基于終端角度約束的魚雷滑模制導(dǎo)律

馬雪飛，王 智，宋清華，吳英姿，陶 鵬，師豪杰

（1.哈爾濱工程大學(xué) 信息與通信工程學(xué)院，哈爾濱 150001；2.中國(guó)電子科技集團(tuán)公司第二十八研究所，南京 210007；3.武漢第二船舶設(shè)計(jì)研究所，武漢 430064；4.哈爾濱工程大學(xué) 水聲工程學(xué)院，哈爾濱 150001；5.中國(guó)艦船研究設(shè)計(jì)中心，武漢 430064）

作為現(xiàn)代海洋戰(zhàn)爭(zhēng)中最重要的精確制導(dǎo)武器之一，魚雷已經(jīng)成為各國(guó)海洋軍事力量發(fā)展的重要方向。魚雷制導(dǎo)律將直接影響魚雷命中目標(biāo)精度和毀傷能力，是實(shí)現(xiàn)魚雷精確打擊的關(guān)鍵技術(shù)之一。隨著海戰(zhàn)環(huán)境的日益復(fù)雜和水聲對(duì)抗技術(shù)的不斷發(fā)展，現(xiàn)代海戰(zhàn)中魚雷的突防和攻擊目標(biāo)面臨著越來(lái)越大的挑戰(zhàn)。為了提升魚雷對(duì)目標(biāo)的打擊能力和毀傷效果，需要魚雷以一定的角度命中目標(biāo)，針對(duì)水面艦艇的薄弱部件進(jìn)行打擊，以此提升魚雷的毀傷力度，滿足現(xiàn)代制導(dǎo)武器精確打擊的要求。

自文獻(xiàn)[1]在1973 年首次提出了一種基于落角約束的導(dǎo)引律，將角度約束控制引入制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)之中[1]，具備終端角度約束的制導(dǎo)律經(jīng)過(guò)研究已取得一定的研究成果[2-6]。文獻(xiàn)[7]將最優(yōu)控制理論引入飛行程序設(shè)計(jì)之中[7]。隨著現(xiàn)代控制理論的發(fā)展，滑?？刂埔蚱浞蔷€性特性、快速收斂性和強(qiáng)魯棒性等優(yōu)點(diǎn)被常用于制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)之中[8-15]。文獻(xiàn)[8]基于滑?？刂评碚撎岢隽艘环N切換制導(dǎo)策略滿足撞擊角度和撞擊時(shí)間終端的約束[8]。文獻(xiàn)[9]提出了一種基于時(shí)基發(fā)生器函數(shù)的時(shí)變滑?？刂品椒?，該方法可以保證截獲時(shí)刻視線角收斂到期望值的小鄰域內(nèi)[9]。文獻(xiàn)[10]針對(duì)打擊角度和打擊時(shí)間約束制導(dǎo)問(wèn)題，設(shè)計(jì)一種不需要估計(jì)剩余飛行時(shí)間的非奇異終端滑模尋的制導(dǎo)律[10]。文獻(xiàn)[11]針對(duì)傳統(tǒng)滑模趨近律在末端制導(dǎo)中存在收斂速度慢、消耗時(shí)間長(zhǎng)及抖振現(xiàn)象嚴(yán)重等缺點(diǎn)，提出了一種使用雙冪次趨近律的導(dǎo)彈終端滑模制導(dǎo)方法[11]。文獻(xiàn)[12]和文獻(xiàn)[13]將滑模控制理論與時(shí)間控制約束結(jié)合進(jìn)行研究[12,13]。文獻(xiàn)[14]針對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)攔截過(guò)程中加速度信息難以獲取的實(shí)際問(wèn)題，設(shè)計(jì)了一種基于RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)滑模攔截制導(dǎo)律，有效提高了導(dǎo)彈制導(dǎo)系統(tǒng)的魯棒性能[14]。文獻(xiàn)[15]為實(shí)現(xiàn)對(duì)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的精確打擊，以脫靶量與終端落角為約束條件，提出了一種全局復(fù)合滑模制導(dǎo)律，運(yùn)用飽和函數(shù)取代滑模制導(dǎo)中的符號(hào)函數(shù)削弱了系統(tǒng)抖振[15]。以上制導(dǎo)律的研究均包含落角約束或含時(shí)間和角度約束打擊靜止目標(biāo)或運(yùn)動(dòng)目標(biāo)，但未考慮制導(dǎo)律的抗干擾性和脫靶量的問(wèn)題。

基于上述分析，本文提出一種偏置比例滑模制導(dǎo)律，滿足終端角度約束的同時(shí)具備抗干擾性和較小脫靶量。首先建立魚雷與目標(biāo)的二維平面運(yùn)動(dòng)模型，將滑?？刂婆c偏置比例導(dǎo)引結(jié)合，并基于Lyapunov 函數(shù)穩(wěn)定性理論證明制導(dǎo)律的穩(wěn)定性，最后根據(jù)不同的初始條件進(jìn)行仿真對(duì)比分析，設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律不僅能精確實(shí)現(xiàn)命中目標(biāo)的同時(shí)還具備較小的角度誤差和脫靶量最優(yōu)的優(yōu)點(diǎn)，驗(yàn)證該制導(dǎo)律的可行性和有效性。

1 魚雷與目標(biāo)相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型

為了魚雷能準(zhǔn)確攻擊到目標(biāo)，一般在設(shè)計(jì)制導(dǎo)律時(shí)，只要控制魚雷和目標(biāo)的相對(duì)視線角變化率在末制導(dǎo)結(jié)束之前收斂到零或者零附近，魚雷就能夠成功擊中目標(biāo)。為簡(jiǎn)化研究做如下假設(shè)：

1) 魚雷與目標(biāo)均為質(zhì)點(diǎn)，忽略魚雷與目標(biāo)的形狀、質(zhì)量和環(huán)境干擾。

2) 魚雷與目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)速度大小保持不變。

3) 魚雷的導(dǎo)引和控制系統(tǒng)為理想系統(tǒng)，沒(méi)有響應(yīng)延遲。

4) 只考慮魚雷與目標(biāo)的二維平面運(yùn)動(dòng)。

在二維平面內(nèi)建立魚雷與目標(biāo)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系如圖1 所示。以二維平面作為參考，在該平面內(nèi)以x軸為水平參考線，M表示魚雷，T代表目標(biāo)，R表示魚雷-目標(biāo)之間的相對(duì)距離，q為視線角是魚雷-目標(biāo)之間的相對(duì)視線與水平面之間的夾角，θM表示魚雷的航向角（彈道傾角），θT表示目標(biāo)的航向角，φM、φT分別表示魚雷和目標(biāo)的前置角，aM、aT分別表示魚雷目標(biāo)的法向加速度，VM、VT分別表示魚雷和目標(biāo)的速度。

圖1 魚雷與目標(biāo)相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型Fig.1 Relative motion model between torpedo and target

由圖1 可知，將魚雷和目標(biāo)的速度方向分別沿視線方向及法線方向進(jìn)行分解，其中沿視線分量VMcos（q-θM）指向目標(biāo)，可使相對(duì)距離減??；而分量VTsin（q-θM）背離魚雷，可使相對(duì)距離增大。有：

沿視線法線的分量VTsin（q-θT）使視線繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，可使視線角減??；沿視線法線的分量VMsin（q-θM）使視線繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，可使視線角增大。根據(jù)圖1 有式(2)成立：

由式(1)(2)可得，在二維平面內(nèi)魚雷與目標(biāo)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程為：

2 基于終端角度約束的魚雷滑模制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

2.1 制導(dǎo)律滑模面設(shè)計(jì)

以魚雷法向加速度為制導(dǎo)指令，偏置比例導(dǎo)引律的形式為：

其中，第一項(xiàng)為比例導(dǎo)引的基本形式，滿足在N≥ 2末端制導(dǎo)時(shí)刻保證魚雷命中目標(biāo)，第二項(xiàng)為偏置項(xiàng)，是為了控制魚雷終端角度約束。

通過(guò)式(3)(4)可得：

對(duì)式(5)兩邊在區(qū)間[t1,t2］進(jìn)行積分，可得：

式(6)(7)中，θM2和q2分別為t2時(shí)刻魚雷的航向角和雷目視線角；θM1和q1分別為t1時(shí)刻魚雷的航向角和雷目視線角。

將當(dāng)前時(shí)刻t和終端時(shí)刻tf代入式(7)可得：

其中，θMf為命中目標(biāo)時(shí)魚雷的航向角，qf為終端雷目視線角。為了滿足終端落角約束，希望魚雷航向角滿足θM-θMf→ 0，同時(shí)視線角滿足q-qf→ 0。命中目標(biāo)時(shí)，魚雷前置角為零，即θMf＝qf，因此可得：

因此根據(jù)滑模變結(jié)構(gòu)控制原理和終端條件，滑模面s選取為：

由式(10)可知，當(dāng)s趨近于零時(shí)，魚雷將以期望的攻擊角度θMf擊中目標(biāo)。

2.2 冪次趨近律設(shè)計(jì)

為了保證魚雷所設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律在制導(dǎo)過(guò)程中具備良好的品質(zhì)，需要考慮合適的趨近律來(lái)指定滑模控制切換的策略?？紤]如下冪次趨近律：

其中，k為趨近律系數(shù)，α表示趨近律可調(diào)參數(shù)，通過(guò)改變?chǔ)林悼梢愿淖兿到y(tǒng)的趨近速率，該冪次趨近律滿足系統(tǒng)在趨近切換面時(shí)獲取較大的趨近速率，但遠(yuǎn)離滑模面時(shí)趨近速率較慢，因此需要進(jìn)行冪次趨近律改進(jìn)[11]：

式(12)中，k1,k2為趨近速率系數(shù)，符號(hào)函數(shù)表達(dá)式為：

2.3 滑模制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

根據(jù)所設(shè)計(jì)的切換面和趨近律函數(shù)可得滑模制導(dǎo)律的最終表達(dá)式。對(duì)式(10)進(jìn)行微分可得：

結(jié)合式(3)(12)(14)可得基于終端角度約束的魚雷滑模制導(dǎo)律的表達(dá)形式為：

式(15)中，α是趨近律可調(diào)參數(shù)，N為比例系數(shù)，k1,k2為趨近律系數(shù)。

2.4 穩(wěn)定性分析

滑模動(dòng)態(tài)存在的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

上式表明在切換面s領(lǐng)域內(nèi)，系統(tǒng)將在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)切換面。式(16)也可改寫為全局到達(dá)條件形式：

由式(18)可知，當(dāng)且僅當(dāng)s≠ 0時(shí)，V＞ 0且V˙。由Lyapunov 函數(shù)穩(wěn)定性可知，設(shè)計(jì)的制導(dǎo)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

2.5 消除抖動(dòng)方法

考慮到制導(dǎo)律表達(dá)式(15)中含有符號(hào)函數(shù)sgn(s)，而符號(hào)函數(shù)的不連續(xù)性會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)抖動(dòng)，為了減小或削弱符號(hào)函數(shù)造成的系統(tǒng)抖動(dòng)，可采用飽和函數(shù)或雙曲正切函數(shù)代替符號(hào)函數(shù)，提高系統(tǒng)的抗干擾能力。雙曲正切函數(shù)表達(dá)式：

將式(19)代入式(15)可得消除抖動(dòng)后的魚雷滑模制導(dǎo)律的表達(dá)形式為：

3 仿真結(jié)果及分析

為了驗(yàn)證本文所提出的魚雷終端角度約束的滑模制導(dǎo)律的有效性和可行性，考慮三枚魚雷在平面內(nèi)攻擊一個(gè)目標(biāo)的情形，魚雷剩余時(shí)間估計(jì)采用文獻(xiàn)[16]的方法。

考慮不同場(chǎng)景進(jìn)行驗(yàn)證分析，制導(dǎo)指令中的可調(diào)參數(shù)α取值對(duì)角度約束影響如圖2 所示，隨著α增加，導(dǎo)致魚雷期望攻擊角度約束命中目標(biāo)的時(shí)間增加，并且魚雷的航向角的最大值產(chǎn)生變化，但并未影響以期望角度命中目標(biāo)。因此在后續(xù)的仿真中α取0.5，趨近律系數(shù)，則k1的取值為3，k2的取值為2。

圖2 可調(diào)參數(shù)α 取值對(duì)角度約束影響Fig.2 The influence of adjustable parameter α value on angle constraint

場(chǎng)景一：考慮魚雷初始航向角相同，期望不同的落角約束攻擊靜止目標(biāo)。仿真參數(shù)如表1 所示。

表1 場(chǎng)景一仿真參數(shù)Tab.1 Scene-1 simulation parameters

場(chǎng)景二：考慮魚雷初始航向角不同，期望相同的落角約束攻擊靜止目標(biāo)。仿真參數(shù)如表2 所示。

場(chǎng)景三：考慮魚雷初始航向角相同，期望不同的落角約束攻擊運(yùn)動(dòng)目標(biāo)。仿真參數(shù)如表3 所示。

表3 場(chǎng)景三仿真參數(shù)Tab.3 Scene-3 simulation parameters

場(chǎng)景四：考慮魚雷初始航向角不同，期望相同的落角約束攻擊運(yùn)動(dòng)目標(biāo)。仿真參數(shù)如表4 所示。

表4 場(chǎng)景四仿真參數(shù)Tab.4 Scene-4 simulation parameters

表5 場(chǎng)景五仿真參數(shù)Tab.5 Scene-5 simulation parameters

場(chǎng)景五：與文獻(xiàn)[17]中偏置比例制導(dǎo)律（Biased Proportional Guidance Law,BPNG）和文獻(xiàn)[18]中最優(yōu)制導(dǎo)律（Optimal Guidance Law,OGL）在相同參數(shù)設(shè)置下，對(duì)比仿真分析。將本文設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律（式(15)）稱之為滑模偏置比例制導(dǎo)律（Sliding Mode-Biased Proportional Guidance Law,SM-BPNG），仿真參數(shù)如表 5 所示。

場(chǎng)景六：為了驗(yàn)證制導(dǎo)律的抗干擾性，考慮在式(15)制導(dǎo)律中加入模擬噪聲干擾，仿真參數(shù)如表6 所示。

表6 場(chǎng)景六仿真參數(shù)Tab.6 Scene-6 simulation parameters

圖3 表示場(chǎng)景一的仿真結(jié)果。由圖3(a)和圖3(b)可知，當(dāng)目標(biāo)處于靜止?fàn)顟B(tài)下，三枚魚雷在不同時(shí)刻下命中目標(biāo)。由圖3(c)可知，三枚魚雷按照各自預(yù)定的攻擊角度-60 °、-45 °和0 °完成擊中目標(biāo)的任務(wù)，該制導(dǎo)律可以實(shí)現(xiàn)期望落角約束，保證制導(dǎo)精度。由圖3(d)可知，三枚魚雷的需用法向過(guò)載指令曲線變化較為平穩(wěn)，前半段能充分發(fā)揮魚雷的機(jī)動(dòng)能力，在4.9 s 就趨近于零，且過(guò)載也在可用范圍之類。具體仿真結(jié)果如表7 所示。

表7 仿真結(jié)果Tab.7 Simulated results

圖3 場(chǎng)景一仿真結(jié)果Fig.3 Simulated results of scenario 1

圖4 表示場(chǎng)景二的仿真結(jié)果。由圖4(a)和圖4(b)可知，當(dāng)目標(biāo)處于靜止?fàn)顟B(tài)下，三枚魚雷在不同時(shí)刻下命中目標(biāo)。由圖4(c)可知，三枚魚雷按照各自預(yù)定的攻擊角度-60 °完成擊中目標(biāo)的任務(wù)，該制導(dǎo)律可以實(shí)現(xiàn)在初始航向角不同的情況下實(shí)現(xiàn)期望落角約束，保證了制導(dǎo)精度。由圖4(d)可知，三枚魚雷的需用法向過(guò)載指令曲線變化較為平穩(wěn)，前半段能充分發(fā)揮魚雷的機(jī)動(dòng)能力，在2.1 s 就趨近于零了，法向過(guò)載也在可用范圍之類，保證了魚雷能以期望的攻擊角度擊中目標(biāo)。具體仿真結(jié)果如表8 所示。

表8 仿真結(jié)果Tab.8 Simulated results

圖4 場(chǎng)景二仿真結(jié)果Fig.4 Simulated results of scenario 2

圖5 表示場(chǎng)景三的仿真結(jié)果。由圖5(a)和圖5(b)可知，當(dāng)目標(biāo)處于勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下，三枚魚雷在不同時(shí)刻下命中目標(biāo)。由圖5(c)可知，三枚魚雷按照各自預(yù)定的攻擊角度30 °、-35 °和0 °完成擊中目標(biāo)的任務(wù)，該制導(dǎo)律可以實(shí)現(xiàn)期望落角約束。由圖5(d)可知，三枚魚雷的需用法向過(guò)載指令曲線變化較為平穩(wěn)，前半段能充分發(fā)揮魚雷的機(jī)動(dòng)能力，在7.01 s 就趨近于零了，且過(guò)載也在可用范圍之類。具體仿真結(jié)果如表9 所示。

表9 仿真結(jié)果Tab.9 Simulated results

圖5 場(chǎng)景三仿真結(jié)果Fig.5 Simulated results of scenario 3

圖6 表示場(chǎng)景四的仿真結(jié)果。由圖6(a)和圖6(b)可知，當(dāng)目標(biāo)處于勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下，三枚魚雷在不同時(shí)刻下命中目標(biāo)。由圖6(c)可知，三枚魚雷按照各自預(yù)定的攻擊角度0 °完成擊中目標(biāo)的任務(wù)，該制導(dǎo)律可以實(shí)現(xiàn)期望落角約束。由圖6(d)可知，三枚魚雷的需用法向過(guò)載指令曲線變化較為平穩(wěn)，在26.12s 就趨近于零了，且過(guò)載也在可用范圍之類，該制導(dǎo)指令無(wú)抖動(dòng)現(xiàn)象。具體仿真結(jié)果如表10 所示。

表10 仿真結(jié)果Tab.10 Simulated results

圖6 場(chǎng)景四仿真結(jié)果Fig.6 Simulated results of scenario 4

圖7 表示場(chǎng)景五的對(duì)比仿真結(jié)果。圖7(a)表示三種制導(dǎo)律作用下魚雷的彈道軌跡，其中紅線表示SM-BPNG，藍(lán)線表示BPNG，粉線代表OGL，由圖 7(a)和圖7(b)可知，當(dāng)目標(biāo)處于靜止?fàn)顟B(tài)下，三種制導(dǎo)律作用下的魚雷均能在不同時(shí)刻下命中目標(biāo)。由圖7(c)可知，三種制導(dǎo)律作用下的魚雷按照各自預(yù)定的攻擊角度-60 °完成擊中目標(biāo)的任務(wù)，三種制導(dǎo)律均可以實(shí)現(xiàn)期望落角約束。圖7(d)表示三種制導(dǎo)律作用下的魚雷制導(dǎo)指令曲線，只有SM-BPNG 可以前期充分發(fā)揮魚雷機(jī)動(dòng)能力，在6.5 s 左右趨近于零，該制導(dǎo)指令無(wú)抖動(dòng)現(xiàn)象，充分發(fā)揮了SM-BPNG 的穩(wěn)定性，提高了魚雷的制導(dǎo)精度。綜上所述，本文設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律能滿足落角約束，制導(dǎo)指令無(wú)抖動(dòng)現(xiàn)象，具有良好的制導(dǎo)性能。三種制導(dǎo)律的具體仿真結(jié)果如表11 所示，在三種制導(dǎo)律作用下，本文設(shè)計(jì)的SM-BPNG 脫靶量相對(duì)較小，具備較小脫靶量的優(yōu)點(diǎn)得到驗(yàn)證。

表11 仿真結(jié)果Tab.11 Simulated results

圖7 場(chǎng)景五仿真結(jié)果Fig.7 Simulated results of scenario 5

圖8 表示場(chǎng)景六在制導(dǎo)律式(15)中加入模擬噪聲干擾的仿真結(jié)果。由圖8(a)(b)可知，當(dāng)目標(biāo)處于靜止?fàn)顟B(tài)下，加入噪聲數(shù)值的制導(dǎo)律作用下的魚雷均能在不同時(shí)刻下命中目標(biāo)。由圖8(c)可知，加入模擬噪聲數(shù)值干擾情況下，魚雷均能按照預(yù)期的角度約束30 °、-30 °和0 °完成約束要求命中目標(biāo)。圖8(d)為魚雷制導(dǎo)指令曲線，所設(shè)計(jì)的滑模制導(dǎo)律在初始時(shí)刻能獲取更高的法向加速度，在噪聲干擾下的落角誤差小于0.5 °，前期充分發(fā)揮魚雷機(jī)動(dòng)能力，在6.25 s 左右趨近于零，該制導(dǎo)指令并無(wú)抖動(dòng)現(xiàn)象，充分發(fā)揮了SM-BPNG 的穩(wěn)定性，提高了魚雷的制導(dǎo)精度，制導(dǎo)指令曲線在末端時(shí)刻能快速收斂為零。具體仿真結(jié)果如表12 所示，在添加噪聲的情況下該制導(dǎo)律的抗干擾性及穩(wěn)定性得到了驗(yàn)證。

表12 仿真結(jié)果Tab.12 Simulated results

圖8 場(chǎng)景六仿真結(jié)果Fig.8 Simulated results of scenario 6

4 結(jié)論

本文對(duì)終端角度約束的魚雷打擊目標(biāo)問(wèn)題進(jìn)行了研究，首先建立魚雷與目標(biāo)的二維平面運(yùn)動(dòng)模型，推導(dǎo)了基于偏置比例導(dǎo)引的滑模制導(dǎo)律，并驗(yàn)證Lyapunov 函數(shù)的穩(wěn)定性，最后根據(jù)不同的初始條件進(jìn)行不同場(chǎng)景的仿真分析。仿真結(jié)果表明，在靜止或運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下，設(shè)計(jì)的滑模制導(dǎo)律能以期望的終端角度約束精確命中目標(biāo)的同時(shí)，保持彈道曲線比較平滑，脫靶量均小于1 m，在噪聲干擾數(shù)值下落角約束誤差小于0.4 °，制導(dǎo)指令在合理范圍內(nèi)快速收斂等優(yōu)點(diǎn)，因此設(shè)計(jì)的滑模制導(dǎo)律具有良好的工程應(yīng)用價(jià)值。

未來(lái)研究的重點(diǎn)是開展帶角度約束的魚雷時(shí)間協(xié)同制導(dǎo)律的研究，結(jié)合現(xiàn)代控制理論將魚雷攻擊時(shí)間和攻擊角度約束結(jié)合完成雙重約束協(xié)同制導(dǎo)。