對(duì)基于“理解”的高中數(shù)學(xué)探究活動(dòng)設(shè)計(jì)的幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)

凌佳麗

［摘? 要］ 設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)探究活動(dòng)時(shí)，教師應(yīng)從教學(xué)實(shí)際出發(fā)，將教學(xué)中學(xué)生難以理解的知識(shí)通過有效的探究活動(dòng)轉(zhuǎn)化為易于理解的知識(shí)，以此讓學(xué)生逐漸深化理解，靈活應(yīng)用知識(shí)解決問題. 同時(shí)，在教學(xué)中，教師應(yīng)關(guān)注學(xué)生的思維發(fā)展，善于通過啟發(fā)、指導(dǎo)、合作、反思等教學(xué)活動(dòng)提升教學(xué)效率.

［關(guān)鍵詞］ 探究活動(dòng)；理解；教學(xué)效率

數(shù)學(xué)探究活動(dòng)因其在發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維、培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)、提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力等方面具有突出價(jià)值，故在教學(xué)中得到了廣泛應(yīng)用. 不過在實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，一些數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的設(shè)計(jì)不盡如人意，如有的活動(dòng)設(shè)計(jì)缺乏目的性，只是為了活動(dòng)而活動(dòng)；有的活動(dòng)設(shè)計(jì)缺乏深度，不利于學(xué)生把握數(shù)學(xué)本質(zhì)；有的活動(dòng)設(shè)計(jì)過于強(qiáng)調(diào)生活化，使活動(dòng)缺乏“數(shù)學(xué)味”，未能誘發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思考，等等. 這些數(shù)學(xué)探究活動(dòng)都流于形式，未能有效服務(wù)學(xué)生、服務(wù)教學(xué).

眾所周知，數(shù)學(xué)是抽象的，想讓學(xué)生靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題，首要任務(wù)就是讓學(xué)生理解知識(shí). 理解與記憶、遷移、創(chuàng)造等學(xué)習(xí)活動(dòng)息息相關(guān)，其是數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的基礎(chǔ)和核心目標(biāo). 缺乏理解的記憶就是死記硬背，很難實(shí)現(xiàn)知識(shí)遷移，學(xué)生也無法靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)去解決問題. 因此，在數(shù)學(xué)探究活動(dòng)設(shè)計(jì)上應(yīng)重視“理解”. 理解可視為一切數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的核心. 設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)探究活動(dòng)時(shí)，教師應(yīng)以學(xué)生的認(rèn)知水平為出發(fā)點(diǎn)，把活動(dòng)設(shè)計(jì)與實(shí)施視為數(shù)學(xué)知識(shí)理解的過程，以此讓學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上自然地完成知識(shí)的記憶和遷移，有效發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.

理解性數(shù)學(xué)探究活動(dòng)具有哪些基本特征？其設(shè)計(jì)要素又是什么呢？筆者結(jié)合教學(xué)實(shí)踐談?wù)剮c(diǎn)對(duì)理解性數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的認(rèn)識(shí)，若有不足，請(qǐng)指正！

理解性數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的基本特征

1. 數(shù)學(xué)性

數(shù)學(xué)探究活動(dòng)最終是為數(shù)學(xué)教學(xué)服務(wù)的，因此開展數(shù)學(xué)探究活動(dòng)時(shí)應(yīng)以數(shù)學(xué)思想為指導(dǎo)，引領(lǐng)學(xué)生用數(shù)學(xué)方法解決問題，以讓學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)知識(shí)，形成數(shù)學(xué)能力. 基于理解的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)設(shè)計(jì)應(yīng)從學(xué)生已有的認(rèn)知體系出發(fā)，關(guān)注學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，摒棄那些花里胡哨、華而不實(shí)、偏離主題的偽探究活動(dòng)，緊緊圍繞教學(xué)內(nèi)容開展有意義的探究活動(dòng)，以此提高探究活動(dòng)的有效性. 另外，在教學(xué)活動(dòng)中，教師應(yīng)充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，從數(shù)學(xué)本質(zhì)出發(fā)，讓學(xué)生從數(shù)學(xué)層面去理解知識(shí)、應(yīng)用知識(shí)，以此提高學(xué)生的“四基”.

2. 層次性

學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知理解水平與思維發(fā)展水平息息相關(guān)，可分為不同層次，并呈現(xiàn)出螺旋式的發(fā)展?fàn)顟B(tài). 由于學(xué)生個(gè)體受認(rèn)知結(jié)構(gòu)、思維水平、學(xué)習(xí)環(huán)境等諸多因素的影響，學(xué)習(xí)能力各有差異，因此教師設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)探究活動(dòng)時(shí)應(yīng)尊重差異，切實(shí)以學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知理解水平為出發(fā)點(diǎn)，為不同層次的學(xué)生設(shè)計(jì)不同的探究活動(dòng)，并鼓勵(lì)學(xué)生完成本層級(jí)的探究活動(dòng)后進(jìn)入下一層級(jí)的探究活動(dòng). 隨著探究活動(dòng)的不斷深入，學(xué)生對(duì)知識(shí)本質(zhì)會(huì)有更深層次的理解. 站在學(xué)生的角度設(shè)計(jì)的探究活動(dòng)更易于提升學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，從而使學(xué)生的學(xué)習(xí)能力螺旋上升.

3. 思維性

理解是一種感悟，是一種思維活動(dòng). 在數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，內(nèi)在思維活動(dòng)才是核心，只有引發(fā)學(xué)生思考，促進(jìn)思維能力發(fā)展，才能實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)理解層次的進(jìn)一步提升. 因此，教師設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)探究活動(dòng)時(shí)要重視思維能力的發(fā)展，在教學(xué)中應(yīng)多問幾個(gè)“為什么”“你是怎么想出來的”等，通過追問展示學(xué)生的思維過程，促進(jìn)學(xué)生的思維深度參與活動(dòng)，讓學(xué)生更高層次地理解知識(shí)的本質(zhì).

4. 指導(dǎo)性

雖然高中生具有一定的自主探究和合作學(xué)習(xí)能力，但因其知識(shí)水平、自身經(jīng)驗(yàn)等具有一定的局限性，故在數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中需要教師給予必要的指導(dǎo)，以此激發(fā)學(xué)生思維活力，提升學(xué)生參與課堂的積極性. 在教學(xué)中，教師要深入理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)，基于“三個(gè)理解”設(shè)計(jì)一些目標(biāo)明確、任務(wù)清晰、富有創(chuàng)造性的探究活動(dòng)，并指導(dǎo)探究活動(dòng)朝著更有意義的方向發(fā)展，逐步提高學(xué)生的思維力、創(chuàng)造力. 另外，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是復(fù)雜的，學(xué)習(xí)中難免遇到問題，教師可以將探究活動(dòng)設(shè)計(jì)放在這些“疑難點(diǎn)”“模糊點(diǎn)”“易錯(cuò)點(diǎn)”上，從而引導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確理解和把握所學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)融會(huì)貫通.

5. 協(xié)作性

合作是數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中的重要一環(huán)，學(xué)生通過溝通交流可以更好地建立認(rèn)知、理解知識(shí). 師生、生生之間的有效交流以及學(xué)生的自我反思是學(xué)生獲得數(shù)學(xué)理解的重要途徑. 不過在現(xiàn)實(shí)教學(xué)中，因受時(shí)間、空間等要素的影響，合作學(xué)習(xí)常常流于形式，并未引起師生的足夠重視，灌輸式講授依然是教學(xué)主流，這樣“重講授、輕合作”的課堂教學(xué)活動(dòng)不利于學(xué)生深度理解所學(xué)知識(shí). 在教學(xué)中，教師要為學(xué)生提供一定的時(shí)間和空間進(jìn)行交流，讓學(xué)生在交流的過程中取長(zhǎng)補(bǔ)短，完成想法的梳理、加工、修正，以此提高學(xué)生的認(rèn)知水平. 同時(shí)，教師還要引導(dǎo)學(xué)生通過自我反思發(fā)現(xiàn)認(rèn)知上的漏缺，通過自我反思獲得經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，通過自我反思再認(rèn)識(shí)知識(shí)，進(jìn)一步深化知識(shí)理解，提升自主學(xué)習(xí)能力.

設(shè)計(jì)要素

教師設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)探究活動(dòng)時(shí)，要著眼于全局，關(guān)注全員全面發(fā)展，通過逐層遞進(jìn)的探究活動(dòng)讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維螺旋上升，讓學(xué)生對(duì)知識(shí)有更深層次的理解，實(shí)現(xiàn)“教”與“學(xué)”的全面提升.

1. 制定明確的理解性目標(biāo)

設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)探究活動(dòng)時(shí)，教師要充分理解教材、理解學(xué)生，以課程標(biāo)準(zhǔn)為依據(jù)，為不同層次的學(xué)生設(shè)計(jì)不同的理解性目標(biāo)，運(yùn)用不同的教學(xué)策略提升學(xué)生的探究積極性. 另外，在教學(xué)中，教師要知曉學(xué)生需要理解什么，需要理解到什么程度. 只有這樣才能通過創(chuàng)設(shè)有針對(duì)性的、啟發(fā)性的、可操作性的探究活動(dòng)來誘發(fā)學(xué)生思考數(shù)學(xué).

例如，教學(xué)“對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)”時(shí)，教師結(jié)合課程標(biāo)準(zhǔn)確定了如下理解性目標(biāo)：準(zhǔn)確給出對(duì)數(shù)函數(shù)的定義；可以利用描點(diǎn)法繪制圖象，并結(jié)合圖象說出對(duì)數(shù)函數(shù)的特征及基本性質(zhì)；運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)的特征及基本性質(zhì)解決數(shù)學(xué)問題，如比較兩個(gè)對(duì)數(shù)值的大小.

根據(jù)理解性目標(biāo)，教師可以結(jié)合學(xué)生實(shí)際設(shè)計(jì)不同的活動(dòng)內(nèi)容，以此通過循序漸進(jìn)的引導(dǎo)促進(jìn)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn). 在教學(xué)中，只有制定明確的目標(biāo)才能判斷學(xué)生在探究活動(dòng)中達(dá)到了怎樣的理解程度，才能判斷探究活動(dòng)是否有意義、有價(jià)值，據(jù)此合理設(shè)計(jì)探究活動(dòng)，進(jìn)而提高探究活動(dòng)的有效性.

2. 設(shè)計(jì)有價(jià)值的探究活動(dòng)

在數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，理解是基礎(chǔ)，其貫穿整個(gè)探究活動(dòng)，這需要教師精心設(shè)計(jì)有價(jià)值、有意義的探究活動(dòng)，幫助學(xué)生獲得數(shù)學(xué)理解. 問題是理解的“催化劑”. 在教學(xué)中，教師應(yīng)從問題出發(fā)，在問題的驅(qū)動(dòng)下幫助學(xué)生深入理解知識(shí)，合理應(yīng)用知識(shí)，讓學(xué)生在活動(dòng)中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)本質(zhì)，提升學(xué)習(xí)品質(zhì).

例如教學(xué)“對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)”時(shí)，教師從學(xué)生實(shí)際情況出發(fā)，設(shè)計(jì)了以下四個(gè)環(huán)環(huán)相扣的探究活動(dòng)，讓學(xué)生在理解和掌握相關(guān)概念與性質(zhì)的同時(shí)，體會(huì)蘊(yùn)含其中的思想方法，掌握數(shù)學(xué)研究的基本思路和方法. 具體探究活動(dòng)如下：

探究1 創(chuàng)設(shè)情境，形成概念.

問題1 現(xiàn)有一根木棒，第一天取其一半，第二天取剩余一半的一半，以此類推，若剩余木棒的長(zhǎng)度為x時(shí)，其被截取的次數(shù)y與x之間的關(guān)系式是什么？y是x的函數(shù)嗎？

問題2 對(duì)于每一個(gè)對(duì)數(shù)式y(tǒng)=logax，y是x的函數(shù)嗎？

設(shè)計(jì)意圖 借助問題1建立指數(shù)函數(shù)，為接下來運(yùn)用類比探究對(duì)數(shù)函數(shù)做鋪墊. 通過對(duì)問題2的探究，讓學(xué)生深入理解函數(shù)，為引出新概念做好知識(shí)儲(chǔ)備.

探究2 借助辨析，理解概念.

問題1 在對(duì)數(shù)函數(shù)中，為什么要限定a>0且a≠1呢？

問題2 為什么對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax（a>0且a≠1）的定義域是（0，+∞）？

設(shè)計(jì)意圖 通過對(duì)問題1和問題2的探究進(jìn)一步深化學(xué)生對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)概念的理解；通過對(duì)問題3的判斷，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用概念解決問題，加深學(xué)生對(duì)函數(shù)定義的理解，促進(jìn)學(xué)生內(nèi)化概念.

探究3 借助實(shí)踐，探索性質(zhì).

問題1 回憶探究指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的方法，說一說應(yīng)該如何探究對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì).

問題3 借助幾何畫板演示a>1和0<a<1時(shí)的對(duì)數(shù)函數(shù)圖象，通過對(duì)比分析，總結(jié)歸納對(duì)數(shù)函數(shù)的特征和性質(zhì). （教師操作，學(xué)生觀察、分析、交流、總結(jié)）

設(shè)計(jì)意圖 通過具體操作、直觀觀察，獲得對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，借助數(shù)形結(jié)合法更好地理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念. 問題3利用信息技術(shù)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行對(duì)比分析，總結(jié)歸納對(duì)數(shù)函數(shù)的特征和性質(zhì). 借助“形”的直觀有利于學(xué)生理解知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性.

探究4 精選例題，深化理解.

問題1 求下列函數(shù)的定義域：

問題2 比較下列各題中兩個(gè)值的大小.

①log23.4，log28.5；②log1.8，log2.7；③log5.1，log5.9（a>0且a≠1）.

設(shè)計(jì)意圖 通過具體練習(xí)使學(xué)生進(jìn)一步理解對(duì)數(shù)函數(shù)的定義及性質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)解決問題.

以上探究活動(dòng)從問題出發(fā)，遵循學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，通過循序漸進(jìn)的引導(dǎo)使學(xué)生理解并掌握了對(duì)數(shù)函數(shù)的概念、特征及性質(zhì). 在探究過程中，與學(xué)生已有的指數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)相類比，引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)研究對(duì)數(shù)函數(shù)的基本思路和方法，有利于學(xué)生理解知識(shí).

3. 重視探究活動(dòng)的指導(dǎo)

在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生面對(duì)一些探究任務(wù)時(shí)常常無從入手，不知道該做什么，也不知道從何做起，很難參與到探究活動(dòng)中去，使得探究活動(dòng)形同虛設(shè)，不利于有價(jià)值的探究活動(dòng)開展. 基于此，教師應(yīng)充分發(fā)揮其引領(lǐng)者的作用，通過恰當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)為學(xué)生搭建思維活動(dòng)的“腳手架”，幫助學(xué)生跨過障礙.

例如，在推導(dǎo)余弦定理的過程中，教師首先出示問題“在△ABC中，如何用邊a，b及其夾角C表示邊c”，這樣直接拋出問題讓學(xué)生獨(dú)自探究，難免讓學(xué)生無所適從，因此教師有必要給出一些提示，引導(dǎo)學(xué)生找到合適的推導(dǎo)方法，以此提高教學(xué)的有效性.

提示1 聯(lián)想推導(dǎo)正弦定理的方法，你能否找到解決問題的突破口？

提示2 根據(jù)條件中提到的“夾角C”，你想到了哪些與之相關(guān)的內(nèi)容？

提示3 求邊c，實(shí)際上就是求哪兩點(diǎn)的距離？能否從“距離”的角度去解決呢？

設(shè)計(jì)意圖 提示1通過與正弦定理的推導(dǎo)方法相對(duì)比，引導(dǎo)學(xué)生利用解直角三角形的思路探尋余弦定理的推導(dǎo)方法；提示2利用“夾角”引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想到向量，并讓學(xué)生嘗試用向量法推導(dǎo)余弦定理；提示3則引導(dǎo)學(xué)生利用坐標(biāo)法推導(dǎo)余弦定理.

在探究活動(dòng)中，教師應(yīng)認(rèn)真研究教材、研究學(xué)生，充分發(fā)揮其組織、引導(dǎo)、啟發(fā)等作用，促使學(xué)生從不同的角度去思考和解決問題，以此深化學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，提高教學(xué)的有效性.

4. 重視交流和反思

在探究活動(dòng)中，教師應(yīng)給學(xué)生提供時(shí)間和空間進(jìn)行交流，如通過師生交流讓教師發(fā)現(xiàn)學(xué)生理解的過程和深度，是否存在盲點(diǎn)和誤區(qū)；通過生生交流進(jìn)行優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)，讓學(xué)生更加全面地認(rèn)識(shí)知識(shí)、理解知識(shí)，讓每一個(gè)學(xué)生都有不同程度的發(fā)展. 完成數(shù)學(xué)探究活動(dòng)后，教師要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行反思，這樣不僅有助于學(xué)生系統(tǒng)化建構(gòu)知識(shí)，而且可以優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，有利于學(xué)生提升學(xué)習(xí)能力.

例如，完成余弦定理的推導(dǎo)后，教師給出如下兩個(gè)問題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思.

問題1 說一說，在推導(dǎo)過程中你遇到了哪些問題？是如何突破的？

問題2 除了以上推導(dǎo)方法外，你是否還有其他方法呢？與同伴交流，你認(rèn)為哪種方法是最優(yōu)方法？

設(shè)計(jì)意圖 通過問題1引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思回顧，增強(qiáng)學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的主動(dòng)性，幫助學(xué)生挖掘問題中蘊(yùn)含的思想方法；通過問題2引導(dǎo)學(xué)生從不同角度發(fā)現(xiàn)解決問題的策略，豐富學(xué)生的解題經(jīng)驗(yàn)，優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

總之，教師要將“理解”作為探究活動(dòng)的核心，并將其貫穿探究活動(dòng)的始終，通過循序漸進(jìn)地引導(dǎo)，使學(xué)生獲得易于理解的知識(shí)，提高教學(xué)的有效性.