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    具有隱性感染的年齡結(jié)構(gòu)傳染病模型的穩(wěn)定性分析

    2023-11-13 11:19:06張凡麗高紅亮
    蘭州交通大學(xué)學(xué)報 2023年5期
    關(guān)鍵詞:年齡結(jié)構(gòu)染病平衡點

    張凡麗,高紅亮

    (蘭州交通大學(xué)數(shù)理學(xué)院,蘭州 730070)

    病毒感染是一個極其復(fù)雜的過程,按照感染癥狀的明顯程度分為顯性感染和隱性感染,同一病毒可能對不同的人有不同的情況,有時會引起顯性感染,有時引起隱性感染。隱性感染可能使病毒不能最后侵犯或到達靶器官,因而不呈現(xiàn)或很少出現(xiàn)臨床癥狀,這種感染最為常見,是人和動物天然自動獲得抗病毒特異性免疫力的主要來源。同時,隱性感染動物仍然有向外界散布病毒而成為傳染源的可能性,許多傳染病都具有隱性感染的特點,如口蹄疫、艾滋病、乙型腦炎、甲型肝炎和新型冠狀病毒等。因此對隱性感染的研究具有非常重要的流行病意義。其實早在2009年Shil[1]已經(jīng)建立了SEIAR 模型,考慮了隱性感染對于疫情的影響;Grunnill[2]建立了SAIR 模型,采用隨機模擬的方法,估計出感染者中無癥狀感染者所占比例最高可達到70%;Robinson等[3]建立了SAIR 模型,證明了忽視無癥狀感染會對有癥狀感染的治療效果變差;Aguilar等[4]建立了SEYAR 模型,討論了無癥狀感染對傳染病傳播的影響。國內(nèi)許多學(xué)者[5-11]同樣討論了無癥狀感染和其他種群因素對疫情的影響,但這些研究都未考慮年齡因素。

    年齡不僅對于種群增長規(guī)律和傳染病流行規(guī)律而言是一個重要因素,對生育率、死亡率、傳染率以及恢復(fù)率也有一定的影響。因此,使用年齡結(jié)構(gòu)模型來研究某些傳染病模型傳播的動力學(xué)是非常重要的。年齡結(jié)構(gòu)分為生理年齡結(jié)構(gòu)和類年齡結(jié)構(gòu),生理年齡即隨時間變化的年齡,而類年齡是指自患病或者接種疫苗之日開始計算的年齡。自20世紀70年代開始,許多學(xué)者[12-15]已經(jīng)注意到生理年齡結(jié)構(gòu)對于疾病傳播有著重要的影響,并提出了很多年齡結(jié)構(gòu)的傳染病模型來研究某些傳染病的動力學(xué)行為。

    基于以上分析考慮,本文建立了一個具有生理年齡的SEIR 模型,將人群分為易感者類、潛伏者類、染病者類、隱性感染者類和康復(fù)者類,假設(shè)個體成功接種疫苗后獲得免疫不再發(fā)病,并且個體的自然死亡率、疫苗接種率、感染率和恢復(fù)率都與年齡有關(guān)。首先討論了無病平衡點和地方病平衡點的存在性,然后研究了無病平衡點和地方病平衡點的穩(wěn)定性,最后得出結(jié)論。

    1 建立模型

    本文將所研究的人群分為5類,分別為易感者類、潛伏者類、染病者類、隱性感染者類和康復(fù)者類,并用S(a,t),E(a,t),I(a,t),A(a,t),R(a,t)表示在t時成員年齡a的易感者類、潛伏者類、染病者類、無癥狀者類和康復(fù)者類的年齡分布函數(shù)。種群全體成員的年齡分布函數(shù)為N(a,t),即N(a,t)=S(a,t)+E(a,t)+I(a,t)+A(a,t)+R(a,t),根據(jù)傳染病建模方法,建立如下年齡結(jié)構(gòu)的傳染病模型,

    各參數(shù)表示的意義如表1所列。

    表1 各參數(shù)表示的意義Tab.1 Parameters meaning

    基本假設(shè):

    1)具有一定的初始人口;

    2)不考慮因病死亡;

    3)無癥狀者和染病者都具有傳染性,傳染率為β,且無癥狀者的傳染率是染病者的k倍;

    4)無癥狀者的占比為p,且A+I=1;

    5)無癥狀者的恢復(fù)率與染病者的恢復(fù)率相同。

    為了簡化系統(tǒng)(1),對系統(tǒng)(1)進行歸一變換,令

    則系統(tǒng)(1)變?yōu)槿缦滦问?/p>

    其中,

    初始條件

    邊界條件:

    2 無病平衡點的存在性和穩(wěn)態(tài)

    2.1 無病平衡點的存在性

    當系統(tǒng)(2)達到穩(wěn)定的年齡分布時,s,x,i,f只與a有關(guān),所以系統(tǒng)(2)變?yōu)槿缦滦问?/p>

    顯然i(a)=0是系統(tǒng)(3)的第3個方程的解,那么

    綜上可知無病平衡點存在且唯一,即E0=[s0(a),r0(a),0,0,0]。

    2.2 無病平衡點的局部穩(wěn)定性

    為了研究無病平衡點的局部穩(wěn)定性,對系統(tǒng)(3)進行線性變換,令

    則系統(tǒng)變?yōu)槿缦滦问?/p>

    其中

    它的線性部分如下

    邊界條件:s(0,t)=0,i(0,t)=x(0,t)=f(0,t)=0

    考慮系統(tǒng)(5)的指數(shù)解形式,令

    則系統(tǒng)(5)變?yōu)槿缦滦问?/p>

    其中,

    解系統(tǒng)(6)可以得到

    定理1若R0<1,則無病平衡點局部漸進穩(wěn)定。

    證明由等式(7)可知,

    F(ξ)的大致圖像如圖1所示。

    圖1 F(ξ)的大致圖像Fig.1 Approximate graph of F(ξ)

    當R0<1時,如圖1所示,存在唯一的負實根ξ*使得F(ξ*)=1。

    下證當R0<1,ξ*<0時,等式(7)的所有復(fù)根有負實部。設(shè)u=α+iβ也是F(ξ*)=1的根,那么

    又F單調(diào)遞減,所以

    定理得證。

    2.3 無病平衡點的全局穩(wěn)定性

    定理2若R0<1,則無病平衡點全局漸進穩(wěn)定。

    證明根據(jù)全局穩(wěn)定的定義,只需證

    對系統(tǒng)(2)的第一個方程沿著特征線積分a=t+c有

    利用同樣的方法可得到

    又因為

    對式(8)兩邊取上確界的極限,有

    當R0<1時,

    所以,

    再由i(a,t)的表達式可知

    定理得證。

    3 地方病平衡點的存在性和穩(wěn)態(tài)

    3.1 地方病平衡點的存在性

    當系統(tǒng)(2)達到穩(wěn)定的年齡分布時,系統(tǒng)只與a有關(guān),則系統(tǒng)(2)的穩(wěn)態(tài)解滿足如下形式

    邊界條件:

    其中,

    令上式右端為L(Λ*),則有如下定理。

    定理3若R0>1,系統(tǒng)(2)存在唯一的正平衡點E*存在唯一的>0使得

    3.2 地方性平衡點的局部穩(wěn)定性

    為了研究地方性平衡點的局部穩(wěn)定性,對系統(tǒng)(2)做線性變換,令

    則系統(tǒng)(2)的線性部分如下所示

    考慮上述系統(tǒng)(10)的指數(shù)解形式

    則系統(tǒng)(11)為如下形式

    由系統(tǒng)(12)可以得到

    因此,有如下定理。

    定理4若R0>1,地方性平衡點局部漸進穩(wěn)定。

    證明因為

    將等式右邊記為Q(η)。

    顯然Q(η)關(guān)于η單調(diào)遞減,那么,當η>0時,

    以上分析說明,只有當Reη<0,P(η)=1。因此,若R0>1,P(η)=1的所有根都具有負實部。

    定理得證。

    4 結(jié)論

    本文提出了一個考慮隱性感染的年齡結(jié)構(gòu)的傳染病模型,分析得到了基本再生數(shù)R0的表達式,驗證了無病平衡點E0和地方性平衡點E*的存在性;再根據(jù)特征方程得到R0<1時,E0的局部穩(wěn)定性,然后利用特征線法得到當R0<1,E0的全局穩(wěn)定性。另外,本文還討論了R0>1時,E*的局部穩(wěn)定性。

    最后,本文僅考慮了隱性感染對傳染病的影響,未考慮隱性感染可以通過某些傳播成為感染者。其次,本文只考慮了年齡和時間,沒有考慮空間遷移或者空氣傳播等因素,后面的研究將繼續(xù)討論這些問題。

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