土工構(gòu)筑物的逆幾何可靠性分析算法

吳興征 劉赫

DOI： 10.11835/j.issn.2096-6717.2021.176

收稿日期：2021?06?15

基金項(xiàng)目：河北省自然科學(xué)基金（E2019201296）；河北省高等學(xué)校科學(xué)技術(shù)研究重點(diǎn)項(xiàng)目（ZD2018216）；一省一校專項(xiàng)資助（801260201262）。

作者簡(jiǎn)介：吳興征（1971- ），男，博士，副教授，主要從事巖土、防洪與海岸工程的不確定性模型研究，E-mail：xingzhengwu@163.com。

Received： 2021?06?15

Foundation items： Hebei Natural Science Foundation （No. E2019201296）; Key Project of Science and Technology Research in Colleges and Universities of Hebei Province （No. ZD2018216）; Advanced Talents Incubation Program of the Hebei University （No. 801260201262）.

Author brief： WU Xingzheng （1971- ）， PhD， associate professor， main research interests： uncertainty models in geotechnical， flood defence and coastal engineering， E-mail： xingzhengwu@163.com.

摘要：針對(duì)特定場(chǎng)地下土工構(gòu)筑物的正常使用極限狀態(tài)，考慮鉆孔灌注樁、抗浮錨桿或CFG樁單樁荷載-位移測(cè)試曲線之間的離散性，將測(cè)試曲線擬合得到的回歸參數(shù)集視作隨機(jī)變量，基于幾何可靠性算法框架，運(yùn)用高斯Copula函數(shù)聯(lián)合分布模型實(shí)施由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間到原始物理空間中隨機(jī)變量的表征轉(zhuǎn)換，構(gòu)建基于概率密度等值線的逆幾何可靠性算法。該算法假定描述隨機(jī)變量服從正態(tài)分布的某一參數(shù)（均值或變異系數(shù)）未知，給定目標(biāo)可靠指標(biāo)，可推求隨機(jī)變量的概率密度等值線。通過(guò)極限狀態(tài)方程限定概率密度等值線的幾何輪廓，可求解特定目標(biāo)可靠指標(biāo)下隨機(jī)變量的未知均值或變異系數(shù)，并求出相應(yīng)的安全系數(shù)。當(dāng)隨機(jī)變量服從其他非正態(tài)邊緣分布時(shí)，等值線的幾何輪廓仍由一系列離散點(diǎn)近似表征，逆可靠性分析同樣適用。建議的算法主要用于解決隨機(jī)變量部分統(tǒng)計(jì)參數(shù)缺失或不完備的難題，給定目標(biāo)可靠指標(biāo)時(shí)可根據(jù)構(gòu)筑物重要性等級(jí)進(jìn)行安全系數(shù)校準(zhǔn)。

關(guān)鍵詞：逆幾何可靠性；概率密度等值線；安全系數(shù)；高斯Copula函數(shù)

中圖分類號(hào)：TU473.1 ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A ? ? 文章編號(hào)：2096-6717（2023）05-0106-10

Inverse geometric reliability analysis algorithm for geotechnical structures

WU Xingzheng， LIU He

（College of Civil Engineering and Architecture， Hebei University， Baoding 071002， Hebei， P. R. China）

Abstract： For serviceability limit state of geotechnical structures at a specific site， the scatter among the load-displacement curves of bored piles， floating anchors or CFG piles is considered， and the set of regression parameters obtained by fitting these test curves is treated as a random variable. On the basis of theoretical framework of the geometric reliability method， a Gaussian Copula function is used to facilitate the transformation of random variables from the standard normal space to the original physical space， and then an inverse reliability algorithm based on probability density contours （PDCs） is constructed. In this algorithm， if one parameter of a normal probability density distribution is unknown， such as the mean or coefficient of variance， the PDC of the random variables can be derived when a target reliability index is specified. If the PDC is bounded by the limit state equation， the unknown mean value or coefficient of variance for the random variable under a given target reliability index is solved， and the corresponding safety factor is derived. While a non-normal marginal distribution is followed by random variables， the geometric configuration of the PDC can be still approximated by a set of discrete points， and the inverse reliability analysis is also applicable. The proposed algorithm is mainly used to solve problems with statistical parameters of random variables ?missing or incomplete. When the target reliability index is specified， the safety factor can be calibrated according to the importance hierarchy of the structure.

Keywords： inverse geometric reliability； probability density contour； safety factor； Gaussian Copula function

可靠性分析可細(xì)分為正分析與反分析兩類。前者通過(guò)建立構(gòu)筑物的極限狀態(tài)方程求解可靠指標(biāo)或失效概率，據(jù)此核算構(gòu)筑物是否滿足規(guī)范設(shè)定的量值。在給定目標(biāo)可靠指標(biāo)的情況下，后者根據(jù)構(gòu)筑物的極限狀態(tài)方程進(jìn)行逆分析，反求待定參數(shù)或隨機(jī)變量。反分析在部分輸入變量待定的情況下尤為適用，亦稱作逆可靠性分析，旨在解決隨機(jī)變量部分統(tǒng)計(jì)參數(shù)缺失或不完備的難題。此外，在給定目標(biāo)可靠指標(biāo)下，根據(jù)構(gòu)筑物重要性等級(jí)可以校準(zhǔn)安全系數(shù)。一次逆可靠性法[1-2]（inverse FORM）是目前解決逆可靠性問(wèn)題的常用方法，在一次二階矩法[3]的基礎(chǔ)上發(fā)展而來(lái)。Der Kiureghian等[1]給出了逆可靠性算法的迭代公式，Li等[2]將該算法推廣至多個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)的情況。

學(xué)者們對(duì)逆可靠性算法在工程中的應(yīng)用進(jìn)行了探討。姬建等[4-5]基于一次逆可靠性法對(duì)多種土工構(gòu)筑物（土質(zhì)邊坡、條形淺基礎(chǔ)、淺埋圓形隧道）進(jìn)行概率優(yōu)化計(jì)算。蔣水華等[6]基于一次逆可靠性算法，對(duì)土坡坡角進(jìn)行了分析。Winterstein等[7]基于一次逆可靠性法原理，建立了環(huán)境等值線法，著重分析了概率密度等值線（Probability Density Contour，PDC）并用于描述極端結(jié)構(gòu)響應(yīng)，奠定了一次逆可靠性分析的特殊地位。目前，環(huán)境等值線法多應(yīng)用于海洋工程的逆可靠性分析中。Zhao等[8]將該算法用于推求與目標(biāo)重現(xiàn)期相應(yīng)的海洋浮式結(jié)構(gòu)物的設(shè)計(jì)荷載。而環(huán)境等值線法在巖土工程中的應(yīng)用尚未見(jiàn)報(bào)道。為了更直觀地定義與求解可靠指標(biāo)，吳興征等[9-10]在隨機(jī)變量原始物理空間下構(gòu)建了幾何可靠性算法，將發(fā)散概率密度等值面與單倍標(biāo)準(zhǔn)差概率密度等值面之間的相對(duì)關(guān)系定義為可靠指標(biāo)，稱為幾何可靠指標(biāo)。此指標(biāo)在原理上與常規(guī)的可靠指標(biāo)定義無(wú)異，區(qū)別在于求解的算法，主要表現(xiàn)在：1）幾何可靠性算法構(gòu)建于具有明確物理意義的空間內(nèi)，無(wú)需對(duì)隨機(jī)變量進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理；2）因采用一系列離散點(diǎn)近似表述概率密度等值線（PDC），幾何可靠性算法對(duì)任意非正態(tài)聯(lián)合分布均適用；3）幾何可靠性算法將常規(guī)可靠性尋優(yōu)求解的過(guò)程替換為PDC的幾何演化，使求解過(guò)程更簡(jiǎn)明。

筆者將幾何可靠性算法與極限狀態(tài)分析相結(jié)合來(lái)構(gòu)建逆可靠性求解模型，并應(yīng)用于土工構(gòu)筑物的承載性能評(píng)估。以兩變量隨機(jī)問(wèn)題為研究對(duì)象，給定目標(biāo)幾何可靠指標(biāo)，假定某一隨機(jī)變量的均值（或變異系數(shù)）為未知，推求出兩個(gè)隨機(jī)變量的聯(lián)合PDC，通過(guò)迭代求解出該待定均值（或變異系數(shù)）。這種給定幾何可靠指標(biāo)而推求未知量的算法稱作逆幾何可靠性算法，力求解決實(shí)際工程中檢測(cè)數(shù)據(jù)缺失或無(wú)法全面給定所有參數(shù)的概率密度分布問(wèn)題。分別以京畿地區(qū)3個(gè)建筑場(chǎng)地（順義、后沙峪、燕郊上上城）為例，整理相應(yīng)土工構(gòu)筑物（灌注樁、抗浮錨桿、CFG樁單樁）的現(xiàn)場(chǎng)荷載-位移測(cè)試數(shù)據(jù)（共697組），采用兩參數(shù)回歸形式（冪函數(shù)）對(duì)每一條荷載-位移曲線測(cè)試結(jié)果進(jìn)行擬合。首先，假定冪函數(shù)回歸參數(shù)間的相關(guān)性，采用高斯Copula函數(shù)聯(lián)合分布模型構(gòu)建并推求給定目標(biāo)可靠指標(biāo)的PDC；然后，結(jié)合極限狀態(tài)方程推求未知隨機(jī)變量的均值（或變異系數(shù)）；最后，求解相應(yīng)可靠指標(biāo)下構(gòu)筑物的安全系數(shù)。由此可確保在滿足目標(biāo)可靠指標(biāo)的前提下，依據(jù)構(gòu)筑物重要等級(jí)校正安全系數(shù)。

1 逆幾何可靠性算法

土工構(gòu)筑物安全性評(píng)價(jià)中，逆幾何可靠性算法基于目標(biāo)可靠指標(biāo)求解描述隨機(jī)分布函數(shù)的待定參數(shù)，如正態(tài)分布的均值或變異系數(shù)，或者其他分布參數(shù)。其包括3個(gè)構(gòu)成部分：極限狀態(tài)方程與極限狀態(tài)線、聯(lián)合概率密度函數(shù)與PDC、未知參數(shù)的推求工況及其求解過(guò)程。

1.1 構(gòu)筑物的極限狀態(tài)方程及極限狀態(tài)線

正常使用狀態(tài)下構(gòu)筑物的極限狀態(tài)方程g可定義[11]為

g=Q_ua-Q_LD （1）

式中：Q_ua為構(gòu)筑物的容許承載力；Q_LD為施加荷載。當(dāng)g為負(fù)值時(shí)，構(gòu)筑物處于失效狀態(tài)。若采用冪函數(shù)進(jìn)行回歸實(shí)測(cè)得到的荷載-位移（Q-s）曲線，Q_ua表示為

Q_ua=p_1 〖s_a〗^（p_2 ） （2）

式中：p_1、p_2為Q-s曲線由冪函數(shù)擬合的回歸參數(shù)。其中，p_1為加載系數(shù)，為正值，其大小取決于加載水平；p_2為冪指數(shù)，為非負(fù)值。理論上講，p_2的值應(yīng)該小于1，對(duì)應(yīng)于Q與s關(guān)系呈凸曲線（p_2等于1時(shí)，Q與s呈線性關(guān)系）。s_a為容許位移值，正常使用極限狀態(tài)下該值可預(yù)先給定。同一場(chǎng)地下通常得到多條Q-s測(cè)試曲線，由于土體側(cè)摩阻力及樁端阻力的空間變異性[12-13]，這些曲線的回歸參數(shù)間表現(xiàn)出離散性，故將回歸參數(shù)集視作隨機(jī)變量。

基于傳統(tǒng)安全系數(shù)F_s的定義，平均承載能力與平均設(shè)計(jì)加荷之間的關(guān)系可寫(xiě)為

F_s=Q_ua/Q_LD （3）

一旦定義了隨機(jī)變量，基于式（1）的極限狀態(tài)方程，根據(jù)變動(dòng)參數(shù)法可求出極限狀態(tài)線，具體算法參見(jiàn)文獻(xiàn)[10]。

1.2 聯(lián)合概率密度函數(shù)與PDC

1.2.1 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間下的聯(lián)合PDC

當(dāng)可靠指標(biāo)β已知時(shí)，以二元隨機(jī)變量為例，給出推求隨機(jī)變量聯(lián)合PDC的方法。在常規(guī)一次可靠性算法中，可靠指標(biāo)β表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間（u1-u2）中某一圓形的特定半徑。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布是以0為均值、以1為標(biāo)準(zhǔn)差的正態(tài)分布，u_1、u_2分別為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間中的隨機(jī)變量。若給定目標(biāo)可靠指標(biāo)β_t，則可在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間中確定半徑為β_t的PDC（即概率密度等值圓形），如圖1所示。顯然，β_t值越高，其對(duì)應(yīng)的PDC輪廓也越大。

由此，二元獨(dú)立隨機(jī)變量U=（u_1，u_2 ）可隨角度θ變換，并表示為

式中：θ為角度，介于0°～360°之間。

依據(jù)《中國(guó)建筑結(jié)構(gòu)可靠度設(shè)計(jì)統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)》（GB 50068—2018）[14]中給定的某一目標(biāo)可靠指標(biāo)，如β_t=3.2，在二元標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間中，通過(guò)設(shè)定不同的角度θ，即可確定與該可靠指標(biāo)相對(duì)應(yīng)的PDC上的n個(gè)點(diǎn)（圖1中以加號(hào)“+”示意出20個(gè)離散點(diǎn)）。

1.2.2 原始物理空間下的聯(lián)合PDC

若已知隨機(jī)變量的邊緣分布和相關(guān)系數(shù)，通過(guò)不同的聯(lián)合分布模型，構(gòu)建原始物理空間中隨機(jī)變量的PDC，更易被工程技術(shù)人員理解。該空間中的所有隨機(jī)變量均具有明確的物理意義，可由前述標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間中的PDC通過(guò)聯(lián)合分布模型變換得到。以采用高斯Copula函數(shù)[15]聯(lián)合分布模型構(gòu)建PDC為例進(jìn)行說(shuō)明，盡管建議的算法并不局限于此函數(shù)。Copula函數(shù)又稱為聯(lián)結(jié)函數(shù)，它將邊緣分布函數(shù)和依存關(guān)系分開(kāi)考慮，且不要求變量服從同種邊緣分布，具有較強(qiáng)的靈活性。

將標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間中不相關(guān)的隨機(jī)變量轉(zhuǎn)換為W空間中相關(guān)的隨機(jī)變量[16]，表示為

式中：Φ為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累計(jì)分布函數(shù)；ρ為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間中隨機(jī)變量u_1與u_2之間的相關(guān)系數(shù)?；诟咚笴opula函數(shù)變換，可建立式（5）中w_i與u_i的函數(shù)關(guān)系，其中i=1或2，與此有關(guān)的表達(dá)式參見(jiàn)附錄。

進(jìn)而將W空間中相關(guān)的隨機(jī)變量映射到含有x_1和x_2的原始物理空間X中，表示為

式中：F_i^（-1）為隨機(jī)變量累計(jì)分布的逆函數(shù)。

可見(jiàn)，基于高斯Copula函數(shù)的變換模型可以將標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間中相互獨(dú)立的隨機(jī)變量U=（u_1，u_2 ）轉(zhuǎn)換為原始物理空間中具有相依關(guān)系的隨機(jī)變量X=（x_1，x_2 ），此過(guò)程要求給定每個(gè)隨機(jī)變量的邊緣分布及隨機(jī)變量間的相關(guān)系數(shù)。由此，可靠指標(biāo)給定時(shí)可得到原始物理空間中隨機(jī)變量的PDC構(gòu)型，如圖2所示。亦即將標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間中PDC上的n個(gè)點(diǎn)通過(guò)高斯Copula函數(shù)聯(lián)合分布模型轉(zhuǎn)化為原始物理空間中的n個(gè)點(diǎn)并連線，當(dāng)n趨于無(wú)限大時(shí)，該輪廓線無(wú)限接近于β=β_t時(shí)實(shí)際的PDC形狀（圖2以乘號(hào)“×”示意出20個(gè)離散點(diǎn)）。這種離散化近似體現(xiàn)了回歸參數(shù)可服從任意概率密度分布形式（如參數(shù)化或非參數(shù)化聯(lián)合分布）的靈活性。隨著β_t值的增大，其對(duì)應(yīng)的PDC輪廓逐漸擴(kuò)張。

1.3 逆可靠性分析步驟與求解工況

給定不同的目標(biāo)可靠指標(biāo)，得到擴(kuò)張程度不同的PDC。由于可靠指標(biāo)在幾何上度量了回歸參數(shù)的聯(lián)合PDC與極限狀態(tài)線之間的偏差，PDC的擴(kuò)張最終被極限狀態(tài)線限定。此外，PDC的形狀還取決于隨機(jī)變量的邊緣分布類型及其分布參數(shù)，以及隨機(jī)變量間的相關(guān)特性。在逆可靠性分析中，可靠指標(biāo)β_t已知，且隨機(jī)變量的分布類型給定，若描述隨機(jī)分布的部分參數(shù)未知，則可聯(lián)合PDC形狀與大小推求得出，由該等值線與極限狀態(tài)線的相切位置可得到未知分布參數(shù)，此外，可求出構(gòu)筑物滿足特定性能的安全系數(shù)。

逆幾何可靠性算法的具體求解流程如圖3所示，其由3個(gè)模塊組成：1）PDC的推求；2）極限狀態(tài)線的構(gòu)建；3）通過(guò)幾何演化求解描述隨機(jī)變量的未知參數(shù)及構(gòu)筑物的安全系數(shù)。

此處PDC與極限狀態(tài)線相切位置是通過(guò)判斷一個(gè)點(diǎn)（位于極限狀態(tài)線上）是否在任意多邊形（PDC）內(nèi)部來(lái)進(jìn)行的。若在R語(yǔ)言中，可通過(guò)調(diào)用ptinpoly包中的pip2d函數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)[17]。

在逆可靠性分析中，假定冪函數(shù)回歸的2個(gè)隨機(jī)變量p_1與p_2之間的相關(guān)系數(shù)ρ已知，且給定目標(biāo)可靠指標(biāo)β_t，可存在4種求解工況。

工況1：假定某一隨機(jī)變量（p_1或p_2）的概率密度服從正態(tài)分布，且給定該分布的變異系數(shù)δ（標(biāo)準(zhǔn)差σ與均值μ之比），待求此分布的均值。設(shè)定隨機(jī)變量的取值范圍為（0，p_（1 max） ）和（0，p_（2 max） ），繪制出給定目標(biāo)可靠指標(biāo)的PDC，沿著已知均值線（由大值到小值）進(jìn)行PDC移動(dòng)，PDC的形狀與大小將隨著均值的改變而變化，直至找出其與極限狀態(tài)線的切點(diǎn)，從而得到待求均值。

工況2：仍假定某一隨機(jī)變量（p_1或p_2）的概率密度服從正態(tài)分布，且給定該分布的均值，待求此分布的變異系數(shù)。變異系數(shù)的大小控制著PDC的扁平程度，扁平程度將隨著變異系數(shù)的增大（由小值到大值）而改變，直至PDC與極限狀態(tài)線相切，得到待求變異系數(shù)。

工況3：給定p_1、p_2均服從最優(yōu)分布，推求構(gòu)筑物的安全系數(shù)F_s。將隨機(jī)變量p_1、p_2的均值代入式（3），得到構(gòu)筑物的安全系數(shù)。可見(jiàn)，確定性安全系數(shù)的推求并不能考慮到變量的分布類型。這種情況下，仍可繪制出給定目標(biāo)可靠指標(biāo)下的PDC，便于直觀地判定其與極限狀態(tài)線間的相對(duì)距離。

工況4：假定某一隨機(jī)變量（p_1或p_2）的概率密度服從非正態(tài)分布，且給定該分布的某一模型參數(shù)，待求此分布的另一模型參數(shù)。給定目標(biāo)可靠指標(biāo)，相應(yīng)PDC的位置與形狀隨著未知模型參數(shù)的改變而變化，直至PDC與極限狀態(tài)線相切，得到待求模型參數(shù)。這與工況1的求解類似，即這里的逆幾何可靠性算法可適用于多種邊緣分布類型。

4種求解工況下隨機(jī)變量的已知量與未知量如表1所示。其他求解工況還可以有相關(guān)系數(shù)ρ未知時(shí)的推求等。

2 算例分析

結(jié)合北京市建設(shè)工程質(zhì)量第一檢測(cè)所地基室完成的京畿地區(qū)3個(gè)場(chǎng)地（鉆孔灌注樁、錨桿、CFG樁單樁）的荷載-位移測(cè)試成果[10，18]進(jìn)行分析。除非特別說(shuō)明，計(jì)算中目標(biāo)可靠指標(biāo)β_t設(shè)定為3.2。

2.1 最優(yōu)邊緣分布與相關(guān)系數(shù)

各場(chǎng)地下多條荷載-位移曲線各不相同，則冪函數(shù)回歸參數(shù)p_1（或p_2）組成一個(gè)數(shù)據(jù)集（隨機(jī)變量），服從的候選兩參數(shù)邊緣分布概型有正態(tài)（Normal）、對(duì)數(shù)正態(tài)（Log-normal）、伽瑪（Gamma）、耿貝爾（Gumbel）和威布爾（Weibull）。

各場(chǎng)地下隨機(jī)變量的最優(yōu)邊緣分布可通過(guò)Akaike信息準(zhǔn)則（Akaike Information Criterion， AIC）[19]判定，是在極大似然估計(jì)原理的基礎(chǔ)上提出的一種模型選擇準(zhǔn)則，表達(dá)式為

AIC=-2ln（L┴? ）+2p （7）

式中：ln（L┴? ）為極大似然函數(shù)；p為模型參數(shù)個(gè)數(shù)（此處為2）。當(dāng)AIC最小時(shí)，對(duì)應(yīng)于最優(yōu)統(tǒng)計(jì)模型。

各場(chǎng)地下隨機(jī)變量服從的最優(yōu)邊緣分布類型如表2所示[10]，具體分布參數(shù)值在表中括號(hào)內(nèi)給出。隨機(jī)變量p_1與p_2之間的相關(guān)系數(shù)ρ可采用場(chǎng)地水平下的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)，文獻(xiàn)[20]給出了多個(gè)場(chǎng)地下的冪函數(shù)回歸參數(shù)間的ρ，其均值為-0.77。

2.2 灌注樁的PDC

鉆孔灌注樁豎向抗壓承載力檢測(cè)項(xiàng)目位于北京市順義區(qū)南法信鎮(zhèn)，共完成了23個(gè)荷載-位移測(cè)試。

假定p_1服從正態(tài)分布且變異系數(shù)為0.15，但均值未知，而p_2服從表2中的最優(yōu)分布。通過(guò)逆幾何可靠性算法可求出p_1均值為431.03，灌注樁的安全系數(shù)為1.47，求解過(guò)程中3個(gè)PDC的幾何演化如圖4（a）所示。計(jì)算開(kāi)始時(shí)，p_1均值可設(shè)置為較大值，此時(shí)特定可靠指標(biāo)（β=3.2）下的PDC與極限狀態(tài)線仍有相當(dāng)?shù)木嚯x，隨著均值的減小，PDC將逐漸接近極限狀態(tài)線，直至相切。

假如p_2服從正態(tài)分布，其變異系數(shù)設(shè)定為0.15但均值未知，而p_1服從表2中的最優(yōu)分布。隨著p_2均值的變化（由大值到小值），PDC將演化至與極限狀態(tài)線相切，此時(shí)的均值即為待求量。求出p_2均值為0.74，灌注樁安全系數(shù)為3.02，PDC如圖4（b）所示。

若灌注樁的p_1與p_2均服從正態(tài)邊緣分布，且其均值已知，當(dāng)p_1變異系數(shù)未知而p_2變異系數(shù)為0.15時(shí)，由圖5（a）可知，PDC隨著p_1變異系數(shù)的增大而發(fā)生幾何構(gòu)型演化，當(dāng)PDC與極限狀態(tài)線相交時(shí)，得到變異系數(shù)為0.78。當(dāng)p_2變異系數(shù)未知而p_1變異系數(shù)為0.15時(shí)，由圖5（b）可知，PDC隨著p_2變異系數(shù)的增大而發(fā)生形狀改變，進(jìn)而求出p_2變異系數(shù)為0.49。

若p_1和p_2均為已知隨機(jī)變量且服從表2中給出的最優(yōu)分布形式，給定可靠指標(biāo)β_t下的PDC如圖6所示。此時(shí)若將p_1和p_2的均值代入式（3），可求出灌注樁安全系數(shù)為3.13。

2.3 錨桿的PDC

抗浮錨桿抗拔承載力檢測(cè)項(xiàng)目位于北京市順義區(qū)后沙峪村，共完成了620個(gè)荷載-位移測(cè)試。若p_2服從表2中給出的最優(yōu)分布，假定p_1服從正態(tài)分布，其變異系數(shù)為0.15但均值未知，通過(guò)逆幾何可靠性算法可求出p_1均值為48.32，抗浮錨桿安全系數(shù)為1.72。均值未知的求解過(guò)程中部分PDC如圖7（a）所示。若p_1服從表2中給出的最優(yōu)分布，假定p_2為正態(tài)分布，其變異系數(shù)為0.15但均值未知，可求出p_2均值為0.85，抗浮錨桿安全系數(shù)為1.63。求解過(guò)程中的部分PDC如圖7（b）所示。

假定p_1和p_2均為已知隨機(jī)變量且服從表2中給出的最優(yōu)分布時(shí)，給定可靠指標(biāo)β_t下的PDC，如圖8所示，求得相應(yīng)的抗浮錨桿安全系數(shù)為1.28。

2.4 CFG樁單樁的PDC

CFG樁單樁豎向抗壓承載力檢測(cè)項(xiàng)目位于河北燕郊上上城，共進(jìn)行了54個(gè)荷載-位移測(cè)試。假定p_2服從最優(yōu)分布，p_1為正態(tài)分布但其均值未知時(shí)，由逆幾何可靠性算法求出p_1均值為144.35，CFG樁單樁安全系數(shù)為1.61。未知均值求解過(guò)程中的部分演化PDC如圖9（a）所示。由圖9可見(jiàn)，隨著未知均值的變化，PDC的位置與形狀發(fā)生相應(yīng)改變，直至與極限狀態(tài)線接觸。

若p_1服從最優(yōu)分布，假定p_2服從正態(tài)分布但均值未知時(shí)，求出p_2均值為0.67，CFG樁單樁安全系數(shù)為2.44。未知均值求解過(guò)程中的部分演化PDC如圖9（b）所示。

假定p_1和p_2均為已知隨機(jī)變量且服從表2中給出的最優(yōu)分布形式時(shí)，給定可靠指標(biāo)β_t下的PDC，如圖10所示。同樣可求出CFG樁單樁的安全系數(shù)為3.98。

若CFG樁單樁的p_2服從最優(yōu)邊緣分布，即兩參數(shù)Gumbel分布形式，包括位置參數(shù)與形狀參數(shù)，當(dāng)p_2的位置參數(shù)未知而形狀參數(shù)為0.05時(shí)，由圖11（a）可知，PDC隨著p_2位置參數(shù)的減小而發(fā)生幾何構(gòu)型演化，PDC與極限狀態(tài)線相交時(shí)得到位置參數(shù)為0.52。當(dāng)p_2的形狀參數(shù)未知而位置參數(shù)為0.70時(shí)，由圖11（b）可知，PDC隨著p_2形狀參數(shù)的增大而發(fā)生形狀改變，進(jìn)而求出p_2的形狀參數(shù)為0.42。

2.5 算法驗(yàn)證

以雙變量正態(tài)聯(lián)合分布為例，選取文獻(xiàn)[10]中由幾何可靠性正分析算法求出的可靠指標(biāo)與相關(guān)系數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證。采用逆幾何可靠性算法求解隨機(jī)變量p_1的均值，求得3個(gè)場(chǎng)地下p_1均值分別為863.23、36.17、274.11，與文獻(xiàn)[10]給出的隨機(jī)變量p_1的實(shí)際均值（分別為893.29、36.01、275.94）較為接近?？梢?jiàn)，逆幾何可靠性算法在土工構(gòu)筑物安全性評(píng)價(jià)中具有一定精度。

該算法基于R語(yǔ)言平臺(tái)進(jìn)行編程實(shí)施，可在數(shù)秒內(nèi)完成計(jì)算。代碼編寫(xiě)主要包括：1）由已知量確定聯(lián)合分布PDC構(gòu)型上的離散點(diǎn)，通過(guò)未知量的增減實(shí)現(xiàn)PDC構(gòu)型的平移；2）采用等值線Contour函數(shù)構(gòu)建極限狀態(tài)線[10]；3）采用pip2d函數(shù)進(jìn)行PDC與極限狀態(tài)線相切位置的判定。

3 給定目標(biāo)可靠指標(biāo)下各場(chǎng)地的安全系數(shù)

根據(jù)《建筑結(jié)構(gòu)可靠度設(shè)計(jì)統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)》（GB 50068—2018）[14]，不同構(gòu)筑物等級(jí)下發(fā)生延性破壞模式時(shí)對(duì)應(yīng)的可靠指標(biāo)β可分別取為2.7（次要）、3.2（一般）、3.7（重要）。分別求解出p_1均值未知（工況1）、p_2均值未知（工況2）、p_1和p_2已知且服從最優(yōu)分布（工況3）時(shí)相應(yīng)的安全系數(shù)，如表3所示?？梢钥闯觯S著目標(biāo)可靠指標(biāo)量值的增大，計(jì)算得到的安全系數(shù)逐漸變大，尤其是p_2均值未知的情況下。應(yīng)當(dāng)指出，安全系數(shù)由式（3）計(jì)算求出，其中Q_ua的值可由p_1和p_2的均值代入式（2）得到。這里的算法使安全系數(shù)和可靠指標(biāo)相互對(duì)應(yīng)，可用于給定目標(biāo)可靠指標(biāo)時(shí)構(gòu)筑物安全系數(shù)的校正[21]，為建立確定性設(shè)計(jì)和可靠性設(shè)計(jì)安全判據(jù)的定量關(guān)系提供了有效工具。

4 結(jié)論

結(jié)合京畿地區(qū)3個(gè)典型場(chǎng)地的荷載-位移測(cè)試結(jié)果，采用冪函數(shù)構(gòu)建各場(chǎng)地測(cè)試曲線的回歸參數(shù)集。將回歸參數(shù)集視作隨機(jī)變量，假定描述隨機(jī)變量的某個(gè)正態(tài)分布參數(shù)（均值或變異系數(shù)）未知，推求原始物理空間下與目標(biāo)可靠指標(biāo)相應(yīng)的聯(lián)合PDC。同時(shí)，結(jié)合正常使用極限狀態(tài)線得到正態(tài)分布的未知均值（或變異系數(shù)），并求出構(gòu)筑物的安全系數(shù)。將安全系數(shù)與可靠指標(biāo)相結(jié)合，根據(jù)給定可靠指標(biāo)即可判斷構(gòu)筑物的安全性，且充分考慮輸入變量的隨機(jī)性，確保構(gòu)筑物安全。提出的逆幾何可靠性算法對(duì)于求解非正態(tài)邊緣概率密度分布的未知參數(shù)及基于非高斯Copula函數(shù)的聯(lián)合分布模型變換等情況均適用。對(duì)特定案例分別采用幾何可靠性分析的正算法與逆算法得到互為驗(yàn)證的結(jié)果，說(shuō)明通過(guò)逆幾何可靠性算法實(shí)現(xiàn)土工構(gòu)筑物的未知量直觀推求與設(shè)計(jì)核算是可行的。

基于構(gòu)筑物施工驗(yàn)收的荷載-位移檢測(cè)結(jié)果，建議的逆可靠性方法主要針對(duì)設(shè)計(jì)階段。土工構(gòu)筑物的極限狀態(tài)受到地質(zhì)條件、物理力學(xué)參數(shù)、破壞機(jī)理、地下水及地震等影響，材料性能劣化或構(gòu)件性能損傷導(dǎo)致設(shè)計(jì)基準(zhǔn)期內(nèi)構(gòu)筑物的抗力發(fā)生變化，構(gòu)筑物在服役期的時(shí)變目標(biāo)可靠指標(biāo)的確定及逆分析算法有待研究。然而，該算法目前僅局限于低元隨機(jī)變量的情況，多元問(wèn)題的求解有待進(jìn)一步深入研究。

參考文獻(xiàn)

[1] ?DER KIUREGHIAN A， ZHANG Y， LI C C. Inverse reliability problem [J]. Journal of Engineering Mechanics， 1994， 120（5）： 1154-1159.

[2] ?LI H， FOSCHI R O. An inverse reliability method and its application [J]. Structural Safety， 1998， 20（3）： 257-270.

[3] ?HASOFER A M， LIND N C. Exact and invariant second-moment code format [J]. Journal of the Engineering Mechanics Division， 1974， 100（1）： 111-121.

[4] ?JI J， ZHANG C S， GAO Y F， et al. Reliability-based design for geotechnical engineering： An inverse FORM approach for practice [J]. Computers and Geotechnics， 2019， 111： 22-29.

[5] ?姬建， 張哲銘， 夏嘉誠(chéng)， 等. 基于逆可靠度分析的隧道開(kāi)挖面極限支護(hù)壓力優(yōu)化設(shè)計(jì)[J]. 巖土工程學(xué)報(bào)， 2021， 43（6）： 1-9.

JI J， ZHANG Z M， XIA J C， et al. Inverse reliability-based design of limit support pressure for tunnel face stability [J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering， 2021， 43（6）：1-9. （in Chinese）

[6] ?蔣水華， 劉賢， 黃發(fā)明， 等. 基于一階逆可靠度方法的空間變異土坡坡角設(shè)計(jì)[J]. 巖土工程學(xué)報(bào)， 2021， 43（7）： 1245-1252.

JIANG S H， LIU X， HUANG F M， et al. Reliability-based design of slope angles for spatially varying slopes based on inverse first-order reliability method [J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering， 2021， 43（7）： 1245-1252. （in Chinese）

[7] ?WINTERSTEIN S R， UDE T C， CORNELL C A， et al. Environmental parameters for extreme response： Inverse FORM with omission sensitivity[C]//Proceedings of the International Conference on Structural Safety and Reliability， ICOSSAR-93， 1993.

[8] ?ZHAO Y L， LIU D H， DONG S. Estimating design loads with environmental contour approach using copulas for an offshore jacket platform [J]. Journal of Ocean University of China， 2020， 19（5）： 1029-1041.

[9] ?WU X Z. Geometric reliability analysis applied to wave overtopping of sea defences [J]. Ocean Engineering， 2015， 109： 287-297.

[10] ?吳興征， 王瑞凱， 辛軍霞. 特定場(chǎng)地下土工構(gòu)筑物的幾何可靠性分析[J]. 巖土力學(xué)， 2020， 41（6）： 2070-2080.

WU X Z， WANG R K， XIN J X. Geometric reliability analysis of geotechnical structures at a specific site [J]. Rock and Soil Mechanics， 2020， 41（6）： 2070-2080. （in Chinese）

[11] ?辛軍霞， 吳興征， 高偉， 等. 基于Copula函數(shù)的CFG樁復(fù)合地基載荷-變形曲線的概率分析[J]. 巖土力學(xué)， 2016， 37（Sup1）： 424-434.

XIN J X， WU X Z， GAO W， et al. Copula-based analysis of load-displacement curves of cement-fly ash-gravel pile [J]. Rock and Soil Mechanics， 2016， 37（Sup1）： 424-434. （in Chinese）

[12] ?張峰， 周峰， 王旭東. 成層地基中單樁豎向承載力魯棒性設(shè)計(jì)[J]. 巖土力學(xué)， 2017， 38（11）： 3311-3318.

ZHANG F， ZHOU F， WANG X D. Robust geotechnical design of a single pile under vertical loads in layered soils [J]. Rock and Soil Mechanics， 2017， 38（11）： 3311-3318. （in Chinese）

[13] ?TANG C， PHOON K K. Statistics of model factors in reliability-based design of axially loaded driven piles in sand [J]. Canadian Geotechnical Journal， 2018， 55（11）： 1592-1610.

[14] ?建筑結(jié)構(gòu)可靠度設(shè)計(jì)統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)：GB 50068—2018 [S]. 北京： 中國(guó)建筑工業(yè)出版社， 2018.

Unified standard for reliability design of building structures： GB 50068—2018 [S]. Beijing： China Architecture and Building Press， 2018. （in Chinese）

[15] ?NELSEN R B. Archimedean copulas [M]//An Introduction to Copulas. New York： Springer New York， 1999： 89-124.

[16] ?MONTES-ITURRIZAGA R， HEREDIA-ZAVONI E. Environmental contours using copulas [J]. Applied Ocean Research， 2015， 52： 125-139.

[17] ?MAISOG J M， WANG Y， LUTA G， et al. Ptinpoly： Point-in-polyhedron test （2D and 3D） [Z/OL]. R package， version 2.0， 2012. http：//ptinpoly.pbworks.com.

[18] ?吳興征， 王瑞凱， 辛軍霞， 等. 特定場(chǎng)地下土工構(gòu)筑物荷載變形曲線的概率密度分布[J]. 工程質(zhì)量， 2017， 35（9）： 41-45， 60.

WU X Z， WANG R K， XIN J X， et al. Probability density distribution of load deformation curves of geotechnical structures at a specific site [J]. Construction Quality， 2017， 35（9）： 41-45， 60. （in Chinese）

[19] ?AKAIKE H. A new look at the statistical model identification [J]. IEEE Transactions on Automatic Control， 1974， 19（6）： 716-723.

[20] ?WU X Z， XIN J X. Probabilistic analysis of site-specific load-displacement behaviour of cement-fly ash-gravel piles [J]. Soils and Foundations， 2019， 59（5）： 1613-1630.

[21] ?陳祖煜. 建立在相對(duì)安全率準(zhǔn)則基礎(chǔ)上的巖土工程可靠度分析與安全判據(jù)[J]. 巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào)， 2018， 37（3）： 521-544.

CHEN Z Y. Reliability analysis and safety criterion in geotechnical engineering based on the index of safety margin [J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering， 2018， 37（3）： 521-544. （in Chinese）

[22] ?ROSENBLATT M. Remarks on a multivariate transformation [J]. The annals of mathematical statistics， 1952， 23（3）： 470-472.

[23] ?WU L. Tuning the bivariate meta-Gaussian distribution conditionally in quantifying precipitation prediction uncertainty [J]. Forecasting， 2020， 2（1）： 1-19.

（編輯 黃廷）

附錄參考文獻(xiàn)：

[1] ROSENBLATT M. Remarks on a multivariate transformation [J]. The annals of mathematical statistics， 1952， 23（3）： 470-472.

[2] NELSEN R B. Archimedean copulas [M]//An Introduction to Copulas. New York： Springer New York， 1999： 89-124.

[3] WU L. Tuning the bivariate meta-Gaussian distribution conditionally in quantifying precipitation prediction uncertainty [J]. Forecasting， 2020， 2（1）： 1-19.