水平低頻諧變電偶極子源在地下介質(zhì)中的電磁響應(yīng)特征

謝興兵，徐劍明，周磊，李弘

1.油氣資源與勘探技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(長江大學(xué))，湖北 武漢 430100

2.中國石油化工股份有限公司中原油田普光分公司，四川 達(dá)州 635000

3.中石化石油物探技術(shù)研究院有限公司，江蘇 南京 211103

水平低頻諧變電偶極子在地下介質(zhì)中激發(fā)產(chǎn)生的電磁波傳播和響應(yīng)分布規(guī)律的研究，對(duì)地球物理勘探和地下無線電通訊等領(lǐng)域具有重要的實(shí)用價(jià)值。對(duì)地球物理勘探領(lǐng)域而言，隨著數(shù)值模擬技術(shù)以及計(jì)算機(jī)硬件的快速發(fā)展，可控源電磁法的三維正演模擬已基本實(shí)現(xiàn)[1-2]。但其計(jì)算速度大大限制了可控源電磁法的三維正反演實(shí)用化步伐[3-6]。主要是由于在可控源電磁法三維正演模擬時(shí)的一次場(chǎng)計(jì)算常采用數(shù)值濾波算法[7-9]，需要占用計(jì)算機(jī)大量的計(jì)算時(shí)間。為了加快可控源電磁法三維正反演技術(shù)實(shí)用的步伐，提高可控源電磁法三維正演模擬的一次場(chǎng)的計(jì)算精度和速度勢(shì)在必行，因此推導(dǎo)水平低頻諧變電偶極子源在地下介質(zhì)中響應(yīng)的解析表達(dá)式具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。為此，本文從謝昆諾夫勢(shì)函數(shù)出發(fā)，應(yīng)用邊界連續(xù)性條件，利用索墨菲爾德積分以及福克積分公式，經(jīng)過嚴(yán)格數(shù)學(xué)推導(dǎo)得到了準(zhǔn)靜態(tài)近似條件下水平低頻諧變電偶極子源在地下介質(zhì)中產(chǎn)生的電場(chǎng)和磁場(chǎng)分量的解析表達(dá)式，不僅可以深入揭示電磁波在地下介質(zhì)中傳播和響應(yīng)的分布規(guī)律，而且也可將其應(yīng)用在可控源電磁法三維正演模擬的一次場(chǎng)計(jì)算，將加快可控源電磁法三維正反演技術(shù)的實(shí)用化。

1 地下電磁場(chǎng)的解析求解

假設(shè)水平電偶極子沿X方向位于均勻各向同性大地介質(zhì)的表面，從麥克斯韋方程組出發(fā)可得到波數(shù)為k0的上半空間的TM勢(shì)函數(shù)A0(x，y，z)和TE勢(shì)函數(shù)F0(x，y，z)[10-14]：

(1)

(2)

在波數(shù)為k1的下半空間的TM勢(shì)函數(shù)A1(x，y，z)和TE勢(shì)函數(shù)F1(x，y，z)分別為：

(3)

(4)

(5)

(6)

式中：y0=σ0+iωε0；y1=σ1+iωε1；σ0、σ1分別為上、下半空間的電導(dǎo)率，S/m；ε0、ε1分別為上、下半空間的介電常數(shù)。

將式(5)和式(6)帶入到式(3)和(4)可得：

(7)

(8)

根據(jù)TM勢(shì)和TE勢(shì)與電磁場(chǎng)的關(guān)系可以求得均勻半空間情況下水平低頻諧變電偶極子源在地下介質(zhì)中產(chǎn)生的電場(chǎng)E和磁感應(yīng)強(qiáng)度B在X，Y，Z三個(gè)方向的表達(dá)式為：

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

對(duì)式(9)～(14)利用Foster恒等式[15-16]得：

(15)

再利用Sommerfeld恒等式得：

(16)

進(jìn)行化簡(jiǎn)變換得到位于地表的水平諧變電偶極子在地下介質(zhì)中的電磁場(chǎng)的解析表達(dá)式為：

(17)

(18)

(19)

(20)

(22)

2 解析解正確性驗(yàn)證與計(jì)算速度

當(dāng)一水平電偶極子源鋪設(shè)于地表時(shí)，在地下介質(zhì)中和地表產(chǎn)生的電磁場(chǎng)各分量利用解析解和數(shù)值解分別計(jì)算。設(shè)在電阻率為10 Ω·m均勻半空間的地表原點(diǎn)處，有一電偶極矩為1 A·m沿著X方向布設(shè)的發(fā)射電偶極子源，水平X方向和Y方向分別從-1 000～1 000 m，垂直Z方向(向下為正)從0到地下1 000 m三維空間內(nèi)分布有網(wǎng)度為100 m×100 m×100 m的測(cè)點(diǎn)，共計(jì)4 851個(gè)測(cè)點(diǎn)，發(fā)射頻率從10 000～1 Hz，共21個(gè)以對(duì)數(shù)等間隔分布的頻點(diǎn)。分別采用解析解和數(shù)值解計(jì)算每個(gè)測(cè)點(diǎn)的電磁場(chǎng)分量，圖1為均勻半空間地下100 m(Z=100 m)XY平面頻率為1 Hz時(shí)兩種方法計(jì)算的電磁場(chǎng)分量響應(yīng)結(jié)果。由圖1可知，解析解和數(shù)值解的計(jì)算結(jié)果完全一致。同時(shí)采用同一臺(tái)計(jì)算機(jī)，測(cè)試了兩種不同方法計(jì)算4 851個(gè)測(cè)點(diǎn)各個(gè)分量所需要的總時(shí)間，兩種計(jì)算方法都是串行計(jì)算，占用同樣性質(zhì)的一個(gè)計(jì)算內(nèi)核，通過程序測(cè)定解析解耗時(shí)4.8 s，數(shù)值解耗時(shí)236 s，解析解比數(shù)值解快約50倍。不僅說明本文推導(dǎo)出的解析解表達(dá)式的正確性，而且證實(shí)解析解計(jì)算速度更快。

圖1 均勻半空間地下Z=100 m處電磁場(chǎng)分量響應(yīng)平面圖(頻率為1 Hz)

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文推導(dǎo)出來的水平低頻諧變電偶極子源在地下介質(zhì)中的電磁場(chǎng)解析表達(dá)式的正確性。圖2給出了坐標(biāo)為(100，500，100)處的接收點(diǎn)的均勻半空間中電磁場(chǎng)隨頻率變化曲線。對(duì)比本文推導(dǎo)出的解析解與Kerry Key數(shù)值解計(jì)算的3個(gè)電場(chǎng)分量以及3個(gè)磁感應(yīng)強(qiáng)度分量的結(jié)果曲線可知，每個(gè)分量在整個(gè)頻帶范圍內(nèi)基本重合，說明本文推導(dǎo)出來的水平低頻諧變電偶極子源在地下介質(zhì)中的電磁場(chǎng)的解析表達(dá)式是正確的。

圖2 接收點(diǎn)(100，500，100)處的電磁場(chǎng)隨頻率變化曲線

3 電磁場(chǎng)隨深度變化特征

圖3是以源為中心兩個(gè)正交方向不同深度電磁場(chǎng)響應(yīng)變化圖。當(dāng)電偶極子沿著X方向時(shí)，在以源為中心的兩個(gè)正交方向上，垂直于源方向的電場(chǎng)分量Ey和沿著源方向磁場(chǎng)分量Bx為0，而在地下介質(zhì)中的其他位置，所有電磁場(chǎng)分量都不為0，且水平電偶極子源激發(fā)的電磁場(chǎng)具有明顯的方向性，這在地井電磁勘探中是非常關(guān)鍵的。

圖3 以源為中心X和Y兩個(gè)正交方向不同深度電磁場(chǎng)響應(yīng)變化圖(頻率為1 Hz)

4 結(jié)束語

從謝昆諾夫勢(shì)函數(shù)出發(fā)，利用邊界連續(xù)性條件，推導(dǎo)出位于地表的水平電偶極子源在地下介質(zhì)中的電磁場(chǎng)響應(yīng)解析表達(dá)式。其計(jì)算結(jié)果與Kerry Key的數(shù)值解計(jì)算結(jié)果完全一致，解析解的計(jì)算速度遠(yuǎn)高于數(shù)值解，這將提高可控源電磁法三維正演模擬中的一次場(chǎng)計(jì)算的精度和速度，為可控源電磁法三維正演技術(shù)提供基礎(chǔ)支撐。

感謝Scripps海洋研究所Kerry Key提供的數(shù)值計(jì)算程序。