SymPy在“高等傳熱學(xué)”教學(xué)中的應(yīng)用實踐

孫昆峰 李小民

(中原工學(xué)院能源與環(huán)境學(xué)院 河南鄭州 450007)

“高等傳熱學(xué)”是動力工程類研究生專業(yè)的核心課程，該課程主要內(nèi)容是研究熱傳遞現(xiàn)象，讓學(xué)生了解傳熱學(xué)的研究前沿，掌握導(dǎo)熱、對流換熱、熱輻射的物理機理和分析方法，培養(yǎng)研究生的工程思維能力，提高分析解決復(fù)雜傳熱問題的能力[1]。在“高等傳熱學(xué)”中，不僅有理論，更多的是微分方程及其求解，因此學(xué)生學(xué)習(xí)的困難很多來自數(shù)學(xué)上的困難。這些困難一是數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)，二是結(jié)果不直觀，理解上有一定難度。所以，如何改進求解微分方程的教學(xué)方法，就成為教好“高等傳熱學(xué)”的一個挑戰(zhàn)。

計算機代數(shù)系統(tǒng)能夠以類似于數(shù)學(xué)家和科學(xué)家的傳統(tǒng)手動計算方式來處理數(shù)學(xué)表達式。目前，在國內(nèi)外的大學(xué)教學(xué)實踐中，CAS 的應(yīng)用逐漸普及[2,3]。通過適當(dāng)?shù)厥褂肅AS 輔助教學(xué)，正好可以解決傳熱學(xué)中微分方程給教學(xué)帶來的問題。它不僅可以讓學(xué)生擺脫復(fù)雜的數(shù)學(xué)演算，使教學(xué)和學(xué)習(xí)有更多時間和精力用在解題思路和解題方法上，而且從另外一個層面改變了教學(xué)方式和內(nèi)容，實現(xiàn)教育方式的現(xiàn)代化，還能提高研究生使用CAS解決微分方程的能力。

Python是一款通用、動態(tài)且高階的語言，而且因它語法比較簡單、特別容易上手、第三方生態(tài)庫異常豐富的特點而被大家所喜愛。由于這些優(yōu)點，Python 已經(jīng)在科學(xué)和工程方面被廣泛應(yīng)用[4-5]。SymPy作為Python的計算機代數(shù)系統(tǒng)庫[6]，可以方便地解決在“高等傳熱學(xué)”中面臨的困難。SymPy目前處于發(fā)展期，它旨在成為功能齊全、性能可靠的計算機代數(shù)系統(tǒng)，同時使應(yīng)用代碼盡可能地簡單，易于理解和便于擴展。它完全使用Python 編寫，能夠完成諸如多項式求值、求極限、解方程、求積分、微分方程、級數(shù)展開、矩陣運算等等計算問題，現(xiàn)在它可以部分替代Mathematica、Maple、MATLAB等商業(yè)數(shù)學(xué)計算軟件[3]。另外一個關(guān)鍵因素SymPy是開源的軟件，對研究生來說更有挑戰(zhàn)性和深度，更現(xiàn)實的問題是避免現(xiàn)在我國軟件技術(shù)卡脖子問題。可以說它是目前非商業(yè)軟件中，解決“高等傳熱學(xué)”教學(xué)問題最適合的選擇。

本文以在實踐教學(xué)中的經(jīng)驗，舉例說明SymPy 如何應(yīng)用CAS解決高等傳熱學(xué)的問題。

1 SymPy的應(yīng)用介紹

1.1 在等截面直肋導(dǎo)熱問題中的應(yīng)用實踐

工業(yè)換熱設(shè)備中，常在換熱表面上增添一些肋，以增大換熱表面，達到減少換熱熱阻的目的，各種肋片的溫度場和傳熱性能的分析常歸結(jié)為擴展表面問題，其中等截面直肋是最經(jīng)典的例子[7]。該問題的核心思路是將實際問題降維，這種方法是研究生教學(xué)的重點，即讓研究生建立簡化思維模式、降維思維模式。通過假定肋片表面熱阻遠大于肋片導(dǎo)熱熱阻，厚度足夠小，導(dǎo)熱系數(shù)足夠大，將一個三維物理問題降為一維問題。

等截面直肋導(dǎo)熱問題微分方程[8-9]：

公式（3）中：θ為過余溫度；m為常量；x為長度量；H為肋片高度。

Sympy求解代碼如下：

等截面直肋導(dǎo)熱問題計算結(jié)果如圖1所示。

圖1 過余溫度沿肋高的變化曲線

1.2 地下埋管問題分析

在供熱、供水、供氣等工程中存在大量埋地管道，管道與土壤的傳熱問題是一個常見的問題。近年來，興起的地源熱泵技術(shù)，是一種高效能源利用方式，特別是目前在能源價格居高不下的態(tài)勢下，對該方面的傳熱研究計算越來越受到重視。地源熱泵中一個重要的問題是地下土壤溫度對地下埋管換熱器的傳熱影響，完善土壤的傳熱模型，是確定地下?lián)Q熱器大小的重要依據(jù)，它是推廣地源熱泵的重點研究方向[10]。在教學(xué)中通常采用拉普拉斯變換法求解，該方法使用簡單，但是缺乏形象、直觀的表達，而且利用拉普拉斯變換求解導(dǎo)熱問題是本課程的一個重點內(nèi)容[8-9]。該方法思想是將偏微分方程轉(zhuǎn)換為常微分方程，使求解大為簡化，它廣泛應(yīng)用在力學(xué)、電學(xué)、電子、信號處理等領(lǐng)域中。深入理解并能熟練掌握求解該類問題，是本課程教學(xué)的重要要求。本例是土壤溫度受外部影響的一種簡化模型，通過采用拉普拉斯變換方法求解半無限大物體非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，來演示SymPy的數(shù)學(xué)推導(dǎo)功能。

半無限大物體非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)學(xué)描述如下[8]：

式（8）中：θ為過余溫度；a為常量；τ為時間；x為長度量。

SymPy代碼實現(xiàn)如下：

半無限大物體非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱溫度變化結(jié)果見圖2。

圖2 半無限大物體x={1,2}點過余溫度隨時間的變化

2 教學(xué)過程的具體實施

傳熱學(xué)是一門比較艱深的學(xué)科，國內(nèi)許多教育從業(yè)者都努力改進教學(xué)方法，探尋新的教學(xué)模式[11-14]，筆者也在教學(xué)中積極嘗試使用SymPy。首先，其可以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運用水平，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。通過使用SymPy 的數(shù)學(xué)解析功能，不僅可以復(fù)習(xí)高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容，而且可以擴展學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)物理方程。隨著近年來Python 的普及，而且隨著AI 技術(shù)的巨大發(fā)展，掌握Python也成為工科研究生的必要技能。學(xué)生可以通過SymPy的學(xué)習(xí)，擴展到AI的領(lǐng)域，為將來個人的發(fā)展拓寬空間。

其次，教師要重視SymPy在課后的應(yīng)用，除了在課堂上演示具體的應(yīng)用和解析結(jié)果，在課后重點布置合適的專門練習(xí)內(nèi)容，讓學(xué)生能夠深入傳熱學(xué)問題，將物理現(xiàn)實與數(shù)學(xué)求解結(jié)合起來，綜合提高學(xué)生的研究技能，為其將來從事科研工作打好堅實的基礎(chǔ)。

筆者在不同課程教學(xué)中采用不同方法改進教學(xué)效果[15]，根據(jù)具體教學(xué)要求，在“高等傳熱學(xué)”教學(xué)中采用SymPy 求解復(fù)雜問題也是這種嘗試之一。通過SymPy的學(xué)習(xí)，大部分學(xué)生都能體會到，高等傳熱學(xué)中的數(shù)學(xué)問題變得沒那么難了，有思路，有具體解決辦法了。全方位地促進了學(xué)生對傳熱學(xué)理論和微分方程形式的理解，大大促進了研究生核心課程“高等傳熱學(xué)”教學(xué)質(zhì)量的提升。

3 結(jié)語

本文總結(jié)了使用CAS 的一點體會，為“高等傳熱學(xué)”的教育現(xiàn)代化起到拋磚引玉的效果。SymPy 計算代數(shù)庫系統(tǒng)CAS，易學(xué)習(xí)，并且語法簡單，特別是免費開源。通過結(jié)合使用SymPy 的微分方程求解、拉普拉斯變換功能，可以看出：作為“高等傳熱學(xué)”的教學(xué)輔助工具，其方便使用，適合工程類專業(yè)的研究生學(xué)習(xí)和掌握，更有利于學(xué)生理解傳熱學(xué)的基本概念，并能在應(yīng)用編程計算的同時，深入掌握相關(guān)的基本原理和求解方法。在例子中既有公式推導(dǎo)，同時又能實現(xiàn)數(shù)學(xué)公式的圖形化，進而可以改變相應(yīng)參數(shù)，讓學(xué)生方便地看到各種變量的關(guān)系，深入體會專業(yè)理論知識的內(nèi)涵。通過教學(xué)方法的改進，進行研究生教育手段現(xiàn)代化，引導(dǎo)專業(yè)研究生利用CAS，增加學(xué)生對專業(yè)理論的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的理論水平和計算能力。