基于集對(duì)分析理論的路基沉降組合預(yù)測(cè)模型研究

丁健峻，羅進(jìn)鋒，王祺順

（湖南省交通科學(xué)研究院有限公司，湖南長(zhǎng)沙 410015）

0 引言

近年來(lái)，中國(guó)公路網(wǎng)快速建設(shè)和發(fā)展，公路交通在國(guó)民經(jīng)濟(jì)中的基礎(chǔ)性地位和作用顯著增強(qiáng)［1-3］。路基作為公路運(yùn)輸?shù)幕A(chǔ)，在汽車動(dòng)荷載和降雨、凍融等環(huán)境因素的長(zhǎng)期耦合作用下，會(huì)產(chǎn)生沉降變形，進(jìn)而影響公路的運(yùn)營(yíng)和養(yǎng)護(hù)。因此，如何實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確預(yù)測(cè)路基沉降是近年來(lái)專家學(xué)者的研究重點(diǎn)。

目前路基沉降的預(yù)測(cè)方法主要有單項(xiàng)預(yù)測(cè)和組合預(yù)測(cè)兩種。單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法主要包括曲線擬合法、反演預(yù)測(cè)法和系統(tǒng)理論法等［4-9］，其局限性在于會(huì)丟失樣本點(diǎn)部分信息［10］，為避免這一現(xiàn)象，通過(guò)優(yōu)性組合單項(xiàng)預(yù)測(cè)建立的組合預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)結(jié)果更為準(zhǔn)確［11-13］。鑒于此，基于各類組合標(biāo)準(zhǔn)的組合預(yù)測(cè)模型被提出，如吳清海等［14］基于相關(guān)系數(shù)和擬合誤差等權(quán)重確定原則，提出了基于最小二乘的組合預(yù)測(cè)模型；趙明華等［15］針對(duì)沉降數(shù)據(jù)的誤差特性，基于殘差平方提出了組合權(quán)重的預(yù)測(cè)方法；陳華友等［16］探討了基于有效度的組合預(yù)測(cè)方法。組合預(yù)測(cè)方法能顯著提升預(yù)測(cè)的可靠度，但目前關(guān)于組合預(yù)測(cè)的組合方式，即權(quán)重系數(shù)的確定，還未有統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)。

路基的變形沉降受汽車隨機(jī)動(dòng)荷載作用、特殊地質(zhì)條件和復(fù)雜氣候環(huán)境等多種可變性和不確定性因素影響，沉降數(shù)據(jù)具有高度非線性。集對(duì)分析理論將所有可能影響預(yù)測(cè)結(jié)果的因素作為整體系統(tǒng)進(jìn)行分析［17-18］，為研究路基沉降預(yù)測(cè)這一不確定系統(tǒng)問(wèn)題提供了新的思路和解決方法。

基于此，本文提出一種基于集對(duì)分析理論的路基沉降預(yù)測(cè)模型，通過(guò)確定組合權(quán)重系數(shù)，實(shí)現(xiàn)單項(xiàng)預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)信息的優(yōu)性組合，最后根據(jù)各項(xiàng)評(píng)價(jià)指標(biāo)驗(yàn)證該組合預(yù)測(cè)模型在路基沉降預(yù)測(cè)中的穩(wěn)定性和預(yù)測(cè)精度。

1 基于集對(duì)分析理論的路基沉降組合預(yù)測(cè)模型

1.1 理論介紹

假設(shè)由幾何A、B組成的集合對(duì)為H（A，B），定義S、F、P分別為集合對(duì)的同一性、差異性和對(duì)立性系數(shù)。對(duì)其N個(gè)特性展開(kāi)集對(duì)關(guān)系分析有［17-18］：

式中：μA-B為集對(duì)聯(lián)系數(shù)；i為差異度系數(shù)；j為對(duì)立度系數(shù)；F1、F2、Fn-2分別為差異度分量；i1、i2、in-2為差異度分量系數(shù)；N為集對(duì)特性總數(shù)。

1.2 集對(duì)關(guān)系準(zhǔn)則

集對(duì)分析理論中，進(jìn)行集對(duì)分析的關(guān)鍵是確定合理可靠的集對(duì)關(guān)系準(zhǔn)則［17-18］。汪明武等［18］在將集對(duì)分析方法應(yīng)用于巖土工程領(lǐng)域時(shí)，采用主觀隸屬度法，即事先主觀地構(gòu)建集對(duì)關(guān)系準(zhǔn)則，以開(kāi)展后續(xù)的集對(duì)關(guān)系分析，這顯然忽略了集對(duì)本身包含的部分信息。因此，本文基于統(tǒng)計(jì)決策思想對(duì)集對(duì)信息進(jìn)行挖掘，以構(gòu)建合理的集對(duì)關(guān)系準(zhǔn)則。

通過(guò)預(yù)測(cè)誤差δ可表示各預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)測(cè)值間的集對(duì)。同時(shí)，預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)誤差δ在某種意義上可反映集對(duì)關(guān)系：預(yù)測(cè)誤差較小的可視為同一性關(guān)系；預(yù)測(cè)誤差較大的可視為對(duì)立性關(guān)系；而對(duì)于預(yù)測(cè)誤差處于中間范圍內(nèi)的樣本可視為差異性關(guān)系。

單項(xiàng)模型的路基沉降預(yù)測(cè)結(jié)果誤差呈現(xiàn)出正態(tài)分布規(guī)律。基于此，將預(yù)測(cè)結(jié)果誤差按正態(tài)分布規(guī)律如式（3）所示確定樣本與實(shí)測(cè)值間的集對(duì)關(guān)系。

1.3 組合權(quán)重系數(shù)及組合預(yù)測(cè)

通過(guò)集對(duì)聯(lián)系數(shù)μi確定組合權(quán)重系數(shù)，如式（4）所示：

式中：ωi為單項(xiàng)評(píng)價(jià)模型i的組合權(quán)重系數(shù)；μi為單項(xiàng)評(píng)價(jià)模型i與實(shí)測(cè)值的聯(lián)系數(shù)。

令Sp為第p測(cè)點(diǎn)的組合預(yù)測(cè)值，Si，p為單項(xiàng)模型p測(cè)點(diǎn)預(yù)測(cè)值，則組合預(yù)測(cè)結(jié)果可表示為：

式中：ωi為單項(xiàng)預(yù)測(cè)模型i的組合權(quán)重系數(shù)。

2 實(shí)例應(yīng)用

2.1 工程背景

以某軟土路基沉降數(shù)據(jù)［2］對(duì)模型進(jìn)行應(yīng)用和驗(yàn)證。原地基為軟土地基，地基表層0.2 m 深度內(nèi)為細(xì)砂、0.2 m 以下為厚度3.5～5.4 m 的粉土與淤泥質(zhì)粉土夾層，地下水位為0.6 m。路基填土高度設(shè)計(jì)為3.6 m，軟土地基在堆載工況下沉降固結(jié)。通過(guò)在觀測(cè)斷面埋設(shè)沉降板對(duì)該地基進(jìn)行沉降監(jiān)測(cè)。采用兩個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)的沉降數(shù)據(jù)對(duì)組合預(yù)測(cè)模型進(jìn)行應(yīng)用和驗(yàn)證，填土高度和地基沉降的數(shù)據(jù)和曲線分別如表1 和圖1 所示。

圖1 實(shí)測(cè)的累計(jì)填土高度與地基沉降量

表1 沉降實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)

2.2 單項(xiàng)預(yù)測(cè)模型

本文選用計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)潔且實(shí)際應(yīng)用較為廣泛的雙曲線模型、指數(shù)模型、泊松模型和GM（1，1）模型作為基礎(chǔ)的單項(xiàng)預(yù)測(cè)模型。同時(shí)，以監(jiān)測(cè)點(diǎn)1 為例，將各單項(xiàng)預(yù)測(cè)模型的計(jì)算過(guò)程及預(yù)測(cè)結(jié)果簡(jiǎn)單介紹。需要說(shuō)明的是，監(jiān)測(cè)點(diǎn)2 和監(jiān)測(cè)點(diǎn)1 采用相同的單項(xiàng)預(yù)測(cè)模型，其沉降預(yù)測(cè)結(jié)果直接給出。

2.2.1 雙曲線模型

雙曲線模型是目前軟土路基沉降預(yù)測(cè)中應(yīng)用較為廣泛的一種方法［19］，其預(yù)測(cè)模型如式（6）所示。

式 中：S0為 初 始 沉 降 量；t為 沉 降 時(shí) 間；a、b為 擬 合參數(shù)。

由于前81 d 內(nèi)的堆土高度不斷變化，沉降曲線在此期間呈現(xiàn)出一定的離散性且不嚴(yán)格滿足雙曲線的發(fā)展規(guī)律。在第81 天后，堆土高度穩(wěn)定，路基沉降基本滿足雙曲線模型的變化規(guī)律。因此，以第81 天為界限，對(duì)在此之前的沉降曲線采用多項(xiàng)式預(yù)測(cè)模型進(jìn)行預(yù)測(cè)，而第81 天后的沉降曲線則采用雙曲線模型進(jìn)行預(yù)測(cè)?；陔p曲線模型的路基沉降預(yù)測(cè)模型如式（7）所示。

2.2.2 指數(shù)模型

式中：t為沉降時(shí)間；a、b為擬合參數(shù)。

基于指數(shù)模型的路基沉降預(yù)測(cè)模型如式（9）所示。

2.2.3 泊松模型

泊松模型的曲線（又稱Logistic 曲線）呈S 形增長(zhǎng)趨勢(shì)［21］。

該模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式如式（10）所示。

式中：K、a、b為擬合參數(shù)。

基于泊松模型的路基沉降預(yù)測(cè)模型如式（11）所示。

2.2.4 GM（1，1）模型

為提升GM（1，1）模型預(yù)測(cè)精度，本文利用Lagrange 插值函數(shù)對(duì)原時(shí)間序列轉(zhuǎn)化為等時(shí)距時(shí)間序列，轉(zhuǎn)換后的時(shí)間步長(zhǎng)為30 d。同時(shí)，基于Matlab編程對(duì)該一階線性微分方程進(jìn)行求解，獲得基于GM（1，1）模型的路基沉降預(yù)測(cè)模型［22］，如式（12）所示。

式中：k為時(shí)間序列數(shù)。

上述各單項(xiàng)預(yù)測(cè)模型在監(jiān)測(cè)點(diǎn)1 和監(jiān)測(cè)點(diǎn)2 的沉降預(yù)測(cè)結(jié)果如表2、3 所示。

表2 單項(xiàng)預(yù)測(cè)模型在監(jiān)測(cè)點(diǎn)1 的預(yù)測(cè)結(jié)果

表3 單項(xiàng)預(yù)測(cè)模型在監(jiān)測(cè)點(diǎn)2 的預(yù)測(cè)結(jié)果

2.3 組合預(yù)測(cè)結(jié)果及評(píng)價(jià)

2.3.1 組合預(yù)測(cè)結(jié)果

為避免不同監(jiān)測(cè)點(diǎn)預(yù)測(cè)結(jié)果絕對(duì)誤差的影響，對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行歸一化處理并進(jìn)行對(duì)比分析。

式中：δi'為相對(duì)誤差歸一化后的值；|δmax|和|δmin|為相對(duì)誤差絕對(duì)值的最大值和最小值。

由于歸一化后的相對(duì)誤差值全為正值，δ'i的分布規(guī)律呈半正態(tài)分布，故基于樣本整體的正態(tài)分布參數(shù)如圖2（a）中的虛線所示，基于同一性集對(duì)關(guān)系樣本的正態(tài)分布參數(shù)如圖2（b）中虛線所示。各單項(xiàng)預(yù)測(cè)模型的多元聯(lián)系數(shù)表示見(jiàn)式（14）。

圖2 預(yù)測(cè)誤差的分布參數(shù)

取i1、i2和i3的 值 分 別 為0.5、0 和-0.5，j的 值為-1。

聯(lián)立式（4）、（15）確定組合權(quán)重系數(shù)，結(jié)果如表4所示。

表4 組合權(quán)重系數(shù)

式中：μ'i為單項(xiàng)預(yù)測(cè)模型i歸一化后的聯(lián)系數(shù)；μmax和μmin分別為可能的最大和最小聯(lián)系數(shù)?？紤]極端情況，即一個(gè)預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)結(jié)果全部為同一性關(guān)系或者對(duì)立性關(guān)系，計(jì)算出最大和最小聯(lián)系數(shù)分別為1和-1。

基于組合權(quán)重系數(shù)的路基沉降預(yù)測(cè)結(jié)果如圖3所示。

圖3 單項(xiàng)預(yù)測(cè)模型和組合預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)結(jié)果

2.3.2 預(yù)測(cè)結(jié)果評(píng)價(jià)

圖4 為單項(xiàng)模型和組合模型在監(jiān)測(cè)點(diǎn)1 預(yù)測(cè)結(jié)果的相對(duì)誤差。從圖4 可以看出：整體而言組合預(yù)測(cè)模型的相對(duì)誤差更低，單項(xiàng)模型在個(gè)別預(yù)測(cè)點(diǎn)出現(xiàn)較大的偏差，單項(xiàng)模型中指數(shù)模型的預(yù)測(cè)效果最好。為定量評(píng)估和對(duì)比各預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)效果，采用不同評(píng)價(jià)指標(biāo)對(duì)模型預(yù)測(cè)準(zhǔn)確性進(jìn)行評(píng)價(jià)［23］。本文預(yù)測(cè)模型及與其他預(yù)測(cè)模型的效果對(duì)比見(jiàn)表5。

圖4 各預(yù)測(cè)模型的相對(duì)誤差（監(jiān)測(cè)點(diǎn)1）

表5 預(yù)測(cè)效果對(duì)比（監(jiān)測(cè)點(diǎn)1）

由表5 可知：組合預(yù)測(cè)模型的精度更高，相對(duì)誤差更低，對(duì)于路基沉降的預(yù)測(cè)更為準(zhǔn)確可靠，驗(yàn)證了所提模型和權(quán)重計(jì)算方法的有效性。

3 結(jié)論

針對(duì)受諸多不確定因素影響，應(yīng)用單一預(yù)測(cè)路基沉降方法的預(yù)測(cè)效果不理想的研究現(xiàn)狀，本文基于集對(duì)分析理論構(gòu)建路基沉降組合預(yù)測(cè)模型，得到主要結(jié)論如下：

（1）采用組合預(yù)測(cè)模型可有效避免單項(xiàng)預(yù)測(cè)模型在部分預(yù)測(cè)點(diǎn)上可能出現(xiàn)的偏差，提高了預(yù)測(cè)的穩(wěn)定性和可靠度。采用集對(duì)分析理論能有效識(shí)別單項(xiàng)預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)信息的可靠性，獲得最優(yōu)的組合權(quán)重系數(shù)和組合預(yù)測(cè)模型。

（2）采用聯(lián)系數(shù)作為組合權(quán)重系數(shù)的確定依據(jù)，根據(jù)聯(lián)系數(shù)得到的組合預(yù)測(cè)模型具有較高的預(yù)測(cè)精度。

（3）基于集對(duì)自身信息自主識(shí)別集對(duì)關(guān)系準(zhǔn)則，提高了集對(duì)分析方法的合理性和可靠性，克服了傳統(tǒng)主觀隸屬度法對(duì)于集對(duì)關(guān)系確定過(guò)于主觀的缺陷，拓寬了集對(duì)分析方法的應(yīng)用范圍。