DNR視角下反證法的探析與教學(xué)思考

李亞瓊 徐文彬 寧連華

【摘 要】 DNR系統(tǒng)包含三個基本原則：對偶性（Duality）原則、必要性（Necessity）原則和重復(fù)推理（Repeated-reasoning）原則，其關(guān)注知識或思維的關(guān)聯(lián)性、進(jìn)階性及情境性.基于DNR理論視角對反證法進(jìn)行探析，有助于反證法系統(tǒng)運用于數(shù)學(xué)教學(xué).反證法的關(guān)鍵是推出矛盾，假設(shè)中蘊(yùn)含隱性的矛盾，通過推理將隱性的矛盾變成顯性的矛盾；其以矛盾律和排中律為邏輯基礎(chǔ)，從辯證思維的觀點出發(fā)，克服思維定勢，運用逆向思維去分析問題和解決問題.在反證法的學(xué)習(xí)中，學(xué)生需要突破原有思維定勢，內(nèi)化形成反證法解決問題的思維方式.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，反證法思維方法的運用需要基于學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)階，關(guān)注數(shù)學(xué)知識與真實情境關(guān)聯(lián)性；其運用過程指向，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，提高學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，提升學(xué)生的推理能力和解決問題的能力.

【關(guān)鍵詞】 反證法；DNR視角；推理能力；真實情境

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》中強(qiáng)調(diào)邏輯推理是數(shù)學(xué)活動中進(jìn)行交流的基本思維品質(zhì)，需要學(xué)生形成重論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì)和理性精神^[1].《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》把“推理能力”作為核心素養(yǎng)在初中階段的主要表現(xiàn)之一^[2]，推理伴隨著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，不同知識在具體學(xué)段的要求呈現(xiàn)也有差異^[3]，比如，初中階段的“推理能力”處于從“推理意識”（小學(xué)）向“邏輯推理”（高中）的過渡階段，其與“推理意識”“邏輯推理”具有一致性和階段性.從初中開始，數(shù)學(xué)教學(xué)需要關(guān)注推理能力的滲透培養(yǎng).反證法是數(shù)學(xué)中的一種重要證明方法，在初高中數(shù)學(xué)教學(xué)中有著重要的作用.初中數(shù)學(xué)教學(xué)要求是通過實例體會反證法的含義，高中數(shù)學(xué)教學(xué)要求能夠通過數(shù)學(xué)和生活中的實際案例的學(xué)習(xí)深入了解間接證明中的一種重要方法——反證法.反證法的運用過程不僅可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，還能提高學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，提升學(xué)生的推理能力和解決問題的能力.

1 問題的提出

初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們會先假設(shè)某個斷言的反面是對的，然后通過無懈可擊的推導(dǎo)，得出與所假設(shè)事實矛盾的結(jié)論，以此來證明原本的斷言是對的，這種邏輯論證方式便是“反證法”.反證法思維方式在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中雖運用不多，但作為重要的推理思維方式，有其研究價值.因為反證法思維方式本身的特殊性，學(xué)生在學(xué)習(xí)中較難掌握，因此剖析反證法的思維結(jié)構(gòu)有其必要性.比如，初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生在學(xué)習(xí)直線和圓的位置關(guān)系時，“圓心和切點的連線為什么與切線垂直”這個結(jié)論好理解，但證明過程對初中生來說就有點吃力，證明過程中便蘊(yùn)含反證法的思維策略（見引例的具體分析）.

引例

如圖1，直線l是⊙O的切線，切點為D.直線l與半徑OD有怎樣的位置關(guān)系？為什么？

容易看出l⊥OD，但要證明結(jié)論成立，有點難度，此時便可采用反證法來突破“困境”.假設(shè)直線l與OD不垂直，過圓心O作OD′⊥l，垂足為D′（如圖1所示）.因為直線l與⊙O相切，所以圓心O到直線l的距離OD′等于⊙O的半徑，因此點D′在⊙O上.于是直線l與⊙O有兩個公共點D和D′，而這與“直線l與⊙O相切”矛盾！所以l⊥OD.此處，反證法就是基于原命題條件，假設(shè)結(jié)論不成立，然后推出明顯矛盾的結(jié)果.引例中得出：直線l與⊙O有兩個公共點D和D′，而這與“直線l與⊙O相切”矛盾！從而說明假設(shè)不成立，即原命題得證！

反證法教學(xué)滲透難的原因是，學(xué)生的思維定勢以及教師對反證法策略的理解不太到位.反證法思維策略基于逆向思維，屬于間接證明方法.而一般證明會運用直接證明方法，屬于正向思維.然而，反證法具有重要的教育價值：可以增強(qiáng)學(xué)生邏輯思維的培養(yǎng)；提升學(xué)生思維的縝密性；幫助學(xué)生打破思維定勢，培養(yǎng)學(xué)生逆向思維能力.因此，本文將從DNR理論出發(fā)，對反證法進(jìn)行理論探析，以期為初中數(shù)學(xué)教學(xué)提供借鑒與參考.

2 DNR視角的內(nèi)涵

基于DNR系統(tǒng)的前提和原則的剖析，進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)的再理解.

2.1 DNR系統(tǒng)的前提和原則

DNR的數(shù)學(xué)教學(xué)理論框架（簡稱DNR）是一個由三類構(gòu)念組成的系統(tǒng)（具體如圖2所示）：基于DNR概念和主張的明確假設(shè)（前提）；在這些前提下給出的定義和構(gòu)念（概念）；根據(jù)前提和概念得出的教學(xué)原則（主張）.DNR系統(tǒng)的前提主要包括數(shù)學(xué)、學(xué)習(xí)（認(rèn)識論、知識的關(guān)聯(lián)性等）、教學(xué)、本體論（知識的主體性），基于這些前提進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和教學(xué)研究，以此確立研究立場.DNR系統(tǒng)包含三個基本原則：對偶性（Duality）原則、必要性（Necessity）原則和重復(fù)推理（Repeated-reasoning）原則^[4].

2.2 DNR視角下數(shù)學(xué)教學(xué)的再理解

基于DNR理論視角的剖析重新審視數(shù)學(xué)教學(xué)，指向教學(xué)的整體性和深度性.根據(jù)DNR理論，對數(shù)學(xué)教學(xué)進(jìn)行研究需基于知識之間發(fā)展的依存關(guān)系、學(xué)生智力需求，并考慮促進(jìn)知識內(nèi)化和建構(gòu)的因素.這些正對應(yīng)對偶性原則、必要性原則和重復(fù)推理原則.對偶性原則強(qiáng)調(diào)學(xué)科知識的內(nèi)在發(fā)展邏輯及知識間的依存關(guān)系，教學(xué)中需要關(guān)注知識的理解方式和思維方式之間的相互依存.在反證法的教學(xué)過程中，教師需要思考反證法的策略運用和其思維方式的融合，使其彼此促進(jìn).必要性原則強(qiáng)調(diào)需要考慮學(xué)生的智力需求及學(xué)習(xí)進(jìn)階，結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平與智力水平，激發(fā)學(xué)生的求知欲、產(chǎn)生學(xué)習(xí)原動力與學(xué)習(xí)興趣，以此引導(dǎo)學(xué)生運用反證法策略去解決問題.重復(fù)性原則不僅僅指向一般常規(guī)問題的練習(xí)與實踐，而且引導(dǎo)學(xué)生自覺內(nèi)化知識和方法.其關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知起點，基于不同問題情境滲透培養(yǎng)推理意識，以便內(nèi)化為思維方式.在反證法的學(xué)習(xí)中，面對復(fù)雜情境下，學(xué)生需要突破原有思維定勢，抽象出數(shù)學(xué)問題，通過滲透運用反證法策略，內(nèi)化形成反證法解決問題的思維方式.

DNR視角關(guān)注知識或思維的關(guān)聯(lián)性、進(jìn)階性及情境性，其重視知識在不同情境下的呈現(xiàn)，強(qiáng)調(diào)基于學(xué)習(xí)進(jìn)階去系統(tǒng)滲透思維策略，思維方式的運用中關(guān)注知識的關(guān)聯(lián)性及知識與思維方式的融合性，以便系統(tǒng)梳理知識或剖析思維結(jié)構(gòu).于是，基于DNR理論視角去思考反證法，將有助于反證法系統(tǒng)運用于數(shù)學(xué)教學(xué).

3 DNR視角下反證法的探析

論證是引用已知為真的命題來確定某一命題的真假性的思維過程，而反證法是與直接證法相對的間接證明方法的一種^[5].在邏輯學(xué)中也存在同樣的概念，所以厘清反證法的歷史背景及反證法的內(nèi)涵有其必要性.下面基于DNR視角探析反證法的背景，辨析反證法的概念、邏輯基礎(chǔ)及思維結(jié)構(gòu).

3.1 反證法的背景

反證法的出現(xiàn)是為了解決人類思維中的一個結(jié)癥——無限思維問題.西方的數(shù)學(xué)證明極其重視證明過程中的邏輯嚴(yán)密性，第一次與第二次的數(shù)學(xué)危機(jī)都與無限（無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，無窮小是極限問題）有關(guān).西方數(shù)學(xué)家不能給出無理數(shù)和無窮小以準(zhǔn)確的定義，在處理無限的問題時，借助邏輯中介（反證法）化無限為有限，再完成其證明過程^[5].中國的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)當(dāng)時對演繹的證明重視不足，導(dǎo)致傳統(tǒng)邏輯學(xué)的不完備，大都使用的是歸謬反駁.比如，劉徽在《九章算術(shù)》中多次用到歸謬論證法，墨子也用過歸謬法，他們多采用以反證法為核心，以窮竭法為理論基礎(chǔ)的方法.劉徽等思想家們使用較多的是歸謬法，而西方較多使用的是窮竭法的反證法.

總之，反證法的發(fā)展蘊(yùn)含數(shù)學(xué)知識是在在解決數(shù)學(xué)問題中得以不斷完善，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，應(yīng)基于知識（反證法）發(fā)展的邏輯去思考其知識（反證法）的本質(zhì)，理解反證法的思維進(jìn)階.

3.2 反證法的概念辨析

反證法與歸謬法都是間接法，反證法用于論證，其目的是確定判斷的真實性；而歸謬法用于反駁，其目的是說明某一判斷的虛假性.這兩種方法的實質(zhì)區(qū)別是邏輯形式的不同及語言表達(dá)形式的差異.反證法的基本思路：如果證明命題p，先假設(shè)非p，由此推出與前提或假設(shè)相矛盾的或顯然不成立的命題，從而證明了p.歸謬法的基本思路：想要說明非p，先假設(shè)p，由此推出一個與前提或假設(shè)相矛盾的或顯然不成立的命題，從而說明非p.反證法的邏輯基礎(chǔ)為矛盾律（論證過程中，同一對象的兩個互為矛盾的判斷至少有一個是偽的）和排中律（論證過程中，同一對象的兩個互相矛盾的判斷必有一個為真），歸謬法的邏輯基礎(chǔ)為矛盾律，沒有用到排中律^[6].總體而言，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，在證明某個命題時，反證法先假定其結(jié)論的否定成立，然后從這個假定出發(fā)，概括命題的條件和已知的真命題，經(jīng)過推理，得出與已知事實（條件、公理、定理、定義、法則、公式等）相矛盾的結(jié)果^[7]，這樣就證明了結(jié)論的否定不正確，從而間接地肯定了原命題的結(jié)論成立^[8].

3.3 反證法的思維結(jié)構(gòu)

反證法是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，其關(guān)鍵就是否定結(jié)論推出矛盾.反證法的邏輯基礎(chǔ)是矛盾律與排中律，其證明過程實質(zhì)是對“矛盾律”與“排中律”的靈活運用.

反證法是從原來要證明的命題結(jié)論q的否定非q，來導(dǎo)出矛盾的結(jié)果，我們稱之為輔助式演繹推理.通過演繹推理，可能會導(dǎo)出四種矛盾的結(jié)果：（1）與題設(shè)條件相矛盾；（2）與假設(shè)相矛盾；（3）與數(shù)學(xué)中已知的定義、定理或公理相矛盾；（4）與日常生活中公認(rèn)的事實相矛盾.

也可以用邏輯語言去分析反證法，設(shè)要證命題為p=>q，反證法即表示為[（p∧┐q）=>F]=>（p=>q）（*）.其中F表示相對于p∧┐q是一個恒假命題.于是（*）式是一個永真式（具體如表1所示），表1是對反證法的邏輯分析，其詳細(xì)闡釋了輔助式演繹推理的邏輯結(jié)構(gòu).

運用反證法對命題的證明，體現(xiàn)命題的邏輯轉(zhuǎn)化思想，反證法的思維實質(zhì)是排中律和邏輯性.事實上，命題p=>q的結(jié)論q要么真要么假.反證法是從┐q出發(fā)，只要能推出矛盾（或與其他真命題矛盾，或與已知條件p矛盾）就行，而這種矛盾的發(fā)生完全在于┐q，因此若┐q不成立，則q成立便是必然，這里對結(jié)論q使用了排中律^[9].當(dāng)然反證法的運用中邏輯性貫穿其中，其中運用了數(shù)理邏輯的知識，其用到“雙重否定律”“蘊(yùn)含等值式”“德摩根律”等.反證法的關(guān)鍵是推出矛盾，其在一開始的假設(shè)中就蘊(yùn)含隱性的矛盾，整個推理過程就是將隱含的矛盾通過邏輯推理變成顯性的矛盾，這樣的過程蘊(yùn)含正難則反的思維方式，以邏輯為基礎(chǔ)，從辯證思維的觀點出發(fā)，運用逆向思維去分析問題和解決問題.

運用反證法分析問題的策略路徑（具體如圖3所示）為：（1）審題，分析命題的條件和結(jié)論；（2）否定原命題結(jié)論（反設(shè)），由已知條件和假設(shè)的結(jié)論作為推理的基礎(chǔ)；（3）論證，由假設(shè)出發(fā)，根據(jù)公理、定義、定理、命題的題設(shè)等，運用正確的邏輯推理，推出邏輯矛盾（歸謬）；（4）肯定原假設(shè)的正確性（存真），通過轉(zhuǎn)化命題使得矛盾顯化，從而解決問題.轉(zhuǎn)化矛盾和顯化矛盾是反證法的基本證明思路，當(dāng)然如何轉(zhuǎn)化矛盾、顯化矛盾就是反證法思維方式靈活性的體現(xiàn)，這其中也蘊(yùn)含邏輯能力的滲透和培養(yǎng).

因此，初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，需要結(jié)合反證法的理論剖析，以不同知識情境為載體，關(guān)注思維進(jìn)階性和思維與知識的融合性，思考反證法策略的系統(tǒng)運用.

4 反證法在初中數(shù)學(xué)中的教學(xué)運用

基于DNR理論視角，對反證法進(jìn)行探析，并結(jié)合“數(shù)與式”“方程與不等式”“圖形與幾何”“邏輯推理”等主題知識，分析反證法在初中教學(xué)中的思維滲透，以期為初中數(shù)學(xué)教學(xué)提供借鑒與參考.

4.1 在數(shù)與式中的運用

“數(shù)與式”是初中數(shù)學(xué)主題知識之一，反證法在該主題知識中的運用，可以促進(jìn)知識與思維的雙向融合，指向知識理解，滲透思維能力的培養(yǎng).

這是假設(shè)帶來的信息，然而通過推理得出p，q有公約數(shù)2，將“被遮蔽的矛盾”外顯化，“外顯”的策略是平方，“外顯”的結(jié)果是產(chǎn)生與假設(shè)信息（或者說與“自然數(shù)p，q互質(zhì)”事實）相矛盾的結(jié)論，從而得證.若換成證明a是無理數(shù)，則處理策略不同，但變中不變的是，尋找倍數(shù)關(guān)系和利用正整數(shù)被某數(shù)整除的有窮性不變.此處強(qiáng)調(diào)反證法思維方式和知識理解的融合運用，引導(dǎo)學(xué)生更好地形成知識系統(tǒng).

4.2 在方程與不等式中的運用

“方程與不等式”同樣是初中數(shù)學(xué)中的重要主題知識，反證法在該主題知識中的運用雖然不多，但結(jié)合該主題知識設(shè)計問題情境，關(guān)注思維方式形式的進(jìn)階性和關(guān)聯(lián)性，克服思維定勢，以促進(jìn)知識建構(gòu)和邏輯思維能力的培養(yǎng).

例2 已知a≠0，求證：關(guān)于x的方程ax=b有且只有一個根.

分析 假設(shè)ax+b=0（a≠0）至少存在兩個根，不妨設(shè)兩個根分別為x₁，x₂且x₁≠x₂.則ax₁=b，ax₂=b，所以ax₁=ax₂.因為x₁≠x₂，所以a=0（與題設(shè)“a≠0”矛盾?。?，故假設(shè)不成立，結(jié)論成立.

例3 已知a+b+c>0，ab+bc+ac>0，abc>0，求證：a，b，c均大于0.

分析 假設(shè)a，b，c至少有一個小于或等于0，不妨設(shè)c≤0，所以a+b>0，ab<0，因此ab+ac+bc=ab+c（a+b）<0，與題設(shè)“ab+bc+ac>0”矛盾！故假設(shè)不成立，結(jié)論成立.

例2和例3中運用反證法思維策略，反證法思想的運用策略一般為：假設(shè)中蘊(yùn)含隱性的矛盾，通過推理及數(shù)學(xué)運算，將隱性的矛盾外顯化.這樣的過程是基于學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)階，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯嚴(yán)密性和思維嚴(yán)謹(jǐn)性，以期形成主動運用反證法去解決相關(guān)問題的理性思維自覺.

4.3 在圖形與幾何中的運用

初中幾何教學(xué)中，有些命題中含“至多、至少、不超過、最大、最小”等術(shù)語（限定形式的命題），往往可以從反面思考，使用反證法予以探索解題路徑.基于假設(shè)，將隱性的矛盾外顯化，然后得出與“公理、定理或定義”相矛盾的結(jié)論.

例4 已知△ABC和一點M，使得MB+MC>AB+AC，則點M必在△ABC的外部.

分析 假設(shè)點M不在△ABC的外部，則

（1）如圖4-1，若點M在△ABC的一邊BC上，則

MB+MC=BC，因BC

這與“MB+MC>AB+AC”相矛盾，所以假設(shè)不成立，則點M不能在邊BC上.

（2）如圖4-2，點M在邊AB或邊AC上，則MB=AB－MA，MCAB+AC”相矛盾，所以假設(shè)不成立，則點M不能在邊AB上且不在邊AC上.

（3）如圖4-3，點M在△ABC的內(nèi)部，延長BM交AC于點D，則AB+AD>MB+MD，MCAB+AC”相矛盾，所以假設(shè)不成立，則點M不在△ABC的內(nèi)部.

（4）若點M在△ABC的任一頂點上，則MB+MC≤AB+AC，這也與題設(shè)條件相矛盾，則點M不在△ABC的任一頂點上.

綜上可得，點M必在△ABC的外部.

基于假設(shè)，枚舉所有可能情形，一一得出與題設(shè)相矛盾的結(jié)論，將內(nèi)在矛盾轉(zhuǎn)化為顯性矛盾，從而解決問題.反證法的運用過程中，雖證明結(jié)構(gòu)比較明確，但在如何得出矛盾的策略會有差異，其具有不確定性和多向性.

運用反證法解決問題的難點在于，學(xué)生運用逆向思維的能力較弱，再者就是基于假設(shè)，運用相應(yīng)的策略或推理將矛盾外顯.所以，教學(xué)中需要關(guān)注反證法轉(zhuǎn)化策略的運用，最后得出與相關(guān)事實或假設(shè)相矛盾.

4.4 在邏輯推理中的運用

反證法在邏輯推理中的運用，需要借助真實情境為背景，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并借助反證法的思維策略從而解決問題，這樣的過程培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力、建模能力，繼而提升學(xué)生解決真實問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng).

例5 學(xué)校組織暑期社會實踐活動，要選派

A，B，C，D，E五人中的若干人去參加，選派的條件如下：（1）若A去，則B也去；（2）D，E兩人中至少有一人去；（3）B，C兩人中只去一人；（4）C，D兩人或都去，或都不去；（5）若E去，則A，D都去.問：應(yīng)該分配誰去？

分析 這個問題條件多且復(fù)雜，直接從已知條件出發(fā)較難推出結(jié)果，此處可以選擇反證法作為解題策略.假設(shè)A去，由（1）知B也去，由（3）知C不去，由（4）知D不去，由（2）知E也去，由（5）知D也去，這便與“D不去”相矛盾，所以假設(shè)錯誤，即A不去；假設(shè)B去，由（3）知C不去，由（4）知D不去，由（2）知E去，由（5）知D去，這與“D不去”矛盾，所以假設(shè)錯誤，即B不去；假設(shè)E去，由（5）知A，D都去，由（1）知B去，由（4）知C去，即A，B，C，D都去，這與（3）矛盾，所以E也不去；現(xiàn)若讓C，D去，滿足所給的五個條件，所以應(yīng)分配C，D去.

運用反證法論證時，一個問題只有正反兩個方面的結(jié)論，否定其中一個方面，就是肯定另一方面，證明的過程不是直接去否定，而是以假設(shè)開始，間接迂回地由假設(shè)的結(jié)果去推導(dǎo)出與事實或條件不相符的結(jié)論，從而得出證明結(jié)果.當(dāng)然，由假設(shè)去導(dǎo)出矛盾的技巧有很多種，這種能力和技巧需要結(jié)合不同情境去呈現(xiàn).在反證法的運用中，要能用變化、轉(zhuǎn)化的觀點來外顯矛盾，逐漸淡化反證法的模式意識，并形成自覺運用逆向思維解決問題的能力，逐步形成推理能力.

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，運用反證法的策略解決問題，可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理意識，提高學(xué)生的思維嚴(yán)密性，也可以引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從生活問題到數(shù)學(xué)問題的過程，促進(jìn)學(xué)生轉(zhuǎn)化能力的提升和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)，從而提升學(xué)生在真實情境中解決問題的能力.

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[9]霍振華.反證法的實質(zhì)是什么？[J].數(shù)學(xué)通報，1995（05）：18-19.

作者簡介 李亞瓊（1983—），女，安徽巢湖人，高級講師，博士，碩士生導(dǎo)師；主要從事課程與教學(xué)研究．

徐文彬（1966—），男，安徽宣城人，教授，博士生導(dǎo)師；主要從事課程與教學(xué)研究．

寧連華（1966—），男，江蘇豐縣人，教授，博士生導(dǎo)師；主要從事數(shù)學(xué)教育研究.