一道中考試題的解法探究與變式演練

馮文波

?河北省唐山市第四十九中學(xué)

“一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)”是人教版八年級(jí)(下)第十九章的內(nèi)容.本章既是函數(shù)部分的起始章,又是學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)二次函數(shù)和反比例函數(shù)的基礎(chǔ),所以十分重要.近年來(lái),一次函數(shù)成為各地中考的必考內(nèi)容之一,題型多樣,其中難度較大的是解答題中對(duì)一次函數(shù)的性質(zhì)、圖象與實(shí)際運(yùn)用的考查.

1 真題再現(xiàn)

(2022年河北省中考數(shù)學(xué)第25題)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,已知線段AB的端點(diǎn)為A(-8,19),B(6,5).

圖1

(1)求AB所在直線的解析式.

(2)某同學(xué)設(shè)計(jì)了一個(gè)動(dòng)畫:在函數(shù)y=mx+n(m≠0,y≥0)中,分別輸入m和n的值,得到射線CD,其中C(c,0).當(dāng)c=2時(shí),會(huì)從C處彈出一個(gè)光點(diǎn)P,并沿CD飛行;當(dāng)c≠2時(shí),只發(fā)出射線而無(wú)光點(diǎn)彈出.

①若有光點(diǎn)P彈出,試推算m,n應(yīng)滿足的數(shù)量關(guān)系;

②當(dāng)有光點(diǎn)P彈出,并擊中線段AB上的整點(diǎn)(橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù))時(shí),線段AB就會(huì)發(fā)光,求此時(shí)整數(shù)m的個(gè)數(shù).

2 解法探究

上述真題思路分析及解析如下.

思路分析：第(1)問運(yùn)用待定系數(shù)法.設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b(k≠0),把點(diǎn)A,B坐標(biāo)代入求出k,b的值即可.第(2)問的第①小問,由題意知點(diǎn)C(2,0),把點(diǎn)C(2,0)代入y=mx+n,即可求解;對(duì)于第②問,由①得n=-2m,則y=(x-2)m,根據(jù)題意找到線段AB上的整點(diǎn),再逐一代入,即可求解.

故AB所在直線的解析式為y=-x+11.

(2)①若有光點(diǎn)P彈出,則c=2,即點(diǎn)C(2,0).

把點(diǎn)C(2,0)代入y=mx+n(m≠0,y≥0),得2m+n=0.故有光點(diǎn)P彈出時(shí),m,n滿足n=-2m.

②由①得n=-2m,代入y=mx+n,得y=(x-2)m.

由(1)知AB所在直線的解析式為y=-x+11,所以,線段AB上的其他整點(diǎn)為(-7,18),(-6,17),(-5,16),(-4,15),(-3,14),(-2,13),(-1,12),(0,11),(1,10),(2,9),(3,8),(4,7),(5,6).

因?yàn)橛泄恻c(diǎn)P彈出,并擊中線段AB上的整點(diǎn),所以直線CD過(guò)整數(shù)點(diǎn).

當(dāng)擊中線段AB上的整點(diǎn)(-7,18)時(shí),18=(-7-2)m,即m=-2;

當(dāng)擊中線段AB上的整點(diǎn)(-1,12)時(shí),12=(-1-2)m,即m=-4;

當(dāng)擊中線段AB上的整點(diǎn)(1,10)時(shí),10=(1-2)m,即m=-10;

當(dāng)擊中線段AB上的整點(diǎn)(2,9)時(shí),9=(2-2)m,不存在;

當(dāng)擊中線段AB上的整點(diǎn)(3,8)時(shí),8=(3-2)m,即m=8;

當(dāng)擊中線段AB上的整點(diǎn)(5,6)時(shí),6=(5-2)m,即m=2;

綜上所述,滿足題意的整數(shù)m的個(gè)數(shù)為5.

總結(jié)反思：解答本題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解有光點(diǎn)P彈出,并擊中線段AB上的整點(diǎn),即直線CD過(guò)整數(shù)點(diǎn).

3 變式演練

3.1 一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合題

圖2

(1)求這兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式;

(2)試求上述兩個(gè)函數(shù)圖象的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo),并借助圖象求出使反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值的x的取值范圍.

思路分析：(1)將點(diǎn)A的坐標(biāo)分別代入兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式,即可求出b.(2)將兩函數(shù)解析式聯(lián)立,求方程組的解,再數(shù)形結(jié)合即可求解.

由一次函數(shù)y=x+b的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,2),得2=1+b,即b=1.

由(x+2)(x-1)=0,解得x=-2或x=1.

因?yàn)辄c(diǎn)B在第三象限,所以其坐標(biāo)為(-2,-1).

由圖象可知,當(dāng)反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值時(shí),x的取值范圍是x<-2,或0

總結(jié)反思：充分利用兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)是解決反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合題的關(guān)鍵;在解答第(2)問時(shí),要注意觀察圖象,同時(shí)不能忽視本問的解存在著兩種情況.

3.2 與一次函數(shù)的圖象有密切聯(lián)系的題型

例2已知點(diǎn)A(6,0),點(diǎn)P(x,y)在第一象限,且x+y=8,設(shè)△OPA的面積為S.

(1)求S關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式;

(2)求x的取值范圍;

(3)求S=12時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo);

(4)畫出函數(shù)S的圖象.

思路分析：通過(guò)作垂線,即可求出S關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式;由點(diǎn)P在第一象限,可求出x的取值范圍;再由S=12,可確定點(diǎn)P的坐標(biāo);最后,根據(jù)兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)便可畫出函數(shù)的圖象.

(2)由x+y=8與點(diǎn)(x,y)在第一象限,可知x的取值范圍為0

(3)當(dāng)S=12時(shí),x=4,y=4,所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,4).

(4)函數(shù)S的圖象為一條不包括兩端點(diǎn)的線段MN,其中端點(diǎn)分別為M(0,24),N(8,0),如圖3.

圖3

總結(jié)反思：解函數(shù)圖象信息題的關(guān)鍵在于看懂圖象和熟悉實(shí)際情境中的數(shù)量關(guān)系,應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想方法來(lái)綜合分析、推理.

4 結(jié)語(yǔ)

一次函數(shù)的性質(zhì)與圖象的綜合類問題,具有“覆蓋知識(shí)面廣、涉及知識(shí)點(diǎn)多、思路開闊、解法靈活、便于設(shè)題”等特點(diǎn),尤其適合對(duì)學(xué)生綜合能力的全面考查,近年來(lái)已成為各地中考的壓軸題型之一.因此,要想在數(shù)學(xué)中考中取得優(yōu)異成績(jī),就需要研究壓軸題的類型與解題方法[1],特別是在平時(shí)備考過(guò)程中,要多做中考真題,加強(qiáng)類題演練和變式演練,及時(shí)總結(jié)反思.“備”是為了“考”,有“備”才能無(wú)患.