組合匝道瓶頸下交通流相變研究

胡河森, 靳文舟

(華南理工大學(xué)土木與交通學(xué)院, 廣東廣州510641)

0 引言

許多交通學(xué)者通過(guò)對(duì)不同國(guó)家高速公路交通的觀察發(fā)現(xiàn),在最開(kāi)始的交通自由流中出現(xiàn)的擁堵現(xiàn)象都與車(chē)輛速度的突然下降或者密度的突然上升有關(guān)[1-2]。這種擁堵現(xiàn)象主要發(fā)生在高速公路的瓶頸處,尤其是在入口匝道瓶頸處,這一現(xiàn)象引起了眾多科學(xué)家的關(guān)注。

交通學(xué)者首先基于以往的基本圖微觀和宏觀模型,試圖對(duì)這一現(xiàn)象進(jìn)行描述[3-8]。由此產(chǎn)生的一系列高速公路交通數(shù)學(xué)理論和模型,通過(guò)對(duì)自由流的不穩(wěn)定性來(lái)解釋自由流中發(fā)生的擁堵現(xiàn)象,這種不穩(wěn)定性產(chǎn)生于高速公路上足夠大的車(chē)流并導(dǎo)致出現(xiàn)了移動(dòng)堵塞。在入口匝道瓶頸處,當(dāng)來(lái)自瓶頸上游的車(chē)流量足夠大并且入口匝道的流量逐漸上升時(shí),自由流中就會(huì)發(fā)生移動(dòng)堵塞現(xiàn)象,然而,這些模型的結(jié)果表明的“自由流中的擁堵與自發(fā)的移動(dòng)堵塞出現(xiàn)有關(guān)”這一結(jié)論與實(shí)際的觀測(cè)結(jié)果之間存在嚴(yán)重沖突。

著名的交通科學(xué)家Kerner引入了三相交通流理論,不同于以往的交通流相位劃分,在該理論中,存在3個(gè)不同的交通階段：自由流相、同步流相和寬運(yùn)動(dòng)堵塞相[9]。Kerner指出在堵塞出現(xiàn)之前,流量密度空間中存在著一個(gè)復(fù)雜的二維散布區(qū)域,即同步流,也就是說(shuō),堵塞不會(huì)在自由流中自發(fā)出現(xiàn),而是出現(xiàn)在同步流的相變中,在此之前,自由流到同步流的相變會(huì)更早發(fā)生(簡(jiǎn)稱(chēng)F→S相變)[10]。此后,基于三相交通流理論,國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者借助元胞自動(dòng)機(jī)模型考察了交通流狀態(tài)演化的復(fù)雜性和多變性[11-16]。這些模型都是從微觀仿真層面對(duì)交通流相變進(jìn)行研究,無(wú)法從宏觀層面對(duì)交通流整體的特性進(jìn)行描述。

在中觀層面上(結(jié)合了微觀和宏觀的特性),車(chē)流表現(xiàn)出的許多特性,特別是其存在的相變形成和相變轉(zhuǎn)換現(xiàn)象在物理系統(tǒng)中廣泛存在,因此交通流物理學(xué)引起了眾多學(xué)者的關(guān)注。而用于對(duì)不同性質(zhì)的復(fù)雜系統(tǒng)的一階相變進(jìn)行描述的統(tǒng)計(jì)物理中的概率主方程無(wú)疑是一個(gè)重要的方法[17]。主方程方法是針對(duì)車(chē)輛集群(一組具有共同特定性質(zhì)的車(chē)輛)大小的隨機(jī)波動(dòng)概率來(lái)研究相變特性,即車(chē)輛集群的形成和演化?；谥鞣匠痰慕煌髦械南嘧兡Ｐ褪紫扔蒏ühne等[18-19]、Mahnke等[20]提出,他們的基本假設(shè)為在非勻質(zhì)的道路上會(huì)出現(xiàn)一個(gè)預(yù)集群,其增長(zhǎng)導(dǎo)致了交通擁堵,然而,這與實(shí)際中觀測(cè)到現(xiàn)象并不相符,實(shí)際上Mahnke和Kühne等提出模型更接近于描述自由流到寬運(yùn)動(dòng)堵塞的相變(F→J相變)。正如Kerner提出的微觀模型所說(shuō),真實(shí)的交通擁堵應(yīng)該發(fā)生在F→S相變中。

上述所描述的瓶頸處相變模型都只討論了單個(gè)瓶頸,如單個(gè)入口匝道瓶頸,然而在實(shí)際生活中,城市道路中的瓶頸更為復(fù)雜,其中不乏許多組合瓶頸[21-25]。組合瓶頸不僅影響交通暢通,還會(huì)引發(fā)更為復(fù)雜的交通現(xiàn)象,并且組合瓶頸之間存在著強(qiáng)烈的相互作用這一特性完全不同于單個(gè)瓶頸。此外,對(duì)于組合瓶頸最初的空間非均勻自由流動(dòng),相關(guān)的相變模型和概率理論研究較少,結(jié)構(gòu)非均勻性對(duì)于統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的許多其他非粒子系統(tǒng)中的相變也起著非常重要的作用,因此,基于概率論主方程和三相交通流理論,本文研究了具有連續(xù)入口-出口匝道瓶頸的相互作用引起的交通擁堵現(xiàn)象。

1 基于三相交通流理論分析瓶頸處的交通流相變特性

1.1 瓶頸處的永久性速度擾動(dòng)

(1)

將位于瓶頸處的這種局部擾動(dòng)稱(chēng)為是瓶頸處的確定性擾動(dòng)。這種瓶頸處的永久非勻質(zhì)性,導(dǎo)致即使在沒(méi)有隨機(jī)擾動(dòng)的情況下,瓶頸處的車(chē)輛集群也存在,稱(chēng)這部分集群為確定性車(chē)輛集群。

1.2 瓶頸處交通擁堵具有概率性

Shiomi等[26]發(fā)現(xiàn)在給定的流量下瓶頸處交通擁堵的概率是一個(gè)隨流量變化的遞增函數(shù)。由此可見(jiàn),瓶頸處的交通擁堵具有概率性,可以采用基于三相交通流理論來(lái)描述瓶頸處的這種概率特性。

①速度適應(yīng)效應(yīng)。

在三相交通流的跟馳規(guī)則中,動(dòng)態(tài)同步車(chē)頭間距G和動(dòng)態(tài)安全間距gsaf與當(dāng)前車(chē)速度v和前車(chē)速度vτ相關(guān),即G=G(v,vτ)和gsaf=gsaf(v,vτ)。定義車(chē)輛和前一車(chē)輛之間的車(chē)頭間距為g,在g>G(v,vτ)時(shí),車(chē)輛加速;當(dāng)g

gsaf(v,vτ)≤g≤G(v,vτ)。

(2)

速度適應(yīng)效應(yīng)通常導(dǎo)致車(chē)輛減速,從而交通流趨向于同步流。

②過(guò)加速效應(yīng)。

在滿(mǎn)足公式(2)時(shí),車(chē)輛跟車(chē),然而在前車(chē)沒(méi)有加速且車(chē)輛速度不比當(dāng)前車(chē)慢時(shí),車(chē)輛也可以加速。這種車(chē)輛加速過(guò)程被稱(chēng)為車(chē)輛過(guò)加速。過(guò)加速效應(yīng)的定義為：駕駛員的過(guò)加速動(dòng)機(jī)導(dǎo)致了滿(mǎn)足公式(2)時(shí)的低速度跟車(chē)車(chē)流中出現(xiàn)較高速度車(chē)流。過(guò)加速效應(yīng)相關(guān)的車(chē)輛加速導(dǎo)致了交通流趨向于初始的自由流。

過(guò)加速效應(yīng)表現(xiàn)為駕駛員加速超車(chē)的可能意愿。用POA(probability of over-acceleration)表示過(guò)加速效應(yīng)的概率,等于跟馳車(chē)輛中的超車(chē)概率P。

在給定的車(chē)流密度下,自由流中的超車(chē)概率大于同步流中的超車(chē)概率。此外,P和過(guò)加速概率POA表現(xiàn)出不連續(xù)的特征,這些概率-密度函數(shù)可以用Z形函數(shù)定性表示(如圖1所示)。

圖1 超車(chē)概率和過(guò)加速概率的密度函數(shù)曲線(xiàn)Fig.1 Density function curve of probabilities of passing and over-acceleration probability

概率-密度的定性Z形函數(shù)表明在F→S標(biāo)記的密度范圍內(nèi)的初始自由流中的任何密度都可能發(fā)生交通擁堵。由此可見(jiàn),初始自由中存在2種相反趨勢(shì)之間的競(jìng)爭(zhēng)——由過(guò)加速效應(yīng)導(dǎo)致的自由流趨勢(shì)和由速度適應(yīng)效應(yīng)導(dǎo)致的同步流趨勢(shì)。只要過(guò)加速效應(yīng)強(qiáng)于速度適應(yīng)效應(yīng),那么就能保持自由流狀態(tài),然而,隨著密度增大,POA就會(huì)減小,即過(guò)加速效應(yīng)減弱,則初始自由流將趨向于同步流。

同時(shí),即使道路上不存在瓶頸,在這種情況下過(guò)加速效應(yīng)和速度適應(yīng)效的自由競(jìng)爭(zhēng)依然存在,此時(shí)F→S相變?nèi)匀粫?huì)發(fā)生,只不過(guò)這種情況下相變發(fā)生的概率要比瓶頸附近發(fā)生相變的概率要小得多。

1.3 Z形速度-流量函數(shù)和S形密度-流量函數(shù)

為了更好地分析交通擁堵的相變特性,結(jié)合Kerner在三相交通流中提出的Z形速度-流量函數(shù)和S形密度-流量函數(shù)[8],三相交通流相變定性曲線(xiàn)如圖2所示。

(a) 速度-流量Z形曲線(xiàn)

(3)

同時(shí),從圖2可以看到,對(duì)于自由流中的流量qsum有一個(gè)范圍：

(4)

式中qsum為自由流中的流量,這也與概率-密度函數(shù)中的密度范圍對(duì)應(yīng)。

(5)

F→S相變必然發(fā)生。

(6)

無(wú)論隨機(jī)擾動(dòng)多大,瓶頸處都不可能發(fā)生交通擁堵。

確定性擾動(dòng)和隨機(jī)擾動(dòng)引起的瓶頸處確定性集群和隨機(jī)集群的變化,最終導(dǎo)致發(fā)生交通擁堵或者維持初始自由流。接下來(lái)將借助概率論中的主方程模型研究實(shí)際交通中一類(lèi)重要的組合瓶頸——連續(xù)入-出口匝道引起的交通擁堵現(xiàn)象

2 構(gòu)建主方程模型

2.1 場(chǎng)景描述

本文研究的是一個(gè)具有連續(xù)入-出口匝道的組合瓶頸道路,連續(xù)入-出口匝道瓶頸如圖3所示。圖3中,入口匝道在出口匝道的上游,主干道為單車(chē)道道路,不包含匝道過(guò)渡路段。qin為主干道流量,qon為入口匝道流入量,qoff為出口匝道流出量,qdown為瓶頸下游流出量,L為2個(gè)匝道之間的距離。

圖3 連續(xù)入-出口匝道瓶頸 Fig.3 Continuous on-ramp and off-ramp bottleneck

不同于單個(gè)孤立匝道瓶頸,當(dāng)?shù)缆飞洗嬖?個(gè)相距不遠(yuǎn)的交通瓶頸時(shí)[27],每個(gè)瓶頸不再獨(dú)立地對(duì)交通流產(chǎn)生影響,而是在相互干擾下共同發(fā)揮作用,就形成了組合瓶頸效應(yīng)。同時(shí),假設(shè)集群的上游和下游出現(xiàn)同質(zhì)自由交通流,確定性集群Ndet僅存在于2個(gè)匝道之間的路段。

組合瓶頸內(nèi)的自由流的確定性擾動(dòng)是由3個(gè)流量引起的：qon、qoff和qin。qon和qin在組合瓶頸內(nèi)的道路區(qū)域合并。進(jìn)入擾動(dòng)范圍內(nèi)的總流量為

qsum=qon+qin。

(7)

除開(kāi)存在組合瓶頸效應(yīng)外,單個(gè)匝道也對(duì)其附近的車(chē)流產(chǎn)生影響。由于本文研究連續(xù)入-出口匝道形成的組合瓶頸相變,因此假設(shè)組合瓶頸內(nèi)的擾動(dòng)是連續(xù)平均的 。

2.2 主方程

考慮位于組合瓶頸之間的集群內(nèi)的車(chē)輛總數(shù)N的動(dòng)態(tài)變化,與Ndet相比,集群內(nèi)的車(chē)輛總數(shù)N可以隨時(shí)間的變化隨機(jī)增長(zhǎng)或減少,同時(shí)假設(shè)每一時(shí)刻集群內(nèi)只發(fā)生一輛車(chē)的變化,如圖4所示。

圖4 由初始擾動(dòng)引起的車(chē)輛集群變換Fig.4 Vehicle cluster conversion due to initial disturbance

提出如下主方程模型：

(8)

(9)

邊界條件為

w-(0)=0,

(10)

并且假設(shè)w-滿(mǎn)足w-≥0?？梢钥吹?主方程模型中首先需要確定的是車(chē)輛在集群中的吸引率w+和集群中車(chē)輛的消散率w-。

①集群吸引率w+。

本文假設(shè)該模型中集群吸引率w+與集群數(shù)量N無(wú)關(guān),等于總流量qsum。

②集群消散率w-。

(11)

圖5 消散率與集群大小的定性曲線(xiàn)Fig.5 Dissipation rate versus qualitative curve of cluster universities

從圖5的特征曲線(xiàn)可以看到,確定性集群Ndet和臨界隨機(jī)集群Nc的大小分別為

0≤N≤Nd,

(12)

Nd≤N≤Ns,

(13)

2.3 穩(wěn)定性解

在給定qin、qon和qoff的情況下,特征曲線(xiàn)關(guān)于集群大小N的穩(wěn)定性解滿(mǎn)足如下方程：

(14)

從圖5可以看到,在滿(mǎn)足公式(4)的流量范圍內(nèi),水平線(xiàn)qsum與特征曲線(xiàn)至少相交于2個(gè)點(diǎn)：與N(det)的交點(diǎn)N=N1以及與Nc的交點(diǎn)N=N2,這是方程(14)的2個(gè)解。

定義ΔNc=N2-N1為臨界車(chē)數(shù)差,其表示在給定qsum時(shí),發(fā)生F→S相變所需要隨機(jī)擾動(dòng)引起的集群數(shù)量的增長(zhǎng)值。由圖5可以看到,qsum越大,ΔNc越小,說(shuō)明所需要的臨界增長(zhǎng)值越小,則瓶頸處的F→S相變?cè)饺菀装l(fā)生;相反,qsum越小,ΔNc越大,所需要的臨界增長(zhǎng)值越大,瓶頸處的F→S相變?cè)诫y發(fā)生。

3 瓶頸處交通流相變概率

對(duì)于主方程模型(8)—(10)有F→S相變平均延遲時(shí)間T的通用公式[28]：

(15)

式中ps(N)是主方程的穩(wěn)定性解,

(16)

當(dāng)Ni?1(i=1,2)時(shí),ps(N)函數(shù)在N=N1時(shí)有一個(gè)最大值,而式(15)中的函數(shù)ps(n)-1在N=N2時(shí)存在一個(gè)最大值。那么式(15)、(16)可以寫(xiě)成

(17)

ps(N)=ps(0)exp[-Φ(N)],N>0,

(18)

其中,勢(shì)函數(shù)Φ(N)的表達(dá)式為

(19)

將式(18)代入式(17)中,可得

T=(w+)-1c1c2exp[Φ(N2)-Φ(N1)],

(20)

式中：

(21)

ΔΦ(i)(N)=Φ(N)-Φ(Ni),i=1,2。

(22)

在極值點(diǎn)N=N1,N2附近,勢(shì)函數(shù)的Φ(N)圖像近似于拋物線(xiàn),那么可以對(duì)c1、c2進(jìn)行近似估計(jì)。定義變量y=N/N1,對(duì)式(19)、(21)近似積分求和可得

(23)

(24)

將c1、c2代入式(20)中,可以得到F→S相變平均延遲時(shí)間TFS：

(25)

因此,F→S相變概率GFS,即單位時(shí)間內(nèi)交通擁堵發(fā)生的次數(shù)為

(26)

定義勢(shì)阱函數(shù)ΔΦ=Φ(N2)-Φ(N1),觀察式(25)可以看到ΔΦ對(duì)TFS的影響最大,呈指數(shù)級(jí)變化。根據(jù)式(19),勢(shì)阱ΔΦ是ΔNc的單調(diào)遞增函數(shù)。根據(jù)上文分析,ΔNc的大小與總流率qsum有關(guān),因此勢(shì)阱ΔΦ是qsum的遞減函數(shù),可知TFS的大小與qsum的變化密切相關(guān)。

首先對(duì)勢(shì)阱函數(shù)ΔΦ近似,有

(27)

在Nd附近,對(duì)式(27)中的函數(shù)w-(N)用拋物線(xiàn)近似估計(jì),可以得到

(28)

式中：

N1,2=Nd?ΔNc/2,

(29)

根據(jù)式(28),可以解出：

(30)

(31)

計(jì)算c1、c2中的導(dǎo)數(shù)w-′(Ni)得

(32)

將式(31)、(32)代入(25)中,則可得到F→S相變平均延遲時(shí)間的近似公式：

(33)

因此GFS為

(34)

4 結(jié)果分析

4.1 消散率w-的定量表達(dá)

根據(jù)上文對(duì)w-的定性分析,這里先給出w-的簡(jiǎn)單表達(dá)式,

w-(N,qin,qon,qoff)=f(N,qon,qoff)+ηqoff+g,

(35)

式中：f(N,qon,qoff)描述的是入口匝道和出口匝道所形成的組合瓶頸效應(yīng);g表示入口匝道車(chē)流和主干道車(chē)流交織對(duì)瓶頸附近的集群消散率的影響?，F(xiàn)在討論等式右側(cè)中的每一項(xiàng)的具體表達(dá)式。

組合匝道的瓶頸效應(yīng)與入口匝道流量qon和出口匝道流量qoff有關(guān),同時(shí)為了滿(mǎn)足三相交通流中w-的定性形狀,f(N,qon,qoff)表達(dá)式如下：

(36)

式中：a、b、N0都是qon和qoff的函數(shù)：a(qon,qoff)=1.32q0(qon,qoff)/N0(qon,qoff),b(qon,qoff)=23+10[1+(qon,qoff)/250]-1,N0(qon,qoff)=31.5-6.5[1+(qon,qoff)/300]-1,q0(qon,qoff)=2330+370[1+(qon,qoff)/300]-1。

交通波理論在分析交通流運(yùn)行過(guò)程中,特別是在研究瓶頸處交通狀態(tài)的轉(zhuǎn)變以及交通流的擁堵和消散的傳播特性方面有著十分廣泛的應(yīng)用[29]。假設(shè)qin和qon均符合均勻分布,并且qin大于qon。由于本文中所討論的是位于主干道上的集群的消散率,因此只對(duì)主干道上所形成的交通波進(jìn)行分析,而忽略匝道內(nèi)部形成的交通波。

對(duì)于入口匝道,由于主干道車(chē)流量較大,因此入口匝道的車(chē)流將較難匯入到主干道,導(dǎo)致入口匝道車(chē)流將會(huì)選擇強(qiáng)行匯入,使得主干道車(chē)流被迫讓行而停下,在匝道和主干道合流區(qū)形成一個(gè)短距離的停駛區(qū)(稱(chēng)為P區(qū))。P區(qū)的流量很小,密度接近于阻塞密度,類(lèi)似于信號(hào)交叉口停車(chē)線(xiàn)附近區(qū)域。入口匝道的車(chē)流匯入過(guò)程將產(chǎn)生兩個(gè)波：

P區(qū)與qin形成一個(gè)交通波ω1,

(37)

該波向后傳播,類(lèi)似于壓縮波或者停車(chē)波。

qon和區(qū)域P形成一個(gè)波ω2,

(38)

ω2向后傳播,類(lèi)似于信號(hào)交叉口的起動(dòng)波。式中kin、kon、kp分別是流量qin、qon、qp對(duì)應(yīng)的密度。由于本文所描述的是自由流中的相變,因此流量和密度符合線(xiàn)性關(guān)系,此處采用格林希爾茲模型來(lái)描述這種關(guān)系[q=80k(1-k/150)]。將單位時(shí)間內(nèi)集散波所掠過(guò)的車(chē)輛數(shù)稱(chēng)為波流量,則該過(guò)程得到2個(gè)波流量qω1和qω2,即

(39)

(40)

于是得到了入口匝道造成的瓶頸效應(yīng)對(duì)集群消散的影響,

(41)

式中,ε=qon/(qon+qin)。

至此,得到了消散率w-的表達(dá)式(w-≥0),

(42)

4.2 結(jié)果分析

①消散率w-。

圖6表示的是在給定主干道上游來(lái)流量qin和出口匝道流量qoff(qin=1 900 veh/h,qoff=100 veh/h),不同的入口匝道流量qon下的集群消散率變化曲線(xiàn)。對(duì)比這3條曲線(xiàn)可以發(fā)現(xiàn),隨著qon的增加,在相同的集群數(shù)量N的情況下,消散率在逐漸減小,這說(shuō)明qon越大,其匯入對(duì)主干道車(chē)流造成的影響越大,集群中的車(chē)輛越難消散。同時(shí)可以看到,臨界確定性集群Nd對(duì)應(yīng)的臨界流量qdet(圖中虛線(xiàn)所對(duì)應(yīng)的值)隨著qon的增大而減小且十分明顯,正如上文所描述的那樣,qdet表示在發(fā)生F→S相變前總流量qsum所能達(dá)到的最大值,意味著在入口匝道流量較大時(shí),qsum的增大將更容易導(dǎo)致F→S相變,入口匝道流量的增加將加快F→S相變的進(jìn)程(qsum越容易接近qdet,相變發(fā)生所需要的臨界隨機(jī)擾動(dòng)也就越小)。

圖6 不同入口匝道流量時(shí)的消散率 Fig.6 Outflow rate for different on-ramp flows

圖7表示的是在給定qin和qon(qin=1 900veh/h,qon=300 veh/h),不同的出口匝道流量qoff下的集群消散率變化曲線(xiàn),對(duì)比這2條曲線(xiàn)可以發(fā)現(xiàn),在相同的集群數(shù)量N的情況下,qoff=100 veh/h的消散率要小于qoff=300 veh/h消散率,因此qoff的增加促進(jìn)了車(chē)輛集群的消散,同時(shí)可以看到qdet隨著qoff的增加而顯著上升,qoff的增加顯然對(duì)維持交通流的穩(wěn)定性起了一定的作用。事實(shí)上,由文獻(xiàn)[10]可知,當(dāng)qoff的比重(qoff占qsum的比重)低于15%～20%時(shí),出口匝道流量的增加能更好的抑制交通擁堵,圖7所表示的最大出口流量不超過(guò)總流量的18%,超過(guò)該值出口流量的增加將導(dǎo)致交通流的不穩(wěn)定,但該研究是針對(duì)于同步流中的相變,本文研究的是自由流中的相變。

圖7 不同出口匝道流量時(shí)的消散率 Fig.7 Outflow rate for different off-ramp flows

圖8表示的是在qon和qoff(qon=300 veh/h,qoff=100 veh/h),不同的主干道來(lái)流量qin下的集群消散率變化曲線(xiàn)。盡管2條曲線(xiàn)的大小差別非常大,但是可以發(fā)現(xiàn)2條曲線(xiàn)幾乎重合,說(shuō)明qin的增加對(duì)車(chē)輛消散的影響不大：一方面qin的比重在一定范圍內(nèi)增大造成的影響遠(yuǎn)不如匝道流量增加所帶來(lái)的擾動(dòng);另一方面則是qin增加并未讓總流量qsum接近臨界流量qdet,交通流仍處于自由流階段。

圖8 不同主干道上游來(lái)流率時(shí)的消散率 Fig.8 Outflow rate for differentupstream flow rates on major roads

對(duì)比圖6、7、8可以發(fā)現(xiàn),qon是對(duì)消散率w-減少影響最大的因素,同時(shí)qon的增加使得交通流更加不穩(wěn)定,意味著F→S相變更為容易發(fā)生,事實(shí)也正是如此,qon的增加將會(huì)給主干道車(chē)流造成巨大的影響,因此將入口匝道流量控制在一定范圍內(nèi)十分必要。下面將重點(diǎn)研究qon的變化對(duì)其他參數(shù)造成的影響。

②勢(shì)阱ΔΦ和臨界車(chē)數(shù)差ΔNc。

圖9、10表示的是在給定qoff(qoff=100 veh/h),不同的入口匝道流量qon下的勢(shì)阱ΔΦ和臨界車(chē)數(shù)差ΔNc變化曲線(xiàn),在qon給定的情況下,ΔΦ和ΔNc是總流量qsum的減函數(shù)。由ΔΦ和ΔNc的表達(dá)式可知,二者都和水平線(xiàn)qsum與w-曲線(xiàn)的交點(diǎn)N1、N2有關(guān),隨著qsum的增大,N1和N2的值越接近,ΔΦ和ΔNc也就越小,這也意味著F→S相變發(fā)生所需要的臨界隨機(jī)擾動(dòng)也就越小。對(duì)比圖9和圖10中的3條線(xiàn)可知,在相同的qsum時(shí),ΔΦ和ΔNc的值逐漸減小,因此它們同時(shí)也是入口匝道流量qon的減函數(shù)。

圖9 不同入口匝道流量時(shí)的勢(shì)阱Fig.9 Potential barrier for different on-ramp flows

圖10 不同入口匝道流量時(shí)的臨界車(chē)數(shù)差Fig.10 Critical vehicle number for different on-ramp flows

③F→S相變平均延遲時(shí)間TFS和相變概率GFS。

圖11、12表示的與圖10相同的匝道流量,F→S相變平均延遲時(shí)間TFS和相變概率GFS變化曲線(xiàn)。對(duì)于其中某一條曲線(xiàn)而言,當(dāng)總流量qsum滿(mǎn)足qth

圖11 不同入口匝道流量時(shí)的相變平均延遲時(shí)間Fig.11 Mean time delay for phase transition at different on-ramp flows

值得注意的是,在所有的曲線(xiàn)中qsum的值始終小于相變發(fā)生的臨界流量qdet,表明組合匝道瓶頸處的隨機(jī)擾動(dòng)的增長(zhǎng)導(dǎo)致了隨機(jī)交通擁堵的發(fā)生。從圖12中可以看到,GFS曲線(xiàn)在臨近qdet時(shí)上升趨勢(shì)變緩,說(shuō)明其存在一個(gè)小于1的臨界值,即隨機(jī)交通擁堵的邊界趨近于確定性交通擁堵邊界。同樣地,在qsum極限趨近于閾值流量qth時(shí),其存在一個(gè)大于0的閾值邊界,與Kerner基于三相交通流微觀仿真的結(jié)果一致[9]。

圖12 不同入口匝道流量時(shí)的相變概率Fig.12 Phase transition probability for different on-ramp flows

5 結(jié)論

本文基于三相交通流理論,借助了一類(lèi)交通流中觀模型——概率論主方程模型用以研究具有一個(gè)連續(xù)入-出口匝道瓶頸處的交通擁堵現(xiàn)象。通過(guò)引入速度適應(yīng)效應(yīng)和過(guò)加速效應(yīng),表明交通擁堵的發(fā)生就是自由流到同步流的一階相變,并且具有概率性。本文創(chuàng)新性將主方程模型應(yīng)用于匝道瓶頸處的集群變化描述,在假定集群吸引率等于總流量的前提下,結(jié)合組合匝道瓶頸效應(yīng)和交通波理論重點(diǎn)分析了集群消散率并給出了具體的表達(dá)式,進(jìn)一步推導(dǎo)出了交通擁堵的平均延遲時(shí)間和相變概率的表達(dá)式。

分別探討了不同的入口匝道流入量、出口匝道流出量和瓶頸上游來(lái)流量對(duì)組合匝道瓶頸處車(chē)輛集群消散率和F→S相變發(fā)生的臨界流量的影響,得出了相關(guān)結(jié)論：入口匝道流量的增加將加快F→S相變的進(jìn)程,出口匝道流量在一定范圍內(nèi)對(duì)維持交通流的穩(wěn)定性有促進(jìn)作用,并且主干道流量不大時(shí)對(duì)車(chē)輛的消散影響較小。此外,重點(diǎn)分析了入口匝道流量和總流量的變化對(duì)F→S相變的平均延遲時(shí)間和相變概率的影響,結(jié)果表明在總流量小于臨界流量時(shí),總流量越大,相變概率越大,進(jìn)一步說(shuō)明合理控制入口匝道流量的范圍對(duì)減少交通擁堵的發(fā)生十分必要。