC.則S四邊形AOCB=S△ABC+S△AOC=S△ABC+S△ADC=S△BDC.

將四邊形AOCB的面積則轉(zhuǎn)化為△BDC的面積，又直線CP平分四邊形AOCB的面積，可知CP平分△BDC的面積，故P為線段BD的中點(diǎn).

[JP3]由AC∥OD，易得OD的解析式為y=-32x，聯(lián)立方程，得-32x=x+2，解得x=-[SX（]45[SX）]，則D-45，65，從而可得線段BD的中點(diǎn)P的坐標(biāo)為1110，3110.

點(diǎn)評：變式2為動直線平分不規(guī)則四邊形的面積問題，綜合性和難度都有提升，學(xué)生通過分析問題情境，運(yùn)用已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)將陌生的新問題轉(zhuǎn)化為已知問題，精選方法進(jìn)行解決.方法1以“分割法”為載體，經(jīng)由“橫平豎直三角形”求解；方法2利用“未知數(shù)”表示動點(diǎn)P的坐標(biāo)，[JP+2]利用面積的等量關(guān)系構(gòu)建方程；方法3“平行面積轉(zhuǎn)化法”最巧妙，利用平行將四邊形AOCB的面積轉(zhuǎn)化為△BDC的面積，符合條件的點(diǎn)P即為線段BD的中點(diǎn).將不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為我們熟悉的三角形面積，由“陌生”到“熟悉”，“一題多解”提高了學(xué)生思維的靈活性，拓寬了解題思路，更增加了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

3 反思與小結(jié)

3.1 關(guān)注問題的設(shè)置

復(fù)習(xí)課常常以問題為導(dǎo)向，解題為驅(qū)動.有層次、有梯度、系統(tǒng)化的問題能激發(fā)學(xué)生的求知欲，引發(fā)學(xué)生深度思考.在“一次函數(shù)面積問題”的變式訓(xùn)練中，筆者利用相同的問題背景，對條件進(jìn)行重新配置與組合，創(chuàng)設(shè)有層次的問題，這些問題雖各不相同，但相互聯(lián)系.從“問題1”到“變式2”層層遞進(jìn)，由簡單的“橫平豎直三角形”求面積，到“動點(diǎn)”的面積問題，再到平分不規(guī)則四邊形的面積問題，由“靜”至“動”，從“簡單”到“復(fù)雜”.學(xué)生深入思考，使用多種方法解決問題，體驗(yàn)成就感，不斷加深對解題思路和技巧的理解，為后續(xù)二次函數(shù)面積問題的學(xué)習(xí)作鋪墊.

3.2 關(guān)注數(shù)學(xué)思想的滲透

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》要求“能夠回顧解決問題的思考過程，反思解決問題的方法和結(jié)論，形成批判性思維和創(chuàng)新意識”.從“變化的”問題中提煉出“不變的”方法，促進(jìn)數(shù)學(xué)思想的內(nèi)化.“模型思想”：問題1促使學(xué)生關(guān)注“橫平豎直三角形”，后續(xù)變式題中的三角形都可通過“分割”或“平行”轉(zhuǎn)化為“橫平豎直三角形”來求面積.“方程思想”：利用“未知量”表示動點(diǎn)，利用“等量關(guān)系”構(gòu)建方程，這是解決動點(diǎn)問題的基本思路.“轉(zhuǎn)化思想”：將“普通三角形”的面積轉(zhuǎn)化為“橫平豎直三角形”的面積；將“不規(guī)則四邊形的面積”轉(zhuǎn)化為“三角形的面積”，化“繁”為“簡”，化“陌生”為“熟悉”.“轉(zhuǎn)化思想”不僅是有效的思維方式，更在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中扮演著重要的角色.

3.3 關(guān)注有針對性的專題訓(xùn)練

“雙減”政策對初中課后作業(yè)的設(shè)計與優(yōu)化提出了更高的要求.我們要改變當(dāng)前過量的、低效的、機(jī)械的作業(yè)訓(xùn)練，提高課后作業(yè)質(zhì)量.筆者認(rèn)為教師首先要“下題海”，“見識”更多的題目，而僅僅靠做題是不夠的，還要對題目進(jìn)行歸納和整理，將題目的技巧、方法和思路進(jìn)行總結(jié).課前精選例題，并對例題進(jìn)行分析、整合、挖掘與拓展，讓學(xué)生進(jìn)行有針對性的專題訓(xùn)練，而非盲目地“多做題”;課堂中進(jìn)行“變式教學(xué)”，用問題的多種變式組織課堂架構(gòu)，將解題方法和數(shù)學(xué)思想作為貫穿課堂的主線，幫助學(xué)生鞏固所學(xué)知識，提升解題技巧，內(nèi)化數(shù)學(xué)思想.

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.