五模點(diǎn)陣材料靜態(tài)力學(xué)性能研究?

韓邦熠 張振華

（海軍工程大學(xué)艦船與海洋學(xué)院 武漢 430033）

1 引言

五模材料作為一種超材料，其特殊的力學(xué)性能使其在聲學(xué)隱身以及抗沖擊防護(hù)等領(lǐng)域具有廣闊的應(yīng)用潛力。而這些都是基于坐標(biāo)變換理論，即通過合理排布五模材料胞元，使結(jié)構(gòu)中的模量呈規(guī)律性變化，從而彎曲波在五模材料中的傳播軌跡，達(dá)到調(diào)控波的目的。因此，研究五模材料的等效力學(xué)參數(shù)十分重要。

五模材料由Milton 和Cherkaev［1］于1995 年首次提出，其彈性剛度矩陣的6 個特征值僅有1 個不為零，是一種具有“流體”性質(zhì)的超材料。Milton［2］等研究了彈性動力學(xué)方程的空間坐標(biāo)變換，理論上通過設(shè)計結(jié)構(gòu)的模量變化，可以實(shí)現(xiàn)彈性波的隱身。此后，Norris［3］在Milton的基礎(chǔ)上針對性研究了聲學(xué)坐標(biāo)變換，并提出了聲學(xué)斗篷的概念，研究發(fā)現(xiàn)要想實(shí)現(xiàn)聲隱身，隱身斗篷的密度和剛度二者或之一必須是強(qiáng)各向異性的，因此僅依靠常規(guī)材料想要實(shí)現(xiàn)聲隱身幾乎不可能，但五模材料可以很好的解決這個問題，讓聲學(xué)斗篷的實(shí)現(xiàn)成為可能。受加工工藝的限制，早期對五模材料的研究工作主要集中于理論和仿真階段，直到2012 年，Kadic［4］等通過光刻技術(shù)首次制作出了有一定承載能力的三維五模材料模型。Schittny［5］等通過3D 打印技術(shù)制作了實(shí)體三維五模材料，通過對比不同的胞元結(jié)構(gòu)及連接形式，發(fā)現(xiàn)最佳聲學(xué)性能對應(yīng)的品質(zhì)因子在1000左右。Hedayati［6］等利用金屬粉末熔融制造技術(shù)制作了三維雙錐型胞元五模材料，發(fā)現(xiàn)金屬五模超材料的機(jī)械性能與它們的相對密度無關(guān)，這意味著金屬五模超材料的機(jī)械和質(zhì)量傳輸性能可以相互解耦。Layman［7］等提出了一種由傾斜蜂窩晶格組成的二維五模結(jié)構(gòu)，通過仿真發(fā)現(xiàn)具有良好的應(yīng)力波調(diào)控能力，將五模材料從三維結(jié)構(gòu)簡化為二維結(jié)構(gòu)，極大地降低了制作難度。Cai［8］等研究了二維五模材料的等效力學(xué)性能和聲學(xué)性能，發(fā)現(xiàn)等效力學(xué)性能不能簡單地轉(zhuǎn)化為聲學(xué)性能，胞元結(jié)構(gòu)參數(shù)對力學(xué)性能和聲學(xué)性能的影響有很大不同。張晗［9］和樊昕沂［10］等研究了二維五模材料胞元結(jié)構(gòu)、尺寸對五模材料力學(xué)性能的影響，發(fā)現(xiàn)胞元結(jié)構(gòu)和尺寸會對頻散曲線產(chǎn)生顯著影響，從而影響五模材料的力學(xué)性能。Zhang［11］研究了二維五模結(jié)構(gòu)的薄壁厚度和結(jié)構(gòu)層數(shù)對五模結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能的影響，結(jié)果表明，隨著薄壁厚度從0.15 mm 增加到0.45 mm，五模結(jié)構(gòu)的壓縮模量增大，泊松比減小，隨著層數(shù)的增加，五模結(jié)構(gòu)的泊松比迅速增大，最終達(dá)到0.50～0.55 的穩(wěn)定值，研究結(jié)果為同時具有承載能力和五模性能的復(fù)合材料結(jié)構(gòu)設(shè)計和開發(fā)提供了依據(jù)。

本論文為研究五模材料力學(xué)性能，制作了4 個五模點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)試驗(yàn)?zāi)Ｐ停⑦M(jìn)行了靜態(tài)力學(xué)試驗(yàn)及仿真，相關(guān)結(jié)論對五模材料靜態(tài)力學(xué)試驗(yàn)有一定指導(dǎo)意義。

2 五模胞元等效力學(xué)參數(shù)公式

對于周期性結(jié)構(gòu)，通常需要獲取其等效密度和等效彈性矩陣。對于如圖1 所示的蜂窩結(jié)構(gòu)五模胞元，其結(jié)構(gòu)十分規(guī)則，并且對稱度高，可以通過解析均質(zhì)化求解等效力學(xué)參數(shù)，即通過解析式求解獲取等效力學(xué)參數(shù)。在長波條件下微結(jié)構(gòu)胞元一般不存在共振現(xiàn)象，因此蜂窩結(jié)構(gòu)五模胞元的等效密度可表示為

圖1 蜂窩結(jié)構(gòu)五模胞元示意圖

式中，mcell為胞元總質(zhì)量；Vcell為胞元所占空間體積。等效彈性矩陣主要受豎桿長度h、斜桿長度l、壁厚t和拓?fù)浣嵌圈鹊挠绊??；诰€彈性理論和應(yīng)變能等效原理，對蜂窩結(jié)構(gòu)五模胞元進(jìn)行均質(zhì)化處理，其等效彈性矩陣如下［12］：

式中，為x 軸方向剛度；為y 軸方向剛度；為兩個主方向間的耦合剛度；為等效剪切剛度；ES為基材彈性模量；ξ為桿件長度比，ξ=；δ為桿件長細(xì)比，δ=。二維空間中，彈性介質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系可以表示為

式中，σii、εii為主方向的應(yīng)力、應(yīng)變分量；τ、γ為剪切應(yīng)力、應(yīng)變，需要注意的是，此處的γ為張量剪切應(yīng)變，其大小為工程剪切應(yīng)變的一半。由式（7）推導(dǎo)可得

求解方程組（8）可得

式中，Ex、Ey為主方向彈性模量；G為剪切模量。

3 五模點(diǎn)陣材料靜態(tài)力學(xué)試驗(yàn)

3.1 模型設(shè)計制作

為研究五模點(diǎn)陣材料的力學(xué)性能，共設(shè)計制作了4 個試驗(yàn)?zāi)Ｐ?，如圖2 所示。靜態(tài)力學(xué)試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷木唧w設(shè)計制作過程為，第一步利用AutoCAD軟件繪制試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷亩S平面圖，再通過三維繪圖功拉伸成三維結(jié)構(gòu)，并輸出為stl 格式文件。第二步通過ideaMaker 切片軟件打開stl 文件，對模型進(jìn)行切片處理，并輸出3D 打印文件。第三步將3D 打印文件輸入至3D打印機(jī)，制作實(shí)物模型。

圖2 靜態(tài)力學(xué)試驗(yàn)?zāi)Ｐ徒Y(jié)構(gòu)圖

試驗(yàn)?zāi)Ｐ徒Y(jié)構(gòu)參數(shù)取值為t1=1mm，l1=10mm，t2=0.5mm，l2=5mm，θ=120°，a1=50mm，b1=52mm，a2=25mm，b2=26mm，模型厚度為30mm。制作試驗(yàn)?zāi)Ｐ退x用的基材為PC 材料，材料參數(shù)為彈性模量Es=2000MPa，密度ρs=1200kg/m3，泊松比ν=0.4。模型1 為壓縮試驗(yàn)?zāi)Ｐ?，模?、模型3、模型4 為壓縮及剪切試驗(yàn)?zāi)Ｐ?。沿x 方向?qū)δＰ?、模型2、模型3、模型4 進(jìn)行靜態(tài)加載，試驗(yàn)?zāi)Ｐ蛯⑹艿綁嚎s力，通過計算應(yīng)力應(yīng)變可以獲取五模點(diǎn)陣材料的彈性模量，沿y 方向?qū)δＰ?、模型3、模型4 進(jìn)行靜態(tài)加載，試驗(yàn)?zāi)Ｐ蛯⑹艿郊羟辛?，通過計算應(yīng)力應(yīng)變可以獲取五模點(diǎn)陣材料的剪切模量。其中需要注意的是，模型1 和模型2 的五模點(diǎn)陣胞元結(jié)構(gòu)完全一致，模型1 靜態(tài)力學(xué)試驗(yàn)所獲取的彈性模量為模型1 在x 方向的彈性模量，模型2 靜態(tài)力學(xué)試驗(yàn)所獲取的彈性模量實(shí)際為模型1 在y 方向的彈性模量。

3.2 試驗(yàn)實(shí)施

靜態(tài)力學(xué)試驗(yàn)開始前，將試驗(yàn)?zāi)Ｐ椭糜跂|華萬能試驗(yàn)機(jī)下壓縮頭的中心位置，通過傳感裝置將萬能試驗(yàn)機(jī)與電腦相連接，利用靜態(tài)壓縮控制軟件調(diào)節(jié)上壓縮頭位置，使試驗(yàn)?zāi)Ｐ褪艿揭欢ǖ膲毫ψ饔?，然后將力、位移?shù)值清零，如圖3 所示。設(shè)置加載方式為恒速壓縮，加載速度為2mm/min，采樣頻率為20Hz。通過對4 個試驗(yàn)?zāi)Ｐ瓦M(jìn)行靜態(tài)力學(xué)試驗(yàn)，獲取了力和位移數(shù)據(jù)，并繪制力-位移曲線，在此過程中發(fā)現(xiàn)，測量彈性模量試驗(yàn)的力-位移曲線十分平滑，無需擬合處理，測量剪切模量試驗(yàn)的力-位移曲線呈鋸齒狀，需進(jìn)行擬合處理，擬合處理前和擬合處理后的力-位移曲線如圖4所示。

圖3 靜態(tài)力學(xué)試驗(yàn)圖

圖4 力-位移曲線

取位移為1mm 時，讀取壓縮力和剪切力的大小，計算4 個模型所受的應(yīng)力及應(yīng)變。彈性模量試驗(yàn)中，即沿x 方向靜態(tài)加載，模型1 所受應(yīng)力為1.6712×105Pa，應(yīng)變?yōu)?.02；模型2 所受應(yīng)力為1.7932×105Pa，應(yīng)變?yōu)?.0192；模型3 所受應(yīng)力為1.7064×106Pa，應(yīng)變?yōu)?.04；模型4 所受應(yīng)力為3.397×105Pa，應(yīng)變?yōu)?.04。剪切模量試驗(yàn)中，即沿y方向靜態(tài)加載，模型2所受應(yīng)力為1.0282×104Pa，應(yīng)變?yōu)?.0192；模型3 所受應(yīng)力為1.8764×105Pa，應(yīng)變?yōu)?.04；模型4 所受應(yīng)力為2.4897×104Pa，應(yīng)變?yōu)?.04。在此基礎(chǔ)上可以計算4個試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷脑囼?yàn)彈性模量與剪切模量，如表1所示。

表1 彈性模量與剪切模量

通過第2 節(jié)中的蜂窩結(jié)構(gòu)五模胞元等效力學(xué)參數(shù)公式可以計算4 個模型的理論彈性模量與剪切模量，E1、E2和G2分別對應(yīng)為模型1 胞元的Ey、Ex和G，E3和G3分別對應(yīng)為模型3 胞元的Ey和G，E4和G4分別對應(yīng)為模型4胞元的Ey和G，具體數(shù)值見表1。分析蜂窩結(jié)構(gòu)五模胞元等效力學(xué)參數(shù)公式不難發(fā)現(xiàn)，等效彈性矩陣僅與基材彈性模量ES、桿件長度比ξ、桿件長細(xì)比δ和拓?fù)浣嵌圈认嚓P(guān)，當(dāng)這幾個變量相同時，五模材料有相同的等效彈性矩陣、彈性模量和剪切模量，如：E1=E4，G2=G4。此外，對比模型3 和模型4 發(fā)現(xiàn)，隨著桿件長細(xì)比δ的增大，彈性模量和剪切模量均隨之增大，模型3相較于模型4，彈性模量增大了184.4%，而剪切模量增大了693.9%。因此，較大的桿件長細(xì)比會使五模材料的剪切模量快速增加，降低材料的五模特性。

表中，Ei為模型i的彈性模量，單位為MPa；Gi為模型i 的剪切模量，單位為MPa。對比試驗(yàn)結(jié)果與理論結(jié)果發(fā)現(xiàn)，除了模型3 的彈性模量E3，其他彈性模量和剪切模量的試驗(yàn)結(jié)果同理論結(jié)果均十分吻合，誤差在20%以內(nèi)。對于模型3，共計進(jìn)行了3 次x 方向壓縮試驗(yàn)，3 次試驗(yàn)的力-位移曲線如圖5 所示。3 次試驗(yàn)的數(shù)據(jù)誤差均在合理范圍，最后計算得出彈性模量E3的試驗(yàn)結(jié)果也均在40MPa 以上，因此，模型3 試驗(yàn)彈性模量同理論彈性模量誤差過大的原因并非是試驗(yàn)中的偶然誤差，而可能是由于試驗(yàn)?zāi)Ｐ驮谥谱鬟^程中或結(jié)構(gòu)形式上存在一定缺陷所致。

圖5 模型3在x方向壓縮試驗(yàn)力-位移曲線

4 五模點(diǎn)陣材料靜態(tài)力學(xué)仿真

4.1 有限元模型的建立

在COMSOL 有限元仿真軟件中，對4 個試驗(yàn)?zāi)Ｐ瓦M(jìn)行仿真建模，如圖6 所示。4 個有限元模型均與實(shí)物模型尺寸完全一致，空間維度設(shè)置為二維，并將有限元模型厚度設(shè)置為30mm，物理場選用固體力學(xué)模塊，研究選用穩(wěn)態(tài)研究。有限元模型材料選用PC 材料，材料參數(shù)設(shè)置為彈性模量Es=2000MPa，密度ρs=1200kg/m3，泊松比ν=0.4。荷載采用均布荷載，加載邊的對邊設(shè)置為固定約束，對有限元模型采用自由三角形網(wǎng)格劃分，x 方向和y方向的靜態(tài)力學(xué)加載分別單獨(dú)進(jìn)行。

圖6 有限元模型圖

4.2 仿真結(jié)果分析

從仿真結(jié)果中可以輸出應(yīng)力和位移數(shù)值以及放大變形后的位移云圖，如圖7 所示。x 方向加載仿真中，即彈性模量仿真，模型1 所受應(yīng)力為1000Pa，應(yīng)變?yōu)?.138×10-4；模型2 所受應(yīng)力為1000Pa，應(yīng)變?yōu)?.015×10-4；模型3 所受應(yīng)力為1000Pa，應(yīng)變?yōu)?.868×10-5；模型4 所受應(yīng)力為1000Pa，應(yīng)變?yōu)?.124×10-4。y 方向加載仿真中，即剪切模量仿真，模型2 所受應(yīng)力為1000Pa，應(yīng)變?yōu)?.635×10-3；模型3 所受應(yīng)力為1000Pa，應(yīng)變?yōu)?.464×10-4；模型4 所受應(yīng)力為1000Pa，應(yīng)變?yōu)?.526×10-3。在此基礎(chǔ)上可以計算4 個有限元模型的仿真彈性模量與剪切模量，如表1所示。

圖7 仿真位移云圖

仿真結(jié)果計算得出的彈性模量與剪切模量同試驗(yàn)結(jié)果計算得出的彈性模量與剪切模量誤差均在20%以內(nèi)，試驗(yàn)結(jié)果與仿真結(jié)果相互驗(yàn)證。這說明了模型3 在3D 打印制作過程中未出現(xiàn)明顯缺陷，導(dǎo)致模型3 的理論彈性模量明顯低于試驗(yàn)值和仿真值的原因應(yīng)該是結(jié)構(gòu)形式的缺陷。通過理論公式計算得出的五模點(diǎn)陣材料彈性模量，其前提條件是材料無窮大，沒有邊界約束，而試驗(yàn)和仿真中的模型3 存在邊界約束，這在一定程度上降低了模型3 的應(yīng)變大小。為削弱邊界條件的影響，在COMSOL有限元仿真軟件中，重新建立一個胞元結(jié)構(gòu)同模型3 完全一致的模型5，模型5 在x方向的胞元數(shù)量為模型3 的3 倍，在y 方向的胞元數(shù)量與模型3相等，其他條件設(shè)置均同模型3完全一致，如圖8所示。仿真結(jié)果中，模型5所受應(yīng)力為1000Pa，應(yīng)變?yōu)?.4×10-4，計算得出的彈性模量為29.412MPa，與理論值相接近，誤差在20%以內(nèi)。因此，靜態(tài)力學(xué)試驗(yàn)中，模型3 是由于邊界約束的存在，抑制了其y 方向的變形，從而增強(qiáng)了模型3 在x 方向的彈性模量。試驗(yàn)結(jié)果、仿真結(jié)果充分驗(yàn)證了五模點(diǎn)陣胞元等效力學(xué)參數(shù)公式的準(zhǔn)確性，對于蜂窩結(jié)構(gòu)五模胞元，可以直接采用理論公式計算其等效力學(xué)參數(shù)。

圖8 模型5位移云圖

4 個試驗(yàn)?zāi)Ｐ椭?，只有模? 受到了明顯的邊界約束影響。模型1、2、4 都具有相同的桿件長細(xì)比δ，而模型3 的桿件長細(xì)比為其他模型的兩倍，因此，模型3 中，與邊界連接的桿件部分可以更加有效地傳遞邊界約束的影響，從而造成了模型3 的試驗(yàn)彈性模量相較于理論彈性模量出現(xiàn)了明顯的升高。在對五模點(diǎn)陣材料進(jìn)行靜態(tài)力學(xué)試驗(yàn)時，對胞元桿件長細(xì)比較大的構(gòu)件，應(yīng)注意削弱邊界約束對變形的影響，以免造成較大的誤差。

5 結(jié)語

本文進(jìn)行了五模點(diǎn)陣材料靜態(tài)力學(xué)試驗(yàn)及仿真，獲取了對應(yīng)的彈性模量和剪切模量，相關(guān)結(jié)論如下：

1）通過靜態(tài)力學(xué)試驗(yàn)及仿真分別獲得了五模點(diǎn)陣材料的彈性模量和剪切模量，試驗(yàn)值與仿真值吻合較好。通過五模胞元等效力學(xué)參數(shù)公式可以計算得出理論彈性模量和理論剪切模量，除去邊界因素影響后，理論值與試驗(yàn)值和仿真值吻合較好。通過試驗(yàn)和仿真驗(yàn)證了五模胞元等效力學(xué)參數(shù)公式的準(zhǔn)確性。此外，對于基材彈性模量ES、桿件長度比ξ、桿件長細(xì)比δ和拓?fù)浣嵌圈?相同的五模材料，其等效彈性矩陣、彈性模量和剪切模量均相同。較大的桿件長細(xì)比會使五模材料的剪切模量快速增加，降低材料的五模特性。

2）處理試驗(yàn)結(jié)果時，發(fā)現(xiàn)模型3 試驗(yàn)彈性模量與理論值有較大誤差，且并非試驗(yàn)中的偶然誤差所致。仿真研究發(fā)現(xiàn)，造成模型3 彈性模量有較大誤差的原因是模型3 受邊界約束的影響。通過仿真削弱邊界約束的影響后發(fā)現(xiàn)，仿真結(jié)果同理論結(jié)果的誤差在合理范圍內(nèi)。因此，在對五模點(diǎn)陣材料進(jìn)行靜態(tài)力學(xué)試驗(yàn)時，對胞元桿件長細(xì)比較大的構(gòu)件，應(yīng)注意削弱邊界約束對變形的影響，以免造成較大的誤差。