一種有視線角約束的模糊變系數(shù)變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律 *

敦曉彪 ，張新博 ，尹童 ，蔡婧竹 ，李宏宇 ，于成龍 ，宿敬亞

（1.北京電子工程總體研究所，北京 100854；2.中國久遠(yuǎn)高新技術(shù)裝備公司，北京 100094）

0 引言

受攔截導(dǎo)彈體制的限制，在攔截目標(biāo)時(shí)需要保持一定的視線角以跟蹤目標(biāo)［1-2］，而當(dāng)目標(biāo)高速飛行并且具有一定機(jī)動(dòng)能力時(shí)，攔截制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)就是需要重點(diǎn)關(guān)注的問題。滑模變結(jié)構(gòu)控制因其良好的魯棒性、降階性且易于工程實(shí)現(xiàn)而被大量運(yùn)用到攔截制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)中［3-5］。滑模變結(jié)構(gòu)具有諸多優(yōu)點(diǎn)的同時(shí)，其自身的抖振問題也是必須要面臨的。在變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)中，很重要的一部分內(nèi)容是趨近率的設(shè)計(jì)，而各種趨近率中都包含大量設(shè)計(jì)參數(shù)。目前關(guān)于這類參數(shù)的選取大都依據(jù)工程經(jīng)驗(yàn)，并沒有明確和最優(yōu)的解決方案。模糊控制直接采用語言控制規(guī)則，且不需要被控對(duì)象的精確數(shù)學(xué)模型，可以應(yīng)用于此類參數(shù)設(shè)計(jì)問題［6-11］。

李士勇等［12］將目標(biāo)的機(jī)動(dòng)加速度視為外界干擾，設(shè)計(jì)了攔截機(jī)動(dòng)目標(biāo)的自適應(yīng)模糊制導(dǎo)律，但是它不能保證視線角速率有限時(shí)間收斂。張旭等［13］針對(duì)攔截高速機(jī)動(dòng)目標(biāo)的需求，提出了一種新型變論域伸縮因子，設(shè)計(jì)了基于新型伸縮因子的變論域模糊自適應(yīng)滑模有限時(shí)間收斂制導(dǎo)律。李紅霞等［14］設(shè)計(jì)了一種解析描述的模糊導(dǎo)引律，模糊控制器的規(guī)則用一個(gè)帶修正因子的解析表達(dá)式描述，利用Lyapunov 穩(wěn)定理論設(shè)計(jì)自適應(yīng)變化律和變結(jié)構(gòu)附加控制項(xiàng)，可以保證彈目視線角變化率趨于零。

本文主要通過變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律設(shè)計(jì)滿足視線角和制導(dǎo)約束，通過模糊控制方法對(duì)變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律中的參數(shù)進(jìn)行設(shè)計(jì)，從而達(dá)到減小脫靶量，降低需用過載的目的，進(jìn)一步達(dá)到能量管理的需求。

1 有視線角約束的滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律

1.1 攔截模型建立

建立彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型，采用如下假設(shè)：

（1） 導(dǎo)彈和目標(biāo)均視為質(zhì)點(diǎn)；

（2） 在攔截過程中，各自的加速度只改變速度方向，即加速度方向和速度方向垂直；

（3） 導(dǎo)彈、目標(biāo)運(yùn)動(dòng)關(guān)系可以分解在縱向和水平2 個(gè)相互正交的平面內(nèi)。

在縱向平面內(nèi)建立非線性彈目運(yùn)動(dòng)關(guān)系，彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系如圖1 所示。

圖1 平面內(nèi)交會(huì)幾何Fig.1 Planar engagement geometry

圖1 中，vM，aM，θM分別為攔截彈的速度、法向加速度、彈道傾角；vT，aT，θT分別為目標(biāo)的速度、法向加速度、彈道傾角；q為彈目視線角；R為彈目相對(duì)距離，有

式中：?M=θM-q，?T=θT+q分別為導(dǎo)彈和目標(biāo)速度與視線的夾角。

對(duì)式（1）中第2 個(gè)方程求導(dǎo)，有

選取狀態(tài)變量x1=q，x2=，控制量為u=aM，則導(dǎo)彈與目標(biāo)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)方程為

1.2 有視線角約束的變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

針對(duì)有視線角約束的制導(dǎo)問題，滑模面應(yīng)包含兩部分信息：一是視線角速率信息，滿足= 0 才能保證命中；二是期望末端視線角信息。故滑模面可選為

式中：q*為期望視線角；kq為視線角權(quán)系數(shù)，為視線角與期望值之差的增益系數(shù)，表征在滑模面中，就是視線角約束相對(duì)于視線角速率的權(quán)重。

分析kq取值對(duì)于最終攔截效果的影響。kq取值越大，表明希望更快地收斂到視線角約束q*，但同時(shí)會(huì)使軌跡曲率增大，視線角速率收斂較快；而kq取值較小，可以保證以小視線角速率收斂，同時(shí)會(huì)延長q趨近于q*的時(shí)間。當(dāng)目標(biāo)高速機(jī)動(dòng)時(shí)，要求制導(dǎo)律在有限時(shí)間內(nèi)收斂。為避免視線角約束的加入對(duì)視線角的收斂造成過大影響，kq可以取0.5～2。

選取如下自適應(yīng)趨近律：

式中：ε1為正常數(shù)，其取值和目標(biāo)機(jī)動(dòng)及外界干擾值相關(guān)；k1為導(dǎo)引系數(shù)，其作用可以類比于比例導(dǎo)引中的導(dǎo)航比，k1取值越大，則制導(dǎo)律達(dá)到滑模態(tài)的速率越快，同時(shí)也會(huì)帶來較大的需用過載。在趨近律中引入R和，那么滑模的趨近速度就是根據(jù)彈目距離R自適應(yīng)的。當(dāng)彈目距離越近，R越小時(shí)，趨近速率越大，當(dāng)R(t) →0 時(shí)，趨近速率則迅速上升以防止發(fā)散。

將式（4）代入式（5）中，并結(jié)合式（2）有

將式（6）與式（5）聯(lián)立，解得

采用如下飽和函數(shù)來代替符號(hào)項(xiàng)以消除抖振

則制導(dǎo)律簡化為

選取Lyapunov 函數(shù)，易證系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的［15］。

1.3 變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律仿真分析

1.3.1 非機(jī)動(dòng)目標(biāo)

首先，仿真分析變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律在不同視線角約束條件下，攔截非機(jī)動(dòng)目標(biāo)的性能。導(dǎo)彈與目標(biāo)初始條件設(shè)置如下：vM= 1 300 m/s，vT= 1 500 m/s，目標(biāo)初始位置xT= 220 km，yT= 50 km，目標(biāo)初始彈道傾角θT= -5°，視線角約束分別為q*= (5°，10°，15°)]，制 導(dǎo) 律 參 數(shù) 選 擇kq= 0.8，k1= 4，ε1= 30，δ= 0.001。彈道仿真結(jié)果如圖2 所示，脫靶量如表1 所示。

表1 視線角約束不同的脫靶量對(duì)比Table 1 Comparison of miss distance with different LOS angle constraints

圖2 視線角約束不同的彈道Fig.2 Trajectories with different LOS angle constraint

從圖2 中可以看到，目標(biāo)不作機(jī)動(dòng)時(shí)，不同視線角約束下，彈道呈現(xiàn)明顯的不同形狀。在攔截初段，攔截彈以較大過載趨近于滑模面，而后保持在滑模面運(yùn)動(dòng)以接近直線彈道攔截目標(biāo)。

觀察表1 中視線角約束不同條件下，脫靶量都在要求范圍內(nèi)，滿足制導(dǎo)需求。

1.3.2 機(jī)動(dòng)目標(biāo)

仿真分析變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律攔截機(jī)動(dòng)目標(biāo)的性能，考慮方波機(jī)動(dòng)目標(biāo)，目標(biāo)加速度大小為±50 m/s2，目標(biāo)加速度如圖3 所示。

圖3 目標(biāo)加速度Fig.3 Target acceleration

（1） 不同視線角約束條件下的性能

和非機(jī)動(dòng)目標(biāo)類似，首先驗(yàn)證制導(dǎo)律在不同視線角約束條件下的性能，仿真初始條件設(shè)置如下：vM= 13 00 m/s，vT= 1 500 m/s，目 標(biāo) 初 始 位 置xT=200 km，yT= 50 km，目標(biāo)初始彈道傾角θT= -5°，視線角約束分別為q*= (5°，10°，15°)，制導(dǎo)律中參數(shù)為kq= 0.8，k1= 3，ε1= 30，δ= 0.001。攔截彈道結(jié)果如圖4 所示，脫靶量結(jié)果如表2 所示。

表2 視線角約束不同時(shí)的脫靶量對(duì)比Table 2 Comparison of miss distance with different LOS angle constrains

圖4 視線角約束不同時(shí)的彈道Fig.4 Trajectories of different LOS angle constraints

觀察圖4 中的攔截彈道，由于目標(biāo)作方波機(jī)動(dòng)，故目標(biāo)彈道呈現(xiàn)出明顯的起伏，而攔截制導(dǎo)律是使視線角保持不變，所以攔截彈道同樣呈現(xiàn)出明顯的起伏。視線角約束不同，攔截彈道從初始時(shí)刻就表現(xiàn)出巨大的差別，并且由于目標(biāo)始終在機(jī)動(dòng)，所以攔截彈道并沒有平直過程，也始終保持機(jī)動(dòng)狀態(tài)。

從表2 中的脫靶量結(jié)果來看，在不同視線角約束條件下，制導(dǎo)律都能滿足攔截需求。視線角和視線角速率變化曲線如圖5，6 所示。

圖5 視線角變化曲線Fig.5 Variation of LOS angle with different LOS angle constraints

觀察圖5 中視線角變化曲線，制導(dǎo)系統(tǒng)較快地滿足視線角約束需求，之后雖然目標(biāo)在作大幅度機(jī)動(dòng)，制導(dǎo)系統(tǒng)幾乎可以保持視線角穩(wěn)定，呈現(xiàn)出了良好的品質(zhì)。觀察圖6 中視線角速率變化曲線，前期數(shù)值較大，以使系統(tǒng)快速進(jìn)入滑模面，之后產(chǎn)生小幅度變化以補(bǔ)償目標(biāo)機(jī)動(dòng)帶來的視線角變化。對(duì)比兩圖可以發(fā)現(xiàn)，由于目標(biāo)機(jī)動(dòng)的存在，視線角速率收斂速度比視線角慢。

圖6 視線角速率變化曲線Fig.6 Variation of LOS angle rate with different LOS angle constraints

從表3 中可以易見，視線角誤差并沒有隨著視線角約束的變化而變化，表明制導(dǎo)律在不同約束條件下，都很好地滿足了約束條件。

表3 視線角約束不同時(shí)視線角誤差對(duì)比Table 3 Comparison of LOS angle errors with different LOS angle constraints （°）

（2） 不同視線角權(quán)系數(shù)的影響

討論在目標(biāo)機(jī)動(dòng)的條件下，視線角權(quán)系數(shù)kq取值不同對(duì)制導(dǎo)律性能的影響。目標(biāo)機(jī)動(dòng)模式和仿真初始條件設(shè)置保持不變，制導(dǎo)律中參數(shù)設(shè)置為ε1= 30，δ= 0.001。彈道仿真結(jié)果如圖7 所示，脫靶量結(jié)果如表4 所示。

表4 視線角權(quán)系數(shù)不同的脫靶量對(duì)比Table 4 Comparison of miss distance with LOS angle weight coefficients

圖7 視線角權(quán)系數(shù)不同時(shí)的彈道Fig.7 Trajectories with different LOS angle weight coefficients

從圖7 中的攔截彈道分布可以看到，視線角權(quán)系數(shù)kq取值不同對(duì)攔截彈道影響較小，整個(gè)彈道的形式和趨勢(shì)幾乎是相同的。根據(jù)前面的分析可知，系統(tǒng)會(huì)迅速趨近于滑模面，而后保持在滑模面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，因此在攔截彈道前段，kq取值不同對(duì)攔截彈道影響較大，在滿足視線角約束后kq取值對(duì)攔截彈道幾乎沒有影響。

從脫靶量的結(jié)果來看，kq取值增大后，脫靶量也略增大。但綜合來看，脫靶量均滿足制導(dǎo)需求。視線角結(jié)果如表5 所示。

表5 視線角權(quán)系數(shù)不同時(shí)的視線角誤差對(duì)比Table 5 Comparison of LOS angle errors with different LOS angle weight coefficients

在攔截機(jī)動(dòng)目標(biāo)的場(chǎng)景中，視線角權(quán)系數(shù)kq對(duì)視線角結(jié)果的影響十分明顯。kq取值越大，視線角誤差越小。

（3） 不同導(dǎo)引系數(shù)的影響

仿真分析在攔截機(jī)動(dòng)目標(biāo)場(chǎng)景下，導(dǎo)引系數(shù)k1對(duì)攔截制導(dǎo)律性能的影響，仿真初始條件設(shè)置不變，視線角權(quán)系數(shù)取kq= 0.7，設(shè)置導(dǎo)引系數(shù)k1=(2，4，6)，其余參數(shù)設(shè)置為ε1= 30，δ= 0.001。仿真得到攔截彈道結(jié)果如圖8 所示，脫靶量結(jié)果如表6所示。

表6 導(dǎo)引系數(shù)不同的脫靶量對(duì)比Table 6 Comparison of miss distance with different guidance coefficients

圖8 導(dǎo)引系數(shù)不同時(shí)的彈道Fig.8 Trajectories with different guidance coefficients

從圖8 中可以看到，攔截彈道在初段區(qū)別較大，在末段3 條彈道基本重合。從脫靶量結(jié)果來看，導(dǎo)引系數(shù)的變化對(duì)脫靶量的影響不大，取值不同均可以滿足制導(dǎo)律需求。

視線角和視線角變化率如圖9，10 所示，視線角結(jié)果如表7 所示。

表7 導(dǎo)引系數(shù)不同時(shí)視線角誤差對(duì)比Table 7 Comparison of LOS angle errors with different guidance coefficients （°）

圖9 導(dǎo)引系數(shù)不同視線角變化曲線Fig.9 Variation of LOS angle with different guidance coefficients

從圖9 中看出，k1取值越大，視線角趨近于約束視線角的速度越快。觀察圖10 易見，k1取值越大視線角速率幅值越大，也越早趨近于0，表明k1決定了制導(dǎo)系統(tǒng)進(jìn)入滑模面的速度，而在系統(tǒng)達(dá)到滑模面后，k1的取值對(duì)彈道的影響作用下降。同時(shí)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)目標(biāo)出現(xiàn)機(jī)動(dòng)時(shí)，k1取值越大視線角速率變化越明顯，也就是說k1越大，制導(dǎo)律對(duì)目標(biāo)機(jī)動(dòng)越敏感。

圖10 導(dǎo)引系數(shù)不同視線角速率變化曲線Fig.10 Variation of LOS angle rate with different guidance coefficients

從視線角結(jié)果來看，k1取值越大視線角誤差越小，因?yàn)閗1取值越大，制導(dǎo)律對(duì)于目標(biāo)的機(jī)動(dòng)越敏感，因此可以更好地滿足視線角約束。

給出制導(dǎo)律的控制指令和切換函數(shù)變化曲線，如圖11，12 所示。

圖11 控制指令變化曲線Fig.11 Variation of control command

從圖11 中可以看到，由于在制導(dǎo)律設(shè)計(jì)中沒有對(duì)控制指令幅值限制，在攔截初期的需用過載超過了100，遠(yuǎn)大于可用過載，且導(dǎo)引系數(shù)k1對(duì)控制指令的影響極大。這是因?yàn)樵趯?dǎo)引初段，由于目標(biāo)和攔截彈的速度較大，導(dǎo)致|R|較大，且導(dǎo)引初段制導(dǎo)系統(tǒng)希望迅速進(jìn)入滑模面，變結(jié)構(gòu)項(xiàng)的控制量也較大，二者聯(lián)合作用導(dǎo)致需用過載較大。

將系統(tǒng)進(jìn)入滑模面后的控制指令放大，結(jié)果如圖13 所示。

圖13 控制指令變化曲線Fig.13 Variation of control command

根據(jù)前文對(duì)制導(dǎo)律中參數(shù)的分析可知，導(dǎo)引系數(shù)k1很大程度上決定著系統(tǒng)進(jìn)入滑模面的速度和時(shí)間。在進(jìn)入滑模面后，較大的導(dǎo)引系數(shù)k1會(huì)對(duì)目標(biāo)機(jī)動(dòng)過于敏感從而產(chǎn)生較大的控制指令，甚至產(chǎn)生超調(diào)。現(xiàn)有制導(dǎo)律中，一般導(dǎo)引系數(shù)k1選取常值，在本制導(dǎo)律設(shè)計(jì)場(chǎng)景下，考慮采用變導(dǎo)引系數(shù)的方法來解決上述問題。而變系數(shù)策略沒有絕對(duì)的最優(yōu)解，考慮用模糊控制來對(duì)導(dǎo)引系數(shù)k1進(jìn)行設(shè)計(jì)。

2 模糊變系數(shù)變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律

2.1 模糊變系數(shù)變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

運(yùn)用模糊控制器設(shè)計(jì)導(dǎo)引系數(shù)k1的值。定義模糊的輸入變量為彈目相對(duì)距離R，輸出變量為導(dǎo)引系數(shù)k1。

首先將輸入變量模糊化，由于R＞0，定義語言輸入變量為R*，定義模糊子集為{0，1，2，3，4，5，6}，那么相應(yīng)地選擇量化因子為

式中：R0為彈目初始距離。

定 義 輸 入 語 言 變 量 論 域 為{ST，MS，ME，ML，LA}，分別代表短、較短、中、較長、長。相應(yīng)地，定義模糊化輸入變量R*的隸屬函數(shù)，如圖14 所示。

圖14 輸入變量隸屬度函數(shù)Fig.14 Membership functions describing for input

將輸出變量模糊化，導(dǎo)引系數(shù)k1取值一般為2～6，定義語言輸出變量為χ，定義模糊子集為{2，3，4，5，6}，相應(yīng)地取比例因子為Ku= 1。定義和輸入變量相同的論域，{ST，MS，ME，ML，LA}，分別代表短、較短、中、較長、長。輸出隸屬函數(shù)如圖15所示。

圖15 輸出隸屬度函數(shù)Fig.15 Membership functions describing for output

根據(jù)1.3.2 節(jié)的仿真結(jié)果，有如下經(jīng)驗(yàn)：

（1） 導(dǎo)引系數(shù)k1取值越大，制導(dǎo)系統(tǒng)趨近滑模面的速率越快，q收斂到0 的時(shí)間越短 。

（2） 導(dǎo)引系數(shù)k1取值越大，初始時(shí)的制導(dǎo)指令越大。

（3） 在進(jìn)入滑模面后，導(dǎo)引系數(shù)k1取值越大，制導(dǎo)律對(duì)目標(biāo)機(jī)動(dòng)越敏感，更容易出現(xiàn)超調(diào)現(xiàn)象。

基于以上經(jīng)驗(yàn)，設(shè)計(jì)模糊規(guī)則如下：如果R為ST，則k1為ST；如果R為MS，則k1為MS；如果R為ME，則k1為ME；如果R為ML，則k1為ML；如果R為LA，則k1為LA。

根據(jù)上述規(guī)則，得到模糊化后的輸入與輸出關(guān)系，結(jié)果如圖16 所示。

圖16 模糊關(guān)系Fig.16 Fuzzy relationship

將得到的模糊輸出量代入式（9）中，得到模糊變系數(shù)變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律，有

模糊變系數(shù)變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律中，ε1取值依然需要大于目標(biāo)機(jī)動(dòng)項(xiàng)f以保證制導(dǎo)系統(tǒng)的穩(wěn)定，為削弱系統(tǒng)抖動(dòng)，取δ= 0.001，下面仿真分析提出的制導(dǎo)律的性能。

2.2 模糊變系數(shù)變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律仿真分析

仿真場(chǎng)景選為攔截機(jī)動(dòng)目標(biāo)，仿真初始條件設(shè)置為：目標(biāo)初始位置xT= 200 km，yT= 50 km，目標(biāo)初始彈道傾角θT= -5°，視線角約束為q*= 10°，制導(dǎo)律參數(shù)選擇kq= 0.7。彈道仿真結(jié)果如圖17 所示，脫靶量和視線角結(jié)果如表8 所示。

表8 視線角誤差對(duì)比Table 8 Comparison of LOS angle errors

圖17 攔截彈道對(duì)比Fig.17 Comparison of intercept trajectories

從圖17 中可以看到，2 種制導(dǎo)律在彈道上的區(qū)別主要體現(xiàn)在攔截前段。從表8 中脫靶量的結(jié)果可以看到，引入模糊邏輯后脫靶量略有減小。

視線角變化和視線角速率變化曲線如圖18，19所示?？梢钥闯?，模糊變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律趨向于滑模面的速率更快，且進(jìn)入滑模面后的運(yùn)動(dòng)更為穩(wěn)定。從表8 中可以看出，模糊變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律的視線角誤差稍大1%。

圖18 視線角變化對(duì)比Fig.18 Comparison of LOS angle

圖19 視線角速率變化對(duì)比Fig.19 Comparison of LOS angle rate

控制指令的結(jié)果如圖20 所示，可以看到模糊變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律的控制指令明顯更小，且制導(dǎo)系統(tǒng)進(jìn)入滑模面后的指令也更小。

圖20 控制指令變化曲線Fig.20 Variation of control command

3 結(jié)束語

本文應(yīng)用變結(jié)構(gòu)控制設(shè)計(jì)了一種攔截高速機(jī)動(dòng)目標(biāo)滿足視線角約束的自適應(yīng)變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律，并提出了一種消除抖振的方法。通過仿真分析了制導(dǎo)律中不同參數(shù)對(duì)制導(dǎo)律性能的影響，在攔截方波機(jī)動(dòng)目標(biāo)的場(chǎng)景下，仿真驗(yàn)證了不同視線角約束下，制導(dǎo)律均可以完成攔截滿足要求，但需用過載較大。對(duì)于變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律中導(dǎo)引系數(shù)為常值帶來的一系列問題，設(shè)計(jì)了一種模糊變系數(shù)變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律，并通過仿真驗(yàn)證了提出的制導(dǎo)律在保證攔截效果不變的情況下可以有效降低需用過載。