歷史啟迪教學　再現(xiàn)知識本質(zhì)　助力學生深度理解

鄭杏桃　岳增成

【摘? ?要】“分數(shù)除法”是小學數(shù)學中的難點，目前的教學較難幫助學生理解分數(shù)除法算法背后的算理。歷史上分數(shù)除法的運算主要是用代數(shù)推理的方式演繹計算過程。教師可從歷史中獲得教學的啟示，重構(gòu)教學模式，讓學生經(jīng)歷從算法多樣化到算法優(yōu)化的過程，突破分數(shù)除法算理理解的難點。

【關(guān)鍵詞】分數(shù)除法；數(shù)學史；運算一致性

“分數(shù)除法”是人教版教材六年級上冊的教學內(nèi)容，它是整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)四則運算知識結(jié)構(gòu)中的最后一塊“拼圖”。學生在學習此內(nèi)容之前已熟練掌握分數(shù)加法、減法和乘法以及整數(shù)和小數(shù)的四則運算，他們已經(jīng)積累了豐富的分數(shù)運算和整數(shù)、小數(shù)除法運算的經(jīng)驗。按理說，學生學習分數(shù)除法應該得心應手，實則不然。某學校在六年級第一學期的期末檢測中有這樣一道題目：“用你喜歡的方法說明200÷[1／2]一定等于200×2?！睖y試結(jié)果不盡如人意。約65%的學生給出的答案是“因為除以一個數(shù)等于乘這個數(shù)的倒數(shù)”；約10%的學生能仿照教材例題的呈現(xiàn)方式，“結(jié)合現(xiàn)實情境以數(shù)形結(jié)合的方法”闡明理由；約10%的學生能用演繹推理的方法進行解釋；還有約15%的學生表示不清楚?？梢姡瑢τ诜謹?shù)除法，大部分學生只是依據(jù)算法進行運算，而沒有理解算理。

一、分析內(nèi)容，尋找原因

（一）分析當下，厘清緣由

人教版教材把本內(nèi)容編排在六年級上冊第3單元，分2課時進行教學。第1課時為“分數(shù)除以整數(shù)”，教材以折紙活動為載體，利用數(shù)形結(jié)合的方法幫助學生理解分數(shù)除以整數(shù)的算理。整個學習過程中，學生根據(jù)整數(shù)除法的意義、分數(shù)乘法等知識，理解“一個分數(shù)除以整數(shù)，等于乘這個整數(shù)的倒數(shù)”。第2課時為“一個數(shù)除以分數(shù)”，包括整數(shù)除以分數(shù)和分數(shù)除以分數(shù)兩種情況。教材編排了“誰走得快些”這一實際問題，結(jié)合線段圖，依據(jù)“路程÷時間=速度”的數(shù)量關(guān)系，把求速度的問題轉(zhuǎn)化為先歸一再歸總的問題，幫助學生理解“一個數(shù)除以一個分數(shù)，等于乘這個分數(shù)的倒數(shù)”。

按照教材的學習路徑實施教學，結(jié)合現(xiàn)實情境能幫助教師解釋算理，最終使學生掌握算法。但也存在兩處弊端：一是過于依賴情境，難以凸顯分數(shù)除法算理的本質(zhì)，更無法讓學生真正理解算理，這也導致部分學生不能準確說明200÷[1／2]一定等于200×2；二是直觀模型多樣化，不利于體現(xiàn)分數(shù)除法運算的一致性，更無法體現(xiàn)分數(shù)、整數(shù)和小數(shù)除法運算的一致性。教師一般會按照教材和教學用書的要求，結(jié)合不同的現(xiàn)實情境，根據(jù)實際的意義解釋不同的分數(shù)除法的算理。然而，學生在學習過程中會存在一些疑惑，如：為什么不同的分數(shù)除法運用不同的直觀模型解釋算理？是不是每種分數(shù)除法的算理都不一樣？

結(jié)合具體情境，利用直觀圖式進行“分數(shù)除法”的教學是符合小學生形象思維發(fā)展的。但弗賴登塔爾在《作為教育任務的數(shù)學》中提到：一味地依賴具體情境會使除法問題變得更加復雜。由于教材未能很好地展示從直觀的分數(shù)到算法的分數(shù)再到分數(shù)除法規(guī)則建立的過程，“分數(shù)除法”成了小學數(shù)學中的難點。

（二）回顧歷史，啟迪教學

從歷史的角度看，國內(nèi)外都很少借用現(xiàn)實情境解釋“分數(shù)除法”的算理，大多是把計算問題進行數(shù)學化處理，用代數(shù)推理的方式演繹計算過程。如：

（二）教學反思

本內(nèi)容教學以學生的已有認知為起點，引導學生從數(shù)學史中獲得教學啟示，打破日常教學方式，運用代數(shù)推理的方式進行教學，讓學生經(jīng)歷從算法多樣化到算法優(yōu)化的過程，突破分數(shù)除法算理理解的認知難點。

1.研讀歷史，直白引入，突破難點

“如何計算”并不是分數(shù)除法的教學難點，“為什么可以這樣計算”才是理解分數(shù)除法算理的教學難點，前測的結(jié)果也充分說明了這一點。前面的分析說明了利用具體情境結(jié)合直觀圖示教學并不能有效突破難點。歷史是教學的指南，在教學中引入數(shù)學史，并不是為了讓學生學習數(shù)學史，而是幫助教師在數(shù)學知識發(fā)展的歷史進程中獲得教育啟示，并進行課堂教學設計。筆者通過查閱史料，發(fā)現(xiàn)歷史中分數(shù)除法都是通過代數(shù)推理的方式闡明算理的。因此，本內(nèi)容的教學重點應放在幫助學生利用代數(shù)推理理解分數(shù)除法的算理、破解教學的難點上?；诖?，教學時直接以無背景的分數(shù)除以分數(shù)計算（（2／3）÷（3／4））為切入點，“逼迫”學生運用代數(shù)推理的方式解決問題。通過知識的聯(lián)結(jié)與遷移，學生利用代數(shù)推理探究出了多種解決問題的方法。

2.巧設教學，凸顯過程，方法多元

歷史發(fā)展的進程表明，代數(shù)推理在分數(shù)除法的計算中至關(guān)重要。如何喚起學生代數(shù)推理的思維，探究出分數(shù)除法的多種計算方法是教學的關(guān)鍵。本內(nèi)容的教學通過復習整十數(shù)除法、小數(shù)除法的計算方法與計算原理，喚起學生對商不變規(guī)律及計數(shù)單位在運算中的本質(zhì)作用的再認識，為分數(shù)除法運算做好了鋪墊；通過小組活動探究分數(shù)除法的多種計算方法，從而幫助學生理解分數(shù)除法的算理。

3.古今對照，理解算理，優(yōu)化算法

讓學生穿越時空，與古人隔空進行思想交流與思維碰撞，不僅能激發(fā)他們學習數(shù)學的興趣，還能促使他們在古今方法的對比中自主優(yōu)化算法。學生通過自主探究，得出8種不同的分數(shù)除法計算方法，與古人的算法大致相同。通過與歷史上算法的橫向比較，學生更好地理解了古今算法，并對探究出的方法進行了歸類，在歸類中深刻地理解了分數(shù)除法的算理；通過與歷史上算法的縱向?qū)Ρ?，學生發(fā)現(xiàn)顛倒相乘法是多種算法中最簡便的一種，這也是人們最終選擇顛倒相乘法計算分數(shù)除法的原因。在對比中，學生從多到少、由繁入簡，不僅理解了算理、優(yōu)化了算法，還在思考中感受到數(shù)學探究的樂趣，發(fā)現(xiàn)了人類思維的趨同性，增強了學習數(shù)學的自信心。

*本文系廣東省教育科學規(guī)劃2022年度一般課題“HPM視角下小學高年段數(shù)學文化育人的實踐研究”（課題編號：1156031）的研究成果。