車載慣導(dǎo)大傾角導(dǎo)航姿態(tài)誤差的理論分析 *

彭惠，余勝義，王盛，李先慕，慕德

（北京航天發(fā)射技術(shù)研究所，北京 100076）

0 引言

車載慣導(dǎo)為系統(tǒng)車輛提供定向定位及授時(shí)等功能［1］，傳統(tǒng)對(duì)車載慣導(dǎo)的使用方式多為將車載慣導(dǎo)安裝在車大梁上，慣導(dǎo)測(cè)量的方位角等導(dǎo)航信息經(jīng)安裝誤差標(biāo)定后傳遞給系統(tǒng)使用［2］，車載慣導(dǎo)的俯仰角和橫滾角為小角度，工作在小傾角（車載慣導(dǎo)工作傾角一般為5°以內(nèi)）工作狀態(tài)。然而隨著作戰(zhàn)方式多樣化以及系統(tǒng)精度的不斷提升［3-4］，有些系統(tǒng)直接將慣導(dǎo)安裝在雷達(dá)陣面或者發(fā)射架上使用以減少中間的傳遞誤差［5-6］，在這種工作狀態(tài)下，車載慣導(dǎo)的俯仰角或橫滾角一般較大，車載慣導(dǎo)處于大傾角工作狀態(tài)［7］。

在某次車載慣導(dǎo)大傾角試驗(yàn)中，慣導(dǎo)隨轉(zhuǎn)臺(tái)旋轉(zhuǎn)時(shí)，導(dǎo)航輸出方位角、橫滾角誤差比慣導(dǎo)小傾角時(shí)明顯增大，超出了誤差允許范圍。本文識(shí)別出車載慣導(dǎo)大傾角工作狀態(tài)時(shí)，作為比對(duì)基準(zhǔn)的轉(zhuǎn)臺(tái)方位軸的不鉛垂度是慣導(dǎo)導(dǎo)航誤差的誤差源，對(duì)其進(jìn)行了理論推導(dǎo)及試驗(yàn)驗(yàn)證，推導(dǎo)出導(dǎo)航姿態(tài)誤差與慣導(dǎo)俯仰角及轉(zhuǎn)臺(tái)不鉛垂度的關(guān)系公式，為車載慣導(dǎo)大傾角下的使用提供理論參考。

1 慣導(dǎo)姿態(tài)角及姿態(tài)誤差

車載慣導(dǎo)方位角、橫滾角及俯仰角的示意如圖1 所示。

慣導(dǎo)縱軸（y軸）在水平面的投影與北向的夾角為方位角ψ；慣導(dǎo)y軸與其水平面投影間的夾角為俯仰角α；慣導(dǎo)橫軸（x軸）與其水平面投影間的夾角為橫滾角β。以東北天坐標(biāo)系為導(dǎo)航坐標(biāo)系（n 系），用Oxnynzn表示［8-9］；以右前上坐標(biāo)系為載體坐標(biāo)系（b 系），用Oxbybzb表示。n 系經(jīng)過3 次旋轉(zhuǎn)到b 系，即繞z軸轉(zhuǎn)航向角-ψ（ψ北偏東為正），繞x軸轉(zhuǎn)俯仰角α，繞y軸轉(zhuǎn)橫滾角β，旋轉(zhuǎn)獲得的姿態(tài)矩陣Cnb表征了姿態(tài)角的相對(duì)關(guān)系［10］：

根據(jù)車載慣導(dǎo)的應(yīng)用情況［11-12］，約束方位角取值范圍為0～360°，俯仰角和橫滾角范圍為-90°～+90°，車載慣導(dǎo)獲得姿態(tài)矩陣后根據(jù)式（2）求解出姿態(tài)角后上傳給整車系統(tǒng)使用。

車載慣導(dǎo)的姿態(tài)角誤差方程［13-14］為

式中：Φ為慣導(dǎo)姿態(tài)角矢量為導(dǎo)航系（n）相對(duì)于慣性系（i）的角速率在導(dǎo)航系的投影；[δKG]為陀螺的刻度系數(shù)誤差矩陣；[δG]為陀螺安裝誤差角矩陣；εn為陀螺零偏在導(dǎo)航系的投影［15］；為載體系（b）相對(duì)于慣性系（i）的角速率在載體系的投影。由式（3）可看出，導(dǎo)航姿態(tài)誤差主要與安裝誤差、刻度系數(shù)誤差以及陀螺零偏有關(guān)。

車載慣導(dǎo)安裝在轉(zhuǎn)臺(tái)上，慣導(dǎo)天向軸與轉(zhuǎn)臺(tái)方位軸基本重合，慣導(dǎo)在經(jīng)過系統(tǒng)誤差標(biāo)定［16-17］后，陀螺刻度系數(shù)誤差、安裝誤差帶來的導(dǎo)航姿態(tài)誤差可忽略［18］。車載慣導(dǎo)隨轉(zhuǎn)臺(tái)繞方位軸旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)臺(tái)旋轉(zhuǎn)角速度為60 （°）/s，旋轉(zhuǎn)一周的時(shí)間不大于6 s，因此忽略陀螺零偏帶來的導(dǎo)航姿態(tài)誤差，在此基礎(chǔ)上分析慣導(dǎo)大傾角時(shí)與轉(zhuǎn)臺(tái)不鉛垂度相關(guān)的導(dǎo)航姿態(tài)誤差。

2 大傾角導(dǎo)航姿態(tài)誤差分析

2.1 大傾角導(dǎo)航方位角誤差分析

車載慣導(dǎo)安裝在轉(zhuǎn)臺(tái)上相對(duì)于水平面的俯仰角為α，橫滾角為β，其隨轉(zhuǎn)臺(tái)方位軸旋轉(zhuǎn)角度?，轉(zhuǎn)臺(tái)方位軸相對(duì)于水平面不鉛垂，設(shè)轉(zhuǎn)臺(tái)相對(duì)于水平面存在繞y軸傾斜為Δγ，繞x軸傾斜為Δθ，車載慣導(dǎo)由初始方位的姿態(tài)矩陣導(dǎo)航到另一方位的姿態(tài)矩陣為之間滿足關(guān)系：

式中：

由式（8）可見，當(dāng)轉(zhuǎn)臺(tái)方位軸鉛垂時(shí)，車載慣導(dǎo)在導(dǎo)航狀態(tài)下隨轉(zhuǎn)臺(tái)方位軸旋轉(zhuǎn)角度?時(shí)，導(dǎo)航方位角ψ*無誤差。但當(dāng)存在轉(zhuǎn)臺(tái)方位軸不鉛垂時(shí)，即Δγ≠0°，Δθ≠0°，為方便分析，令初始時(shí)方位角為ψ= 0°，導(dǎo)航方位角度為?*，理論值為?，則有

根據(jù)泰勒展開公式，式（10）左側(cè)滿足：

根據(jù)式（9）～（11）可得

通過式（12）可見，轉(zhuǎn)臺(tái)不鉛垂度對(duì)車載慣導(dǎo)導(dǎo)航方位角的影響只在大俯仰角工作狀態(tài)下存在。慣導(dǎo)隨著轉(zhuǎn)臺(tái)旋轉(zhuǎn)時(shí)導(dǎo)航方位角誤差與慣導(dǎo)俯仰角呈tanα的關(guān)系；轉(zhuǎn)臺(tái)的不鉛垂度一定時(shí)，俯仰角度越大，導(dǎo)航方位角誤差越大；車載慣導(dǎo)工作在小傾角時(shí)轉(zhuǎn)臺(tái)不鉛垂度的影響可忽略；車載慣導(dǎo)的導(dǎo)航方位角誤差與慣導(dǎo)橫滾角大小無關(guān)。導(dǎo)航方位角誤差呈現(xiàn)360°周期規(guī)律，即轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)整圈（360°的整數(shù)倍）時(shí)，導(dǎo)航方位角誤差與轉(zhuǎn)動(dòng)開始時(shí)的值一致，與轉(zhuǎn)臺(tái)的不鉛垂度無關(guān)。

2.2 大傾角導(dǎo)航俯仰角誤差分析

按照式（5）求取慣導(dǎo)俯仰角為

由式（13）可見，若Δγ= 0°且Δθ= 0°，車載慣導(dǎo)在導(dǎo)航狀態(tài)下隨轉(zhuǎn)臺(tái)方位軸旋轉(zhuǎn)角度?時(shí)，導(dǎo)航俯仰角無誤差。設(shè)慣導(dǎo)在導(dǎo)航狀態(tài)下隨轉(zhuǎn)臺(tái)方位軸旋轉(zhuǎn)角度?后俯仰角為α*，有

令初始時(shí)方位角為ψ= 0°，式（14）左右兩邊展開并化簡得

由式（15）可以看出，車載慣導(dǎo)在導(dǎo)航狀態(tài)下隨轉(zhuǎn)臺(tái)方位軸旋轉(zhuǎn)角度?時(shí)，導(dǎo)航俯仰角誤差為轉(zhuǎn)臺(tái)不鉛垂度受方位角調(diào)制的結(jié)果，導(dǎo)航俯仰角誤差呈現(xiàn)360°周期規(guī)律且與慣導(dǎo)傾角大小無關(guān)。

2.3 大傾角導(dǎo)航橫滾角誤差分析

類似于方位角誤差分析，按照式（5）求取慣導(dǎo)橫滾角誤差為

由式（17）可以看出，若Δγ= 0°且Δθ= 0°時(shí)，車載慣導(dǎo)在導(dǎo)航狀態(tài)下隨轉(zhuǎn)臺(tái)方位軸旋轉(zhuǎn)角度?時(shí)，導(dǎo)航橫滾角無誤差。存在轉(zhuǎn)臺(tái)不鉛垂度時(shí)，車載慣導(dǎo)在導(dǎo)航狀態(tài)下隨轉(zhuǎn)臺(tái)方位軸旋轉(zhuǎn)角度?時(shí)，導(dǎo)航橫滾角誤差與俯仰角間呈的關(guān)系。轉(zhuǎn)臺(tái)不鉛垂度一定時(shí)，俯仰角越大，導(dǎo)航橫滾角誤差越大；導(dǎo)航橫滾角誤差呈現(xiàn)360°周期規(guī)律，與橫滾角大小無關(guān)。

3 仿真分析

3.1 大俯仰角模擬求解與公式計(jì)算的對(duì)比

設(shè)初始方位角ψ= 0°，橫滾角β= 0°，俯仰角α為80°，Δγ= 0.03°，Δθ= 0.03°，基于式（4）建立的模型模擬求解慣導(dǎo)以導(dǎo)航角度?間隔10°從0°～360°的導(dǎo)航方位角誤差、俯仰角誤差及橫滾角誤差并與所推導(dǎo)的理論公式的計(jì)算結(jié)果比較，繪制曲線如圖2 所示。

圖2 俯仰角80°模擬仿真與公式計(jì)算對(duì)比Fig.2 Comparison between simulation and formula calculation of pitch angle at 80 °

如圖2 所示，“公式計(jì)算”和“模擬求解”兩條曲線的縱坐標(biāo)均為左側(cè)縱坐標(biāo)，分別為公式計(jì)算和模擬求解的方位角誤差、橫滾角誤差及俯仰角誤差，兩條曲線基本重合；圖1 中“差值”曲線縱坐標(biāo)為右側(cè)縱坐標(biāo)，為模擬求解的導(dǎo)航誤差與公式計(jì)算導(dǎo)航誤差的差值。從圖2 可以看出，由式（12）估算的導(dǎo)航方位角誤差和式（17）估算的橫滾角誤差與模擬求解的差值最大不超過0.000 6°，俯仰角差的公式估算（式（15））與模擬求解的差值最大不超過0.000 1°。

3.2 大橫滾角模擬求解與公式計(jì)算的對(duì)比

設(shè)初始方位角ψ= 0°，橫滾角β= 80°，俯仰角α= 0°，Δγ= 0.03°，Δθ= 0.03°，基于式（4）模擬求解導(dǎo)航角度?間隔10°從0°～360°的導(dǎo)航方位角差、俯仰角差以及橫滾角差并與理論公式的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，繪制曲線如圖3 所示。

圖3 橫滾角80°模擬仿真與公式計(jì)算結(jié)果對(duì)比Fig.3 Comparison between simulation and formula calculation of roll angle at 80 °

由圖3 所示可以看出，橫滾角為80°時(shí)，由式（12）估算的導(dǎo)航方位角誤差與模擬計(jì)算的差值最大為0.000 02°，由式（17）估算的橫滾角誤差與模擬求解的差值最大為4.4 × 10-9（°），俯仰角差的公式估算（式（15））結(jié)果與模擬求解的差值最大為5 ×10-9（°）。

4 實(shí)物試驗(yàn)

將車載慣導(dǎo)安裝在三軸轉(zhuǎn)臺(tái)上，控制三軸轉(zhuǎn)臺(tái)使慣導(dǎo)分別為小傾角0°附近、俯仰角80°附近和橫滾角80°附近3 種工作狀態(tài)。車載慣導(dǎo)在轉(zhuǎn)臺(tái)方位0°時(shí)進(jìn)行初始對(duì)準(zhǔn)，對(duì)準(zhǔn)完成后控制轉(zhuǎn)臺(tái)繞其方位軸每隔45°旋轉(zhuǎn)，共旋轉(zhuǎn)8 個(gè)方位，記錄導(dǎo)航方位角、俯仰角及橫滾角如表1～3。

表1 慣導(dǎo)小傾角時(shí)的導(dǎo)航姿態(tài)角Table 1 Navigation attitude angle of INS with small inclination angles （°）

對(duì)比表1～3 可以看出，車載慣導(dǎo)在小傾角時(shí)，隨轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，導(dǎo)航方位角誤差很小，最大約為0.000 12°，俯仰角誤差最大約為0.007 2°，橫滾角誤差最大為0.012°。慣導(dǎo)俯仰角為80°時(shí)，每隔45°旋轉(zhuǎn)時(shí)方位角誤差最大為0.07°，俯仰角誤差最大為0.007 5°，橫滾角誤差最大為0.074°；慣導(dǎo)橫滾角為80°時(shí)，每隔45°旋轉(zhuǎn)時(shí)方位角誤差最大為0.003°，俯仰角誤差最大為0.008 9°，橫滾角誤差最大為0.013°。

繪制表1～3 的方位角誤差、橫滾角誤差及俯仰角誤差如圖4。

圖4 導(dǎo)航姿態(tài)誤差對(duì)比Fig.4 Comparison of navigation attitude errors

由圖4 可以明顯看出，車載慣導(dǎo)在俯仰角為80°時(shí)，導(dǎo)航方位角誤差和橫滾角誤差相較于小傾角和橫滾角80°時(shí)明顯增大，方位角誤差約為小傾角時(shí)的580 倍，為橫滾角80°時(shí)的20 倍，橫滾角誤差約為小傾角時(shí)的6 倍，為橫滾角80°時(shí)的6 倍。

對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)進(jìn)行調(diào)平后（調(diào)平后轉(zhuǎn)臺(tái)不鉛垂度約為1″），重新進(jìn)行俯仰角80°時(shí)的導(dǎo)航試驗(yàn)，試驗(yàn)數(shù)據(jù)如表4。

由表4 可以看出，轉(zhuǎn)臺(tái)調(diào)平后，慣導(dǎo)俯仰角80°時(shí)導(dǎo)航方位角誤差最大為0.004°，橫滾角誤差最大為0.004 12°，相較于轉(zhuǎn)臺(tái)調(diào)平之前明顯減小。根據(jù)理論分析結(jié)果，導(dǎo)航360°時(shí)的慣導(dǎo)方位角應(yīng)與0°時(shí)的值一致，即慣導(dǎo)在隨轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)整圈時(shí)，導(dǎo)航的姿態(tài)角誤差不受轉(zhuǎn)臺(tái)不鉛垂度的影響。但從表2 的實(shí)際測(cè)試結(jié)果來看，慣導(dǎo)初值為356.514 37°，轉(zhuǎn)動(dòng)一圈后方位角為356.511 21°，與初始對(duì)準(zhǔn)值相差0.003 16°，這是由于慣導(dǎo)標(biāo)定后的殘余安裝誤差和殘余刻度系數(shù)誤差導(dǎo)致的。

表2 慣導(dǎo)俯仰角80°時(shí)的導(dǎo)航姿態(tài)角Table 2 Navigation attitude angle of INS with pitch angle at 80° （°）

5 結(jié)束語

本文對(duì)車載慣導(dǎo)安裝在轉(zhuǎn)臺(tái)上隨轉(zhuǎn)臺(tái)方位軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，大俯仰角和大橫滾角工作狀態(tài)下的導(dǎo)航姿態(tài)誤差進(jìn)行了理論分析，推導(dǎo)出導(dǎo)航姿態(tài)誤差與轉(zhuǎn)臺(tái)不鉛垂度及慣導(dǎo)傾角相關(guān)的理論公式，同時(shí)進(jìn)行了仿真分析和實(shí)物驗(yàn)證，結(jié)果表明：

大傾角狀態(tài)下慣導(dǎo)導(dǎo)航輸出的方位角誤差是轉(zhuǎn)臺(tái)不鉛垂度受方位調(diào)制后乘以俯仰角的正切值，橫滾角誤差是轉(zhuǎn)臺(tái)不鉛垂度受方位調(diào)制后除以俯仰角的余弦值。車載慣導(dǎo)在大俯仰角下工作時(shí)，若轉(zhuǎn)臺(tái)方位軸不鉛垂，俯仰角越大慣導(dǎo)隨轉(zhuǎn)臺(tái)方位軸旋轉(zhuǎn)時(shí)導(dǎo)航方位角誤差和橫滾角誤差越大，導(dǎo)航俯仰角誤差與慣導(dǎo)的俯仰角大小無關(guān)。轉(zhuǎn)臺(tái)不鉛垂度一定的情況下，慣導(dǎo)俯仰角80°時(shí)方位角誤差為小傾角時(shí)的583 倍，為橫滾角80°時(shí)的23 倍。慣導(dǎo)俯仰角80°時(shí)橫滾角誤差約為小傾角和慣導(dǎo)橫滾角80°時(shí)的6 倍。車載慣導(dǎo)的導(dǎo)航姿態(tài)誤差在大俯仰角時(shí)明顯增大，與慣導(dǎo)橫滾角大小無關(guān)。車載慣導(dǎo)隨轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)360°時(shí)，導(dǎo)航姿態(tài)誤差不受俯仰角大小及轉(zhuǎn)臺(tái)不鉛垂度的影響，僅與車載慣導(dǎo)標(biāo)定后殘余安裝誤差及殘余刻度系數(shù)誤差有關(guān)。

本文的理論公式推導(dǎo)基于慣導(dǎo)初始方位角為0°進(jìn)行的，車載慣導(dǎo)初始方位角為其他角度的情況限于篇幅未能進(jìn)一步推導(dǎo)與分析，如果慣導(dǎo)初始方位角為其他角度，可參考本文的分析方法進(jìn)行進(jìn)一步推導(dǎo)與分析。