基于傅里葉變換的雙音多頻信號識別實驗設(shè)計

夏玉杰 崔建華 高 雅

(洛陽師范學(xué)院 物理與電子信息學(xué)院,洛陽 471934)

隨著計算機技術(shù)的應(yīng)用和信號處理技術(shù)的迅速發(fā)展,傅里葉變換已成為信號分析與系統(tǒng)設(shè)計不可缺少的重要工具[1]。傅里葉變換在信號處理課程群中處于核心作用,建立以時間為自變量的“信號”與以頻率為自變量的“頻譜”間的變換關(guān)系,是連接時域與頻域的重要分析方法[2]。但是,傅里葉變換的數(shù)學(xué)分析多且公式復(fù)雜,學(xué)生學(xué)習(xí)中存在較多困惑和疑難問題[3-6],且運用傅里葉變換解決信號處理領(lǐng)域中復(fù)雜工程問題的能力普遍不足[7-9]。

為幫助學(xué)生理解并掌握傅里葉變換及其應(yīng)用,本文首先梳理了傅里葉變換在自變量“時間”或“頻率”取值連續(xù)或離散的四種形式,然后設(shè)計了基于傅里葉變換的雙音多頻(Dual Tone Multiple Frequency,DTMF)音頻信號按鍵值識別綜合實驗。該實驗以錄制的電話撥號DTMF音頻信號為對象,通過信號分段濾波、頻譜分析、特征頻率提取和判斷識別等環(huán)節(jié),帶領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)利用傅里葉變換識別DTMF音頻信號中的按鍵值;通過該實驗的研究性拓展設(shè)計,培養(yǎng)學(xué)生對傅里葉變換的運用能力和創(chuàng)新探索能力。

1 傅里葉變換關(guān)系分析

在信號處理類課程教學(xué)中,信號在時域上分為連續(xù)時間信號和離散時間信號,頻譜分為連續(xù)譜和離散譜。連續(xù)時間非周期信號和離散時間非周期信號的頻譜分析分別為連續(xù)時間傅里葉變換(Continuous Time Fourier Transform,CTFT)和離散時間傅里葉變換(Discrete Time Fourier Transform,DTFT),連續(xù)時間周期信號和離散時間周期信號的頻譜分析分別為傅里葉級數(shù)(Fourier Series,FS)和離散傅里葉級數(shù)(Discrete Fourier Series,DFS)。四種信號的頻譜特征如表1所示。

表1 信號傅里葉變換形式表

抽樣定理是聯(lián)系連續(xù)時間信號和離散時間信號的橋梁,離散時間信號的DTFT頻譜是連續(xù)的,而實際數(shù)字處理系統(tǒng)要求信號在時域和頻域均是離散且有限長的。時域和頻域均為有限長序列的頻譜分析方法為離散傅里葉變換(Discrete Fourier Transform,DFT)。

在時域,以Ts為間隔對連續(xù)時間非周期信號x(n)進行時域抽樣,形成離散時間非周期序列x(n),再加窗截斷后得到N點有限長序列xN(n);在頻域,連續(xù)時間非周期信號x(t)的頻譜X(Ω)以Ωs=2π/Ts為周期延拓形成序列x(n)的連續(xù)周期頻譜X(ejω),在[0,2π)內(nèi)以2π/N為間隔對X(ejω)進行頻域抽樣,得到序列xN(n)的N點離散頻譜xN(k),信號頻譜分析的傅里葉變換關(guān)系如圖1所示。

圖1 信號頻譜分析的傅里葉變換關(guān)系

2 DTMF信號識別實驗設(shè)計

信號的頻譜分析和特征頻率提取是信號處理領(lǐng)域中的熱點問題,傅里葉變換作為信號頻譜分析的重要手段,在信號處理領(lǐng)域中應(yīng)用廣泛[8-11]。為幫助學(xué)生更好地理解傅里葉變換的應(yīng)用,設(shè)計了基于傅里葉分析的DTMF音頻信號按鍵值識別實驗。

2.1 DTMF原理

DTMF信號是將兩個特定的單音頻信號進行組合來表示特定數(shù)字信號的編碼方式,廣泛應(yīng)用于電話撥號和交互式控制系統(tǒng)[10-12]。DTMF信號由低頻群和高頻群兩組不同頻率組成,按鍵0～9和DTMF信號的頻率組合對應(yīng)關(guān)系如表2所示[13-14]。

表2 DTMF信號頻率與按鍵數(shù)字對應(yīng)表

2.2 實驗內(nèi)容

利用電腦自帶的錄音機,錄制一段手機鍵盤撥號的音頻文件(M4A格式),例如“1326547890”。該音頻信號的時間長度為6.5 s,采樣率fs=44100 Hz。利用Matlab讀取該音頻文件數(shù)據(jù),通過信號分段濾波和DFT頻譜分析提取信號的特征頻率,利用表2判斷識別相應(yīng)的按鍵值。

2.3 實驗設(shè)計

DTMF信號的最高頻率為1477 Hz,錄制撥號音頻信號的采樣率fs=44100 Hz,滿足抽樣定理。音頻信號是離散時間非周期序列,由DTFT分析可知其頻譜是連續(xù)的。為了便于數(shù)字系統(tǒng)處理,在時域?qū)σ纛l信號加矩形窗進行分段處理,分段長度為N=4096點,由DFT分析知其頻譜離散。

由于每個按鍵信號是由兩個特定的單音頻信號疊加組合,因此對分段的撥號音頻信號利用DFT的快速傅里葉變換算法(Fast Fourier Transform,FFT)提取其特征頻率,在合理的誤差范圍內(nèi)對照表2即可正確識別對應(yīng)的按鍵值。DTMF信號識別實驗的設(shè)計流程如圖2所示。

圖2 DTMF信號識別實驗設(shè)計流程

(1)讀取錄制的撥號音頻數(shù)據(jù):調(diào)用[x_sig,fs]=audioread(filename)函數(shù)讀取音頻數(shù)據(jù),返回值x_sig為filename文件數(shù)據(jù),fs為采樣率44100Hz。

(2)分割有效的撥號信號段:利用[x_i,fs]=audioread(filename,samples)函數(shù)對音頻中10個DTMF撥號信號分段,其中samples是filename文件的數(shù)據(jù)范圍,各信號段均取N=4096個采樣點。

(3)設(shè)計通帶為697～941 Hz的低頻群帶通濾波器和1209～1477 Hz的高頻群帶通濾波器:利用bandpass(Fstop1,Fpass1,Fpass2,Fstop2,Astop1,Apass,Astop2)函數(shù)設(shè)計帶通濾波器,其中Fstop1和Fstop2為阻帶左右邊界頻率,Fpass1和Fpass2為通帶左右邊界頻率,Apass為通帶最大衰減,Astop1和Astop2為左右兩側(cè)過渡帶最小衰減。

低頻群帶通濾波器BPF_low參數(shù)選取:Fstop1=500 Hz,Fpass1=697 Hz,Fpass2=941 Hz,Fstop2=1000 Hz,Astop1=30 dB,Apass=1 dB,Astop2=30 dB。

高頻群帶通濾波器BPF_high參數(shù)選取:Fstop1=1000 Hz,Fpass1=1209 Hz,Fpass2=1477 Hz,Fstop2=1600 Hz,Astop1=30 dB,Apass=1 dB,Astop2=30 dB。

(4)對第i段分段數(shù)據(jù)段分別通過低頻群帶通濾波器x_low_i=filter(BPF_low,x_i)和高頻群帶通濾波器x_high_i=filter(BPF_high,x_i)濾波。

(5)分析第i段數(shù)據(jù)濾波后信號頻譜:利用DFT的快速傅里葉變換算法FFT(x_low_i)和FFT(x_high_i)提取信號特征頻率,獲得第i段數(shù)據(jù)的低頻群最高頻率fl_i和高頻群最高頻率fh_i。

(6)通過DTMF頻率表和特征頻率(fl_i,fh_i)在設(shè)定頻率誤差門限內(nèi)比較,判斷識別對應(yīng)鍵值。

2.4 實驗結(jié)果與分析

錄制的音頻信號時域和頻域波形分別如圖3(a)和圖3(b)所示。圖3(a)可見,由于不同按鍵值撥號的持續(xù)時間不同,各按鍵對應(yīng)信號段的時域波形也不同。圖3(b)表明,音頻信號頻率集中在約650～950 Hz和1200～1500 Hz,這與DTMF信號發(fā)送頻率基本一致。由于存在背景噪聲,其他頻率上也存在較小的頻率分量。

(a) 音頻信號的時域波形

低頻群和高頻群帶通濾波器輸出的分段信號時域波形(以第1個信號段為例)如圖4所示。其中,圖4(a)為第1個信號段濾波前的時域波形,圖4(b)為第1個信號段通過低頻群帶通濾波器的輸出時域波形,圖4(c)為第1個信號段通過高頻群帶通濾波器的輸出時域波形?？梢钥闯?低頻群帶通濾波器和高頻群帶通濾波器輸出的信號頻率不同。這是由于低頻群和高頻群帶通濾波器的通帶頻率不一致,這兩個帶通濾波器的目的是保證對應(yīng)頻帶信號順利通過,從而消除其它頻率干擾。

(a) 第1個信號段濾波前時域波形

分段信號的特征頻率提取和按鍵值識別結(jié)果如圖5所示。可以看到,基于DFT的快速傅里葉變換能夠有效提取各段信號的特征頻率,并可正確識別出按鍵值“1326547890”。以第1段信號段的DFT分析為例,低頻群帶通濾波器的輸出信號最高頻率fl_i=699 Hz,高頻群帶通濾波器的輸出信號最高頻率fh_i=1205 Hz,則第1段信號的特征頻率為(699 Hz,1205 Hz)。DFT頻率分辨率為10.8 Hz,提取的特征頻率(699 Hz,1205 Hz)和數(shù)值“1”的DTMF頻率(697 Hz,1209 Hz)存在較小誤差。設(shè)定頻率誤差門限為22 Hz,則第1個信號段的按鍵值識別結(jié)果為“1”。

圖5 分段信號的特征頻率提取和按鍵值識別結(jié)果

3 研究性實驗拓展

為了培養(yǎng)學(xué)生的研究思維和創(chuàng)新能力,本實驗設(shè)計還可從以下幾個方面進行開放性拓展研究:

(1)探討分段信號長度N對特征頻率提取精度的影響;

(2)分析低頻群和高頻群帶通濾波器參數(shù)選取對信號濾波的影響;

(3)分析提取的特征頻率與實際DTMF頻率不完全一致的原因;

(4)探討特征頻率提取的誤差門限設(shè)定對按鍵值識別的影響。

上述開放研究性實驗拓展不僅能夠提高學(xué)生對傅里葉分析基本原理的認知,加深學(xué)生對抽象理論的理解,而且能夠激發(fā)學(xué)生的科研活動興趣,驅(qū)動創(chuàng)新思維發(fā)展,提升學(xué)生解決復(fù)雜工程問題的多維分析能力和實踐創(chuàng)新素質(zhì),形成傅里葉分析在信號處理中知識、能力、素養(yǎng)的有機融合。

4 結(jié)語

針對傅里葉變換的學(xué)習(xí)難點梳理和分析了傅里葉變換四種形式和關(guān)系,重點設(shè)計了DTMF電話撥號音頻信號的按鍵值識別綜合應(yīng)用實驗。該實驗將音頻信號的DFT頻譜分析和特征頻率提取引入教學(xué),利用Matlab仿真工具進行程序設(shè)計和功能驗證,有助于加強學(xué)生對傅里葉變換原理和工程應(yīng)用的理解,培養(yǎng)學(xué)生利用信號處理的基本理論解決復(fù)雜工程問題的科學(xué)素養(yǎng)和實踐技能。