多葉動(dòng)壓氣體滑動(dòng)軸承靜態(tài)特性的有限差分算法*

陳 陽(yáng) 張功學(xué) 吳 垚

(陜西科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院 陜西西安 710021)

隨著旋轉(zhuǎn)機(jī)械向高轉(zhuǎn)速、高精度、高功率和低能耗的趨勢(shì)發(fā)展，滑動(dòng)軸承對(duì)高速轉(zhuǎn)子的潤(rùn)滑性能已成為影響設(shè)備高效穩(wěn)定工作的關(guān)鍵因素。相較于傳統(tǒng)滾動(dòng)軸承和油液潤(rùn)滑軸承，動(dòng)壓氣體軸承因其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、易于制造、對(duì)環(huán)境無(wú)污染及服役溫度范圍寬等優(yōu)點(diǎn)[1-2]，廣泛應(yīng)用于空氣壓縮機(jī)、高速離心機(jī)和透平膨脹機(jī)等旋轉(zhuǎn)機(jī)械中。多葉動(dòng)壓氣體軸承采用多塊相同幾何參數(shù)的圓弧狀軸瓦來(lái)支承轉(zhuǎn)子，其軸向槽間隙可有效防止壓力擾動(dòng)沿周向擴(kuò)散以提高軸承的穩(wěn)定性，同時(shí)軸向槽的存在還起到收集灰塵和雜質(zhì)粒子、維持瓦塊/軸頸表面清潔的作用[3-4]。

目前，國(guó)內(nèi)外學(xué)者針對(duì)動(dòng)壓氣體軸承的性能開(kāi)展了大量深入的研究，并取得了豐富的研究成果。趙三星等[5]發(fā)現(xiàn)軸向槽圓柱氣體動(dòng)壓軸承的承載力和偏位角會(huì)隨著開(kāi)槽位置的改變呈周期性變化。LEE和KIM[6]通過(guò)耦合求解波箔型徑向箔片軸承的氣膜壓力控制方程和能量方程，研究了軸承間隙、載荷大小和軸頸轉(zhuǎn)速對(duì)轉(zhuǎn)軸三維溫度場(chǎng)分布的影響，結(jié)果表明轉(zhuǎn)子的最高溫度隨軸承間隙的減小而升高，隨載荷和轉(zhuǎn)速的增大而急劇升高。田宇忠等[7]發(fā)現(xiàn)軸承的承載能力會(huì)隨著軸向槽寬度與數(shù)目的增大而逐漸降低。RAHMATABADI等[8]通過(guò)有限元法求解微極性流體潤(rùn)滑Reynolds方程，發(fā)現(xiàn)承載力、偏位角和摩擦力隨預(yù)負(fù)荷系數(shù)和微極性流體耦合數(shù)的增大而增大，端泄流量隨預(yù)負(fù)荷系數(shù)的增大而減小。 燕震雷和伍林[9]結(jié)合牛頓迭代法和有限差分法求解考慮氣體稀薄效應(yīng)的修正Reynolds方程，探討了不同邊界滑移條件對(duì)三瓦可傾瓦動(dòng)壓氣體軸承承載力的影響，表明氣體稀薄效應(yīng)明顯降低了軸承承載能力，且隨著克努森數(shù)的增大，連續(xù)模型、一階滑移模型和WU的新滑移模型計(jì)算的承載力依次降低。馮凱等人[10]建立了考慮接觸面庫(kù)侖摩擦的三瓣式氣體箔片軸承氣彈耦合模型，研究了轉(zhuǎn)速和軸承預(yù)載對(duì)承載力的影響，發(fā)現(xiàn)承載力隨軸承預(yù)載和轉(zhuǎn)速的增大而顯著提高。DAS 和ROY[11]通過(guò)數(shù)值求解非牛頓流體潤(rùn)滑的量綱一化Reynolds方程，對(duì)比了牛頓/非牛頓流體潤(rùn)滑劑潤(rùn)滑下二、三、四葉滑動(dòng)軸承靜態(tài)特性曲線，發(fā)現(xiàn)當(dāng)非牛頓潤(rùn)滑劑的膨脹系數(shù)為1.3時(shí)三葉軸承擁有最大承載力，而牛頓流體潤(rùn)滑下的二葉軸承具有最大的姿態(tài)角和流量系數(shù)。LV等[12]建立了考慮軸頸傾斜、軸瓦彈性變形和瓦塊數(shù)目的軸向槽軸承彈流潤(rùn)滑模型，運(yùn)用等效支點(diǎn)位置探究了軸頸傾斜角和軸向槽數(shù)目對(duì)承載能力的影響，發(fā)現(xiàn)承載能力隨偏斜角和溝槽數(shù)的增加而減小。LI等[13]結(jié)合線性攝動(dòng)法和有限差分法求解靜壓氣體軸承的非定常Reynolds方程，得到了不同供氣孔徑且不均勻分布的氣膜厚度和氣膜壓力分布，指出承載力隨孔口直徑的減小而增大，隨偏心率、轉(zhuǎn)速和供氣壓力增大而增大，并發(fā)現(xiàn)在小偏心率時(shí)軸承具有更好的穩(wěn)定性?；臓N等[14]基于有限差分法對(duì)2種波箔型動(dòng)壓氣體軸承的定常Reynolds方程和氣膜厚度方程聯(lián)合求解，得到了承載力和摩擦力矩隨轉(zhuǎn)速與偏心率的變化規(guī)律。

由于軸頸/軸瓦間隙、氣體可壓縮性、氣膜不連續(xù)性及瓦塊分布位置聯(lián)合作用的復(fù)雜性，針對(duì)多葉動(dòng)壓氣體軸承潤(rùn)滑性能的研究文獻(xiàn)相對(duì)較少。而研究多葉動(dòng)壓氣體軸承的靜態(tài)特性，對(duì)提高氣體軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定性具有重要的指導(dǎo)意義[15-17]。

本文作者通過(guò)數(shù)學(xué)變換將多葉動(dòng)壓軸承的氣體潤(rùn)滑Reynolds方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)偏微分方程形式，利用有限差分法和超松弛迭代法進(jìn)行數(shù)值求解，得到三葉氣體軸承各瓦塊的氣膜膜厚及壓力分布、承載力和摩擦因數(shù)等靜態(tài)性能，并分析了偏心率、預(yù)負(fù)荷系數(shù)、軸承數(shù)、長(zhǎng)徑比和瓦塊分布位置對(duì)多葉氣體軸承靜態(tài)性能的影響規(guī)律。

1 數(shù)學(xué)模型

圖1所示為不同承載方式的三葉動(dòng)壓氣體滑動(dòng)軸承的結(jié)構(gòu)示意圖。三葉動(dòng)壓氣體滑動(dòng)軸承是由三塊相同幾何尺寸的軸瓦依次均勻地分布在支點(diǎn)圓上構(gòu)成的，瓦塊分布位置的改變可以影響主要承載區(qū)域，主要承載區(qū)域集中在瓦2上時(shí)為瓦上承載方式，位于瓦1與瓦2之間時(shí)為瓦間承載方式。圖中ξ為瓦間角，α為瓦包角。

圖1 三葉動(dòng)壓氣體滑動(dòng)軸承結(jié)構(gòu)

為了計(jì)算軸承氣膜的承載力等靜態(tài)性能，必須計(jì)算其氣膜壓力分布。根據(jù)氣體運(yùn)動(dòng)方程、連續(xù)性方程、氣體狀態(tài)方程和 Navier-Stokes方程，可得到可壓縮氣體潤(rùn)滑Reynolds方程[18]的一般形式為

(1)

式中：ρ為氣體密度；h為氣膜厚度；μ為氣體動(dòng)力黏度；U為軸頸表面速度，U=ωR；ω為軸頸轉(zhuǎn)速；t為時(shí)間；x為軸承周向坐標(biāo)；z為軸承軸向坐標(biāo)。

對(duì)多葉動(dòng)壓氣體軸承而言，其氣膜厚度與軸頸中心相對(duì)于軸承中心的偏心距有關(guān)，在忽略軸瓦厚度的前提下，第i塊軸瓦與軸頸表面的氣膜厚度表達(dá)式為

hi=Cb-(Cb-Cp)cos(βi-φi)+ecos(φi-θ)

(2)

式中：Cb為軸承半徑間隙；Cp為裝配間隙；βi為第i塊軸瓦的支點(diǎn)位置角；e為軸頸中心相對(duì)軸承中心的偏心距；θ為軸承偏位角。

對(duì)動(dòng)壓軸承進(jìn)行分析計(jì)算時(shí)，常以量綱一化形式進(jìn)行，可以將問(wèn)題歸納為最緊湊形式，突出各有關(guān)因素的作用。則等溫條件下氣體潤(rùn)滑Reynolds方程的量綱一化形式[19]如下：

(3)

量綱一氣膜厚度表達(dá)式為

H=1-mpcos(β-φ)+εcos(φ-θ)

(4)

式中：H為量綱一氣膜厚度；ε表示軸頸中心相對(duì)支點(diǎn)圓中心的偏心率，ε=e/Cb；mp為軸瓦的預(yù)負(fù)荷系數(shù)，mp=1-Cp/Cb。

量綱一壓力邊界條件[20]為

(5)

式中：L表示軸承寬度；φ0為從角起線到軸瓦進(jìn)氣端的角度；φ1為從角起線到軸瓦出氣端的角度。

2 數(shù)值求解

為了快速求解動(dòng)壓氣體潤(rùn)滑Reynolds方程，需將其化為標(biāo)準(zhǔn)偏微分方程的形式進(jìn)行求解。通過(guò)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)變換[20]，令S=PH，則Π=S2=(PH)2， 式(3)可變?yōu)?/p>

(6)

同理可得：

(7)

則：

(8)

通過(guò)移項(xiàng)，多葉動(dòng)壓氣體軸承的靜態(tài)潤(rùn)滑Reynolds方程(3)可整理為

(9)

利用有限差分法求解動(dòng)壓氣體潤(rùn)滑軸承壓力分布，就是在瓦塊的氣膜區(qū)域按照差分的步長(zhǎng)Δφ、Δλ劃分為許多網(wǎng)格。如圖2所示，共劃分有 (m+1)×(n+1)個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)的位置用(i，j)編號(hào)表示，節(jié)點(diǎn)(i，j)上的P值用Pi，j表示，得到一組近似表達(dá)氣膜壓力分布的離散壓力數(shù)值，再利用相應(yīng)的數(shù)值積分便可求得承載力等靜態(tài)性能。

圖2 多葉氣體軸承瓦塊的網(wǎng)格劃分

采用二階差分法和中心差分法對(duì)式(9)進(jìn)行離散：

≈[(H/2)i+1/2，j·Πi+1，j-((H/2)i+1/2，j+

(H/2)i-1/2，j)·Πi，j+(H/2)i-1/2，j·Πi-1，j]/(Δφ)2

(10)

≈[Πi+1/2，j·Hi+1，j-(Πi+1/2，j+Πi-1/2，j)·Hi，j+

Πi-1/2，j·Hi-1，j]/(Δφ)2

(11)

同理可得：

((H/2)i，j+1/2+(H/2)i，j-1/2)·Hi，j]/(Δλ)2+

[(H/2)i，j-1/2·Hi，j-1]/(Δλ)2

(12)

(13)

(14)

則量綱一化Reynolds方程可化為

[(H/2)i+1/2，j·Πi+1，j-((H/2)i+1/2，j+

(H/2)i-1/2，j)·Πi，j+(H/2)i-1/2，j·Πi-1，j]/(Δφ)2+[(H/2)i，j+1/2·Πi，j+1-((H/2)i，j+1/2+(H/2)i，j-1/2)·

Πi，j+(H/2)i，j-1/2·Πi，j-1]/(Δλ)2

=[Πi+1/2，j·Hi+1，j-(Πi+1/2，j+Πi-1/2，j)·Hi，j+Πi-1/2，j·Hi-1，j]/(Δφ)2+[Πi，j+1/2·Hi，j+1-(Πi，j+1/2+

Πi，j-1/2)·Hi，j+Πi，j-1/2·Hi，j-1]/(Δλ)2+

(15)

將上式化簡(jiǎn)整理可得：

(Hi+1/2，j+Hi，j-Hi+1，j)·Πi+1，j+(Hi-1/2，j+

Hi，j-Hi-1，j)·Πi-1，j+[(Δφ/Δλ)2·(Hi，j+1/2+Hi，j-

Hi，j+1)]·Πi，j+1+[(Δφ/Δλ)2(Hi，j-1/2+Hi，j-Hi，j-1)]·Πi，j-1-[Hi+1/2，j+Hi-1/2，j+Hi+1，j+Hi-1，j-

2Hi，j+(Δφ/Δλ)2·(Hi，j+1/2+Hi，j-1/2+Hi，j+1+

Hi，j-1-2Hi，j)]·Πi，j=Λ(Si+1，j-Si-1，j)Δφ

(16)

經(jīng)整理成：

Ai，jΠi+1，j+Bi，jΠi-1，j+Ci，jΠi，j+1+Di，jΠi，j-1-Ei，jΠi，j=Fi，j

(17)

其中各系數(shù)為

(18)

因此，Πi，j可表示為

Πi，j=(Ai，jΠi+1，j+Bi，jΠi-1，j+Ci，jΠi，j+1+

Di，jΠi，j-1-Fi，j)/Ei，j

(19)

任意一點(diǎn)的氣膜壓力Pi，j可表示為

(20)

軸承在垂直和水平方向的量綱一氣膜合力可按下式計(jì)算

(21)

式中：Fx和Fy分別為軸承在垂直和水平方向上的氣膜合力；P0為靜態(tài)氣膜合力。

軸承的量綱一承載力和偏位角[16]為

(22)

由于氣膜的剪切流動(dòng)與壓力流動(dòng)，軸頸會(huì)與軸承內(nèi)表面會(huì)發(fā)生摩擦，軸頸表面的周向摩擦因數(shù)的表達(dá)式為

(23)

式中：“-”表示摩擦力方向與軸承旋轉(zhuǎn)方向相反。

由于氣體潤(rùn)滑劑的可壓縮性，任一區(qū)域流入流出的體積流量不一定守恒，所以用質(zhì)量流量表征其流動(dòng)性更為合理。單位時(shí)間內(nèi)流進(jìn)軸瓦周向截面的質(zhì)量流量可表示為

(24)

基于上述模型及數(shù)值求解方法，采用有限差分法和超松弛迭代法編制程序，對(duì)圖1所示的三葉動(dòng)壓氣體滑動(dòng)軸承進(jìn)行靜態(tài)性能計(jì)算，具體計(jì)算流程如圖3所示。

圖3 靜態(tài)性能計(jì)算流程

3 結(jié)果與討論

為驗(yàn)證上述理論模型的正確性及編制程序的可靠性，文中計(jì)算了當(dāng)Λ=1，L/D=2，β=38.9°；Λ=0.5，L/D=2，β=38.9°和Λ=0.5，L/D=0.5，β=10°時(shí)的軸承承載力，并與文獻(xiàn)[20]的結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，如圖4所示。兩者結(jié)果吻合良好，誤差在2%以內(nèi)，說(shuō)明了文中有限差分算法和程序的正確性。

圖4 承載力計(jì)算結(jié)果對(duì)比

3.1 氣膜厚度與氣膜壓力分布

在ε=0.6，mp=0.4，Λ=3和L/D=1.5時(shí)，計(jì)算得到不同瓦塊分布位置的量綱一氣膜厚度和氣膜壓力分布，如圖5所示。瓦塊分布位置對(duì)氣膜厚度和壓力分布有著明顯影響，沿著軸頸旋轉(zhuǎn)方向，氣膜厚度先逐漸增大后減小再增大，且在最小氣膜厚度位置處出現(xiàn)最大氣膜壓力。瓦上承載方式的最小氣膜厚度(為0.29)大于瓦間承載的最小氣膜厚度(為0.25)，且最大氣膜壓力高出瓦間承載方式近30%。這是因?yàn)橥呱铣休d方式的主要承載區(qū)域位于主要承載瓦2上，而瓦間承載方式的主要承載區(qū)域位于瓦1和瓦2間，在外載荷作用下潤(rùn)滑氣體經(jīng)軸向槽的泄漏量大于瓦上承載。

3.2 偏心率和預(yù)負(fù)荷系數(shù)對(duì)靜態(tài)性能的影響

圖6給出了當(dāng)Λ=0.6，L/D=1.5時(shí)，承載力W、偏位角θ、軸頸表面周向摩擦因數(shù)-fJ和單位時(shí)間內(nèi)流入瓦2的質(zhì)量流量Qmx_in2隨偏心率和預(yù)負(fù)荷系數(shù)mp(mp=0.1、0.3和0.5)的變化曲線。由圖6(a)(c)可知，隨著偏心率和預(yù)負(fù)荷系數(shù)的增大，W和-fJ迅速增大；同時(shí)，在不同預(yù)負(fù)荷系數(shù)條件下，瓦上承載方式的承載能力始終優(yōu)于瓦間承載方式。從圖6(c)中可以觀察到，當(dāng)偏心率小于0.4時(shí)，瓦上承載和瓦間承載方式的摩擦因數(shù)相差不大；在預(yù)負(fù)荷系數(shù)為0.3和0.5且偏心率大于0.4時(shí)，瓦間承載方式的-fJ略微大于瓦上承載方式；當(dāng)預(yù)負(fù)荷系數(shù)為0.7時(shí)，小偏心率下的瓦上和瓦間承載方式的摩擦因數(shù)幾乎一樣；但當(dāng)偏心率為0.8時(shí)，出現(xiàn)瓦上承載方式的摩擦因數(shù)高于瓦間承載方式的情況，這是由于高預(yù)負(fù)荷系數(shù)和大偏心率的條件使瓦上承載方式的軸頸表面更貼近主要承載瓦。從圖6(b)(d)可知，瓦上承載方式的偏位角θ呈現(xiàn)出隨預(yù)負(fù)荷系數(shù)的增大而逐漸減小，隨偏心率的增大先增大后逐漸減小的趨勢(shì)；隨著預(yù)負(fù)荷系數(shù)和偏心率的增大，Qmx_in2逐漸下降，這是因?yàn)檩S瓦間隙隨著預(yù)負(fù)荷系數(shù)的增大而變小，所以質(zhì)量流量減小。瓦間承載方式的偏位角θ和Qmx_in2隨偏心率和預(yù)負(fù)荷系數(shù)的增大而迅速減小。

圖6 偏心率和預(yù)負(fù)荷系數(shù)對(duì)靜態(tài)性能的影響(Λ=0.6，L/D=1.5)

3.3 軸承數(shù)和長(zhǎng)徑比對(duì)靜態(tài)性能的影響

圖7示出了當(dāng)ε=0.6，mp=0.4，L/D分別為0.5、1和1.5時(shí)，軸承數(shù)對(duì)承載力、摩擦因數(shù)和質(zhì)量流量的影響曲線。由圖7(a)可知，承載力隨Λ和L/D的增大而呈現(xiàn)增長(zhǎng)速率放緩的變化趨勢(shì)，這是由于軸承數(shù)的增加提高了軸頸轉(zhuǎn)速，增強(qiáng)了氣體動(dòng)壓效應(yīng)，從而使軸承承載力變大；同時(shí)，類(lèi)似承載力隨偏心率和預(yù)負(fù)荷系數(shù)的變化曲線，瓦上承載方式的承載力始終高于瓦間承載方式。由圖7(b)可知，-fJ隨軸承數(shù)和長(zhǎng)徑比的增加而線性增加，瓦上承載方式的摩擦因數(shù)與瓦間承載方式相差不大。由圖7(c)可知，瓦上承載方式的Qmx_in2隨軸承數(shù)的增大先減小而后緩慢增加，且隨長(zhǎng)徑比的增加而快速增大，這是因?yàn)槌休d瓦塊2的面積隨長(zhǎng)徑比的增大而變大。瓦間承載方式的Qmx_in2隨軸承數(shù)的增加而緩慢增大，隨長(zhǎng)徑比的增加而明顯增大。由于瓦間承載方式較大的氣體端泄量，瓦上承載方式的Qmx_in2始終高于瓦間承載方式。

圖7 軸承數(shù)和長(zhǎng)徑比對(duì)靜態(tài)性能的影響(ε=0.6，mp=0.4)

4 結(jié)論

(1)長(zhǎng)徑比和軸承數(shù)對(duì)多葉動(dòng)壓氣體軸承的承載能力影響顯著，長(zhǎng)徑比的增大可以明顯提高軸承的承載能力。這是由于長(zhǎng)徑比改變了瓦塊承載面積大小。軸承數(shù)增加對(duì)應(yīng)的是軸頸轉(zhuǎn)速增大，轉(zhuǎn)速提高增強(qiáng)了氣體動(dòng)壓效應(yīng)，從而提高了多葉軸承的承載能力。

(2)預(yù)負(fù)荷系數(shù)可為多葉動(dòng)壓氣體軸承的軸瓦提供預(yù)緊壓力，較大的預(yù)負(fù)荷系數(shù)可以提高軸承的承載力，但也會(huì)使軸頸表面周向摩擦因數(shù)增大，同時(shí)減小了軸瓦間隙，使單位時(shí)間內(nèi)流入瓦2的氣體質(zhì)量流量減小。

(3)瓦塊分布方式對(duì)多葉動(dòng)壓氣體滑動(dòng)軸承的靜態(tài)性能影響顯著，瓦上承載方式的承載能力和質(zhì)量流量要高于瓦間承載方式，瓦間承載方式的軸承在高速運(yùn)行時(shí)會(huì)出現(xiàn)氣體從瓦間溝槽泄漏的現(xiàn)象，從而使承載力和質(zhì)量流量下降，因此在設(shè)計(jì)軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)時(shí)應(yīng)充分考慮瓦塊分布位置的影響。