基于WFRFT 頻譜預(yù)編碼的GFDM 系統(tǒng)性能優(yōu)化方法

王震鐸，王朝暉，張若愚

（1.哈爾濱工程大學(xué)信息與通信工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001；2.南京理工大學(xué)近程射頻感知芯片與微系統(tǒng)教育部重點實驗室，江蘇 南京 210094）

0 引言

隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，通信的意義和內(nèi)涵不斷演變。太赫茲通信、通信感知一體化和智能超表面[1-2]等通信技術(shù)也迎來了蓬勃發(fā)展。智能制造、智慧醫(yī)療、智能家居、智慧城市等新興業(yè)務(wù)場景的不斷涌現(xiàn)，推動了通信、人工智能、大數(shù)據(jù)、圖像處理和遙感等技術(shù)的深度融合[3-4]。從1G 的語音通信到如今5G 的萬物互聯(lián)，通信場景正在向多元化的方向發(fā)展[5]。國際電信聯(lián)盟明確了5G 通信的三大應(yīng)用場景[6-9]，包括增強型移動寬帶（eMBB,enhanced mobile broadband）、大連接物聯(lián)網(wǎng)（mMTC,massive machine-type communication）以及低時延高超可靠通信（URLLC,ultra-reliable &low-latency communication）。然而當今廣泛使用的正交頻分復(fù)用（OFDM,orthogonal frequency division multiplexing）技術(shù)難以滿足上述應(yīng)用場景對通信波形更加嚴格的要求，作為5G 候選波形的廣義頻分復(fù)用（GFDM,generalized frequency division multiplexing）由于具有更加靈活、高效的優(yōu)點，成為當前研究的熱點。

GFDM 是一種基于時頻資源塊的非正交多載波調(diào)制方案，每個時頻資源單位由若干個子符號和子載波構(gòu)成[10]。GFDM 系統(tǒng)具有良好的時頻聚焦特性，能夠在多徑環(huán)境下提供較好的抗干擾性能和頻譜利用率[11]，是一種適于物聯(lián)網(wǎng)、無線電視、衛(wèi)星通信等領(lǐng)域的調(diào)制方式。由于時頻資源配置的靈活性，GFDM 可以很容易地實現(xiàn)與正交頻分復(fù)用（OFDM）的兼容，并且支持多個用戶共享物理層資源。從某種意義上說，GFDM 可以視作一種編碼OFDM 技術(shù)。另外，在GFDM 中，多個子符號共用一個循環(huán)前綴（CP,cyclic prefix），節(jié)省了頻帶資源，提升了GFDM 系統(tǒng)的頻帶利用率。此外，文獻[12]表明正交時頻空（OTFS,orthogonal time frequency space）可以作為具有簡單排列的GFDM 信號進行處理。通過正確選擇設(shè)計GFDM 參數(shù)，可以合成OFDM 和OTFS 等波形。因此以GFDM 系統(tǒng)為研究對象對其他波形技術(shù)有一定的參考價值。

為了提高GFDM 系統(tǒng)的性能，減少對相鄰信道的干擾以及推進GFDM 技術(shù)與物聯(lián)網(wǎng)、車聯(lián)網(wǎng)的融合，研究人員一直在深入探究抑制GFDM 系統(tǒng)帶外（OOB,out of band）功率泄漏和降低GFDM 系統(tǒng)的峰均功率比（PAPR,peak to average power ratio）等相關(guān)問題。針對OOB 問題，文獻[13]通過對傳統(tǒng)的基于向量的GFDM 系統(tǒng)表征深入研究，提出了一種基于矩陣化表征的GFDM 發(fā)射機模型，指出了GFDM 系統(tǒng)OOB 性能與原型濾波器的聯(lián)系，并為設(shè)計最優(yōu)濾波器提供了參考。文獻[14]通過將GFDM 發(fā)射信號的功率譜密度表示為GFDM 濾波器系數(shù)的函數(shù)，將最小化OOB 問題轉(zhuǎn)化為濾波器設(shè)計問題，權(quán)衡了誤碼率（BER,bit error rate）性能和OOB 性能。文獻[15]利用二次規(guī)劃方法對原型濾波器加以設(shè)計優(yōu)化以有效抑制GFDM 系統(tǒng)的帶外功率。除此之外，文獻[16-18]通過GFDM 與索引調(diào)制相結(jié)合，利用不同子載波的激活狀態(tài)從而達到降低帶外輻射、提高功率放大器效率和頻譜效率的效果。針對PAPR 問題，文獻[19]通過對GFDM 系統(tǒng)PAPR 性能的理論性能的分析，闡明了濾波器優(yōu)化PAPR 性能所能達到的限制。文獻[20]設(shè)計了一種基于梯度下降法的線性預(yù)編碼器，通過最小化GFDM 信號瞬時功率的方差、二階矩和三階矩等統(tǒng)計參數(shù)來降低PAPR，并給出了相應(yīng)的優(yōu)化算法。文獻[21]提出了一種預(yù)編碼器，通過最小化瞬時功率（IP,instantaneous power），從而降低PAPR。文獻[22]提出了一種基于小波變換的技術(shù)，可以有效提升系統(tǒng)PAPR 性能。文獻[23]結(jié)合選擇映射（SLM,selective mapping）和部分傳輸序列（PTS,partial transmit sequence）等技術(shù)提出了混合沃爾什-哈達瑪預(yù)編碼技術(shù)，以進一步降低發(fā)射端的PAPR。文獻[24-25]通過加權(quán)分數(shù)傅里葉變換（WFRFT,weighted fractional Fourier transform）來優(yōu)化GFDM系統(tǒng)PAPR 性能。此外，文獻[26-27]指出WFRFT在衰落信道中具有誤碼率性能優(yōu)勢。

目前，已有多篇文獻獨立且完整地提出了抑制GFDM 信號的OOB 輻射和降低PAPR 的方案，但只有少數(shù)文獻研究了兩者的聯(lián)合抑制問題。為了實現(xiàn)對GFDM 系統(tǒng)OOB 和PAPR 性能的聯(lián)合優(yōu)化，本文基于頻譜預(yù)編碼（SP,spectral precoding）理論為GFDM 系統(tǒng)設(shè)計了一種通用預(yù)編碼器。頻譜預(yù)編碼是一種重要的技術(shù)手段，通過優(yōu)化信號的頻譜分布，以實現(xiàn)對系統(tǒng)帶外功率的抑制。通過研究GFDM 系統(tǒng)功率譜衰減特性，給出了預(yù)編碼器的具體表達式，闡述了預(yù)編碼器參數(shù)對GFDM 帶外功率的影響，通過調(diào)節(jié)預(yù)編碼器參數(shù)實現(xiàn)對GFDM 系統(tǒng)帶外功率的調(diào)控。在此基礎(chǔ)上，提出了基于WFRFT頻譜預(yù)編碼的GFDM（WFRFT-SP-GFDM）系統(tǒng)，通過二維參數(shù)的靈活配置，實現(xiàn)了帶外功率、峰均功率比、誤碼率等性能的聯(lián)合優(yōu)化。

1 系統(tǒng)模型

1.1 GFDM 模型

GFDM 系統(tǒng)是一種針對時頻資源進行調(diào)制的多載波傳輸系統(tǒng)，考慮一個具有K個子載波和M個子符號的GFDM 系統(tǒng)，發(fā)射端信源提供的比特信息通過正交幅度調(diào)制（QAM,quadrature amplitude modulation）得到碼元信息，一個時頻資源單位內(nèi)包含的N個碼元信息通過M個子符號進行傳輸，每個子符號包含K個子載波，即N=KM。第m個子符號上的碼元信息記為dm=[d0,m,…,dK-1,m]T。GFDM 系統(tǒng)第k個子載波上的M個子符號通過原型濾波器循環(huán)卷積進行濾波，濾波后的信號經(jīng)過上變頻到第k個子載波，生成第k個子載波上的發(fā)射信號，通過K個子載波疊加形成的GFDM 信號為

根據(jù)式(1)，GFDM 系統(tǒng)調(diào)制過程的矩陣形式可以表示為

其中，d=[d0,0,…,dK-1,0,…,dK-1,M-1]T表示待傳輸碼元信息，矩陣A為KM×KM階調(diào)制矩陣，表示為

調(diào)制矩陣A由原型濾波器經(jīng)過時移和頻移形成，包含GFDM 信號調(diào)制過程中涉及的所有信號處理步驟。

1.2 WFRFT 模型

WFRFT 可以看作傅里葉變換的推廣形式，即傅里葉變換是WFRFT 在某種情況下的特例。階數(shù)為α的WFRFT 定義為

其中，x(n)為時域信號，x(-n)為時域反轉(zhuǎn)信號，X(n)為頻域信號，X(-n)為頻域反轉(zhuǎn)信號；ω0(α)、ω1(α)、ω2(α)和ω3(α)為WFRFT 的系數(shù)，定義為

其中，θ=0,1,2,3。另外，由于加權(quán)系數(shù)所具有的周期性，因此加權(quán)階數(shù)α的取值范圍通常為[0,1]。由式(4)可得，階數(shù)為α的WFRFT 的矩陣形式為

其中，Wα為α階加權(quán)分數(shù)傅里葉變換矩陣，表示為

其中，I表示單位陣，F(xiàn)表示傅里葉變換矩陣。當階數(shù)α=0時，Wα簡化為單位陣；當階數(shù)α=1時，Wα簡化為傅里葉變換矩陣。

2 WFRFT-SP-GFDM 系統(tǒng)模型

圖1 WFRFT-SP-GFDM 系統(tǒng)框架

在預(yù)編碼之后，每個子符號通過原型濾波器g(t)進行成型濾波并上變頻，經(jīng)過時域疊加后得到GFDM 信號，在一個GFDM 信號時間間隔T內(nèi)，GFDM 信號可以表示為

其中，IM為M階單位陣。當預(yù)編碼矩陣U為單位陣時，SP-GFDM 系統(tǒng)簡化為GFDM 系統(tǒng)。

SP-GFDM 信號基帶的功率譜密度可以表示為

通過重復(fù)分部積分將式(11)展開為無窮級數(shù)

由式(15)可以得出，當預(yù)編碼矩陣滿足約束條件時，GFDM 系統(tǒng)的帶外功率衰減速度為f-2J-2甚至更快。約束條件可以等價地改寫為

并且預(yù)編碼矩陣U滿足UHU=I。在GFDM 系統(tǒng)調(diào)制傳輸過程中，考慮到每個子符號具有相似的譜特性，使GFDM 波形的譜特性呈現(xiàn)一定的規(guī)律性。為了方便分析，假設(shè)在GFDM 系統(tǒng)預(yù)編碼和調(diào)制過程中，子符號攜帶具有獨立同分布的碼元信息，且滿足E。因此可得SP-GFDM 系統(tǒng)功率譜密度的另一種表現(xiàn)形式為

其中，Gm(f)是e(f)gm(f)的傅里葉變換。作為多載波調(diào)制的一種方案，相對于單載波調(diào)制來說，GFDM 系統(tǒng)同樣也面臨著PAPR 較大的問題。PAPR較大時會導(dǎo)致功率放大器工作在非線性區(qū)域，引入了信號失真和頻譜再生，影響功率譜的快速衰減。因此通過對GFDM 系統(tǒng)頻譜預(yù)編碼，達到帶外功率快速衰減的同時也要考慮對PAPR 的抑制。為此將預(yù)編碼器U擴展為預(yù)編碼器UQ，并令P=UQ簡化后續(xù)表述，通過預(yù)編碼器P實現(xiàn)對GFDM 系統(tǒng)的帶外功率和峰均功率比的聯(lián)合優(yōu)化。通過對Q加以設(shè)計，實現(xiàn)降低GFDM 系統(tǒng)PAPR 的同時保持帶外功率快速衰減的特性，此時SP-GFDM 系統(tǒng)功率譜可以表示為

酉矩陣具有保持信號能量的性質(zhì)，它可以有效地保持信號的功率不變。當Q矩陣是酉矩陣時，其不會影響SP-GFDM 系統(tǒng)帶外功率的快速衰減。由式(22)也可得，當Q矩陣是酉矩陣時，其滿足QQH=I，此時式(22)退化為式(21)，即Q為酉矩陣時不影響SP-GFDM 系統(tǒng)帶外功率的快速衰減。值得注意的是，預(yù)編碼矩陣P是一個K×S的矩陣，Q矩陣為S×S矩陣，用于在不改變所得功率譜的情況下降低GFDM 系統(tǒng)的PAPR?？紤]到WFRFT預(yù)編碼矩陣為酉矩陣且具有易與GFDM 系統(tǒng)結(jié)合的特性，并可以有效降低GFDM 系統(tǒng)的PAPR。因此，以此為切入點來研究Q矩陣的具體表達形式。定義一個K×S的矩陣為α階加權(quán)分數(shù)傅里葉變換矩陣Wα刪除前J列和最后J列的形式。為了實現(xiàn)降低GFDM 系統(tǒng)PAPR 的目的，將預(yù)編碼矩陣逼近取得最小值，即約束條件為

在這種情況下，GFDM 波形與WFRFT 預(yù)編碼的GFDM 波形具有相似性，從而實現(xiàn)在帶外功率快速衰減的情況下降低系統(tǒng)PAPR。對約束條件進一步分析可得

由式(25)和式(26)可得優(yōu)化后的結(jié)果為

WFRFT-SP-GFDM 系統(tǒng)的矩陣表示為

其中，J和α為預(yù)編碼器參數(shù)。當預(yù)編碼參數(shù)取特定值時，如表1 所示，WFRFT-SP-GFDM 可退化為不同的波形模態(tài)，在基于WFRFT 的通用預(yù)編碼框架下，實現(xiàn)了WFRFT-SP-GFDM、WFRFT-GFDM、SP-GFDM、GFDM 等波形體制的融合。

表1 WFRFT-SP-GFDM 參數(shù)等效關(guān)系

3 仿真結(jié)果與分析

為了驗證WFRFT-SP-GFDM 系統(tǒng)的性能優(yōu)勢，本節(jié)對WFRFT-SP-GFDM 系統(tǒng)OOB、PAPR 和BER性能進行了仿真。表2 給出了WFRFT-SP-GFDM 系統(tǒng)仿真參數(shù)設(shè)定。

表2 WFRFT-SP-GFDM 系統(tǒng)仿真參數(shù)設(shè)定

3.1 帶外功率性能

為了研究WFRFT-SP-GFDM 系統(tǒng)在帶外功率快速衰減以及不同參數(shù)下的預(yù)編碼器對帶外功率影響的效果，對WFRFT-SP-GFDM 系統(tǒng)的OOB 性能進行了仿真分析。圖2 給出了當子載波參數(shù)K分別為128 和256 時，隨著參數(shù)J增大，WFRFTSP-GFDM 系統(tǒng)相比于GFDM 系統(tǒng)在子載波利用率所承受的具體損失。

圖2 WFRFT-SP-GFDM 系統(tǒng)子載波利用率

如圖3 所示，與GFDM 系統(tǒng)相比，SP-GFDM系統(tǒng)帶外功率泄露較低，即SP-GFDM 系統(tǒng)可以實現(xiàn)更快的帶外功率衰減，而且參數(shù)J不同時的SP-GFDM 系統(tǒng)的帶外功率衰減也有差異，即隨著參數(shù)J的增大，衰減速率加快，證明了推導(dǎo)結(jié)果的正確性。如圖4 所示，不同α參數(shù)下的SP-GFDM系統(tǒng)和WFRFT-SP-GFDM 系統(tǒng)的OOB 性能基本一致，即WFRFT-SP-GFDM 系統(tǒng)OOB 性能不受參數(shù)α的影響。相同參數(shù)J下 SP-GFDM 系統(tǒng)和WFRFT-SP-GFDM 系統(tǒng)OOB 性能具有一致性，驗證了式(22)所指出的當Q為酉矩陣時不會影響GFDM 系統(tǒng)帶外功率的性能。另外，圖3 和圖4 表明，當預(yù)編碼參數(shù)J增大時，系統(tǒng)使用的子載波并未減少，仍為128 個子載波，即所有子載波均處于使用狀態(tài)。這一結(jié)果表明，無論預(yù)編碼參數(shù)J的取值如何，系統(tǒng)都能夠充分利用所有子載波進行信息傳輸。總體而言，WFRFT-SP-GFDM 系統(tǒng)可以通過調(diào)節(jié)參數(shù)J來調(diào)控帶外功率抑制性能，實現(xiàn)帶外功率抑制和子載波利用率的折中，且比GFDM、WFRFT-GFDM 等波形具有更低的帶外功率。

圖3 SP-GFDM 系統(tǒng)帶外功率性能

圖4 WFRFT-SP-GFDM 系統(tǒng)帶外功率性能

3.2 峰均功率比性能

為了研究預(yù)編碼參數(shù)對WFRFT-SP-GFDM 系統(tǒng)PAPR 性能的影響，對WFRFT-SP-GFDM 系統(tǒng)PAPR 性能進行了仿真分析，仿真過程中采用4 倍過采樣處理。

如圖5 所示，其中，橫坐標r0表示PAPR 門限值，縱坐標CCDF 表示系統(tǒng)大于對應(yīng)PAPR 門限值的概率。SP-GFDM 系統(tǒng)的PAPR 性能與GFDM 系統(tǒng)的PAPR 性能相比基本一致，即U預(yù)編碼對GFDM 系統(tǒng)的PAPR 性能有輕微的影響。參數(shù)α相同時，不同參數(shù)J下WFRFT-SP-GFDM 系統(tǒng)性能基本一致，即參數(shù)J不影響WFRFT-SP-GFDM 系統(tǒng)的PAPR 性能。參數(shù)J相同時，與GFDM 系統(tǒng)相比，不同參數(shù)α下WFRFT-SP-GFDM系統(tǒng)PAPR性能有所改變，且隨著參數(shù)α的增大，PAPR 抑制效果逐漸增強。結(jié)合WFRFT-SP-GFDM 系統(tǒng)OOB 性能分析，通過矩陣U和矩陣Qα分別實現(xiàn)了對GFDM 系統(tǒng)的OOB 性能和PAPR 性能的調(diào)控，且兩者具有不會相互作用影響的良好性質(zhì)，通過調(diào)節(jié)參數(shù)J和α，實現(xiàn)GFDM 系統(tǒng)OOB 性能和PAPR 性能的協(xié)同控制。此外，當編碼參數(shù)α相同時，WFRFT-SP-GFDM 系統(tǒng)的 PAPR 性能逼近于WFRFT-GFDM 系統(tǒng)PAPR 性能。

圖5 WFRFT-SP-GFDM 系統(tǒng)峰均功率比性能

3.3 誤碼率性能

為了探究預(yù)編碼參數(shù)對 WFRFT-SP-GFDM系統(tǒng)誤碼率的影響，對WFRFT-SP-GFDM 系統(tǒng)BER 性能進行了仿真分析。仿真中信道為AWGN信道和多徑信道，其中，多徑信道設(shè)置為6 條徑，每條徑的時延設(shè)置為[0,100,150,200,250,300]ns，每條徑的平均功率設(shè)置為[0,-3,-6,-7.2,-10.8,-18,-25.2]dB。

圖6 SP-GFDM 系統(tǒng)誤碼率性能

圖7 WFRFT-SP-GFDM 系統(tǒng)誤碼率性能

4 結(jié)束語

本文面向通信波形的帶外功率抑制需求，針對GFDM 系統(tǒng)的帶外功率、峰均功率比、誤碼率等性能的聯(lián)合優(yōu)化問題，提出了一種基于WFRFT 的通用頻譜預(yù)編碼器。通過對SP-GFDM 系統(tǒng)功率譜衰減特性的理論分析，推導(dǎo)了使其快速衰減的約束條件，給出了預(yù)編碼矩陣的具體表達式，詳細論述了預(yù)編碼參數(shù)對GFDM 系統(tǒng)帶外功率衰減的影響機理。在此基礎(chǔ)上，結(jié)合 WFRFT 理論提出了WFRFT-SP-GFDM 系統(tǒng)，通過二維參數(shù)的靈活配置，WFRFT-SP-GFDM 可退化為GFDM、SP-GFDM、WFRFT-GFDM 等波形，實現(xiàn)了對帶外功率、峰均功率比等性能的靈活調(diào)控。仿真結(jié)果表明，WFRFT-SP-GFDM 系統(tǒng)實現(xiàn)了帶外功率、峰均功率比、誤碼率、子載波利用率等性能的聯(lián)合優(yōu)化，與GFDM 波形相比，具有更低的帶外功率和峰均功率比；與WFRFT-GFDM 波形相比，在峰均功率比和誤碼率性能近似相同時，具有更低的帶外功率性能。