• <tr id="yyy80"></tr>
  • <sup id="yyy80"></sup>
  • <tfoot id="yyy80"><noscript id="yyy80"></noscript></tfoot>
  • 99热精品在线国产_美女午夜性视频免费_国产精品国产高清国产av_av欧美777_自拍偷自拍亚洲精品老妇_亚洲熟女精品中文字幕_www日本黄色视频网_国产精品野战在线观看 ?

    五階遞進的最短路徑問題教學模式探索

    2023-11-22 22:16:48許項東徐詠蕾鄒曉磊滕靖
    高教學刊 2023年32期
    關鍵詞:最短路徑圖論數(shù)學建模

    許項東 徐詠蕾 鄒曉磊 滕靖

    摘? 要:最短路徑問題是計算機科學、地理信息科學、運籌學、管理科學、交通工程、工業(yè)工程和復雜系統(tǒng)科學等領域的基礎性問題,也是許多相關課程中的教學重點。針對目前教學中存在的被動接受、手工計算、只算不用等問題,按照“精選算法、縱向到底、橫向到邊”的教學理念,探索“算法原理—數(shù)學建?!獞门e例—程序?qū)崿F(xiàn)—算法比賽”五階遞進的最短路徑問題教學模式,有助于培養(yǎng)和提升學生的原理掌握深度、優(yōu)雅學術(shù)品位、運籌優(yōu)化思維、綜合應用能力和團隊合作精神。

    關鍵詞:圖論;最短路徑;數(shù)學建模;Dijkstra算法;應用舉例

    中圖分類號:G642? ? ? 文獻標志碼:A? ? ? ? ? 文章編號:2096-000X(2023)32-0032-04

    Abstract: The shortest path problem is a fundamental problem and a core knowledge module in many disciplines, such as computer science, geographic information system, operations research, management science, transportation engineering, industrial engineering, and complex system science. It is also the focus of teaching in many related courses. According to the teaching concept of "selecting algorithms, vertical to the end, horizontal to the edge", this paper explores the five-step teaching mode of "algorithm principle - mathematical modeling - application example - program realization - algorithm competition" for the shortest path. It is helpful to cultivate and enhance students' in-depth grasp of principles, elegant academic taste, operation and optimization thinking, comprehensive application ability, and team spirit.

    Keywords: graph theory; shortest path problem; mathematical modeling; Dijkstra algorithm; applications demonstration

    基金項目:上海高校市級重點課程建設項目“《運籌學》”(無編號);上海高校課程思政領航課程建設項目“《運籌學》”(無編號)

    第一作者簡介:許項東(1985-),男,漢族,安徽霍山人,博士,教授,博士研究生導師。研究方向為交通運輸網(wǎng)絡建模與優(yōu)化、交通系統(tǒng)韌性。

    最短路徑問題的目標是,在網(wǎng)絡中給定兩節(jié)點之間找出一條總權(quán)重之和最小的路徑[1]。作為圖論中最為經(jīng)典與最常見的問題之一,最短路徑問題是計算機科學、地理信息科學、運籌學、管理科學、交通運輸工程、工業(yè)工程和復雜系統(tǒng)科學等領域的研究理論基礎,其核心思想與日常生活中的交通導航、救災搶險、工程管理等密切相關,成為許多相關課程的教學重點。

    最短路徑問題是運籌學課程的基本內(nèi)容和教學重點。以同濟大學為例,如表1所示,開設運籌學課程的學院和專業(yè)主要有:交通運輸工程學院的交通工程、交通運輸專業(yè),經(jīng)濟與管理學院的物流管理、信息管理與信息系統(tǒng)、市場營銷等專業(yè),數(shù)學科學學院的統(tǒng)計學、數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè),機械與能源工程學院的工業(yè)工程專業(yè)等。需要指出的是,這里僅統(tǒng)計了運籌學類課程。其他課程中也可能涵蓋最短路徑問題,如計算機相關專業(yè)的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法課程。

    由于最短路徑問題模型目標明確、求解算法啟發(fā)性強、與其他問題結(jié)合度高及應用場景廣泛,是一個培養(yǎng)創(chuàng)新思維和實踐能力的絕佳教學點。然而,在目前的最短路徑問題教學中,“被動接受、手工計算、只算不用”的問題仍普遍存在,學生們的綜合能力與應用水平有待提高。在內(nèi)容上,重課本輕實踐,實際問題的數(shù)學抽象能力較弱[2-3];在思維上,重解題輕原理,只會快速解題而舉一反三能力欠缺;在方法上,重手算輕程序,不會主動應用計算機與先進工具來輔助求解[4-5]。上述問題使得我們的教學實際效果難以滿足新時代對高校人才培養(yǎng)的要求,尤其是與研究型大學培養(yǎng)創(chuàng)新精神與實踐能力兼?zhèn)涞娜瞬拍繕舜嬖谳^大差距[6]。本教學團隊經(jīng)過多年的教學探索和迭代反饋,初步形成并較為成功地實踐了可復制可推廣的“算法原理—數(shù)學建模—應用舉例—程序?qū)崿F(xiàn)—算法比賽”五階遞進的最短路徑問題教學模式,以期給其他有類似問題的本科課程教學以方法上的參考。

    一? 五階遞進的最短路徑問題教學模式

    針對現(xiàn)有最短路徑教學中存在的問題,我們基于“精選算法、縱向到底、橫向到邊”的教學理念,提出了“算法原理—數(shù)學建?!獞门e例—程序?qū)崿F(xiàn)—算法比賽”五階遞進的最短路徑問題教學模式,如圖1所示。其中,“算法原理、數(shù)學建模、應用舉例”主要為課內(nèi)教學部分,從概念到方法再到實例,由淺入深、層層遞進。考慮到最短路徑算法譜系較為復雜,通過“精選算法”,為學生講細講透一種經(jīng)典算法原理,夯實基礎理論。按照“縱向到底”的理念,深入介紹其數(shù)學規(guī)劃模型與實際應用,幫助學生深化理解算法。“程序?qū)崿F(xiàn)、算法比賽”則為課外實踐部分,基于“橫向到邊”的思想,從小規(guī)模測試網(wǎng)絡的算例實驗,到大規(guī)模真實網(wǎng)絡(所在城市的道路交通網(wǎng)絡)的算法設計與優(yōu)化,引導學生化被動為主動,注重提升學生的實踐應用能力與創(chuàng)新思維,以及加強與前修課程的綜合理解。通過課堂內(nèi)外相互促進、相互結(jié)合的形式,形成五階遞進的最短路徑問題教學模式。

    在最短路徑問題引入方面,考慮到筆者的課程教學對象是交通運輸工程學院的本科生(包括交通工程專業(yè)、交通運輸專業(yè)),我們引入了日常生活中常用且也是交通運輸工程的前沿應用場景——車輛路徑導航(包括未來自動駕駛的路徑導航)。

    最短路徑問題的具體算法有著較為豐富和成熟的譜系,可按照以下三類進行細分[7]:①問題類型(Problem Type),如針對單源最短路徑的Dijkstra算法,針對多源最短路徑的Floyd算法;②輸入網(wǎng)絡特征(Input Network Characteristics),如針對無向網(wǎng)絡的Minty算法、針對整數(shù)弧長的Dial算法;③求解策略(Solution Techniques),如針對網(wǎng)絡變化時最短路徑更新迭代的Loubal算法、應用模擬計算機技術(shù)的Klee算法等。

    在教學實踐中,我們遵循“精選算法、縱向到底、橫向到邊”的教學理念。其中,“精選算法”指的是,我們在課堂教學中重點介紹最為經(jīng)典且常用的Dijkstra算法,對其他算法只簡單提及,留給學生課后自學和拓展;“縱向到底”指的是我們不僅講授Dijkstra算法的執(zhí)行步驟,更啟發(fā)學生理解算法基本原理和數(shù)學規(guī)劃建模過程,引導學生品味該算法的創(chuàng)新之處和優(yōu)雅之美;“橫向到邊”指的是,我們引導學生利用熟悉的計算機語言來編寫Dijkstra算法的代碼,結(jié)合大規(guī)模真實交通網(wǎng)絡,挖掘算法結(jié)果所蘊含的管理洞見,并通過以小組為單位的算法比賽培養(yǎng)和提升學生的綜合應用能力、團隊合作精神。

    經(jīng)過多年的教學實踐,在算法原理環(huán)節(jié)提升了學生的優(yōu)雅學術(shù)品位;通過介紹最短路徑問題的數(shù)學規(guī)劃建模,引領學生形成看透問題本質(zhì)的意識;通過貼近專業(yè)方向的多個應用舉例,幫助學生開拓聯(lián)想創(chuàng)新思維;通過程序?qū)崿F(xiàn),鍛煉學生的綜合應用能力,再通過算法實現(xiàn),積累了學生團隊合作與創(chuàng)新實戰(zhàn)經(jīng)驗。

    二? 教學設計與實踐

    (一)? 算法原理——優(yōu)雅學術(shù)品位

    在算法原理部分,我們依循經(jīng)典運籌學教材的講解思路,介紹最短路徑問題的數(shù)學定義、經(jīng)典Dijkstra算法(包括適合初學的圖上作業(yè)法、適合程序?qū)崿F(xiàn)的表上作業(yè)法)等。在介紹算法原理的同時,我們注重引入算法的發(fā)展演化歷史,引導學生思考不同算法的優(yōu)缺點和適用條件,培養(yǎng)學生的優(yōu)雅學術(shù)品位。如用枚舉法亦可找到最短路徑,但并不高效,計算機技術(shù)的進步催生了更簡便高效的算法,使得最短路徑問題的求解更加簡潔巧妙。

    (二)? 數(shù)學建?!角髥栴}本質(zhì)

    在現(xiàn)有的經(jīng)典運籌學教材中,最短路徑問題部分少有介紹其數(shù)學規(guī)劃模型,我們在教學中適度介紹最短路徑問題的數(shù)學規(guī)劃模型。之所以在教學中涉及最短路徑問題的數(shù)學建模,是為了幫助學生進一步了解最短路徑問題的本質(zhì),深化對最短路徑算法的理解。在研究現(xiàn)實世界的很多復雜問題時,通常是先進行數(shù)學建模,然后針對模型開發(fā)高效的求解算法。

    作為數(shù)學規(guī)劃模型,涉及變量、目標函數(shù)、約束條件等三要素。在教學中,引導學生思考最短路徑問題的變量、目標函數(shù)、約束條件分別是什么。決策變量的選取,直接決定模型是否需要計算量和存儲量高昂的路徑枚舉。按照最短路徑問題的定義,一般將表征每個邊是否被選入最短路徑的0-1整數(shù)變量作為求解變量,目標函數(shù)是全網(wǎng)所有被選中邊的總成本最小,約束條件需要確保所有被選中邊可以構(gòu)成從起點到終點之間唯一的一條路徑,即從起點有且只有一條邊被選中,中間節(jié)點(非起點、非終點)的流入和流出守恒,進入終點有且只有一條邊被選中。尤其要關注,該模型的0-1整數(shù)求解變量可等價松弛為非負連續(xù)變量,從而將0-1整數(shù)線性規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為更易求解的線性規(guī)劃。引導學生體會,在對模型進行求解前,非常有必要“三思而后行”,避免“Garbage in, garbage out”現(xiàn)象,盡可能降低模型的復雜性,在算法的通用性和定制化之間作出合適的取舍。

    (三)? 應用舉例——聯(lián)想創(chuàng)新思維

    根據(jù)筆者的科研經(jīng)歷,學習經(jīng)典問題的目的可能包含:①學習經(jīng)典問題的創(chuàng)新思想,豐富自己解決問題的工具箱(toolbox);②現(xiàn)實中遇到的問題往往比經(jīng)典問題更加復雜(例如,電動車的路徑規(guī)劃、自動駕駛車的路徑規(guī)劃),需要針對這些問題的特征,對經(jīng)典問題的模型和算法進行二次創(chuàng)造;③將看似沒有關系的其他問題“轉(zhuǎn)化”為經(jīng)典問題,這需要對經(jīng)典問題有著深刻的理解。

    針對我們的教學對象——交通類本科生,我們設計了多個應用舉例。

    1)路面更新問題:道路路面每年的養(yǎng)護費用和階段性大修費用隨路面使用年限的增加而變化,需要決策在路面設計年限里的更新計劃,使得總費用最小。

    2)火車售票處選址問題:現(xiàn)準備在七個居民點中設置一個售票處,已知各點之間的距離。問售票處設在哪個居民點,可使最大服務距離最???若設置兩個售票處,應設在哪兩個居民點?

    3)“全有全無”交通分配問題:已知某城市各交通小區(qū)之間的出行需求和路網(wǎng)(包括各條道路上的行程時間)。需要把這些出行需求按照行程時間最少的路徑(即全有全無)分配到路網(wǎng)各條道路上。

    4)幾類限制條件下的最短路徑問題:如,找一條不通過某些邊的最短路徑,可對應于貨車限行、外牌通行、規(guī)避事故等情形下的路徑規(guī)劃。

    需要指出的是,以上這些應用場景和應用舉例與學生后續(xù)的專業(yè)核心課程密切相關。當然,針對不同專業(yè)的學生,需要增強應用舉例問題場景的針對性,以提高學生的代入感、認同感以及與后續(xù)專業(yè)課的銜接性,培養(yǎng)學生的完整知識體系。

    在課后作業(yè)的設計方面,除了Dijkstra算法本身的鞏固練習外,我們也設計了最短路徑應用問題建模方面的作業(yè)。

    (四)? 程序?qū)崿F(xiàn)——綜合應用能力

    我們在教學中引入“程序?qū)崿F(xiàn)”環(huán)節(jié),引導學生從程序設計角度進一步理解最短路徑問題的求解原理,同時增強學生學以致用、善用計算機工具的綜合能力。據(jù)筆者了解,在許多專業(yè)的課程安排中,運籌學的課程學習節(jié)點往往處在通識基礎課與專業(yè)核心課的銜接段,加入“程序?qū)崿F(xiàn)”部分可更好地起到知識能力上的承前啟后作用,尤其是與計算機編程、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、算法設計等前序課程的銜接,以幫助學生搭建更為完整的知識體系。

    我們的課程作業(yè)設計如下?;凇俺绦?qū)崿F(xiàn)”這個環(huán)節(jié)的教學設計,本教學團隊開設了運籌學實驗課。

    考慮如圖2(a)所示的網(wǎng)絡,該網(wǎng)絡包括24個頂點、76條邊。各條邊的編號、尾節(jié)點、頭節(jié)點、長度和容量如數(shù)據(jù)表所示。請編程完成如下計算。

    1)計算所有頂點對之間的最短路徑長度,并采用合適的圖表形式予以表達。

    2)計算每一頂點到其他各頂點之間最短路徑長度的平均值,采用合適的圖表形式予以表達,并討論該結(jié)果反映了網(wǎng)絡中哪些信息。

    3)計算每條邊被最短路徑使用的次數(shù),并按照該次數(shù)對所有邊進行排序,討論該結(jié)果反映了網(wǎng)絡中哪些信息。

    該課程作業(yè)不僅考察學生程序設計是否可以計算出正確的結(jié)果,還啟發(fā)學生選擇合適的圖表形式對計算結(jié)果予以可視化,增強計算和分析結(jié)果的可讀性。其中,第3個任務引導學生挖掘最短路徑信息所蘊含的豐富應用價值。一般而言,出行者偏好最短路徑或綜合考慮多個準則的最優(yōu)路徑。被多條最短路徑途經(jīng)的邊,可能是交通網(wǎng)絡中比較關鍵的邊。若失效,會使得途經(jīng)它們的多條最短路徑產(chǎn)生中斷,進而引發(fā)較為顯著的區(qū)域性、網(wǎng)絡化影響。

    (五)? 算法比賽——團隊實戰(zhàn)積累

    上述“程序?qū)崿F(xiàn)”環(huán)節(jié)的測試網(wǎng)絡較小,對學生的要求是“算得準”;“算法比賽”環(huán)節(jié)的測試網(wǎng)絡采用學生們所在的上海市道路網(wǎng)絡(網(wǎng)絡拓撲如圖2(b)所示),網(wǎng)絡規(guī)模巨大(18 277個節(jié)點,41 199個邊),貼近現(xiàn)實,對學生的要求是提高“算得準+算得快”的實戰(zhàn)能力。

    該算法比賽以2~3人的小組為單位,在相同的實驗室計算機硬件配置條件下,比較計算時間以及對計算結(jié)果的挖掘程度。要求不僅能夠較為高效地得出最短路徑計算結(jié)果,還需要進一步挖掘計算結(jié)果所蘊含的多種應用價值。

    三? 結(jié)束語

    針對現(xiàn)有最短路徑問題教學中存在的“被動接受、手工計算、只算不用”等問題,我們結(jié)合教學實際,根據(jù)“精選算法、縱向到底、橫向到邊”的教學理念,探索出“算法原理—數(shù)學建?!獞门e例—程序?qū)崿F(xiàn)—算法比賽”五階遞進的最短路徑問題教學模式。2017—2022年的教學實踐結(jié)果表明,該教學模式有助于加深學生對最短路徑問題的理解認知,有利于提升學生的優(yōu)雅學術(shù)品位與實踐創(chuàng)新能力,教學效果得到較大的提升。

    在未來的運籌學教學中,對于網(wǎng)絡規(guī)劃中的其他經(jīng)典問題,如最小生成樹、最大流、最小費用流等,均可根據(jù)問題自身特點與教學反饋,開展類似的多位一體教學設計,形成課堂內(nèi)外雙向促進,以更豐富完整、有趣有效的教學設計,提升教學質(zhì)量與學生綜合能力。此外,本文介紹的“應用舉例”主要針對我們授課的學生對象——交通工程和交通運輸類學生。針對不同專業(yè)的學生,可以引入相應的應用問題舉例,從而增強學生的專業(yè)意識,以及與后續(xù)專業(yè)課程的關聯(lián)度。

    參考文獻:

    [1] 傅家良.運籌學方法與模型[M].上海:復旦大學出版社,2014.

    [2] 羅文昌.關于圖論教學的一些有益嘗試[J].大學數(shù)學,2014(30):52-55.

    [3] 李曉潔.基于問題導向教學的運籌學課程教學設計研究[J].高教學刊,2018(4):101-107.

    [4] 付云姍,劉蘭冬,劉奇鑫.關于運籌學教學方法的思考[J].科教文匯,2017(28):40-41.

    [5] 周喜華,胡振華,黃美銀,等.運籌學教學中融入數(shù)學建模實驗的研究和實踐[J].高教學刊,2017(11):46-47.

    [6] 姚翔飛,許鵬奎.教學研究型大學培養(yǎng)工科創(chuàng)新人才的實踐探索——基于學生創(chuàng)新能力提升的高校實踐教學體系改革與構(gòu)建[J].長春理工大學學報,2010,5(7):1-2.

    [7] DEO N, PANG C Y. Shortest-path algorithms: Taxonomy and annotation[J]. Networks, 2010,14(2):275-323.

    猜你喜歡
    最短路徑圖論數(shù)學建模
    基于FSM和圖論的繼電電路仿真算法研究
    構(gòu)造圖論模型解競賽題
    Dijkstra算法設計與實現(xiàn)
    數(shù)學建模中創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)
    考試周刊(2016年84期)2016-11-11 22:46:15
    基于Dijkstra算法的優(yōu)化研究
    圖論最短路徑算法的圖形化演示及系統(tǒng)設計
    樹立建模意識 培養(yǎng)學生創(chuàng)新思維
    點亮兵書——《籌海圖編》《海防圖論》
    孫子研究(2016年4期)2016-10-20 02:38:06
    最小二乘法基本思想及其應用
    科技視界(2016年22期)2016-10-18 17:12:13
    建模思想在數(shù)學教學中的滲透研究
    成才之路(2016年26期)2016-10-08 11:31:43
    国产av一区二区精品久久| 日本av免费视频播放| 2018国产大陆天天弄谢| 99国产精品99久久久久| 亚洲国产成人一精品久久久| 欧美激情 高清一区二区三区| 国产熟女欧美一区二区| 性少妇av在线| 久久久精品免费免费高清| 久久精品aⅴ一区二区三区四区| 国产免费现黄频在线看| 日本色播在线视频| 国产人伦9x9x在线观看| 热99国产精品久久久久久7| 老司机靠b影院| 国产欧美日韩一区二区三 | 免费一级毛片在线播放高清视频 | 电影成人av| 国产高清不卡午夜福利| 色94色欧美一区二区| 日韩欧美一区视频在线观看| 午夜福利乱码中文字幕| 久久久久久人人人人人| 久久精品国产综合久久久| 国产成人a∨麻豆精品| 99国产精品99久久久久| 一级毛片我不卡| 高清欧美精品videossex| 老司机深夜福利视频在线观看 | 亚洲精品一卡2卡三卡4卡5卡 | 亚洲 欧美一区二区三区| 黄色a级毛片大全视频| 国精品久久久久久国模美| 黄色怎么调成土黄色| 亚洲精品久久午夜乱码| 嫩草影视91久久| 无限看片的www在线观看| 操出白浆在线播放| 天天添夜夜摸| 免费黄频网站在线观看国产| 国产精品久久久av美女十八| 日韩欧美一区视频在线观看| 99re6热这里在线精品视频| 成人亚洲精品一区在线观看| 免费女性裸体啪啪无遮挡网站| 天天躁夜夜躁狠狠久久av| 久久九九热精品免费| 亚洲av男天堂| 国产激情久久老熟女| 看免费av毛片| 人妻人人澡人人爽人人| 亚洲精品第二区| 纯流量卡能插随身wifi吗| 亚洲av在线观看美女高潮| 一本一本久久a久久精品综合妖精| 伊人亚洲综合成人网| 国产精品亚洲av一区麻豆| 男男h啪啪无遮挡| 国产精品久久久久久精品古装| 1024香蕉在线观看| 久久九九热精品免费| 成人影院久久| 午夜两性在线视频| 欧美老熟妇乱子伦牲交| 国产成人影院久久av| 婷婷丁香在线五月| 9热在线视频观看99| 欧美在线黄色| 国产精品久久久久久人妻精品电影 | 九色亚洲精品在线播放| 日韩精品免费视频一区二区三区| 性色av乱码一区二区三区2| 久久久精品国产亚洲av高清涩受| 色视频在线一区二区三区| 老司机在亚洲福利影院| 99热全是精品| 日韩电影二区| 夜夜骑夜夜射夜夜干| 欧美精品av麻豆av| svipshipincom国产片| 亚洲欧洲精品一区二区精品久久久| 看免费av毛片| 99国产精品一区二区三区| 亚洲欧美日韩另类电影网站| 国产成人欧美| 亚洲国产毛片av蜜桃av| 少妇被粗大的猛进出69影院| www.999成人在线观看| 国产免费现黄频在线看| 男女免费视频国产| 久久免费观看电影| 欧美人与性动交α欧美精品济南到| 精品一区二区三区四区五区乱码 | 国产一区亚洲一区在线观看| 九色亚洲精品在线播放| 高清视频免费观看一区二区| 亚洲欧洲国产日韩| 99国产精品一区二区三区| 午夜福利视频在线观看免费| 你懂的网址亚洲精品在线观看| 亚洲国产av影院在线观看| 国产免费视频播放在线视频| 精品人妻一区二区三区麻豆| 国产成人精品久久二区二区91| 777米奇影视久久| 成年人午夜在线观看视频| 国产在线观看jvid| 人成视频在线观看免费观看| √禁漫天堂资源中文www| 精品福利永久在线观看| 国产男人的电影天堂91| 一边摸一边做爽爽视频免费| 欧美日本中文国产一区发布| 菩萨蛮人人尽说江南好唐韦庄| 高清不卡的av网站| 欧美+亚洲+日韩+国产| 国产欧美亚洲国产| 国产麻豆69| 少妇猛男粗大的猛烈进出视频| 欧美 日韩 精品 国产| 大香蕉久久网| 大码成人一级视频| 激情视频va一区二区三区| 欧美人与善性xxx| 99香蕉大伊视频| 亚洲精品久久午夜乱码| 精品亚洲成国产av| 亚洲国产欧美一区二区综合| 色视频在线一区二区三区| 久久久久国产精品人妻一区二区| 亚洲精品美女久久久久99蜜臀 | 欧美av亚洲av综合av国产av| 国产精品久久久久久人妻精品电影 | 免费观看人在逋| 2018国产大陆天天弄谢| 激情视频va一区二区三区| 国产一区二区三区综合在线观看| 国产成人av教育| 91精品伊人久久大香线蕉| 97在线人人人人妻| 天天躁夜夜躁狠狠久久av| 中文字幕最新亚洲高清| 久久久久久久国产电影| 一级毛片黄色毛片免费观看视频| 免费av中文字幕在线| 99热全是精品| 捣出白浆h1v1| 少妇人妻久久综合中文| av不卡在线播放| 男人添女人高潮全过程视频| 免费看十八禁软件| 国产成人精品久久二区二区免费| 欧美变态另类bdsm刘玥| 亚洲伊人久久精品综合| 亚洲国产精品成人久久小说| 欧美日本中文国产一区发布| 国产精品人妻久久久影院| 亚洲欧美中文字幕日韩二区| 欧美人与善性xxx| 日韩制服骚丝袜av| 一边摸一边抽搐一进一出视频| 亚洲人成网站在线观看播放| 中文字幕人妻熟女乱码| 欧美性长视频在线观看| 精品人妻熟女毛片av久久网站| 日本vs欧美在线观看视频| 亚洲午夜精品一区,二区,三区| av视频免费观看在线观看| 天天添夜夜摸| 欧美精品一区二区免费开放| 国产亚洲av片在线观看秒播厂| 成人国产一区最新在线观看 | 亚洲激情五月婷婷啪啪| 欧美激情 高清一区二区三区| cao死你这个sao货| 两人在一起打扑克的视频| 校园人妻丝袜中文字幕| 久久国产精品影院| 黄网站色视频无遮挡免费观看| 欧美老熟妇乱子伦牲交| 国产亚洲欧美在线一区二区| 亚洲熟女精品中文字幕| 久久久国产一区二区| 一本综合久久免费| av在线老鸭窝| 黄色一级大片看看| 成年人黄色毛片网站| 亚洲情色 制服丝袜| 女人爽到高潮嗷嗷叫在线视频| 飞空精品影院首页| 蜜桃在线观看..| 性色av乱码一区二区三区2| 1024视频免费在线观看| 在线观看国产h片| 欧美精品亚洲一区二区| 国产免费又黄又爽又色| 欧美xxⅹ黑人| 在线av久久热| 真人做人爱边吃奶动态| 欧美成人精品欧美一级黄| 午夜福利,免费看| 十八禁人妻一区二区| 婷婷丁香在线五月| 咕卡用的链子| 日本欧美视频一区| 丝袜美腿诱惑在线| 视频区图区小说| 久久久久久久久免费视频了| 老司机亚洲免费影院| 在线亚洲精品国产二区图片欧美| 国产91精品成人一区二区三区 | 久久国产亚洲av麻豆专区| 水蜜桃什么品种好| av线在线观看网站| 亚洲成人国产一区在线观看 | 日本欧美国产在线视频| 精品人妻1区二区| 成人亚洲精品一区在线观看| 日本一区二区免费在线视频| 国产免费视频播放在线视频| www.自偷自拍.com| 大香蕉久久网| 天天躁夜夜躁狠狠久久av| 日韩一卡2卡3卡4卡2021年| 午夜日韩欧美国产| 国产精品免费视频内射| 国产亚洲精品第一综合不卡| 女性生殖器流出的白浆| 亚洲人成电影免费在线| 免费在线观看日本一区| 免费在线观看视频国产中文字幕亚洲 | 热re99久久精品国产66热6| 欧美成人午夜精品| 亚洲中文字幕日韩| 热re99久久国产66热| 亚洲中文日韩欧美视频| 我要看黄色一级片免费的| 丝袜脚勾引网站| 欧美日韩黄片免| 极品少妇高潮喷水抽搐| 久久鲁丝午夜福利片| 欧美日韩成人在线一区二区| 欧美国产精品一级二级三级| 亚洲一区中文字幕在线| 天天躁狠狠躁夜夜躁狠狠躁| 人人妻人人澡人人爽人人夜夜| 日本色播在线视频| 精品一区二区三区av网在线观看 | 午夜福利在线免费观看网站| 精品少妇久久久久久888优播| 国产一区有黄有色的免费视频| 亚洲一区二区三区欧美精品| 天天躁日日躁夜夜躁夜夜| 精品人妻在线不人妻| 亚洲av成人精品一二三区| 一级毛片我不卡| 欧美老熟妇乱子伦牲交| 91麻豆av在线| 精品人妻1区二区| 青草久久国产| 午夜激情av网站| 成年人免费黄色播放视频| av又黄又爽大尺度在线免费看| 国产精品一区二区精品视频观看| 成年动漫av网址| 国产熟女欧美一区二区| 麻豆国产av国片精品| 国产激情久久老熟女| 99九九在线精品视频| 久久久久久久大尺度免费视频| 久久av网站| 免费高清在线观看视频在线观看| 欧美大码av| 亚洲欧美激情在线| 国产91精品成人一区二区三区 | 韩国精品一区二区三区| 成人亚洲精品一区在线观看| 性少妇av在线| 国产在视频线精品| 亚洲国产看品久久| 亚洲av成人精品一二三区| 日韩中文字幕欧美一区二区 | 国产精品国产三级国产专区5o| 丝袜美腿诱惑在线| 亚洲,一卡二卡三卡| 欧美黑人精品巨大| 久久久久视频综合| 欧美日韩亚洲高清精品| 男女边摸边吃奶| 黄色毛片三级朝国网站| 赤兔流量卡办理| 国产成人免费观看mmmm| 欧美成人精品欧美一级黄| 伊人亚洲综合成人网| 中文字幕av电影在线播放| 青春草视频在线免费观看| 亚洲伊人久久精品综合| 国产欧美日韩一区二区三区在线| 久久99精品国语久久久| av不卡在线播放| 精品久久久久久久毛片微露脸 | 日日爽夜夜爽网站| 人人妻人人爽人人添夜夜欢视频| 中国国产av一级| 青春草视频在线免费观看| 七月丁香在线播放| 三上悠亚av全集在线观看| 最近最新中文字幕大全免费视频 | 国产一区二区在线观看av| 婷婷色综合www| 久久精品熟女亚洲av麻豆精品| 汤姆久久久久久久影院中文字幕| 我的亚洲天堂| 国产爽快片一区二区三区| 精品国产乱码久久久久久男人| 国产精品三级大全| 国产无遮挡羞羞视频在线观看| 国产亚洲欧美在线一区二区| 少妇人妻久久综合中文| a级毛片黄视频| 老汉色av国产亚洲站长工具| bbb黄色大片| 亚洲精品在线美女| 嫁个100分男人电影在线观看 | 国产熟女午夜一区二区三区| 麻豆乱淫一区二区| 日韩一本色道免费dvd| 又黄又粗又硬又大视频| 久久久国产精品麻豆| 免费av中文字幕在线| 日韩 亚洲 欧美在线| 国产欧美日韩一区二区三区在线| 成年动漫av网址| 色婷婷久久久亚洲欧美| 免费看不卡的av| 男女免费视频国产| 女人精品久久久久毛片| 成年人黄色毛片网站| 国产亚洲午夜精品一区二区久久| 欧美乱码精品一区二区三区| 999久久久国产精品视频| 啦啦啦 在线观看视频| 日韩大码丰满熟妇| 欧美久久黑人一区二区| 蜜桃国产av成人99| 国产免费福利视频在线观看| 亚洲色图综合在线观看| 亚洲,欧美,日韩| 色婷婷av一区二区三区视频| 秋霞在线观看毛片| 国产精品 国内视频| av片东京热男人的天堂| 最新在线观看一区二区三区 | 日韩电影二区| 老司机影院毛片| 狂野欧美激情性xxxx| 啦啦啦在线免费观看视频4| 欧美日韩视频高清一区二区三区二| 最近手机中文字幕大全| 999久久久国产精品视频| kizo精华| 天堂中文最新版在线下载| 多毛熟女@视频| 制服人妻中文乱码| 亚洲中文日韩欧美视频| 国产精品久久久久成人av| 久久久久久久大尺度免费视频| tube8黄色片| 亚洲精品美女久久久久99蜜臀 | 国产高清videossex| www.熟女人妻精品国产| 秋霞在线观看毛片| 中文字幕人妻丝袜制服| 久久久久久亚洲精品国产蜜桃av| 国产精品久久久久成人av| 久久精品国产a三级三级三级| 国产在线视频一区二区| 久久精品久久久久久噜噜老黄| 久久ye,这里只有精品| 亚洲国产精品国产精品| 色网站视频免费| 国产97色在线日韩免费| 最近手机中文字幕大全| 久久毛片免费看一区二区三区| 男女高潮啪啪啪动态图| tube8黄色片| 亚洲天堂av无毛| 成年人午夜在线观看视频| 日本a在线网址| 精品少妇内射三级| 久久精品国产亚洲av涩爱| 青青草视频在线视频观看| 欧美97在线视频| 在线观看免费午夜福利视频| 成年av动漫网址| 亚洲激情五月婷婷啪啪| 亚洲午夜精品一区,二区,三区| 欧美在线一区亚洲| 高清欧美精品videossex| 性色av乱码一区二区三区2| 久久国产亚洲av麻豆专区| 女性生殖器流出的白浆| 免费在线观看日本一区| 亚洲av电影在线进入| 亚洲精品久久午夜乱码| 成人亚洲精品一区在线观看| 91老司机精品| 精品少妇黑人巨大在线播放| 国产av国产精品国产| 国产精品久久久人人做人人爽| 国产亚洲午夜精品一区二区久久| 波多野结衣av一区二区av| 十分钟在线观看高清视频www| 亚洲专区中文字幕在线| 亚洲欧洲国产日韩| 纯流量卡能插随身wifi吗| 在线观看免费午夜福利视频| 中文字幕制服av| 国产极品粉嫩免费观看在线| 悠悠久久av| 亚洲人成电影免费在线| 亚洲国产欧美日韩在线播放| 国产一区二区在线观看av| 亚洲国产欧美日韩在线播放| 日韩一卡2卡3卡4卡2021年| 啦啦啦啦在线视频资源| 黄色片一级片一级黄色片| 亚洲成人免费电影在线观看 | 久久午夜综合久久蜜桃| 欧美97在线视频| 免费av中文字幕在线| 日本欧美视频一区| 久久久久久亚洲精品国产蜜桃av| tube8黄色片| 欧美日韩福利视频一区二区| 又紧又爽又黄一区二区| 只有这里有精品99| 欧美精品亚洲一区二区| 成在线人永久免费视频| 老司机深夜福利视频在线观看 | 大型av网站在线播放| 国产一区二区 视频在线| 欧美精品高潮呻吟av久久| 99精品久久久久人妻精品| 日韩中文字幕欧美一区二区 | 下体分泌物呈黄色| 欧美日韩亚洲综合一区二区三区_| 欧美日韩黄片免| 十八禁网站网址无遮挡| 成人影院久久| 国产精品九九99| 久久综合国产亚洲精品| 午夜福利,免费看| 高清不卡的av网站| 欧美日本中文国产一区发布| 日韩中文字幕视频在线看片| 一个人免费看片子| 男女下面插进去视频免费观看| 欧美乱码精品一区二区三区| 亚洲av日韩在线播放| 女人爽到高潮嗷嗷叫在线视频| 午夜福利免费观看在线| 久久精品亚洲熟妇少妇任你| 欧美日韩综合久久久久久| 国产精品久久久久成人av| 亚洲av电影在线进入| 男男h啪啪无遮挡| 肉色欧美久久久久久久蜜桃| 久久精品国产综合久久久| 男女床上黄色一级片免费看| 99久久综合免费| 一本一本久久a久久精品综合妖精| 久久精品久久精品一区二区三区| 国产精品二区激情视频| 国产精品一区二区在线不卡| 赤兔流量卡办理| 精品欧美一区二区三区在线| 麻豆乱淫一区二区| 精品国产乱码久久久久久小说| 婷婷色av中文字幕| 性少妇av在线| 国产亚洲av片在线观看秒播厂| 国产欧美日韩综合在线一区二区| 男女午夜视频在线观看| 国产成人av教育| 国产精品国产三级国产专区5o| 在线观看免费午夜福利视频| 国产一级毛片在线| 别揉我奶头~嗯~啊~动态视频 | 亚洲专区中文字幕在线| 精品熟女少妇八av免费久了| 欧美av亚洲av综合av国产av| 一本色道久久久久久精品综合| 亚洲精品一区蜜桃| 免费av中文字幕在线| 两个人免费观看高清视频| 久久精品成人免费网站| 亚洲国产欧美日韩在线播放| 亚洲,欧美精品.| 国产成人精品久久二区二区免费| 久久久久久久久久久久大奶| 少妇粗大呻吟视频| 欧美日韩一级在线毛片| 亚洲成人免费av在线播放| 国产精品国产三级专区第一集| 欧美国产精品va在线观看不卡| 国产淫语在线视频| 如日韩欧美国产精品一区二区三区| 欧美 亚洲 国产 日韩一| 国产91精品成人一区二区三区 | 视频在线观看一区二区三区| av天堂久久9| 丝瓜视频免费看黄片| 永久免费av网站大全| 久久国产亚洲av麻豆专区| 国产爽快片一区二区三区| 国产一区二区三区av在线| 女人爽到高潮嗷嗷叫在线视频| 涩涩av久久男人的天堂| 一级片免费观看大全| 国产av国产精品国产| 青春草视频在线免费观看| 狂野欧美激情性xxxx| 九色亚洲精品在线播放| 国产成人精品在线电影| av网站在线播放免费| 国产精品久久久久久精品古装| 久久精品亚洲av国产电影网| 人妻人人澡人人爽人人| 91麻豆精品激情在线观看国产 | 一二三四社区在线视频社区8| 狂野欧美激情性xxxx| 精品亚洲乱码少妇综合久久| 女警被强在线播放| av欧美777| 中文字幕最新亚洲高清| 国产不卡av网站在线观看| 9191精品国产免费久久| 亚洲人成77777在线视频| 免费日韩欧美在线观看| 国产黄色免费在线视频| 一级毛片我不卡| 久久天躁狠狠躁夜夜2o2o | 国产日韩欧美在线精品| 青青草视频在线视频观看| 亚洲精品美女久久久久99蜜臀 | 亚洲av美国av| 亚洲精品久久午夜乱码| 久久99一区二区三区| 亚洲午夜精品一区,二区,三区| 亚洲天堂av无毛| 巨乳人妻的诱惑在线观看| 熟女少妇亚洲综合色aaa.| www.av在线官网国产| 黑人猛操日本美女一级片| 亚洲,欧美精品.| 午夜福利影视在线免费观看| cao死你这个sao货| 欧美+亚洲+日韩+国产| 99精品久久久久人妻精品| 在线观看免费视频网站a站| 黄色毛片三级朝国网站| 少妇裸体淫交视频免费看高清 | 久久久久久久久久久久大奶| 老司机在亚洲福利影院| 操出白浆在线播放| 成年动漫av网址| 青青草视频在线视频观看| 精品免费久久久久久久清纯 | 久久精品aⅴ一区二区三区四区| 男女边吃奶边做爰视频| 岛国毛片在线播放| 一本综合久久免费| 日本色播在线视频| 久久狼人影院| 夫妻午夜视频| 成人亚洲欧美一区二区av| 国产老妇伦熟女老妇高清| 国产熟女午夜一区二区三区| 免费在线观看影片大全网站 | av电影中文网址| 成年人黄色毛片网站| 男人添女人高潮全过程视频| 一级毛片电影观看| 欧美黑人欧美精品刺激| 人人妻人人添人人爽欧美一区卜| 欧美xxⅹ黑人| 悠悠久久av| 日韩制服骚丝袜av| 尾随美女入室| 国产成人免费无遮挡视频| 国产精品久久久久久人妻精品电影 | 十八禁高潮呻吟视频| 青春草亚洲视频在线观看| av有码第一页| 一级黄片播放器| 在线av久久热| 赤兔流量卡办理| 又黄又粗又硬又大视频| 亚洲一卡2卡3卡4卡5卡精品中文| 久久久国产欧美日韩av| 看免费av毛片| 亚洲精品美女久久av网站| 免费日韩欧美在线观看| 免费高清在线观看视频在线观看| 免费日韩欧美在线观看| 日韩av在线免费看完整版不卡| 欧美日韩国产mv在线观看视频| 在线天堂中文资源库| 日韩中文字幕视频在线看片| 国产高清视频在线播放一区 | 久久久久久久国产电影| 亚洲av国产av综合av卡| 美女视频免费永久观看网站| 亚洲美女黄色视频免费看|