數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化教學(xué)中“聯(lián)結(jié)點(diǎn)”的動(dòng)態(tài)進(jìn)階織網(wǎng)策略

摘要 開(kāi)展數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化教學(xué)對(duì)增強(qiáng)學(xué)生的深度理解、牢固記憶、有效遷移，以及促進(jìn)整體建構(gòu)方面有較大價(jià)值?！奥?lián)結(jié)點(diǎn)”在數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化教學(xué)中有凸顯本質(zhì)和關(guān)聯(lián)紐帶的功能。有效捕捉“聯(lián)結(jié)點(diǎn)”并進(jìn)行動(dòng)態(tài)進(jìn)階織網(wǎng)對(duì)結(jié)構(gòu)化教學(xué)和整體建構(gòu)學(xué)習(xí)的深度發(fā)生起著重要作用。根據(jù)數(shù)學(xué)認(rèn)知螺旋式上升的特點(diǎn)，可通過(guò)聯(lián)動(dòng)找點(diǎn)、點(diǎn)動(dòng)成線、線動(dòng)出面、面動(dòng)構(gòu)體等策略分別在整體規(guī)劃時(shí)布好“元素結(jié)構(gòu)”網(wǎng)、課時(shí)教學(xué)時(shí)連好“線性結(jié)構(gòu)”網(wǎng)、單元?dú)w總時(shí)鋪好“平面結(jié)構(gòu)”網(wǎng)、板塊梳理時(shí)建好“立體結(jié)構(gòu)”網(wǎng)。

關(guān)? 鍵? 詞 小學(xué)數(shù)學(xué) 結(jié)構(gòu)化教學(xué) 聯(lián)結(jié)點(diǎn) 動(dòng)態(tài)進(jìn)階 織網(wǎng)策略

引用格式 陳力.數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化教學(xué)中“聯(lián)結(jié)點(diǎn)”的動(dòng)態(tài)進(jìn)階織網(wǎng)策略[J].教學(xué)與管理，2023（32）：42-45.

數(shù)學(xué)是一門(mén)結(jié)構(gòu)化特征顯著的學(xué)科，開(kāi)展數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化教學(xué)能充分突顯學(xué)科特質(zhì)，以多層關(guān)聯(lián)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)網(wǎng)取代單一散狀的碎片知識(shí)點(diǎn)，進(jìn)而借助結(jié)構(gòu)的力量促進(jìn)深度理解、牢固記憶、有效遷移。所謂數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化教學(xué)，是指教學(xué)中將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容作為一個(gè)整體結(jié)構(gòu)來(lái)看待，弄清內(nèi)在的元素組成狀況，剖析元素之間的相互關(guān)聯(lián)，通過(guò)建構(gòu)性的動(dòng)態(tài)進(jìn)階學(xué)習(xí)不斷地搭建出線性、平面以及立體的知識(shí)和方法結(jié)構(gòu)體系，并促使結(jié)構(gòu)功能（1+1＞2）的產(chǎn)生，從而培養(yǎng)學(xué)生的結(jié)構(gòu)化思維能力和整體建構(gòu)學(xué)習(xí)力[1]。

影響數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化教學(xué)深度發(fā)生的因素有許多，其中一個(gè)關(guān)鍵因子就是對(duì)“聯(lián)結(jié)點(diǎn)”的捕捉和織網(wǎng)。“聯(lián)結(jié)點(diǎn)”是指在某個(gè)層級(jí)整體的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法結(jié)構(gòu)體系中，具有本質(zhì)意義且能夠促進(jìn)散狀知識(shí)點(diǎn)建立關(guān)聯(lián)，并能在不斷地進(jìn)階發(fā)展中逐步結(jié)成網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)的核心元素要點(diǎn)。“聯(lián)結(jié)點(diǎn)”在結(jié)構(gòu)化教學(xué)和整體建構(gòu)學(xué)習(xí)中具有較高的地位：對(duì)內(nèi)凸顯本質(zhì)，對(duì)外起著紐帶聯(lián)結(jié)作用。為了提高數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化教學(xué)的有效性，數(shù)學(xué)教師要從整體上深入鉆研教材，用心尋找“聯(lián)結(jié)點(diǎn)”，并通過(guò)對(duì)聯(lián)結(jié)點(diǎn)進(jìn)行分層漸進(jìn)地動(dòng)態(tài)織網(wǎng)，不斷地從一維到二維再到三維（或更多維）構(gòu)造出“點(diǎn)、線、面、體”之間多層次的關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)，進(jìn)而促進(jìn)整體建構(gòu)學(xué)習(xí)深度發(fā)生。

一、聯(lián)動(dòng)找點(diǎn)：整體規(guī)劃時(shí)布好“元素結(jié)構(gòu)”網(wǎng)

數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化教學(xué)的實(shí)施應(yīng)從整體規(guī)劃開(kāi)始。數(shù)學(xué)教師在教學(xué)某一整體知識(shí)前，要從大任務(wù)著眼，將整體知識(shí)進(jìn)行結(jié)構(gòu)性分析，弄清整體知識(shí)的組成要素及分布結(jié)構(gòu)。這里的“整體”可大可小（根據(jù)需要可以分成很多層級(jí)），既可指大領(lǐng)域，如“圖形與幾何”領(lǐng)域；也可指板塊，如“計(jì)算”板塊；又可指單元，如“分?jǐn)?shù)乘法”單元；當(dāng)然還包括“小節(jié)”“課時(shí)”等這些中觀、微觀的整體。每一個(gè)層級(jí)的整體都由許多相對(duì)應(yīng)的元素組成，在規(guī)劃時(shí)首先要從這些元素中找準(zhǔn)“聯(lián)結(jié)點(diǎn)”，因?yàn)椤奥?lián)結(jié)點(diǎn)”是維系整體結(jié)構(gòu)的核心要素（本質(zhì)），通過(guò)它的紐帶作用能使知識(shí)從碎片化走向結(jié)構(gòu)化，實(shí)現(xiàn)“前有孕伏、一脈相承、不斷進(jìn)階”的整體關(guān)聯(lián)效果[2]。

在整體規(guī)劃時(shí)如何有效捕捉“聯(lián)結(jié)點(diǎn)”，進(jìn)而為各個(gè)階段的具體實(shí)施布好“元素結(jié)構(gòu)”網(wǎng)的藍(lán)圖？可采取聯(lián)動(dòng)找點(diǎn)的策略：首先通讀該整體知識(shí)的全部教材內(nèi)容，羅列出所有知識(shí)點(diǎn)和方法策略，并從中尋找出起統(tǒng)率作用的核心思想方法和本質(zhì)聯(lián)系；然后在該核心思想與共同本質(zhì)的統(tǒng)領(lǐng)下規(guī)劃出不斷進(jìn)階的目標(biāo)與任務(wù)，通過(guò)“聯(lián)動(dòng)找點(diǎn)”來(lái)確定每個(gè)階段知識(shí)與方法的“聯(lián)結(jié)點(diǎn)”（不同層級(jí)的整體知識(shí)有各自相對(duì)應(yīng)的“聯(lián)結(jié)點(diǎn)”），并分階段螺旋上升地動(dòng)態(tài)實(shí)施，從而促進(jìn)學(xué)生結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)的有效發(fā)生（如圖1）。

例如，“圖形的測(cè)量”這一層級(jí)的整體知識(shí)，在規(guī)劃時(shí)，首先通讀所有教材，列出該整體知識(shí)的主要知識(shí)元素（按年級(jí)由低到高）：長(zhǎng)度單位的認(rèn)識(shí)，周長(zhǎng)和面積的認(rèn)識(shí)，面積單位的認(rèn)識(shí)，長(zhǎng)方形（正方形）的周長(zhǎng)和面積，認(rèn)識(shí)角的度量單位以及運(yùn)用量角器測(cè)量角和畫(huà)角，三角形、平行四邊形、梯形以及組合圖形的面積，平方千米和公頃的認(rèn)識(shí)，長(zhǎng)方體（正方體）表面積、體積與容積的認(rèn)識(shí)及單位，長(zhǎng)方體（正方體）體積，圓的周長(zhǎng)和面積，圓柱的表面積（積體）以及圓錐的體積。然后將這些知識(shí)和方法進(jìn)行分類，提煉出共同的核心思想和本質(zhì)聯(lián)系，并在進(jìn)階規(guī)劃中找到各階段的“聯(lián)結(jié)點(diǎn)”，為后續(xù)的動(dòng)態(tài)實(shí)施規(guī)劃一脈相承的網(wǎng)格藍(lán)圖（見(jiàn)表1）。

二、點(diǎn)動(dòng)成線：課時(shí)教學(xué)時(shí)連好“線性結(jié)構(gòu)”網(wǎng)

在整體規(guī)劃中找到“聯(lián)結(jié)點(diǎn)”后，接著需要在分階段的系列結(jié)構(gòu)化教學(xué)中圍繞“聯(lián)結(jié)點(diǎn)”開(kāi)展織網(wǎng)活動(dòng)。在單課時(shí)新授教學(xué)中如何落實(shí)結(jié)構(gòu)化教學(xué)思想？其實(shí)許多課不通過(guò)整合重組，就按原教材的課時(shí)內(nèi)容也能有效地開(kāi)展結(jié)構(gòu)化教學(xué)，關(guān)鍵是要將這節(jié)課看成整體中的一分子，弄清該分子在整體中的地位以及各分子之間的本質(zhì)聯(lián)系，以本質(zhì)關(guān)聯(lián)為紐帶開(kāi)展本課時(shí)的教學(xué)，就能促進(jìn)學(xué)生有效地進(jìn)行整體建構(gòu)學(xué)習(xí)，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生的結(jié)構(gòu)化思維和遷移性學(xué)習(xí)能力。

由于課時(shí)教學(xué)屬于微觀層級(jí)的整體，包含的知識(shí)點(diǎn)相對(duì)比較單一，聯(lián)結(jié)維度以“線性”為主。所以該階段“聯(lián)結(jié)點(diǎn)”的織網(wǎng)策略主要體現(xiàn)在“點(diǎn)動(dòng)成線”上，就是將本節(jié)課的核心元素點(diǎn)與之前以及今后的關(guān)聯(lián)處進(jìn)行連點(diǎn)串線，使它們前后一脈相承，通過(guò)尋找聯(lián)結(jié)喚醒“昨天”、溝通“今天”、遷移“明天”，從而連出一個(gè)以本質(zhì)關(guān)聯(lián)為紐帶的“線性結(jié)構(gòu)”網(wǎng)。其教學(xué)基本流程如圖2（根據(jù)實(shí)際情況會(huì)有一些變式流程）：

例如，在教學(xué)“三位數(shù)乘兩位數(shù)”一課時(shí)，采取動(dòng)態(tài)進(jìn)階呈現(xiàn)材料的方式，先出示“12×4”讓學(xué)生回憶豎式算法，明白此時(shí)是算“一層”，得到的是多少個(gè)“一”。然后出示“12×14”讓學(xué)生遷移出此時(shí)是算“兩層”，在前面的基礎(chǔ)上多了用十位上的“1”去乘第一個(gè)乘數(shù)這一步，得到的是多少個(gè)“十”。通過(guò)整體喚醒找到了進(jìn)階的“聯(lián)結(jié)點(diǎn)”：算得的結(jié)果是幾個(gè)“一”就和個(gè)位對(duì)齊→算得的結(jié)果是幾個(gè)“十”就和十位對(duì)齊。接著出示“312×14”讓學(xué)生進(jìn)行本質(zhì)溝通，學(xué)生發(fā)現(xiàn)和前面已學(xué)的“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”在本質(zhì)上是一致的，還是算“兩層”，只是每一步算的時(shí)候多了“和百位乘”這一點(diǎn)，因此完全可以將前面的方法遷移應(yīng)用到“三位數(shù)乘兩位數(shù)”中來(lái)。在計(jì)算之后讓學(xué)生通過(guò)交換乘數(shù)位置進(jìn)行豎式驗(yàn)算，即“14×312”，在進(jìn)行了結(jié)構(gòu)辨析后，學(xué)生發(fā)現(xiàn)此時(shí)需要算“三層”，即增加了用百位上的數(shù)去乘第一個(gè)乘數(shù)，得到的是多少個(gè)“百”，從而將這個(gè)新的“聯(lián)結(jié)點(diǎn)”內(nèi)化到已有的聯(lián)結(jié)體系中去。在新知學(xué)習(xí)后出示“235×22”讓學(xué)生進(jìn)行豎式計(jì)算，追問(wèn)豎式中的兩個(gè)“470”意思是否一樣？通過(guò)一系列的結(jié)構(gòu)化題組訓(xùn)練，深化鞏固。最后，讓學(xué)生進(jìn)行整體反思，將聯(lián)結(jié)點(diǎn)“點(diǎn)動(dòng)成線”，帶領(lǐng)學(xué)生連好“線性結(jié)構(gòu)”：要算“幾層”是由豎式中下面這個(gè)乘數(shù)來(lái)決定，第一層用個(gè)位去乘，得到幾個(gè)“一”，第二層用十位去乘，得到幾個(gè)“十”，第三層用百位去乘，得到幾個(gè)“百”……這就是整數(shù)筆算乘法這一層級(jí)整體知識(shí)“聯(lián)結(jié)點(diǎn)”的線性結(jié)構(gòu)體系[3]。這種內(nèi)聯(lián)溝通式的結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)，抓住相同點(diǎn)進(jìn)行結(jié)構(gòu)化遷移，抓住不同點(diǎn)進(jìn)行結(jié)構(gòu)化辨析，可以有力提升學(xué)生的整體建構(gòu)學(xué)習(xí)能力。

三、線動(dòng)出面：?jiǎn)卧獨(dú)w總時(shí)鋪好“平面結(jié)構(gòu)”網(wǎng)

前面談到的結(jié)構(gòu)化課時(shí)教學(xué)由于知識(shí)學(xué)習(xí)相對(duì)單一，追求橫向或縱向的一維線性關(guān)聯(lián)就能體現(xiàn)結(jié)構(gòu)化思想了。而單元學(xué)習(xí)之后進(jìn)行歸總時(shí)，知識(shí)面比較豐富了，需要從縱橫交錯(cuò)兩個(gè)維度去探尋知識(shí)和方法之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)性[4]。因此，單元整體層面的結(jié)構(gòu)化教學(xué)要著力帶領(lǐng)學(xué)生鋪好“平面結(jié)構(gòu)”網(wǎng)，使學(xué)生對(duì)本單元的知識(shí)以及與它相關(guān)聯(lián)的內(nèi)容有一個(gè)“面”上的整體認(rèn)知。

鋪設(shè)“平面結(jié)構(gòu)”網(wǎng)主要在單元?dú)w總階段進(jìn)行，可采取“線動(dòng)出面”的策略：首先將本單元縱向發(fā)展的“聯(lián)結(jié)點(diǎn)”串成線，同時(shí)將與本單元關(guān)聯(lián)密切的相關(guān)知識(shí)或方法的“聯(lián)結(jié)點(diǎn)”連成線，然后以縱橫兩條線為主軸，進(jìn)行“聯(lián)結(jié)點(diǎn)”之間的交錯(cuò)運(yùn)動(dòng)織網(wǎng)，通過(guò)結(jié)構(gòu)辨析、異同比較、內(nèi)聯(lián)溝通等方式，動(dòng)態(tài)織成一張基于本單元又不局限于單元內(nèi)的知識(shí)與方法的“平面結(jié)構(gòu)”網(wǎng)，從而使單元結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)實(shí)現(xiàn)階段性的完善與收關(guān)[5]。

例如，學(xué)習(xí)“長(zhǎng)方形（正方形）的面積”這一單元后，帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行單元層級(jí)整體歸總活動(dòng)。首先對(duì)本單元的知識(shí)脈絡(luò)進(jìn)行縱向梳理，本單元先后學(xué)習(xí)了什么是面積、面積單位、長(zhǎng)方形（正方形）的面積計(jì)算、面積單位的換算等知識(shí)，將它們的“聯(lián)結(jié)點(diǎn)”進(jìn)行連線：面積是測(cè)量“一整片的大小”→需要用“二維平面量標(biāo)”來(lái)衡量→測(cè)量長(zhǎng)方形（正方形）的面積要“用單位正方形去密鋪并計(jì)數(shù)”→不同大小的面積需要用與之相適應(yīng)的單位來(lái)刻畫(huà)（細(xì)分與換算）。為了使學(xué)生深刻理解本單元的內(nèi)容，要對(duì)它的關(guān)聯(lián)知識(shí)“長(zhǎng)方形（正方形）的周長(zhǎng)”也進(jìn)行“聯(lián)結(jié)點(diǎn)”的回顧串線：周長(zhǎng)是測(cè)量“一周線的長(zhǎng)短”→需要用“一維線性量標(biāo)”來(lái)衡量→測(cè)量長(zhǎng)方形（正方形）的周長(zhǎng)要“用單位線段去密連并計(jì)數(shù)”→不同長(zhǎng)短的周長(zhǎng)需用與之相適應(yīng)的單位來(lái)刻畫(huà)（細(xì)分與換算）。這樣，織成縱橫兩條線后，讓學(xué)生進(jìn)行縱橫對(duì)應(yīng)比較辨析，發(fā)現(xiàn)它們的相同之處是核心思想方法（定標(biāo)準(zhǔn)、去測(cè)量、得結(jié)果）和本質(zhì)（統(tǒng)一計(jì)量單位個(gè)數(shù)的累加或細(xì)分）是一致的，不同之處是線與面、一維與二維的區(qū)別。在此基礎(chǔ)上引領(lǐng)學(xué)生著力打通縱橫之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)：長(zhǎng)方形的面積（二維）為什么可以用長(zhǎng)和寬（一維）相乘得到？?jī)蓚€(gè)長(zhǎng)度單位相乘為什么就成了面積單位呢？通過(guò)探討后得出：長(zhǎng)方形的面積（數(shù)值）=密鋪的單位正方形的個(gè)數(shù)=每行的個(gè)數(shù)×行數(shù)=長(zhǎng)的數(shù)值×寬的數(shù)值=長(zhǎng)×寬，這是一種簡(jiǎn)算，實(shí)質(zhì)還是求面積單位的個(gè)數(shù)。通過(guò)縱橫多次聯(lián)動(dòng)鋪面，最終將長(zhǎng)方形（正方形）面積單元的聯(lián)結(jié)點(diǎn)織成了一張融匯貫通的“平面結(jié)構(gòu)”網(wǎng)（如圖3）。

四、面動(dòng)構(gòu)體：板塊梳理時(shí)建好“立體結(jié)構(gòu)”網(wǎng)

當(dāng)某一板塊的知識(shí)和方法學(xué)完之后進(jìn)行整理復(fù)習(xí)時(shí)，它包含的內(nèi)容就更豐富了，彼此的聯(lián)系也更加多向了。因此，結(jié)構(gòu)化教學(xué)的板塊層級(jí)整體梳理階段，在前面兩個(gè)階段織網(wǎng)的基礎(chǔ)上可以從立體的三維（或更多維）視角進(jìn)一步展開(kāi)內(nèi)聯(lián)溝通活動(dòng)，通過(guò)立體求聯(lián)，構(gòu)建一個(gè)統(tǒng)整的數(shù)學(xué)板塊知識(shí)與方法的關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)[6]。

構(gòu)建“立體結(jié)構(gòu)”網(wǎng)可采取“面動(dòng)構(gòu)體”的策略：首先對(duì)教學(xué)板塊的內(nèi)容進(jìn)行梳理，將整體規(guī)劃時(shí)列出的“聯(lián)結(jié)點(diǎn)”串成線、鋪成面，然后進(jìn)行面與面之間的聯(lián)動(dòng)組合，從不同的維度（視角）進(jìn)行結(jié)構(gòu)辨析，尋找它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，弄清不同之處，提煉出共同的本質(zhì)，在核心思想和共同本質(zhì)的統(tǒng)領(lǐng)下，通過(guò)“面動(dòng)成體”組建成多維關(guān)聯(lián)的立體結(jié)構(gòu)體系網(wǎng)，從而使學(xué)生的整體建構(gòu)學(xué)習(xí)向深度和高度發(fā)展。

例如，小學(xué)階段的“計(jì)算”板塊教學(xué)，當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)了所有的計(jì)算類型后，帶領(lǐng)學(xué)生開(kāi)展計(jì)算本質(zhì)的統(tǒng)整活動(dòng)。首先從計(jì)算類型視角可以分成加法、減法、乘法、除法四個(gè)方法“面”，其“聯(lián)結(jié)點(diǎn)”分別是“合起來(lái)→加法”“分出去→減法”“同數(shù)連加→乘法”“同數(shù)連減→除法”，將這些“聯(lián)結(jié)點(diǎn)”鋪成面并進(jìn)行聯(lián)動(dòng)組合。接著從數(shù)的類型視角可以分成整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)三個(gè)知識(shí)“面”，將這些知識(shí)“面”與計(jì)算方法的四個(gè)“面”進(jìn)行多維聯(lián)動(dòng)組合，梳理它們的不同之處和共同本質(zhì)。組合1是“整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)加減法運(yùn)算”，通過(guò)提煉可以得出：“法不同”——整數(shù)加減是“末位對(duì)齊”，小數(shù)加減是“小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊”，分?jǐn)?shù)加減是“分母相同”；“理相同”——運(yùn)算方法的實(shí)質(zhì)都是“相同計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的加減”。組合2是“整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)乘除法運(yùn)算”，通過(guò)內(nèi)聯(lián)溝通可以發(fā)現(xiàn)共同本質(zhì)是：先將原計(jì)數(shù)單位相乘或相除得到新的計(jì)數(shù)單位，再將計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)相乘或相除得到新的計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)。最后進(jìn)行小學(xué)階段各種數(shù)的計(jì)算本質(zhì)大統(tǒng)整：整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的加減乘除運(yùn)算都是計(jì)算計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)，都是相同計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)累加（加法、乘法）或減少（減法、除法），其中加法是源頭。通過(guò)多次的點(diǎn)、線、面的聯(lián)動(dòng)組建，最終織起了小學(xué)階段計(jì)算板塊的立體結(jié)構(gòu)網(wǎng)（如圖4）。

總之，數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化教學(xué)是研究如何“聯(lián)結(jié)”的藝術(shù)，本文只是從動(dòng)態(tài)進(jìn)階的視角探究如何進(jìn)行“聯(lián)結(jié)點(diǎn)”的織網(wǎng)策略。文中對(duì)象的范圍劃分是為了研究的需要，不一定很合理，層級(jí)階段的確定也是相對(duì)而言的，教師根據(jù)具體情況可進(jìn)行調(diào)整和變式運(yùn)用。另外，在現(xiàn)實(shí)教學(xué)中還可以從其他路徑對(duì)該主題展開(kāi)深入探討，這也是我們今后要努力的方向。

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［責(zé)任編輯：陳國(guó)慶］

*該文為浙江省重點(diǎn)課題 “指向整體建構(gòu)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化教學(xué)研究”（Z2021030）核心內(nèi)容