含預制裂紋陶瓷圓盤劈裂破壞的離散元模擬

楊 玲，任會蘭，趙 涵

（北京理工大學爆炸科學與技術國家重點實驗室, 北京 100081）

氧化鋁陶瓷價格低廉、來源廣泛，且具有熔點高、密度低、強度高等優(yōu)異的物理力學性能，是一種有廣闊發(fā)展前景的工程結構材料。在實際應用中，氧化鋁陶瓷所處工況往往復雜多變[1–2]，不僅會承受準靜態(tài)拉壓載荷，還可能受到如爆炸、高速碰撞等動態(tài)沖擊載荷的作用。因此，對氧化鋁陶瓷材料在動態(tài)載荷下的力學響應及其裂紋擴展規(guī)律等開展研究對實際工程應用具有重要意義。

目前，國內(nèi)外學者針對陶瓷材料的斷裂破壞開展了大量研究。Wang 等[3]為降低應力集中效應的影響，將集中力加載改進為均布力加載，并根據(jù)Griffith 強度理論將圓盤試件的加載區(qū)域加工成平臺進行實驗[4–6]，從而獲得更準確的巖石材料力學性能數(shù)據(jù)。牛歡歡等[7]通過開展準靜態(tài)和動態(tài)壓縮實驗分析透明陶瓷玻璃內(nèi)裂紋的擴展過程，發(fā)現(xiàn)裂紋擴展路徑是“有選擇性的”，裂紋源出現(xiàn)在試件承載能力最低的區(qū)域。趙翰卿等[8]利用分離式霍普金森壓桿（split Hopkinson pressure bar，SHPB）裝置開展了陶瓷巴西圓盤的動態(tài)劈裂破壞實驗，研究表明，裂紋最先產(chǎn)生于陶瓷圓盤試件與彈性桿接觸處。

裂紋的產(chǎn)生和擴展是脆性材料發(fā)生破壞的主要原因之一，相關研究受到了眾多學者的關注。其中，Horii 等[9]和Nemat-Nasser 等[10]研究了巖石斷裂（軸向分裂和剪切斷裂）的微觀機制，解決了由模型缺陷尖端產(chǎn)生的裂紋引起的彈性邊值問題。此外，方敏杰等[11]和寧建國等[12]采用復勢函數(shù)對受遠場載荷作用下橢圓形微裂紋的變形進行求解，探討了微裂紋初始取向的變化對裂紋尺寸增長的影響，研究發(fā)現(xiàn)，翼型裂紋擴展的臨界應力隨著微裂紋初始尺寸的增大而降低。另一方面，朱萬成等[13]利用RFPA 軟件模擬了單軸加載下含中心裂紋巖石試件的破壞過程，并將其分為彈性變形、裂紋穩(wěn)定擴展和主裂紋失穩(wěn)擴展3 個階段。楊慶等[14]基于ABAQUS 有限元模擬技術研究了受壓條件下張開型翼型裂紋的擴展路徑；在此基礎上，胡榮等[15]通過引爆雷管產(chǎn)生沖擊波的方式開展了爆炸應力波入射角對裂紋起裂角和擴展角影響規(guī)律的研究，結果表明，翼型裂紋的起裂角和擴展長度均受到入射角的影響。

離散元法是專門用來解決不連續(xù)介質(zhì)問題的數(shù)值模擬方法，從微觀結構的角度研究材料的力學特性，能夠準確模擬脆性材料的動態(tài)破壞和裂紋擴展過程。近年來，研究人員采用離散元法研究了玻璃、巖石等脆性材料內(nèi)裂紋的擴展規(guī)律。例如：趙永等[16]基于離散元法對預制裂紋的花崗巖試件進行單軸壓縮加載，發(fā)現(xiàn)隨著裂紋傾角的增大，裂紋擴展過程由最初的翼型裂紋占主導逐漸轉變?yōu)榇紊鸭y占主導；馬棋棋等[17]利用離散元軟件建立了SHPB 系統(tǒng)，研究了無機玻璃圓柱和圓盤試件在沖擊載荷下的動態(tài)破壞過程，結果表明，縱向壓力、端面摩擦力以及橫向慣性力對試件的破壞過程均有影響。

陶瓷材料具有小變形破壞的特征，且高強度、短歷時的沖擊加載特點使得觀測陶瓷材料裂紋擴展過程具有一定的困難。為揭示陶瓷材料在沖擊載荷下的碎裂模式和裂紋擴展過程，本研究采用顆粒流PFC 軟件建立陶瓷圓盤在沖擊加載下SHPB 實驗的數(shù)值模型，對含預制裂紋的平臺圓盤陶瓷試件進行數(shù)值模擬，研究不同傾角（預制裂紋與加載軸線角度）對試件破裂模式的影響規(guī)律，并結合復合型裂紋尖端應力場揭示翼型裂紋成核和擴展的演化過程。

1 SHPB 實驗的數(shù)值計算模型

如圖1 所示，利用離散元顆粒流數(shù)值模擬軟件建立陶瓷試件沖擊加載SHPB 實驗的二維仿真模型，由右至左依次為撞擊桿、入射桿、透射桿及能量吸收墻（吸收桿），陶瓷試件放置在入射桿和透射桿之間。其中，1、3、4、5 點為入射波信息采集點，2 點為透射波信息采集點。桿件直徑為14.5 mm，入射桿和透射桿長度為430 mm，撞擊桿長度為20 mm。

圖1 SHPB 二維計算模型Fig.1 Two-dimensional simulation model of SHPB

壓桿和氧化鋁陶瓷試件材料均采用平節(jié)理黏結（Flat-joint）模型，試件與桿件之間的接觸則采用線性接觸模型，桿件材料[8]和氧化鋁陶瓷模型參數(shù)見表1。為驗證數(shù)值計算結果的準確性，表2 給出了陶瓷宏觀力學性能參數(shù)的模擬結果和實驗結果，兩者吻合良好，因此可用該計算模型進行模擬計算[18]。

表1 材料Flat-joint 模型的細觀參數(shù)Table 1 Micro parameters of the Flat-joint model for materials

表2 陶瓷力學性能的數(shù)值模擬與實驗結果Table 2 Numerical simulation and experimental results of mechanical properties of the ceramics

通過細化桿件端面邊界顆粒改善壓桿端面與試件的接觸情況，使應力波在傳播過程中更為均勻。控制撞擊桿速度，使入射桿內(nèi)產(chǎn)生半正弦加載波，并在入射桿與透射桿上設置如圖1 所示的測量圓（measure circle），監(jiān)測應力波在桿件中的傳播情況。撞擊桿加載速度為35 m/s，加載時間為40 μs。圖2 為測量圓監(jiān)測得到的入射波和透射波數(shù)據(jù)信息，入射桿在撞擊桿的加載下產(chǎn)生近似半正弦的應力波，時長為40 μs。計算結果表明，入射波、透射波與不同測量點入射波的形狀和幅值基本一致，說明應力波在傳播過程中沒有發(fā)生明顯的彌散現(xiàn)象，因此可以認為計算中采用的SHPB 實驗模型是可靠的。

圖2 無試件狀態(tài)下的波形信號Fig.2 Waveform signal without specimen

2 氧化鋁陶瓷動態(tài)劈裂破壞分析

2.1 動態(tài)巴西劈裂破壞的數(shù)值模擬

基于圖1 建立的計算模型，對 ?14 mm 的平臺圓盤陶瓷試件的破壞過程進行數(shù)值模擬。撞擊桿速度為12 m/s 時，采集到的入射波、反射波和透射波形，如圖3(a)所示。隨著應力波的加載，反射波信號在經(jīng)歷一段平臺區(qū)后開始增大，表明此時試件發(fā)生破壞，波阻抗急劇變化，導致反射波的波形陡升。圖3(b)顯示了陶瓷試件兩端軸向應力時程曲線及試件破壞情況，可以看出：t=98 μs 時，平臺圓盤試件與壓桿接觸端面處產(chǎn)生了少量拉伸裂紋（B′點）；t=100 μs 時，試件沿加載方向的中心線上產(chǎn)生主裂紋（C′點）；隨著載荷增加，主裂紋繼續(xù)向試件與壓桿接觸的兩端面擴展（D′點）；t=104 μs 時，軸向加載的應力達到峰值，主裂紋沿圓盤中心軸線貫穿，圓盤試件邊緣處產(chǎn)生大量次生裂紋并向中心擴展（E′點）；卸載過程中，次生裂紋遍布整個圓盤試件，試件整體碎裂（F′點和G′點）。

圖3 平臺圓盤試件動態(tài)破壞計算結果Fig.3 Dynamic failure results of platform disk specimen by simulation

2.2 模擬結果與實驗結果的對比

采用SHPB 實驗技術對陶瓷平臺圓盤試件進行沖擊加載，并通過Veo7400 Phantom 高速攝影機記錄圓盤試件的動態(tài)劈裂破壞過程。實驗采用60Si2MnA 合金鋼壓桿系統(tǒng)，撞擊桿長度為300 mm，入射桿與透射桿長度均為1 200 mm，壓桿直徑為14.5 mm，所測A99 陶瓷平臺圓盤試件的尺寸為 ?14 mm×7 mm。

撞擊桿速度為12 m/s 時，試驗過程中記錄的壓桿波形如圖4 所示。采用波形整形器后，入射波近似為三角波，反射波在上升沿出現(xiàn)一個明顯的轉折，對應的時間為透射波的峰值時刻，這些特點與數(shù)值計算結果（見圖3）相似。高速攝影機記錄的試件破壞過程如圖5(a) 所示，陶瓷試件在t=10.00 μs 時沿加載軸線方向產(chǎn)生一條清晰的宏觀裂紋；t=23.33 μs 時，試件加載端附近出現(xiàn)次生宏觀裂紋；隨著裂紋的擴展，試件呈現(xiàn)軸向劈裂破壞模式。圖5(b)給出了試件破壞的離散元計算結果（不同顏色代表不同試件碎塊）。可見，拉伸破壞最先產(chǎn)生于試件中部，隨著主裂紋的擴展，試件邊緣處產(chǎn)生了次生裂紋，這些裂紋擴展匯合，最終導致試件整體碎裂，與實驗結果有較好的一致性。

圖4 實驗波形Fig.4 Experimental waveform

圖5 陶瓷試件巴西劈裂的破壞過程Fig.5 Failure process of the ceramic specimen in Brazilian splitting test

3 含預制裂紋平臺圓盤的裂紋擴展

3.1 翼型裂紋擴展過程

脆性材料的內(nèi)部缺陷對其破碎過程有重要影響，對含預制裂紋陶瓷試件的動態(tài)破壞特性進行數(shù)值模擬，其中陶瓷試件（ ?14 mm）模型中預制裂紋長度為7 mm，且預制裂紋與水平加載軸線的夾角為β，模型參數(shù)及接觸模型同2.1 節(jié)。

圖6 為β=30°時陶瓷試件不同時刻的受力云圖。當預制裂紋尖端附近的應力集中區(qū)域（紅色標注）內(nèi)應力強度因子達到臨界值時，拉伸裂紋成核，試件產(chǎn)生新裂紋，該處應力強度因子降低；繼續(xù)加載后，新裂紋尖端處應力強度因子增大，再次萌生新裂紋并擴展；t=90.8 μs 時，由于入射波及反射波到達預制裂紋兩端裂尖的先后順序不同，預制裂紋兩個尖端處新裂紋萌生擴展并不同步；t=94.0 μs 時，試件邊緣處產(chǎn)生應力集中（紅色標注），次生裂紋開始萌生。

圖6 β=30°時含預制裂紋陶瓷不同時刻的受力云圖Fig.6 Stress distribution of the ceramic specimens at different moment with prefabricated cracks at β =30°

圖7 給出了β 分別為0°、15°、30°、45°、60°時陶瓷試件的裂紋演化過程。沖擊載荷下陶瓷試件具有以下拉伸破壞特點：(1) 加載初期（t=92.4 μs），新生裂紋從預制裂紋尖端處成核萌發(fā)，向加載端生長。(2)t=97.6 μs 時，載荷增加，裂紋穩(wěn)定擴展，主裂紋貫穿試件的同時，次生裂紋在圓盤試件的邊緣處生成并擴展；當軸向載荷到達峰值后（t=101.6 μs），大量裂紋成核、擴展并匯合，導致試件完全破壞；(3) 當β=0°時，主裂紋擴展為一條直線，其余工況下主裂紋均為翼型裂紋，且裂紋擴展方向最終與水平加載軸線方向平行，該計算結果與實驗[19]得到的宏觀破壞模式一致。

圖7 不同β 下陶瓷的裂紋演化過程Fig.7 Crack evolution process of the ceramic specimens with different β

3.2 翼型裂紋起裂分析

含預制裂紋的試件中，新裂紋的產(chǎn)生與預制裂紋尖端處所受的復雜應力狀態(tài)相關。加載的應力波在試件內(nèi)會發(fā)生多次反射和透射，試件將承受剪應力與拉應力的共同作用，導致裂尖處形成翼型裂紋，如圖8 所示，其中：2c 為陶瓷樣品的預制裂紋長度。翼型裂紋模型被廣泛用于描述壓縮載荷下脆性材料內(nèi)的裂紋擴展[20–21]，為此，本研究采用該模型描述裂紋擴展，如圖9 所示，其中：θ 為起裂角。壓縮加載下，隨著載荷的增加，當作用在預制裂紋上的局部剪應力逐漸克服摩擦極限時，裂紋面將產(chǎn)生相對滑移，如圖9(a)所示；當裂紋尖端處應力集中導致的應力強度因子達到裂紋擴展準則（如雙K 斷裂準則）時，尖端處沿θ 方向產(chǎn)生翼型拉伸裂紋（即陰影部分）；隨著拉伸裂紋的擴展，拉伸裂紋最終與主壓縮應力平行。

圖8 翼型裂紋示意圖Fig.8 Schematic diagram of wing crack

圖9 翼型裂紋模型Fig.9 Model of wing cracks

如圖9(b)所示，基于Ⅰ型和Ⅱ型裂紋尖端的應力場分布[22]，對于平面問題，Ⅰ-Ⅱ型復合裂紋尖端附近應力場的極坐標表達式為

根據(jù)最大拉應力原則，裂紋的擴展方向為周向應力 σθ取最大值的方向，且當周向應力 σθ達到臨界值 σc時，產(chǎn)生新裂紋，此時

將式（2）代入式（1）可得

若起裂時的應力強度因子已知，可根據(jù)式（4）預測在不同傾角下試件的起裂角度。純Ⅱ型裂紋擴展時（KⅠ=0，KⅡ≠0），式（4）可以轉化為3cosθ－1=0，計算可得起裂角為70.5° ；純Ⅰ型裂紋擴展時，由sin θ=0 得到起裂角為0°。

求解式（4）可得

將θ0代入 ?2σθ/?θ2，當滿足 ?2σθ/?θ2<0時，對應的θ0即為有效解。董世明等[23]在無裂紋圓盤的應力分量解析解基礎上，用權函數(shù)方法推導出中心裂紋圓盤試件應力強度因子KⅠ和KⅡ的值，將KⅡ/KⅠ代入式（5），得到起裂角的理論預測值，見表3 和圖10?？梢钥闯觯A制裂紋傾角在0° ～ 60° 時，起裂角隨傾角的增大而增大。當傾角在0°～20° 時，起裂角逐漸增大并趨于70.5°；傾角從20° 增大到25°時，起裂角從68.0°增大到111.1°，增幅較大。此外，根據(jù)式（5）計算可得，起裂角的取值區(qū)間不包括 [70.5°，109.5°]。如圖10 所示，起裂角的數(shù)值模擬結果與理論預測值吻合度良好。研究表明，不同傾角的預制裂紋圓盤試件在承受沖擊載荷時，會產(chǎn)生介于Ⅰ型與Ⅱ型裂紋之間的復合型裂紋。圖11 顯示了傾角β=60° 時翼型裂紋擴展路徑和裂紋兩側的粒子位移場分布。翼型拉伸裂紋在預制裂紋尖端起裂后進一步擴展，并最終與圓盤試件的中心水平軸線平行（圖11(a)）。結合前面起裂角隨傾角變化的規(guī)律可知，初始新裂紋尖端成核時會產(chǎn)生Ⅰ-Ⅱ型復合裂紋，當翼型裂紋的尖端逐漸擴展至M點時，MO與加載方向軸線的夾角減小，新裂紋的起裂角也隨之減小。當裂紋逐漸擴展至加載軸線時，復合裂紋逐漸轉化為Ⅰ型裂紋（KⅡ=0），新裂紋的起裂角趨于0°。

表3 理論和數(shù)值計算的起裂角對比Table 3 Comparison of the crack initiation angles between theoretical and simulation results

圖10 不同傾角β 下的起裂角Fig.10 Crack initiation angle at different β

圖11 β=60°時裂紋的演化Fig.11 Evolution of cracks at β=60°

在顆粒流計算中，研究兩個顆粒間的單一微裂紋是無具體意義的，宏觀裂紋是多個顆粒之間形成的微裂紋集。因此，在數(shù)值計算中，外部載荷作用下陶瓷內(nèi)部裂紋成核生長，多個微裂紋匯聚交錯使試件發(fā)生宏觀裂紋，此時試件承受的應力認為是起裂應力。圖12 為含預制裂紋試件與加載軸線呈不同傾角時起裂應力的變化規(guī)律。隨著傾角的增大，起裂應力呈現(xiàn)先減小后增大的變化趨勢；當傾角為30°時，起裂應力最小，表明預制裂紋尖端處最容易產(chǎn)生翼型裂紋，文獻[24–25]研究了單軸加載下巖石的破壞，也有相類似的結論。

圖12 不同傾角β 下的起裂應力Fig.12 Crack initiation stress at different β

4 結 論

本研究基于離散元法和改進的SHPB 實驗裝置研究了平臺圓盤氧化鋁陶瓷的動態(tài)拉伸破壞，揭示了不同傾角下含預制裂紋平臺圓盤試件的裂紋擴展和演化過程，并結合裂紋尖端的應力場分布獲得了翼型裂紋的起裂特征。

(1) 基于顆粒流法，建立了基于SHPB 實驗技術的數(shù)值計算模型，標定了氧化鋁陶瓷的平節(jié)理黏結模型參數(shù)，并結合宏觀力學參數(shù)驗證了數(shù)值計算模型的有效性。

(2) 氧化鋁陶瓷動態(tài)破壞的離散元模擬結果表明，陶瓷試件初始裂紋出現(xiàn)于試件中部，次生裂紋從圓盤邊緣處萌發(fā)并向試件中部發(fā)展，大量裂紋擴展與匯合導致試件最終產(chǎn)生軸向劈裂破壞，與實驗現(xiàn)象一致。

(3) 傾角（預制裂紋與加載軸線的夾角）為0°～ 60°時，拉伸破壞為氧化鋁陶瓷試件的主要破壞模式。由于預制裂紋尖端處存在應力集中，導致翼型裂紋從預制裂紋尖端處萌生并擴展，最終與加載軸線方向平行。隨著傾角增加，起裂角增大，起裂應力呈現(xiàn)先減小后增大的變化趨勢；當傾角為30°時，平臺圓盤陶瓷試件內(nèi)最容易產(chǎn)生翼型裂紋。