基于稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)的大規(guī)模多用戶檢測(cè)算法

陳平平，王宣達(dá)，謝肇鵬，方毅，陳家輝

（1.福州大學(xué)先進(jìn)制造學(xué)院，福建 泉州 362251；2.福建省媒體信息智能處理與無(wú)線傳輸重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，福建 福州 350108；3.廣東工業(yè)大學(xué)信息工程學(xué)院，廣東 廣州 510006）

0 引言

5G 海量機(jī)器類通信（mMTC,massive machine type communication）場(chǎng)景如今受到廣泛關(guān)注，并被應(yīng)用于工業(yè)自動(dòng)化、自動(dòng)駕駛、智慧城市等物聯(lián)網(wǎng)領(lǐng)域。在mMTC 通信場(chǎng)景下，傳統(tǒng)的基于調(diào)度的正交多址接入方案已經(jīng)無(wú)法滿足需求。由于基站要為每臺(tái)設(shè)備分配正交的時(shí)間或頻率資源，當(dāng)設(shè)備的總數(shù)遠(yuǎn)多于資源的總數(shù)時(shí)，復(fù)雜的調(diào)度過(guò)程會(huì)導(dǎo)致顯著信令開(kāi)銷和過(guò)多時(shí)延[1]，這在發(fā)送零星短數(shù)據(jù)包的場(chǎng)景中效率很低。為了克服上述缺點(diǎn)，研究者提出一種免授權(quán)非正交多址接入（GF-NOMA,grant-free non-orthogonal multiple access）方案，允許設(shè)備在相同的時(shí)間或頻率資源上傳輸數(shù)據(jù)符號(hào)而不需要依賴基站授權(quán)[2-3]。用戶在傳輸過(guò)程中不需要基站的上行授權(quán)，而是隨機(jī)自主地傳輸數(shù)據(jù)，因此基站并沒(méi)有來(lái)自用戶的任何先驗(yàn)信息，需要進(jìn)行多用戶檢測(cè)，在接收到信號(hào)后能夠識(shí)別所有發(fā)送信息的活躍用戶集合，從而檢測(cè)出它們發(fā)送的數(shù)據(jù)。

在mMTC 傳輸場(chǎng)景中，活躍用戶數(shù)一般遠(yuǎn)少于總用戶數(shù)，即活躍用戶是稀疏的，這就使原先的多用戶檢測(cè)問(wèn)題能夠轉(zhuǎn)換為稀疏信號(hào)的重構(gòu)問(wèn)題。傳統(tǒng)的壓縮感知算法，如正交匹配追蹤[4]、分段正交匹配追蹤[5]等經(jīng)典貪婪算法已經(jīng)被廣泛應(yīng)用。Wang 等[6]利用mMTC 系統(tǒng)中活躍用戶固有結(jié)構(gòu)稀疏性提出一種結(jié)構(gòu)化迭代支持檢測(cè)算法，能夠在連續(xù)的時(shí)隙中聯(lián)合檢測(cè)活躍用戶和其傳輸?shù)臄?shù)據(jù)。利用前一時(shí)隙估計(jì)的傳輸符號(hào)和活躍用戶集作為先驗(yàn)知識(shí)，一種交替方向乘子法算法可以提高多用戶檢測(cè)性能[7]。文獻(xiàn)[8-9]研究了基于期望傳播的聯(lián)合活躍用戶檢測(cè)、信道估計(jì)和數(shù)據(jù)檢測(cè)的方法。通過(guò)改進(jìn)識(shí)別序列，將正弦擴(kuò)頻序列應(yīng)用于mMTC 的擴(kuò)頻序列，一種非迭代、低復(fù)雜度的算法被用于多用戶檢測(cè)[10]。

然而，上述方法得出的往往不是最優(yōu)的稀疏解，貝葉斯算法證明在多數(shù)情況可以實(shí)現(xiàn)最優(yōu)的稀疏解。Tipping 等[11]提出了一種稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)（SBL,sparse Bayesian learning）算法，用于機(jī)器學(xué)習(xí)中的回歸和分類。Wipf 等[12-13]將SBL 算法引入壓縮感知（CS,compressive sensing）領(lǐng)域，針對(duì)單測(cè)量向量（SMV,single measurement vector）模型稀疏信號(hào)進(jìn)行恢復(fù)，并擴(kuò)展到多測(cè)量向量（MMV,multiple measurement vector）模型推導(dǎo)出MSBL（multiple SBL）算法。Zhang 等[14]研究了塊稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)框架，將MMV 模型轉(zhuǎn)化為具有塊狀結(jié)構(gòu)的SMV 模型，探索時(shí)間相關(guān)性進(jìn)而提出了T-SBL和T-MSBL 算法。Fang 等[15]則提出了支撐集輔助的稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)算法，應(yīng)用一部分已知的先驗(yàn)支撐集信息，在參數(shù)上增加了第三層先驗(yàn)，表征稀疏控制的超參數(shù)。Fang 等[16]研究了結(jié)構(gòu)化配對(duì)的稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)算法，將每個(gè)單獨(dú)的超參數(shù)與每個(gè)系數(shù)獨(dú)立關(guān)聯(lián)，而每個(gè)系數(shù)不僅涉及其自身的超參數(shù)，還涉及近鄰的超參數(shù)。

由于傳統(tǒng)SBL 算法在實(shí)現(xiàn)每次迭代時(shí)使用矩陣求逆，對(duì)于高維度數(shù)據(jù)復(fù)雜性太高，因此文獻(xiàn)[17]研究了基于高斯廣義近似消息傳遞稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)算法，通過(guò)使用該算法實(shí)現(xiàn)SBL 算法中的期望最大化步驟，顯著降低了計(jì)算復(fù)雜度。近幾年，基于SBL 的各種改進(jìn)算法已經(jīng)在mMTC 多用戶檢測(cè)中被廣泛應(yīng)用[18-22]。

現(xiàn)有SBL 算法都是基于高斯逆伽馬（GIG,Gaussian inverse Gamma）先驗(yàn)?zāi)Ｐ?，沒(méi)有考慮稀疏信號(hào)所對(duì)應(yīng)的支撐集中存在的稀疏性，即稀疏信號(hào)中的元素是稀疏的，那么其所對(duì)應(yīng)的支撐集向量也是稀疏的。因此，為了更好地利用這個(gè)特性，本文提出了一種伯努利高斯逆伽馬（BGIG,Bernoulli Gaussian inverse Gamma）先驗(yàn)?zāi)Ｐ汀Ｔ撓闰?yàn)?zāi)Ｐ褪紫纫肓艘粋€(gè)服從伯努利分布的二元向量作為支撐集向量，通過(guò)SBL 算法進(jìn)行學(xué)習(xí)，促進(jìn)重構(gòu)解的稀疏性。接著，利用信號(hào)在多時(shí)隙場(chǎng)景傳輸中所具備的聯(lián)合稀疏性，通過(guò)共享一個(gè)服從伽馬分布的超參數(shù)來(lái)增強(qiáng)該重構(gòu)性質(zhì)，從而將該模型推廣到了MMV 場(chǎng)景中。最后，在GF-NOMA 系統(tǒng)中多個(gè)時(shí)隙內(nèi)多用戶檢測(cè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文提出的 BGIG-SBL 算法和BGIG-SBL-MMV 算法檢測(cè)性能優(yōu)于現(xiàn)有的GIG-SBL 算法。

1 系統(tǒng)模型

本文考慮了一個(gè)GF-NOMA 的mMTC 多用戶上行鏈路系統(tǒng)，共有一個(gè)基站和K個(gè)用戶（K>100），系統(tǒng)模型如圖1 所示。

圖1 系統(tǒng)模型

每個(gè)用戶配有一根發(fā)送天線且基站配有一根接收天線。系統(tǒng)使用N個(gè)子載波來(lái)傳輸信號(hào)，其中N＜K?；驹诘趎個(gè)子載波上接收到的信號(hào)可以表示為

其中，xk代表第k個(gè)用戶所發(fā)送的符號(hào)；φnk代表長(zhǎng)度為K的擴(kuò)頻序列φk上的第n個(gè)分量；gnk代表用戶所在的第n個(gè)子載波上的信道增益，是一個(gè)具有零均值和單位方差的獨(dú)立同分布復(fù)高斯變量。也就是說(shuō)，本文考慮的是瑞利衰落信道，該模型廣泛應(yīng)用于無(wú)線通信中[23]。vn代表第n個(gè)子載波均值為0、方差為η2的加性白高斯噪聲。

基站合并N個(gè)子載波上的接收信號(hào)，接收信號(hào)向量可以進(jìn)一步表示為

H是一個(gè)大小為N×K的等效信道矩陣，第n行第k列所對(duì)應(yīng)元素hnk=gnk φnk，h·k代表等效信道矩陣H的第k列，hn·代表H的第n行。如果考慮信號(hào)是連續(xù)J個(gè)時(shí)隙發(fā)送，則有

其中，yj代表第j個(gè)時(shí)隙接收到的信號(hào)向量；Hj代表第j個(gè)時(shí)隙的等效信道矩陣，其具體形式是不同時(shí)隙內(nèi)的信道增益gnk(j)乘相同的擴(kuò)頻矩陣φnk；xj代表第j個(gè)時(shí)隙發(fā)送的信號(hào)向量；vj代表第j個(gè)時(shí)隙高斯噪聲向量。本文假設(shè)用戶在發(fā)送多個(gè)時(shí)隙的信號(hào)時(shí)，活躍用戶索引是不變的。這使信號(hào)獲得了聯(lián)合稀疏的先驗(yàn)特征，使用此特征將有助于提升稀疏信號(hào)的重構(gòu)性能[24]。

2 GIG-SBL 算法

2.1 分層貝葉斯模型

先回顧一下傳統(tǒng)的分層貝葉斯模型，其通過(guò)添加GIG 先驗(yàn)?zāi)Ｐ蛠?lái)重構(gòu)稀疏解。

在傳統(tǒng)的分層貝葉斯模型中，似然函數(shù)一般假設(shè)服從高斯分布，即是大小為N×N的單位矩陣。

先驗(yàn)函數(shù)分為兩層，在第一層中，發(fā)送信號(hào)x通常被假設(shè)服從具有零均值的高斯先驗(yàn)分布，即p(x)～ N (0,τ-1)。x的每個(gè)分量xk均采用高斯分布建模，即

其中，τ=[τ1,…,τk],=diag(τ)。

第二層中，假設(shè)超參數(shù)τ服從伽馬分布，即p(τ)～Gamma(a,b)。τ是非負(fù)超參數(shù)，a是形狀參數(shù)，b是尺度參數(shù)。本文把參數(shù)a和b設(shè)為非常小的值，即 10-4。之所以假設(shè)超參數(shù)τ服從伽馬分布，是因?yàn)橘ゑR分布是高斯分布的共軛先驗(yàn)。因此其后驗(yàn)分布和先驗(yàn)分布形式相近，意味著當(dāng)獲得新的數(shù)據(jù)時(shí)能夠直接通過(guò)參數(shù)更新獲得新的后驗(yàn)分布，此后驗(yàn)分布將會(huì)在下次新數(shù)據(jù)到來(lái)的時(shí)候成為新的先驗(yàn)分布。再更新后驗(yàn)分布就不需要通過(guò)大量的計(jì)算，即

假設(shè)噪聲參數(shù)ε也服從伽馬分布，即p(ε)～Gamma(c,d)。設(shè)超參數(shù)c,d=10-4，有

基于GIG 先驗(yàn)的概率圖模型如圖2 所示。

圖2 基于GIG 先驗(yàn)的概率圖模型

2.2 GIG-SBL-SMV 算法

接收端目標(biāo)是根據(jù)單接收信號(hào)向量y恢復(fù)出稀疏信號(hào)x。從圖2 可以看出，y分別由2 個(gè)變量x,ε控制。超參數(shù)τ負(fù)責(zé)控制稀疏信號(hào)x的精度，τ,ε分別取決于超參數(shù)a,b和c,d。

在GIG-SBL-SMV 算法中，接收端的后驗(yàn)概率分布p(x,,)在實(shí)際中往往無(wú)法直接算出?？捎米兎重惾~斯推斷使用另一個(gè)模型分布q(x,τ,ε)近似表示。根據(jù)平均場(chǎng)理論，該分布可以被完全因式分解為相互獨(dú)立變量的后驗(yàn)概率分布，即

這里，在更新一個(gè)變量的同時(shí)，其他變量的最新分布保持固定[18]

對(duì)于向量變量z，其估計(jì)期望值定義為

此時(shí)，稀疏信號(hào)x的更新規(guī)則為[15]

其中，D:=diag()?？梢缘玫絨(x)服從均值為、方差為Φ的高斯分布，即q(x)～ N(,Φ)，更新式如下

另外，精度τ的更新規(guī)則為

其中，σ2代表所求協(xié)方差矩陣Φ中對(duì)應(yīng)的對(duì)角線

進(jìn)一步地，可以得到τ的更新結(jié)果為

最后，噪聲參數(shù)ε的更新規(guī)則為[18]

可以驗(yàn)證出q(ε) 服從伽馬分布，即

因此，可以得到ε的更新結(jié)果為

傳統(tǒng)GIG-SBL-SMV 算法總結(jié)如算法1 所示。

算法1GIG-SBL-SMV 算法

3 BGIG-SBL 算法

現(xiàn)有SBL 算法都是基于上述GIG 先驗(yàn)?zāi)Ｐ瓦M(jìn)行研究的，忽略了稀疏解中所對(duì)應(yīng)的支撐集中存在的稀疏性。本文提出了一種新的基于伯努利高斯逆伽馬的稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)算法，解決稀疏信號(hào)重構(gòu)問(wèn)題。不同于傳統(tǒng)GIG 模型，本文在新先驗(yàn)?zāi)Ｐ椭幸肓瞬闰?yàn)。該先驗(yàn)參數(shù)是一個(gè)二元向量，即其元素為0 或1，可通過(guò)基于分層貝葉斯模型的SBL算法進(jìn)行學(xué)習(xí)。另外，本文利用發(fā)送信號(hào)所具有的聯(lián)合稀疏性先驗(yàn)這一特點(diǎn)，通過(guò)共享一個(gè)控制稀疏度的超參數(shù)來(lái)提升信號(hào)的重構(gòu)性能。

3.1 BGIG-SBL-SMV 算法

在伯努利高斯逆伽馬模型中，稀疏解定義為s?x，其中，s為二進(jìn)制支撐集向量，表示稀疏解中非零元素的位置；x為重構(gòu)稀疏解；?為哈達(dá)瑪積，這里表示2 個(gè)向量中的對(duì)應(yīng)元素相乘。先驗(yàn)參數(shù)s結(jié)合了一個(gè)參數(shù)γ來(lái)決定重構(gòu)稀疏信號(hào)所對(duì)應(yīng)的支持集中存在的稀疏性。

本文假設(shè)向量s中的各個(gè)元素sk服從伯努利分布，即p(sk)～Bernoulli(γk)，以及

向量γ中的各個(gè)元素γk假設(shè)服從貝塔分布，即p(γk)～Beta(α0,β0)。

其中，α0和β0是支撐集向量γ的初始超參數(shù)，文獻(xiàn)[25]證明了為向量s的初始超參數(shù)分配較大的值會(huì)使信號(hào)對(duì)應(yīng)的支撐集中具有更多的連續(xù)性，因此這里將超參數(shù)α0和β0分別設(shè)為1.4 和2。這里選擇伯努利分布和貝塔分布，是因?yàn)閮烧叽嬖谥曹椃植紝傩浴４送?，剩下的參?shù)仍與上文提到的GIG 模型一致，服從相同先驗(yàn)分布，即p(x)～N(0,τ-1),p(τ)～Gamma(a,b),p(ε)～Gamma(c,d)。

本文將這種基于單觀測(cè)向量y的伯努利高斯逆伽馬的稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)算法稱為BGIG-SBL-SMV。本文提出的基于BGIG 先驗(yàn)的概率圖模型如圖3 所示。

圖3 基于BGIG 先驗(yàn)的概率圖模型

由于本文在傳統(tǒng)GIG 模型中加入了一個(gè)支撐集向量s，稀疏解被定義為s?x。因此，盡管2 個(gè)模型中很多參數(shù)的先驗(yàn)分布基本是相同的，但是BGIG-SBL-SMV 中參數(shù)的更新規(guī)則相較于傳統(tǒng)的GIG 模型有所區(qū)別，各個(gè)參數(shù)的更新規(guī)則如下。具體式推導(dǎo)如附錄1 所示。

1) 支撐集向量s的更新規(guī)則為

進(jìn)一步地，可以得到參數(shù)s中第k個(gè)元素sk的更新規(guī)則為

2) 控制支撐集向量s的參數(shù)γ更新規(guī)則為

從而可以得到參數(shù)γ的更新規(guī)則為

3）稀疏信號(hào)x的更新規(guī)則為

其均值和方差分別更新如下

4) 控制稀疏信號(hào)x的精度τ更新規(guī)則為

則參數(shù)τ的更新式為

5) 噪聲參數(shù)ε的更新規(guī)則為

則ε的更新式為

本文提出BGIG-SBL-SMV 算法如算法2 所示。

算法2BGIG-SBL-SMV 算法

3.2 BGIG-SBL-MMV 算法

傳統(tǒng)基于MMV的SBL算法將原來(lái)單個(gè)的觀測(cè)向量y擴(kuò)展出J個(gè)接收時(shí)隙的多個(gè)接收信號(hào)向量[y1,y2,…,yJ]并行處理，而在此過(guò)程中，觀測(cè)矩陣φ依舊是不變的。通過(guò)共享從伽馬分布中提取的公共超參數(shù)τ，與貝葉斯推理相結(jié)合生成了一種新的MSBL 算法[13]。

然而，本文考慮的是實(shí)際mMTC 傳輸場(chǎng)景，即信道狀態(tài)在多個(gè)時(shí)隙內(nèi)是隨機(jī)變化的。而之前mMTC 傳輸場(chǎng)景中基于SBL 的多用戶檢測(cè)算法依舊是假設(shè)信道增益g和擴(kuò)頻矩陣φ在多個(gè)時(shí)隙內(nèi)是不變的，從而也就沒(méi)有對(duì)等效信道矩陣H分時(shí)隙來(lái)考慮[20]。本文的MMV模型與之前的MMV模型不同之處在于，本文考慮了信道增益g在多時(shí)隙發(fā)送時(shí)是隨時(shí)間變化的，這更符合實(shí)際mMTC 無(wú)線通信場(chǎng)景。擴(kuò)頻矩陣φ依舊保持不變，但由于擴(kuò)頻矩陣φ與不同的信道增益gnk(j)相乘，因此等效信道矩陣H劃分成了多個(gè)時(shí)隙[H1,H2,…,HJ]。

本文將提出的BGIG-SBL 算法推廣到上述的MMV 模型中，提出了BGIG-SBL-MMV 算法，來(lái)進(jìn)一步提高稀疏信號(hào)的重構(gòu)性能。在該 MMV模型中，BGIG-SBL-MMV 算法仍假設(shè)各參數(shù)具有與3.1 節(jié)相同的先驗(yàn)分布，即

定義對(duì)于任意向量zj，有標(biāo)量zk,j∈zj,?k=1,2,…,K，zk,j為第j個(gè)向量zj中的第k個(gè)元素，j=1,2,…,J?；贛MV 的BGIG-SBL 先驗(yàn)概率圖模型如圖4 所示。

圖4 基于MMV 的BGIG-SBL 先驗(yàn)概率圖模型

所提BGIG-SBL-MMV 算法各個(gè)參數(shù)的更新規(guī)則如下，具體推導(dǎo)如附錄2 所示。

1) 第j個(gè)時(shí)隙支撐集向量sj的更新規(guī)則為

進(jìn)一步地，可以得到sj中第k個(gè)元素sk,j的更新式為

2) 第j個(gè)時(shí)隙的控制sj的精度參數(shù)γj的更新規(guī)則為

由此得到參數(shù)γj的更新式為

3) 第j個(gè)時(shí)隙的發(fā)送信號(hào)xj的更新規(guī)則為

其均值和方差更新式分別為

4) 給定J個(gè)xj信號(hào)控制精度參數(shù)τ的更新規(guī)則為

從而得到參數(shù)τ的更新式為

其中，是協(xié)方差矩陣Φj中對(duì)應(yīng)的對(duì)角線元素，即=diag(Φj)?？梢钥吹剑瑓?shù)利用J個(gè)不同時(shí)隙的信號(hào)參數(shù)，加強(qiáng)了重構(gòu)解的聯(lián)合稀疏性，而且由于與高斯似然共軛，可以方便地進(jìn)行貝葉斯推理。

5) 第j個(gè)時(shí)隙噪聲參數(shù)εj的更新規(guī)則為

因此，可以得到參數(shù)εj的更新式為

所提BGIG-SBL-MMV 算法如算法3 所示。

算法3所提BGIG-SBL-MMV 算法

4 算法仿真結(jié)果及分析

本節(jié)在一個(gè)GF-NOMA系統(tǒng)中測(cè)試所提方案的性能。與文獻(xiàn)[7,18]相似，本文設(shè)置該多用戶mMTC通信中的總用戶數(shù)K=108，子載波數(shù)N=72，活躍用戶數(shù)M=12，時(shí)隙J=7，采用BPSK 調(diào)制。這里比較不同算法在多時(shí)隙傳輸場(chǎng)景的檢測(cè)性能，指標(biāo)包括誤碼率（BER,bit error rate）、活躍度差錯(cuò)率（AER,activity error rate）、均方誤差（MSE,mean squared error）和歸一化均方誤差（NMSE,normalized mean squared error）。

定義BER 為重構(gòu)信號(hào)后的錯(cuò)誤比特?cái)?shù)與總傳輸比特?cái)?shù)的比值，AER 為估計(jì)的活躍用戶索引出錯(cuò)個(gè)數(shù)與總活躍用戶索引個(gè)數(shù)的比值。MSE 和NMSE分別定義為[10,12]

采用GIG-SBL-SMV 算法[26]和GIG-SBL-MMV算法作為對(duì)比算法，多時(shí)隙傳輸場(chǎng)景下不同SBL 算法在不同信噪比（SNR,signal to noise ratio）下的BER 如圖5 所示。從圖5 可以看出，在SNR=2～8 dB時(shí)，在單測(cè)量向量 SMV 方案下，本文提出BGIG-SBL-SMV的性能優(yōu)于傳統(tǒng)GIG-SBL-SMV約1 dB。這是因?yàn)樗岱桨敢胍粋€(gè)二元伯努利向量來(lái)學(xué)習(xí)活躍用戶索引的信號(hào)稀疏性，提高了稀疏信號(hào)的重構(gòu)性能。從圖5 還可以看出，在多測(cè)量向量MMV 架構(gòu)下，所提BGIG-SBL-MMV 算法相對(duì)于傳統(tǒng)GIG-SBL-MMV 算法有2 dB 的性能增益，同時(shí)比單測(cè)量向量BGIG-SBL-SMV 算法有4 dB 的性能增益。因?yàn)榍罢咴谔幚矶鄠€(gè)時(shí)隙信號(hào)時(shí)，共享了控制稀疏解的超參數(shù)，提高了解的聯(lián)合稀疏性和重構(gòu)性能。

圖5 不同SBL 算法的BER

多時(shí)隙傳輸場(chǎng)景下，不同SBL 算法在不同信噪比下的AER 如圖6 所示。從圖6 可以看出，在相同的AER 時(shí)，所提BGIG-SBL-SMV 算法優(yōu)于傳統(tǒng)的 GIG-SBL-SMV 算法約 1 dB，同時(shí)與所提BGIG-SBL-MMV 相差約2 dB。

圖6 不同SBL 算法的AER

圖7 和圖8 分別展示了不同信噪比下發(fā)送端的原始信號(hào)與接收端檢測(cè)出的信號(hào)之間的MSE與NMSE。從圖中7 和圖8 可以看出，隨著SNR的增加，檢測(cè)出的信號(hào)值與原始發(fā)送信號(hào)值之間的差異會(huì)越來(lái)越小。所提BGIG-SBL-MMV 相較于其他算法具有顯著的性能優(yōu)勢(shì)，具體來(lái)說(shuō)，在MSE 或NMSE 相同時(shí)，其相較于GIG-SBL-MMV有約2 dB 的性能增益，相比BGIG-SBL-SMV 有約4 dB 的性能增益，相較于GIG-SBL-SMV 有約5 dB 的性能增益。這是因?yàn)锽GIG-SBL-MMV 不僅通過(guò)本文提出的二元伯努利向量來(lái)學(xué)習(xí)活躍用戶索引，同時(shí)在處理多時(shí)隙信號(hào)時(shí)，共享控制重構(gòu)稀疏解的超參數(shù)，從而保證了估計(jì)信號(hào)的聯(lián)合稀疏性。

圖7 不同SBL 算法的MSE

圖8 不同SBL 算法的NMSE

不同SBL 算法在不同活躍用戶度Pa下的BER性能如圖9 所示。從圖9 可以看出，當(dāng)SNR=6 dB 時(shí)，所提BGIG-SBL-SMV 算法在Pa較小時(shí)，即Pa<0.2時(shí)，具有良好的檢測(cè)性能。例如，在Pa=0.1 時(shí)，BGIG-SBL-SMV 算法相較于傳統(tǒng)的GIG-SBL-SMV算法檢測(cè)性能更好。但是隨著活躍用戶度的增加，當(dāng)活躍用戶度大于0.2 時(shí)，BGIG-SBL-SMV 算法檢測(cè)性能會(huì)逐漸和傳統(tǒng)的GIG-SBL-SMV 算法持平。這是因?yàn)镾BL 算法本身利用了傳輸信號(hào)的稀疏性，因此其只適用于活躍用戶少的場(chǎng)景，不適合活躍用戶多的場(chǎng)景。而本文提出的BGIG-SBL-MMV 算法在不同活躍用戶度下相較于其他算法依舊維持著較高的性能。比如GIG-SBL-MMV算法在Pa=0.1時(shí)可達(dá)到BER在10-3數(shù)量級(jí)，而B(niǎo)GIG-SBL-MMV 算法在更多活躍用戶下，即Pa=0.15 時(shí)，也達(dá)到相同的BER 性能。

圖9 不同活躍用戶度下的仿真結(jié)果

5 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了一種基于伯努利高斯逆伽馬先驗(yàn)?zāi)Ｐ偷南∈柝惾~斯學(xué)習(xí)算法，通過(guò)引入一個(gè)二元伯努利向量來(lái)學(xué)習(xí)稀疏信號(hào)所對(duì)應(yīng)的支撐集中存在的稀疏性。同時(shí)將BGIG-SBL 算法擴(kuò)展到多測(cè)量向量MMV 模型中，共享了控制稀疏解的超參數(shù)，利用了信號(hào)的聯(lián)合稀疏解特點(diǎn)，進(jìn)一步提升多用戶信號(hào)的重構(gòu)性能。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在mMTC 多用戶檢測(cè)場(chǎng)景中，本文提出的BGIG-SBL-SMV 以及BGIG-SBL-MMV 算法的重構(gòu)性能顯著優(yōu)于現(xiàn)有的GIG-SBL-SMV 和GIG-SBL-MMV 算法。此外，基于MMV 多測(cè)量向量的檢測(cè)方案BGIG-SBL-MMV相對(duì)單測(cè)量向量BGIG-SBL-SMV和GIG-SBL-SMV方案，分別有2 dB 和4 dB 的性能增益，同時(shí)能檢測(cè)更多的活躍用戶。

附錄1 BGIG-SBL 算法各參數(shù)更新規(guī)則推導(dǎo)過(guò)程

1) 支撐集向量s更新規(guī)則式(25)推導(dǎo)如下[25,27]

其中，ψ是伽馬函數(shù)的對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)，即

由于sk是一個(gè)隨機(jī)的二元伯努利變量，因此

2) 支撐集向量s的參數(shù)γ更新規(guī)則式(26)推導(dǎo)如下

可以驗(yàn)證q(γ) 服從貝塔分布，即

3) 稀疏重構(gòu)信號(hào)x的更新規(guī)則式(28)推導(dǎo)如下

可以驗(yàn)證q(x) 服從高斯分布，即

4) 控制稀疏信號(hào)x的精度τ更新規(guī)則式(32)推導(dǎo)如下

可以驗(yàn)證q(τ) 服從伽馬分布，即

5) 噪聲參數(shù)ε的更新規(guī)則式(34)推導(dǎo)如下

由此可以驗(yàn)證q(ε) 服從伽馬分布，即

附錄2 BGIG-SBL-MMV 算法各參數(shù)更新規(guī)則推導(dǎo)過(guò)程

1)sj的更新規(guī)則式(38)推導(dǎo)如下

其中，hnk,j代表第j個(gè)等效信道矩陣Hj中的第n行第k列上的元素，從而有

因?yàn)閟k,j是一個(gè)隨機(jī)的二元伯努利變量，有

由此可以驗(yàn)證

2)γj的更新規(guī)則式(40)推導(dǎo)如下

則可以驗(yàn)證q(γj)～Beta(αj,βj)。

3)xj的更新規(guī)則為

由此，如式(41)，可驗(yàn)證

4)τ的更新規(guī)則式(45)推導(dǎo)如下

通過(guò)推導(dǎo)可得

5)εj的更新規(guī)則式(47)推導(dǎo)如下

由此，可以驗(yàn)證