體驗(yàn)概念形成過程 發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力

張子超

［摘? 要］ 數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的核心，是學(xué)好數(shù)學(xué)的“金鑰匙”. 為了幫助學(xué)生更好地理解和掌握數(shù)學(xué)概念，教師應(yīng)多帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷概念形成、發(fā)展、應(yīng)用的過程，以此促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力和思維能力穩(wěn)步提升.

［關(guān)鍵詞］ 數(shù)學(xué)概念；過程；學(xué)習(xí)能力

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，大多數(shù)教師認(rèn)為高中數(shù)學(xué)時(shí)間緊、任務(wù)重，對(duì)于那些已經(jīng)得到驗(yàn)證的概念沒有必要再“大費(fèi)周章”地去探究，只要直接講給學(xué)生聽，讓學(xué)生背，然后利用相應(yīng)練習(xí)幫助學(xué)生理解即可. 確實(shí)，這樣表面上看既節(jié)省了時(shí)間，提高了教學(xué)效率，又為學(xué)生提供了較多的練習(xí)時(shí)間，有利于學(xué)生解題能力的提升，是一件“一舉多得”的“好事”. 不過，直接講授很難讓學(xué)生深刻理解概念，這樣勢(shì)必影響學(xué)生后期靈活運(yùn)用，限制學(xué)生長遠(yuǎn)發(fā)展. 同時(shí)，練習(xí)難以體現(xiàn)概念的方方面面，不利于學(xué)生獲得全面的、正確的理解. 因此，在日常教學(xué)中，教師應(yīng)注重概念教學(xué)，讓學(xué)生深刻理解概念，以此培養(yǎng)學(xué)生的“雙基”，落實(shí)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

筆者以“直線的一般式方程”的教學(xué)為例，淺談幾點(diǎn)對(duì)概念教學(xué)的膚淺認(rèn)識(shí)，供參考.

基本情況分析

1. 教材分析

在本節(jié)課教學(xué)前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線方程的四種形式，研究了直線斜率、傾斜角等概念，這些知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)、方法為本節(jié)課教學(xué)提供了智力保障. 可見，本節(jié)課看似新課，然學(xué)生認(rèn)識(shí)豐富，這為開展研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ). 另外，研究直線方程的一般形式，為研究兩直線的位置關(guān)系以及點(diǎn)到直線的距離做了充分準(zhǔn)備.

2. 學(xué)情分析

學(xué)生基礎(chǔ)較好，獨(dú)立思考能力強(qiáng). 根據(jù)教學(xué)反饋，學(xué)生已經(jīng)熟練掌握了點(diǎn)斜式、斜截式等幾種直線方程的形式，并能夠靈活應(yīng)用相關(guān)知識(shí)解決問題.

3. 教學(xué)目標(biāo)

（1）理解直線的一般式方程的含義.

（2）掌握直線方程不同形式之間的轉(zhuǎn)化.

（3）通過研究二元一次方程來研究直線，體驗(yàn)兩者的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

（4）激發(fā)學(xué)生的參與意識(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立思考和合作探究，培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，落實(shí)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng).

4. 教學(xué)重難點(diǎn)

探究并了解直線的一般式方程.

教學(xué)過程

環(huán)節(jié)1：回顧

師：前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線方程的四種形式，它們分別是什么？（教師點(diǎn)名讓學(xué)生回答）

生1：點(diǎn)斜式，y-y=k（x-x）.

生2：斜截式，y=kx+b.

師：非常好，看來大家對(duì)直線方程的四種形式已經(jīng)了如指掌了，那么思考一下，這四種形式有沒有局限性呢？（學(xué)生積極交流，教師投影展示表1）

師：根據(jù)分析我們知道，以上四種形式各有一定的局限性，那么能否找到一種可以表示任意一條直線的一般形式呢？

生5：有，不過目前還沒有學(xué).

師：探究這個(gè)問題前，請(qǐng)同學(xué)們先“做一做”. （教師用PPT給出練習(xí)）

練習(xí)：根據(jù)下列條件，寫出直線的方程.

（1）經(jīng)過點(diǎn)P（-2，3），斜率是2；

（2）經(jīng)過點(diǎn)（1，3），（-1，2）；

（3）在x軸上的截距為2，在y軸上的截距為-3.

（4）經(jīng)過點(diǎn)（1，2），且與x軸平行；

（5）經(jīng)過點(diǎn)（1，2），且與y軸平行.

練習(xí)給出后，教師選擇5名學(xué)生在黑板上作答，答案如下：（1）y-3=2（x+2）；（2）x-2y+5=0；（3）3x-2y-6=0；（4）y=2；（5）x=1.

師：很好，第（1）題中的直線方程還可以寫成什么形式呢？

生6：y=2x+7.

師：是否可以轉(zhuǎn)化為第（2）題和第（3）題那樣的形式呢？

生7：2x-y+7=0.

師：很好，如果將以上5個(gè)直線方程用統(tǒng)一的形式來表示，會(huì)是什么呢？（為了便于學(xué)生回答，教師給予提示：x的系數(shù)用字母A表示，y的系數(shù)用字母B表示，常數(shù)用字母C表示）

設(shè)計(jì)意圖 在教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生從熟悉的直線方程的四種形式出發(fā)，通過探尋各種形式的局限性讓學(xué)生理解研究直線一般式方程的必要性. 在教學(xué)中，教師沒有直接給出直線方程的一般形式，而是引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的轉(zhuǎn)化過程，繼而得到直線的一般式方程Ax+By+C=0. 在教學(xué)中，教師從學(xué)生的已有知識(shí)出發(fā)，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，發(fā)揮學(xué)生的主體作用，為接下來自主探究活動(dòng)的開展奠定了基礎(chǔ).

環(huán)節(jié)2：自主探究

師：現(xiàn)在請(qǐng)大家分組討論以下幾個(gè)問題.

問題1：平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任一條直線都可以用方程Ax+By+C=0來表示嗎？

（教師給學(xué)生3分鐘的時(shí)間進(jìn)行分組討論，然后讓他們分享探究結(jié)果）

師：哪個(gè)小組來展示一下你們的探究結(jié)果？

生8：可以分兩種情況進(jìn)行討論，①當(dāng)直線斜率存在時(shí)，直線方程可以轉(zhuǎn)化為y=kx+b，即kx-y+b=0；②當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為x=x，即x-x=0. 綜上可知，任一條直線都可以用方程Ax+By+C=0來表示.

師：說得非常好，其他小組有不同的意見嗎？（學(xué)生表示贊同該小組的探究結(jié)果）

師：接下來我們探究第2個(gè)問題. （教師用PPT繼續(xù)給出問題）

問題2：任一方程Ax+By+C=0都能表示平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的一條直線嗎？

（同樣，教師讓學(xué)生分組探究，然后交流展示）

生9：我們小組認(rèn)為，這個(gè)問題需要分三種情況進(jìn)行討論.

③當(dāng)B=0，A=0時(shí)，方程Ax+By+C=0表示一個(gè)點(diǎn).

師：這位同學(xué)靈活運(yùn)用了分類討論，是非常不錯(cuò)的想法. 你們是否有不同的意見呢？

生10：我們小組非常贊同生9他們小組給出的前兩種情況，但是對(duì)于第三種情況我們有不同的意見. 當(dāng)B=0，A=0時(shí)，方程Ax+By+C=0表示的不是一個(gè)點(diǎn)，不過具體是什么圖形我們現(xiàn)在也說不清.

師：當(dāng)B=0，A=0時(shí)，到底是什么圖形呢？

生11：這個(gè)應(yīng)該再分兩種情況進(jìn)行討論，①當(dāng)C=0時(shí)，表示平面內(nèi)任一點(diǎn)均可；②當(dāng)C≠0時(shí)，它不能表示任何圖形.

師：說得非常好，那么通過上述分析，若用方程Ax+By+C=0表示平面內(nèi)的一條直線，對(duì)方程各項(xiàng)的系數(shù)有何要求呢？

生12：A，B不全為0.

師：很好. 通過問題1和問題2的探究，我們現(xiàn)在知道，直角坐標(biāo)平面內(nèi)的任一條直線都可以用方程Ax+By+C=0（A，B不全為0）來表示；反之，方程Ax+By+C=0（A，B不全為0）可以表示直角坐標(biāo)平面內(nèi)的任一條直線. 所以我們把方程Ax+By+C=0（A，B不全為0）稱為直線的一般式方程.

設(shè)計(jì)意圖 通過設(shè)計(jì)指向明確的問題，引導(dǎo)學(xué)生合作探究，互相啟發(fā)與幫助，最終發(fā)現(xiàn)直線和二元一次方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系，由此自然地引出直線的一般式方程的定義. 這樣讓學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過程，有利于他們理解概念，激發(fā)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情.

環(huán)節(jié)3：知識(shí)建構(gòu)

師：通過前面的探究我們知道，直線的一般式方程可以表示任一條直線，這樣我們既可以用代數(shù)的方法來研究幾何圖形，也可以用幾何圖形來研究方程，實(shí)現(xiàn)數(shù)形統(tǒng)一. 現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們思考一下，既然直線的一般式方程可以表示任一條直線，為什么我們還要苦苦探尋其他形式的直線方程呢？后面是否還會(huì)用到其他形式的直線方程？

設(shè)計(jì)意圖 引出直線的一般式方程前，對(duì)其他直線方程形式的局限性的探究，勢(shì)必讓學(xué)生產(chǎn)生以上疑惑. 在此將這些疑惑展示出來，利用生生互動(dòng)和師生互動(dòng)幫助學(xué)生排除疑惑，促使學(xué)生感悟直線的一般式方程的優(yōu)越性，發(fā)現(xiàn)其在幾何意義表達(dá)上存在的缺陷，進(jìn)而對(duì)直線的一般式方程的概念有更加深入的理解.

環(huán)節(jié)4：數(shù)學(xué)應(yīng)用

師：我想大家一定迫不及待地想解決一些問題，現(xiàn)在問題就來了. 請(qǐng)大家看一下，以下問題如何解決呢？（教師用PPT給出問題）

問題1：求直線l：3x+5y-15=0的斜率以及它在x軸、y軸上的截距，并作圖.

求解問題1時(shí)，學(xué)生將直線的一般式方程轉(zhuǎn)化為斜截式方程，很快得到了答案.

問題2：直線l的方程為x+my-2m+1=0，請(qǐng)從形的角度補(bǔ)充條件，然后求出m的值.

問題2是一道開放題，教師為學(xué)生預(yù)留充足的時(shí)間讓他們獨(dú)立思考，然后師生互動(dòng)交流，分享結(jié)論.

生13：直線的斜率為1.

生14：直線l與y軸相交于點(diǎn)（0，1）.

生15：直線l與x軸、y軸圍成的三角形的面積為1.

……

師：對(duì)于直線l的方程x+my-2m+1=0，當(dāng)m變化時(shí)，直線有何共同的特征呢？

生齊聲答：直線l過一定點(diǎn).

師：說說你的理由.

生16：直線l的方程x+my-2m+1=0可以轉(zhuǎn)化為x+1+m（y-2）=0，由此可知，直線l恒過點(diǎn)（-1，2）.

設(shè)計(jì)意圖 通過應(yīng)用，讓學(xué)生正確理解直線的一般式方程的含義，并借助相互轉(zhuǎn)化讓學(xué)生理解直線方程各種形式的價(jià)值，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí). 另外，開放題的設(shè)計(jì)有效拓寬了學(xué)生的視野，發(fā)展了學(xué)生的思維，有助于提升學(xué)生的解決問題的能力.

環(huán)節(jié)5：課堂小結(jié)

師：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？

生17：掌握了直線的一般式方程的含義.

生18：知曉了直線與二元一次方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

……

設(shè)計(jì)意圖 預(yù)留時(shí)間讓學(xué)生反思回顧，引導(dǎo)學(xué)生從整體和全局的角度更好地理解本章內(nèi)容，幫助學(xué)生建立正確的、完善的認(rèn)知體系，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.

教學(xué)思考

概念教學(xué)作為數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，教師應(yīng)注重學(xué)生對(duì)概念的深刻理解，這樣有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和創(chuàng)新能力. 反思本節(jié)課的教學(xué)過程，筆者談幾點(diǎn)心得體會(huì).

首先，數(shù)學(xué)概念教學(xué)要從具體實(shí)例出發(fā)，讓學(xué)生更好地感知概念，能經(jīng)歷概念抽象的過程，以此培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)概括能力，幫助學(xué)生理解概念的內(nèi)涵、掌握概念的本質(zhì). 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，有的教師認(rèn)為，高考考查的就是解題能力，只要學(xué)生會(huì)解題，考試能夠取得好成績就是學(xué)好數(shù)學(xué)了. 因此，在概念教學(xué)中，部分教師只重點(diǎn)關(guān)注結(jié)果，很少帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷概念形成和發(fā)展的過程，常將自己理解的知識(shí)、自己的經(jīng)驗(yàn)直接交給學(xué)生，然后用大量的練習(xí)，依靠“灌輸”和“題海戰(zhàn)術(shù)”讓學(xué)生理解和掌握概念. 不過，這種以“灌輸”和“題海戰(zhàn)術(shù)”為主線的教學(xué)活動(dòng)，難以讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)探究的樂趣，不利于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力.

數(shù)學(xué)概念教學(xué)不應(yīng)只重點(diǎn)關(guān)注結(jié)果，也要重點(diǎn)關(guān)注概念形成和發(fā)展的過程. 在概念教學(xué)中，教師不妨從具體實(shí)例出發(fā)，帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)探究和數(shù)學(xué)抽象的過程，以此培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)探究能力，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣. 例如，在本節(jié)課的回顧環(huán)節(jié)中，教師從兩方面入手，一是復(fù)習(xí)舊知，二是列舉實(shí)例. 在復(fù)習(xí)舊知階段，讓學(xué)生先回憶直線方程的四種形式，然后分析四種形式的局限性，從而引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探尋直線的一般式方程. 這樣通過新舊知識(shí)的對(duì)比，既易于引發(fā)學(xué)生思考，又能為學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)鋪設(shè)臺(tái)階，有利于學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的培養(yǎng)和學(xué)習(xí)能力的提升.

其次，概念教學(xué)應(yīng)關(guān)注問題情境的創(chuàng)設(shè)，注重激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開問題，它是激發(fā)學(xué)生潛能的“動(dòng)力源”. 在傳統(tǒng)的概念教學(xué)中，大多是先學(xué)習(xí)理論再解決問題，體現(xiàn)了以“教”為中心的教學(xué)理念，影響了學(xué)生終身發(fā)展. 而“問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)法”體現(xiàn)的是“以生為本”的教學(xué)理念，其以相關(guān)問題為起點(diǎn)，讓學(xué)生利用已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)探尋問題的解決方法，其關(guān)注學(xué)生獨(dú)立思考和合作探究能力的培養(yǎng)，關(guān)注學(xué)生綜合能力的提升. 教師作為數(shù)學(xué)課堂的啟發(fā)者和組織者，要善于結(jié)合教學(xué)實(shí)際提出有價(jià)值的問題，以此提高學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，激發(fā)學(xué)生的探究欲.

例如，在本節(jié)課的自主探究環(huán)節(jié)中，教師提出了兩個(gè)核心問題，讓學(xué)生親身體驗(yàn)了由數(shù)到形、由形到數(shù)的過程，這樣不僅深化了學(xué)生對(duì)直線方程的理解，而且體現(xiàn)了“以生為本”的教學(xué)理念，發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.

最后，教師要放權(quán)給學(xué)生，為學(xué)生提供一個(gè)開放的、平等的學(xué)習(xí)環(huán)境. 在概念教學(xué)中，教師要鼓勵(lì)學(xué)生提出問題，這樣不僅有利于深化學(xué)生對(duì)概念的理解，而且有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí). 例如，在本節(jié)課的應(yīng)用環(huán)節(jié)中，教師提出了一個(gè)開放性問題，有效拓寬了學(xué)生的視野，豐富了課堂教學(xué)內(nèi)容.

總之，在概念教學(xué)中，教師要改變傳統(tǒng)的灌輸式策略，要通過問題設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生去探究、去合作，讓學(xué)生體驗(yàn)成功的樂趣，推動(dòng)學(xué)生思維能力和探究能力的發(fā)展.