非厄米哈密頓量中的量子Fisher 信息與參數(shù)估計(jì)*

李競 丁海濤 張丹偉?

1)(華南師范大學(xué)物理學(xué)院,原子亞原子結(jié)構(gòu)與量子調(diào)控教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,廣州 510006)

2)(南京大學(xué)物理學(xué)院,固體微結(jié)構(gòu)物理國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,南京 210093)

量子Fisher 信息給出參數(shù)估計(jì)的最優(yōu)精度極限,在量子度量學(xué)中有重要的應(yīng)用.近年來,在量子系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)非厄米哈密頓量的理論與實(shí)驗(yàn)研究受到廣泛關(guān)注.本文研究基于非厄米哈密頓量本征態(tài)的參數(shù)估計(jì),給出其中單參數(shù)與兩參數(shù)估計(jì)的量子Fisher 信息及其量子Cramér-Rao 下界,計(jì)算與分析非互易、具有增益-耗散的Su-Schrieffer-Heeger 模型,非厄米量子Ising 鏈、拓?fù)潢惤^緣體模型和二能級(jí)系統(tǒng)中動(dòng)量及外場參數(shù)估計(jì)的量子Fisher 信息.結(jié)果表明:在這幾個(gè)非厄米模型中,對(duì)于單參數(shù)估計(jì),量子Fisher 信息在能隙閉合區(qū)域和例外點(diǎn)附近顯著增大,從而提高參數(shù)估計(jì)的精度極限;對(duì)于兩參數(shù)估計(jì),量子Fisher 信息矩陣的行列式在能隙閉合和例外點(diǎn)附近同樣明顯增大,拓?fù)鋮^(qū)域比平庸區(qū)域的整體評(píng)估精度更高,且由陳數(shù)確定兩參數(shù)估計(jì)誤差的拓?fù)湎陆?

1 引言

1969年,Helstrom[1]提出量子系統(tǒng)中未知參數(shù)的測量精度受不確定性原理的影響,確定了基于量子參數(shù)估計(jì)的量子度量學(xué)的理論基礎(chǔ).在量子參數(shù)估計(jì)理論中,從給定量子態(tài)中提取未知參數(shù)的最小誤差由量子Fisher 信息描述,最佳測量精度滿足所謂的量子Cramér-Rao 下界(quantum Cramér-Rao bound,QCRB)[2-5].因此,如何增大量子Fisher信息從而提高未知參數(shù)的估計(jì)精度是量子度量學(xué)領(lǐng)域的一個(gè)重要問題.研究發(fā)現(xiàn),可以通過量子Fisher 信息與量子幾何的內(nèi)在聯(lián)系,特別是刻畫參量空間中兩量子態(tài)間距的量子度規(guī)[6-11],尋找最優(yōu)化的測量軌跡和評(píng)估策略[12-15].利用量子系統(tǒng)特有的量子糾纏性質(zhì),用一個(gè)初態(tài)為糾纏態(tài)的探針提取系統(tǒng)的參數(shù)信息,也可以提高量子態(tài)的量子Fisher 信息[16-18].在具有臨界性質(zhì)的物理系統(tǒng),當(dāng)系統(tǒng)靠近臨界點(diǎn)時(shí),物理參數(shù)的微小變化會(huì)導(dǎo)致量子態(tài)性質(zhì)的明顯響應(yīng),因此可以利用這種臨界增強(qiáng)效應(yīng)來提高參數(shù)評(píng)估精度[19-21].此外,近期研究表明選取合適初態(tài)以及權(quán)衡不同參數(shù)的測量誤差可以提高參數(shù)估計(jì)的精度[22,23].

另一方面,近年來在經(jīng)典或量子系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)非厄米有效哈密頓量的實(shí)驗(yàn)技術(shù)蓬勃發(fā)展[24-28],引發(fā)研究人員對(duì)非厄米物理及其應(yīng)用的廣泛興趣.理論與實(shí)驗(yàn)研究表明非厄米系統(tǒng)具有許多重要的物理性質(zhì)[29,30].例如,在非厄米系統(tǒng)特有的例外點(diǎn)(exceptional point,EP)附近,本征態(tài)能量發(fā)生實(shí)復(fù)或虛復(fù)轉(zhuǎn)變,此時(shí)系統(tǒng)對(duì)參數(shù)微擾有強(qiáng)烈的響應(yīng),因此可以利用EP 點(diǎn)實(shí)現(xiàn)高精度傳感[31-33].另外,拓?fù)湮飸B(tài)及其量子模擬[34]也從厄米系統(tǒng)推廣到非厄米系統(tǒng)[35-44],并涌現(xiàn)系列新奇非厄米拓?fù)湮锢砑捌鋺?yīng)用,包括非厄米Bloch 能帶[38]與非厄米趨膚效應(yīng)[39]、非厄米拓?fù)浒驳律钟蚧痆40-42]等,以及利用非厄米拓?fù)溥吘墤B(tài)可以實(shí)現(xiàn)高精度的量子傳感[43,44].因此,基于量子Fisher 信息,研究非厄米哈密頓量中的參數(shù)估計(jì)及其與非厄米拓?fù)涞膬?nèi)在聯(lián)系,是當(dāng)前量子精密測量與非厄米物理交叉研究領(lǐng)域的一個(gè)重要課題.

本文研究非厄米哈密頓量本征態(tài)的量子參數(shù)估計(jì).首先證明在定態(tài)條件下,傳統(tǒng)量子Fisher 信息的表達(dá)式以及單參數(shù)估計(jì)和兩參數(shù)估計(jì)的QCRB對(duì)于非厄米哈密頓量依然成立.其次結(jié)合一維非互易Su-Schrieffer-Heeger(SSH)模型、具有增益-耗散的SSH 模型,以及一維非厄米量子Ising 鏈研究單參數(shù)估計(jì),分別計(jì)算這3 個(gè)非厄米模型中量子Fisher 信息隨動(dòng)量或單個(gè)外場參數(shù)的變化.結(jié)果表明量子Fisher 信息在能隙閉合點(diǎn)和EP 點(diǎn)附近呈現(xiàn)尖峰,其動(dòng)量空間積分也顯著增大,從而提高單參數(shù)估計(jì)的精度.最后研究二維非厄米拓?fù)潢惤^緣體模型和二能級(jí)系統(tǒng)中的兩參數(shù)估計(jì),此時(shí)量子Fisher 信息矩陣的行列式及其動(dòng)量空間積分在能隙閉合和例外點(diǎn)附近也明顯增大,拓?fù)鋮^(qū)域整體評(píng)估精度大于平庸區(qū)域.結(jié)合貝里曲率及其積分給出的陳數(shù),進(jìn)一步給出兩參數(shù)估計(jì)誤差的拓?fù)湎陆?

2 非厄米系統(tǒng)中量子態(tài)的量子Fisher信息

考慮量子態(tài)|ψμ〉依賴待評(píng)估參數(shù)μ,通常采用正定算符測量的方法進(jìn)行參數(shù)估計(jì).{ 具體過程是將量子態(tài)投影到一組正定的完備基底(I 為單位算符),使評(píng)估μ轉(zhuǎn)化為測量量子態(tài)在一系列x方向上的概率分布Pμ(x)Tr(ρμΠx),其中密度矩陣ρμ|ψμ〉〈ψμ|.選擇不同的正定算符測量會(huì)得到不同的評(píng)估精度,由測量值和實(shí)際值之間的方差 Δμ刻畫,而方差的下界只由量子態(tài)的幾何性質(zhì)確定,即QCRB[2-5]:(Δμ)2≥1/Fμ,其中FμTr(L2μρμ) 是評(píng)估μ的量子Fisher 信息,Lμ2(|?μψμ〉〈ψμ|+|ψμ〉〈?μψμ|)是對(duì)稱對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)算符.對(duì)于厄米系統(tǒng)中的量子態(tài),Fμ的表達(dá)式可記為[2]:

本質(zhì)上,評(píng)估一個(gè)參數(shù)的精度正比于參數(shù)發(fā)生微小變化前后兩量子態(tài)的“距離”[6],即相鄰兩個(gè)量子態(tài)的可分辨度,因此可以從幾何的角度理解量子Fisher 信息.定義一個(gè)線微元ds(|ψμ〉,|ψμ+dμ〉)||Dμψμ〉|dμ,其中其模方給出參量空間中量子態(tài)的量子度規(guī)[6],而Fμ4||Dμψμ〉|2等于量子度規(guī)的4 倍.因此,Fμ刻畫相鄰兩個(gè)量子態(tài)|ψμ〉與|ψμ+dμ〉之間的可分辨度,即越大的Fμ表示兩量子態(tài)之間有越高的分辨度,意味著對(duì)未知參數(shù)μ的估計(jì)精度越高.

比較(2)式和(3)式,可得不等式:

以上結(jié)論可推廣到多參數(shù)評(píng)估情況.以兩參數(shù){μ,ν}為例,評(píng)估誤差為 2×2 的協(xié)方差矩陣Σμν,相應(yīng)的評(píng)估精度極限由 2×2 的量子Fisher 信息矩陣Fμν刻畫.相應(yīng)的對(duì)稱對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)算符Lμ,ν[1]由?μ(ν)ρ(Lμ(ν)ρ+ρLμ(ν))/2定義,可證明非厄米哈密頓量歸一化本征態(tài)下,Fμν的矩陣元表達(dá)式為(推導(dǎo)過程見附錄A)

3 基于非厄米系統(tǒng)的量子參數(shù)估計(jì)

本節(jié)研究幾個(gè)典型的非厄米模型中量子態(tài)的量子Fisher 信息及其參數(shù)估計(jì).3.1 節(jié)討論一維非厄米模型中的單參數(shù)估計(jì),3.2 節(jié)討論二維非厄米模型中的兩參數(shù)估計(jì).

3.1 單參數(shù)估計(jì)

首先考慮一維非互易SSH 模型[39,46,47],其原胞內(nèi)非互易跳躍強(qiáng)度為t±δ,原胞間跳躍強(qiáng)度為t′.在周期邊界條件下,該模型的動(dòng)量空間哈密頓量為[47]

令t′1 為能量單位,兩能帶為

其中準(zhǔn)動(dòng)量k ∈[0,2π],則能隙可定義為ΔE ≡mink|E+(k)-E-(k)|.如圖1(a)所示,該模型中能隙閉合(ΔE0)對(duì)應(yīng)能帶中出現(xiàn)EP 點(diǎn)以及拓?fù)滢D(zhuǎn)變[47].

圖1 基于非互易SSH模型的單參數(shù)估計(jì)(a)能隙ΔE 隨t 和δ的變化;(b) δ 0.2時(shí)利用右本征矢|ψR(shí)〉評(píng)估k的量子Fisher 信息 Fk 隨k 和t 的變化(上圖)及其積分 Mk 隨t 的變化(下圖實(shí)線);(c)利用|ψR(shí)〉評(píng)估δ時(shí)Mδ 隨δ 的變化(實(shí)線);(d)利用|ψR(shí)〉評(píng)估t時(shí)Mt 隨t的變化(實(shí)線).圖(b)—(d)中的數(shù)據(jù)點(diǎn)表示利用左本征矢|ψL〉評(píng)估k,t 或δ時(shí)相應(yīng) 的數(shù) 值結(jié)果.圖中t′ 1,Fk和Mμ 做對(duì) 數(shù)處理Fig.1.Single-parameter estimation based on the non-reciprocal SSH model:(a) Energy gap ΔE as functions of t and δ;(b) Fk by the right eigenstate|ψR(shí)〉as functions of k and t for estimating k(top) and the integration Mk by|ψR(shí)〉as a function of t(solid line in the bottom)with δ 0.2 ;(c) the integration Mδ by using|ψR(shí)〉(solid line) as a function of δ for estimating δ;(d) the integration Mt by using|ψR(shí)〉(solid line) as a function of t for estimating t.The data points in panels(b)-(d) denote the corresponding numerical results for estimating k,t or δ by using the left eigenstate|ψL〉.t′ 1 is set and Fk and Mμ are logarithmically plotted in the picture.

考慮實(shí)部能量較小的歸一化本征態(tài)|ψ-〉.|ψ〉(無特別說明時(shí)默認(rèn)為右本征矢|ψR(shí)〉),首先對(duì)參數(shù)μk進(jìn)行評(píng)估,其量子Fisher 信息為Fk4(〈?kψ|?kψ〉-〈?kψ|ψ〉〈ψ|?kψ〉).選取δ0.2 而改變t≥0,可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)t0.8,1.2時(shí),在kπ 處出現(xiàn)EP點(diǎn),對(duì)應(yīng)本征態(tài)能量發(fā)生虛復(fù)轉(zhuǎn)變.在這兩處EP 點(diǎn)附近,Fk呈指數(shù)增長的趨勢,如圖1(b)中的上圖所示.為表征Fμ在整個(gè)動(dòng)量空間的大小,定義積分.對(duì)于μk情況,Mk隨t的變化如圖1(b)下圖中的實(shí)線所示.可以看出,Mk在t0.8,1.2 處出現(xiàn)峰值,說明在能隙閉合點(diǎn)附近對(duì)參數(shù)k的估計(jì)具有最高精度.考慮評(píng)估參數(shù)μδ,量子Fisher 信息及其積分分別為Fδ和Mδ.圖1(c)實(shí)線給出t0和t0.2時(shí)Mδ隨參數(shù)δ的變化.當(dāng)t0時(shí),在δ≥0 的區(qū)域中只有一個(gè)能隙閉合點(diǎn),對(duì)應(yīng)Mδ在δ1 附近出現(xiàn)尖峰.當(dāng)t0.2時(shí),在δ0.8,1.2 處能隙閉合,則Mδ出現(xiàn)兩個(gè)尖峰.考慮評(píng)估參數(shù)μt時(shí),圖1(d)中的實(shí)線給出Mt隨參數(shù)t的變化.類似地,當(dāng)δ0 和δ0.2時(shí),Mt分別在t1和t0.8,1.2 的能隙閉合點(diǎn)附近呈現(xiàn)峰值,表明量子Fisher 信息在非厄米和厄米(δ0) 系統(tǒng)中的能隙閉合點(diǎn)附近都會(huì)指數(shù)增大.非厄米系統(tǒng)具有獨(dú)特的EP點(diǎn),其附近量子Fisher 信息也會(huì)指數(shù)增大,從而提供額外的提高參數(shù)估計(jì)精度的策略.在圖1(b)—(d)中,進(jìn)一步數(shù)值驗(yàn)證了對(duì)于歸一化左本征矢|ψL〉,其量子Fisher 信息和整體評(píng)估精度具有與右本征矢|ψR(shí)〉相同的特征.原因在于當(dāng)靠近能隙閉合點(diǎn)或EP 點(diǎn)時(shí),無論對(duì)于左本征矢還是右本征矢,系統(tǒng)性質(zhì)都會(huì)隨參數(shù)的變化而顯著變化.圖1 結(jié)果表明,非厄米系統(tǒng)中本征態(tài)在EP 點(diǎn)或能隙閉合點(diǎn)附近的量子Fisher 信息顯著增大,從而可以提高未知參數(shù)的估計(jì)精度.

非互易SSH 模型在開邊界和周期邊界條件下具有不同的能譜特征[39],因此進(jìn)一步考慮開邊界系統(tǒng)中的參數(shù)估計(jì).實(shí)空間中N個(gè)原胞的非互易SSH 模型的哈密頓量為

圖2 原胞數(shù) N 20 的非互易SSH 模型在不同邊界耦合常數(shù)Γ 下的單參數(shù)估計(jì)(a)和(b)分別是開邊界情況 Γ 0 時(shí)本征能量的實(shí)部 與虛部隨參數(shù)t 的變化;(c)為開邊界條件下 利用中間 能態(tài)|ψmid〉和基態(tài)|ψground〉評(píng)估參數(shù)t 的量子Fisher 信息 Ft 隨t的變化,圖中EP 表示例外點(diǎn),GP表示能隙閉合點(diǎn);(d)和(e)分別是Γ 0.1,0.6 時(shí)本征能量實(shí)部隨t 的變化;(f)和(g)為不同邊界耦合常數(shù)Γ下Ft隨t的變化.圖中t′ 1, δ2/3,Ft 做對(duì)數(shù)處理Fig.2.Single-parameter estimation based on the non-reciprocal SSH model with different boundary coupling coefficients Γ and the unit cell of N 20 :(a) The real part and(b) the imaginary part of the eigen-spectrum as functions of t under open boundary condition with Γ 0 ;(c) Ft as a function of t by the mid-spectrum eigenstate|ψmid〉and the ground state|ψground〉for estimating t with Γ 0.Here EP and GP denote exceptional point and gapless point,respectively;(d) and(e) the real part of energy as a function of t with Γ 0.1,0.6,respectively;(f) and(g) Ft as a function of t different values of Γ.In the figure,t′ 1, δ 2/3,and Ft is logarithmically plotted.

進(jìn)一步考慮邊界耦合參數(shù)Γ對(duì)能譜和量子Fisher信息Ft的影響.選取Γ=0.1,0.6,相應(yīng)本征能譜的實(shí)部分別如圖2(d)和圖2(e)所示.可以看出,增大Γ對(duì)跳躍強(qiáng)度t0 附近的能譜影響比較明顯.從圖2(f)進(jìn)一步看出,對(duì)于中間能態(tài)|ψmid〉,增大Γ除了移動(dòng)能譜中4 個(gè)EP 點(diǎn)的位置,還會(huì)使得t0 處出現(xiàn)能隙閉合點(diǎn).當(dāng)Γ較大時(shí)(如Γ0.6),Ft會(huì)在t0 處出現(xiàn)峰值.相反地,如圖2(g)所示,隨著Γ的減小,能譜中心兩側(cè)的EP 相互靠攏;當(dāng)Γ0 時(shí)合并于t0處,此時(shí)Ft在t0 附近指數(shù)增大.因此,該非互易模型中邊界條件的變化可以通過能譜和量子Fisher 信息反映出來.

接下來考慮具有增益-耗散的非厄米SSH 模型[48,49],其動(dòng)量空間哈密頓量為

令t′1,兩能帶為

能隙 ΔE隨t和γ的變化如圖3(a)所示.在ΔE ＞0和 ΔE0 區(qū)域,本征態(tài)能量分別為實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù),能隙閉合對(duì)應(yīng)能帶出現(xiàn)EP 點(diǎn).考慮本征態(tài)|ψ-〉評(píng)估參數(shù)μk,主要結(jié)果如圖3(b)所示.選取γ0.5,當(dāng)t0.3和t1.7時(shí),即圖3(a)中的實(shí)能量區(qū)域,量子Fisher 信息Fk隨參數(shù)k的變化較為平緩.當(dāng)t1時(shí),復(fù)能譜中k ≈0.84π,1.16π 兩處有EP點(diǎn),對(duì)應(yīng)Fk在這兩點(diǎn)附近呈現(xiàn)尖峰.而且Mk也反映了在具有EP 點(diǎn)的復(fù)能量區(qū)域,k的整體估計(jì)精度更高.

圖3 基于具有增益-耗散的SSH 模型((a),(b))和非厄米量子Ising 鏈((c),(d))的單參數(shù)估計(jì)(a)能隙 Δ E 隨t 和γ 的變化,有能隙區(qū)域能譜為實(shí),無能隙區(qū)域能譜為復(fù)且存在EP 點(diǎn);(b) γ 0.5和t{0.3,1,1.7} 時(shí)評(píng)估k 的量子Fisher 信息 Fk 隨k 的變化;(c)能隙 ΔE 隨λ 和h 的變化,能隙關(guān)閉處為復(fù)能量的鐵磁態(tài)和順磁態(tài)的相邊界;(d)評(píng)估λ 時(shí)的 Mλ 隨λ 的變化.圖中 t′ 1 和J 1Fig.3.Single-parameter estimation based on the gain-and-loss SSH model((a),(b)) and the non-Hermtian quantum Ising chain((c),(d)):(a) Energy gap ΔE as functions of t and γ,and the gapped(gapless) region contains real(complex) eigen-spectrum(with exceptional points);(b) Fk as a function of k for estimating k with γ 0.5 and t{0.3,1,1.7} ;(c) energy gap ΔE as functions of λ and h,and the gapless line denotes the phase boundary between the ferromagnetic and paramagnetic states with complex energies;(d) Mλ as a function of λ for estimating λ.t′ 1 and J 1 are set.

本節(jié)最后考慮一維非厄米量子Ising 模型[50,51],其近鄰格點(diǎn)自旋耦合強(qiáng)度為J,外加橫場為復(fù)數(shù)場λ+ih(λ和h均為實(shí)數(shù)),模型哈密頓量為

其中準(zhǔn)動(dòng)量k ∈[0,π].令J1,本征能量為

能隙 ΔE隨參數(shù)λ和h變化如圖3(c)所示.考慮能量為E-的本征態(tài),在參量空間λ-h中可分為鐵磁態(tài)和順磁態(tài)[50,51],其能量均為復(fù)數(shù),但兩者之間的轉(zhuǎn)變伴隨能隙的閉合.類似地,可利用此能量閉合特性提高參數(shù)估計(jì)的精度.如圖3(d)所示,考慮參數(shù)μλ,選取h0.4,0.8,計(jì)算積分Mλ隨λ的變化,可見Mλ分別在λ ≈0.92 和λ0.6的能隙閉合點(diǎn)附近形成尖峰.

3.2 兩參數(shù)估計(jì)

對(duì)于兩參數(shù)估計(jì),首先考慮二維非厄米陳絕緣體模型[38,53,54],其動(dòng)量空間哈密頓量為

其中準(zhǔn)動(dòng)量kx,ky ∈[0,2π],δ是非厄米強(qiáng)度.兩能帶記為E±(kx,ky),當(dāng)能隙ΔE|E+(kx,ky)-E-(kx,ky)|＞0時(shí),該非厄米模型的能帶拓?fù)湫再|(zhì)仍可用陳數(shù)C刻畫[38,54]:

圖4 基于非厄米陳絕緣體模型的兩參數(shù)估計(jì)(a)拓?fù)湎鄨D,包括有能隙的拓?fù)浜推接箙^(qū)域,分別對(duì)應(yīng)陳數(shù) C 1和C 0,以及無能隙區(qū)域;(b) δ 0.2和t{1.4,2,2.6}(依次從上到下)時(shí)評(píng)估 {kx,ky} 的量 子Fisher 信息矩陣行列式 隨kx,ky 的變化;(c) δ 0.2 時(shí)評(píng)估 {kx,ky}的 和評(píng)估 {t,δ} 的Mtδ 隨t的變化.圖(c)中 Mμν 和圖(b)中間圖做對(duì)數(shù)處理Fig.4.Two-parameter estimation based on the non-Hermtian Chern-insulator model:(a) Topological phase diagram with gapped topological(C 1),trivial(C 0),and gapless regions;(b) determinant of quantum Fisher information matrix as functions of kx and ky for estimating {kx,ky} with δ 0.2 and t{1.4,2,2.6}(from top to bottom);(c) the integration for estimating {kx,ky} and Mtδ for estimating {t,δ} as a function of t with δ 0.2.Mμν in panel(c) andin the middle of panels(b) are logarithmically plotted.

考慮兩評(píng)估參數(shù)為μkx,νky,對(duì)應(yīng)的量子Fisher 信息矩陣由方程(5)給出.圖4(b)從上至下分別給出了t{1.4,2,2.6}和δ0.2時(shí),行列式在動(dòng)量空間中的分布.當(dāng)t1.4 和t2.6時(shí),分別對(duì)應(yīng)有能隙的C1和C0 情況,det()在整個(gè)動(dòng)量空間中變化較為平緩.當(dāng)t2時(shí),det() 在兩個(gè)EP點(diǎn)kyπ 和kx ≈0.94π,1.06π附近呈指數(shù)增大.為表征整體評(píng)估精度,定義二維動(dòng)量空間的積分

圖4(c)給出了評(píng)估參數(shù)μkx,νky和μt,νδ兩種情況下,Mμν隨t的變化.可看出和Mtδ都在1.8 ?t?2.2 的無能隙區(qū)域取得更大值,表明此時(shí)兩參數(shù)估計(jì)的整體精度更高.此外,相較于平庸區(qū)域,在拓?fù)鋮^(qū)域的整體評(píng)估精度更高.

最后考慮具有等效增益-耗散項(xiàng)的非厄米二能級(jí)系統(tǒng)[26-28],其哈密頓量表達(dá)式為

其中仰角θ ∈[0,π] 和方位角φ ∈[0,2π] 給出歸一化量子態(tài)在Bloch 球面上的位置,r代表沿z方向的偏置場強(qiáng)度,δ是非厄米強(qiáng)度.考慮實(shí)部能量較小的本征態(tài),可定義陳數(shù)刻畫系統(tǒng)的拓?fù)湫再|(zhì)[10,11].如圖5(a)所示,當(dāng)r2+δ2＜1時(shí)C1,對(duì)應(yīng)拓?fù)鋮^(qū)域,而r2+δ2＞1 對(duì)應(yīng)C0 的平庸區(qū)域.考慮評(píng)估參數(shù)μθ,νφ,從Mθ?在r-δ參量平面中的變化可看出,相比平庸區(qū)域,拓?fù)鋮^(qū)域的整體評(píng)估精度更高.由于拓?fù)滢D(zhuǎn)變伴隨能隙關(guān)閉,因此Mθ?的分布在r2+δ21附近出現(xiàn)尖峰.

圖5 基于非厄米二能級(jí)系統(tǒng)的兩參數(shù)估計(jì)評(píng)估 {kx,ky}時(shí),(a) 和(b)V 隨r 和δ 的變化.圖(a)中 做對(duì)數(shù)處理Fig.5.Two-parameter estimation based on the non-Hermitian two-level system.(a) and(b) V as functions of r and δ for estimating {kx,ky} . in panel(a) is logarithmically plotted.

此外|ψ-〉滿足關(guān)系 det(Fθφ),從而給出此非厄米兩能級(jí)系統(tǒng)中兩參數(shù)估計(jì)的拓?fù)湎陆?為進(jìn)一步討論拓?fù)湎陆?可定義量子Fisher 信息矩陣行列式的積分:

結(jié)果如圖5(b)所示,在拓?fù)鋮^(qū)域中,貝里曲率Ωθφ在整個(gè)Bloch 球面上同號(hào),可得VC1.在平庸區(qū)域,Ωθφ不滿足同號(hào)條件,則 1＞V ＞C0.因此,量子Fisher 信息矩陣行列式可表征非厄米系統(tǒng)的拓?fù)滢D(zhuǎn)變.類似Mθ?,V的結(jié)果也表明在拓?fù)鋮^(qū)域中進(jìn)行參數(shù)估計(jì)具有更高的精度,相應(yīng)的量子Fisher 信息矩陣給出兩參數(shù)估計(jì)誤差的拓?fù)湎陆鐬殛悢?shù)C.

4 結(jié)論與展望

本文基于量子估計(jì)理論,首先證明了對(duì)于非厄米哈密頓量歸一化本征態(tài),量子Fisher 信息(矩陣)的表達(dá)式以及單參數(shù)估計(jì)和兩參數(shù)估計(jì)的QCRB 關(guān)系依然成立.在此基礎(chǔ)上,計(jì)算了一維非互易、具有增益-耗散的SSH 模型和非厄米量子Ising 鏈中,量子Fisher 信息隨動(dòng)量或單個(gè)外場參數(shù)的變化.結(jié)果表明,基于這3 個(gè)非厄米模型的單參數(shù)估計(jì),量子Fisher 信息在能隙閉合區(qū)域和EP 點(diǎn)附近呈現(xiàn)峰值,其動(dòng)量空間積分也顯著增大,因此可用于提高參數(shù)估計(jì)的精度.最后基于二維非厄米拓?fù)潢惤^緣體模型和二能級(jí)系統(tǒng)進(jìn)行兩參數(shù)估計(jì),同樣地,量子Fisher 信息矩陣行列式及其動(dòng)量空間積分在能隙閉合或EP 附近也明顯增大.此外,量子Fisher 信息矩陣行列式在拓?fù)鋮^(qū)域整體大于平庸區(qū)域,說明利用非厄米拓?fù)鋺B(tài)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)的精度比平庸態(tài)更高,同時(shí)確定了兩參數(shù)估計(jì)誤差的拓?fù)湎陆?這些結(jié)果揭示了非厄米EP 點(diǎn)和拓?fù)涮匦栽诹孔訁?shù)估計(jì)中的應(yīng)用,有助于開展基于非厄米系統(tǒng)的量子精密測量研究.

目前已經(jīng)有多個(gè)量子系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)了非厄米有效哈密頓量,如單光子[24,25]、冷原子[26]、金剛石NV 色心[27]和超導(dǎo)量子比特[28]等.與此同時(shí),最近已有實(shí)驗(yàn)報(bào)道了厄米系統(tǒng)量子Fisher 信息或量子度規(guī)的測量,如在金剛石NV 色心中測量單參數(shù)估計(jì)[12]和多參數(shù)估計(jì)[13-15]的量子Fisher 信息(矩陣),在核磁共振系統(tǒng)[18]中測量量子Fisher 信息,在超導(dǎo)量子比特系統(tǒng)[9-11]中測量量子度規(guī)等;甚至通過光子系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)測量了非厄米有效哈密頓量中EP 點(diǎn)附近的量子度規(guī)[32].結(jié)合這些實(shí)驗(yàn)進(jìn)展,本文基于非厄米系統(tǒng)的量子參數(shù)估計(jì)方案有望在實(shí)驗(yàn)中實(shí)現(xiàn).最后需要指出的是,本文研究局限于非厄米哈密頓量本征態(tài),如何基于非幺正演化動(dòng)力學(xué)和開放系統(tǒng)中的混合態(tài)進(jìn)行最優(yōu)化參數(shù)估計(jì)需要進(jìn)一步探索.另外,利用非厄米量子多體效應(yīng)進(jìn)行量子精密測量也是值得深入研究的課題.

附錄A

考慮量子系統(tǒng)密度矩陣ρ|ψ〉〈ψ|,對(duì)于未知參數(shù)μ,ν的評(píng)估誤差為 2×2 的協(xié)方差矩陣Σμν,相應(yīng)的評(píng)估精度由 2×2 的量子Fisher 信息矩陣Fμν刻畫.對(duì)于厄米系統(tǒng)中的量子態(tài)|ψ〉,量子Fisher 信息矩陣元為

其中{,}表示反對(duì)易關(guān)系,對(duì)稱對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)算符Lμ(ν)由?μ(ν)ρ(Lμ(ν)ρ+ρLμ(ν))/2 定義.考慮定態(tài)情況中非厄米系統(tǒng)量子態(tài)|ψ〉,滿足歸一化條件〈ψ|ψ〉1以及相同的保留對(duì)稱對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)算符,其量子Fisher 信息矩陣元為

其中用到了關(guān)系 〈?ψ|ψ〉-〈ψ|?ψ〉.這里只利用非厄米系統(tǒng)特定本征態(tài)做參數(shù)評(píng)估,因此不受本征態(tài)的非正交性以及非幺正演化的影響.此時(shí)兩參數(shù)估計(jì)的QCRB 仍滿足Σμν≥1/Fμν,可以由矩陣的跡的柯西不等式得到:

而Fμν的非對(duì)角元與貝里曲率滿足關(guān)系式