時(shí)延的事件觸發(fā)無模型自適應(yīng)抗干擾控制①

黃佳慧, 陸一凡, 沈 超, 陳 華

(1.河海大學(xué)理學(xué)院,江蘇 南京 211100;2.河海大學(xué)商學(xué)院,江蘇 常州 213022)

0 引 言

在許多實(shí)際系統(tǒng)中經(jīng)常會(huì)遇到時(shí)滯和外部擾動(dòng),這會(huì)影響系統(tǒng)的控制性能,甚至導(dǎo)致受控系統(tǒng)的不穩(wěn)定性。因此,研究這類具有時(shí)滯和外部擾動(dòng)的非線性系統(tǒng)是一項(xiàng)重要而緊迫的工作。傳統(tǒng)的控制算法,如Smith預(yù)測控制[1-2]、Dahlin算法[3-4],從理論上解決了時(shí)滯系統(tǒng)的控制問題。使用擾動(dòng)觀測器[5-7]估計(jì)外部擾動(dòng),有效處理擾動(dòng)對系統(tǒng)帶來的影響。但大多數(shù)算法依賴于受控對象的精確模型。然而,工業(yè)過程系統(tǒng)高度復(fù)雜,很難建立精確的模型。無模型自適應(yīng)控制是一種僅依據(jù)非線性系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù),通過動(dòng)態(tài)線性化方法設(shè)計(jì)控制器的智能控制方案。經(jīng)過不斷發(fā)展,無模型自適應(yīng)控制的有效性已在自動(dòng)駕駛汽車[8],交直流微電網(wǎng)[9]和壓力系統(tǒng)[10]中得到驗(yàn)證?；仡櫖F(xiàn)有關(guān)于無模型自適應(yīng)控制方法的文獻(xiàn),針對時(shí)滯和擾動(dòng)問題,文獻(xiàn)[11]提出了一種具有擾動(dòng)補(bǔ)償?shù)淖赃m應(yīng)跟蹤控制策略,使非線性系統(tǒng)的跟蹤誤差收斂。文獻(xiàn)[12-13]利用Smith預(yù)估器估計(jì)系統(tǒng)輸出,并使用跟蹤微分器獲得預(yù)測器中的差分信號。上述研究只考慮了在時(shí)滯或擾動(dòng)的情況下的控制算法。現(xiàn)有的研究很少同時(shí)考慮時(shí)滯和干擾。事實(shí)上,在工業(yè)控制過程中,大多數(shù)時(shí)滯和擾動(dòng)同時(shí)存在。

綜上所述,針對一類具有輸入時(shí)滯和外部擾動(dòng)的離散時(shí)間非線性系統(tǒng),提出了一種改進(jìn)的無模型自適應(yīng)控制策略以跟蹤期望的時(shí)變軌跡。此外,為解決數(shù)據(jù)傳輸過程中的通信帶寬受限問題,設(shè)計(jì)事件觸發(fā)條件以減少控制器執(zhí)行次數(shù)。最后,運(yùn)用壓縮映射原理和Lyapunov穩(wěn)定性理論證明了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

1 問題描述

考慮一類含有輸入時(shí)滯和擾動(dòng)的離散時(shí)間非線性系統(tǒng):

y(j+1)=f(y(j),…y(j-ny),u(j-τ),

…u(j-τ-nu),d(j),…d(j-nd)

(1)

其中,y和u分別表示系統(tǒng)的控制輸出和控制輸入信號,τ是時(shí)滯,d(j)表示有界擾動(dòng),滿足|d(j)|≤bd;ny,nu和nd是未知的系統(tǒng)階數(shù);f(…)是未知的非線性函數(shù)。

假設(shè)1[14]：非線性函數(shù)f(…)關(guān)于其自變量的偏導(dǎo)數(shù)都是存在的。

假設(shè)2[14]：除有限時(shí)刻點(diǎn)外,離散時(shí)間非線性系統(tǒng)(1)滿足廣義的Lipschitz條件,即對任意的j1≠j2,j1,j2≥0,當(dāng)u(j1-τ)≠u(j2-τ)時(shí),有

|y(j1+1)-y(j2+1)|≤b|u(j1-τ)-u(j2-τ)|

其中,y(ji+1)=f(y(ji),…y(ji-ny),u(ji-τ),…u(ji-τ-nu),d(ji),…d(ji-nd)),i=1,2;b>0是一個(gè)常數(shù)。

假設(shè)1是非線性系統(tǒng)的常見限制。假設(shè)2是對輸出變化邊界的典型約束。許多實(shí)際的工業(yè)系統(tǒng)都滿足上述兩個(gè)假設(shè),如溫度控制系統(tǒng)、壓力控制系統(tǒng)等。

根據(jù)假設(shè)1和假設(shè)2,離散時(shí)間非線性系統(tǒng)(1)可以轉(zhuǎn)化為如下的等效數(shù)據(jù)模型

Δy(j+1)=φ(j-τ)Δu(j-τ)+αf(j-τ)

(2)

更進(jìn)一步,可得

Δy(j+τ+1)=φ(j)Δu(j)+αf(j)

(3)

其中,

αf(j)=f(y(j+τ),…y(j+τ-ny),

u(j-1),u(j-1),…u(j-nu),d(j+τ),

…d(j+τ-nd))-f(y(j+τ-1),

…y(j+τ-ny-1),u(j-1),u(j-2),

…u(j-nu-1),d(j+τ-1),

…d(j+τ-nd-1))

在實(shí)際應(yīng)用過程中,數(shù)據(jù)在傳輸過程中通常會(huì)遇到通信帶寬受限的問題。而事件觸發(fā)控制是指滿足預(yù)先設(shè)計(jì)的觸發(fā)條件時(shí),則更新控制輸入;否則,控制輸入保持不變。

本文的控制目標(biāo)是設(shè)計(jì)一種適當(dāng)?shù)目刂撇呗砸则?qū)動(dòng)含有輸入時(shí)滯和外界擾動(dòng)的系統(tǒng)跟蹤期望的時(shí)變軌跡。為了實(shí)現(xiàn)跟蹤控制目標(biāo),運(yùn)用離散時(shí)間擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測器估計(jì)殘余非線性不確定項(xiàng)。此外,設(shè)計(jì)事件觸發(fā)條件以減少數(shù)據(jù)傳輸,從而有效解決帶寬受限的問題。

2 主要結(jié)果

2.1 基于離散時(shí)間擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測的無模型自適應(yīng)控制

為了跟蹤期望的時(shí)變軌跡,考慮如下準(zhǔn)則函數(shù):

J(u(j))=|yd(j+τ+1)-y(j+τ+1)|2+

λ|u(j)-u(j-1)|2

(4)

其中,λ>0是一個(gè)權(quán)重因子,用來限制控制輸入的變化;yd(j+τ+1)是期望的輸出信號。

將動(dòng)態(tài)線性化模型(3)代入準(zhǔn)則函數(shù)(4),并且關(guān)于控制輸入u(j)求導(dǎo)使其等于0,則可得到控制輸入算法:

y(j+τ)-αf(j))

(5)

其中,ρ∈(0,1]是步長因子,添加它可以提高控制方案的通用性。

由于控制輸入算法(5)中含有未知的φ(j),并且φ(j)是一個(gè)時(shí)變參數(shù),其精確值難以獲取。因此,需要設(shè)計(jì)僅利用系統(tǒng)輸入輸出數(shù)據(jù)的估計(jì)算法以估計(jì)φ(j)。

為此,提出如下估計(jì)準(zhǔn)則函數(shù):

J(φ(j))=|y(j+τ)-y(j+τ-1)-

φ(j)Δu(j-1)-αf(j-1)|2+

(6)

其中,μ>0是一個(gè)權(quán)重因子。

對(6)關(guān)于φ(j)求極值,則可得到偽偏導(dǎo)數(shù)估計(jì)算法:

(7)

由于控制輸入算法(5)和偽偏導(dǎo)數(shù)估計(jì)算法(7)中均含有未知項(xiàng)αf(j),利用擴(kuò)展時(shí)間狀態(tài)觀測器估計(jì)殘余非線性不確定項(xiàng)αf(j)。

定義新的狀態(tài)向量Z(j)=[z1(j),z2(j-τ)]T=[y(j),αf(j-τ)]T,也就是說Z(j+τ)=[z1(j+τ),z2(j)]T=[y(j+τ),αf(j)]T。那么,動(dòng)態(tài)線性化模型(3)可以寫成如下狀態(tài)空間形式:

(8)

則系統(tǒng)(8)的離散時(shí)間擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測器可表示為:

(9)

因此,整個(gè)基于離散時(shí)間擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測器的無模型自適應(yīng)控制方案的具體形式如下:

(10)

(11)

(12)

(13)

從(10)-(13)可以看出,所提出的控制方案僅僅使用閉環(huán)系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù),不需要受控系統(tǒng)的模型信息。同時(shí),用離散時(shí)間擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測器估計(jì)的殘余非線性不確定項(xiàng)在控制輸入算法(10)中得到實(shí)時(shí)補(bǔ)償。因此,該方案是一種數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的抗干擾控制算法,可以保證系統(tǒng)的跟蹤性能,具有較高的跟蹤性能和較好的魯棒性。

2.2 基于離散時(shí)間擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測的無模型自適應(yīng)控制穩(wěn)定性分析

假設(shè)3：對任意時(shí)刻j及Δu(j)≠0,系統(tǒng)的偽偏導(dǎo)數(shù)的符號保持不變,即滿足φ(j)>κ>0或者φ(j)<-κ,其中,κ是一個(gè)小的正常數(shù)。

假設(shè)3意味著系統(tǒng)輸出不應(yīng)隨著控制輸入的增加而減少。這種特性在許多實(shí)際的工業(yè)系統(tǒng)中并不罕見,例如溫度控制系統(tǒng)和壓力控制系統(tǒng)。不失一般性,本文僅考慮φ(j)>κ的情況。

定理1：考慮滿足假設(shè)1-3的系統(tǒng)(1),如果控制器的參數(shù)滿足

(1):隨著時(shí)間的增加,離散時(shí)間擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測器是收斂的;

(3):系統(tǒng)的跟蹤誤差是有界收斂的。

如果選擇合適的觀測器增益,即

(14)

將動(dòng)態(tài)線性化模型(3)代入(14),并且兩邊加絕對值,有:

|φ(j-1)-φ(j)|+

(15)

又μ>0和0<η≤1時(shí),一定存在常數(shù)d1,使得:

(16)

(17)

第三步：定義系統(tǒng)的跟蹤誤差:e(j+τ)=yd(j+τ)-y(j+τ)。當(dāng)采樣時(shí)間足夠短時(shí),假設(shè)yd(j+τ+1)=yd(j+τ)。那么,e(j+τ+1)可表示為:

e(j+τ+1)=yd(j+τ+1)-y(j+τ+1)

(18)

將動(dòng)態(tài)線性化模型(3)和控制輸入算法(10)代入(18),并且兩邊加絕對值,有

(19)

根據(jù)λ>λmin及0<ρ≤1,則一定存在一個(gè)常數(shù)d2,使得

(20)

又根據(jù)期望的軌跡yd(j)是有界的,那么,存在一個(gè)常數(shù)使得|Δy(j+τ+1)|≤γ。此外,

(21)

結(jié)合(20)及(21),跟蹤誤差(19)可化簡為:

(22)

2.3 基于離散時(shí)間擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測的事件觸發(fā)無模型自適應(yīng)控制

在實(shí)際控制過程中,通常使用網(wǎng)絡(luò)通信來傳輸數(shù)據(jù),這不可避免地會(huì)遇到通信帶寬有限的問題。應(yīng)用事件觸發(fā)機(jī)制來處理這個(gè)問題。為了清楚以下描述,觸發(fā)的事件的時(shí)間序列表示為{ji},i=1,2,…。在事件觸發(fā)機(jī)制中,只有當(dāng)事件觸發(fā)條件滿足時(shí),控制器才能接收到最新的采樣數(shù)據(jù),也就是說,只有當(dāng)跟蹤誤差觸發(fā)預(yù)先設(shè)計(jì)的閾值時(shí),系統(tǒng)信息才會(huì)被發(fā)送。事件觸發(fā)控制律如下:

(23)

定義事件觸發(fā)誤差σ(j)=e(ji)-e(j)。設(shè)計(jì)如下事件觸發(fā)條件

(24)

因此,整個(gè)基于離散時(shí)間擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測器的事件觸發(fā)無模型自適應(yīng)控制方案可以總結(jié)為:

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

這里使用偽偏導(dǎo)數(shù)估計(jì)算法(25)與設(shè)計(jì)的事件觸發(fā)定律(28)相結(jié)合,在線估計(jì)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的參數(shù),以實(shí)時(shí)應(yīng)對不確定性。

2.4 基于離散時(shí)間擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測的事件觸發(fā)無模型自適應(yīng)控制穩(wěn)定性分析

定理2：考慮滿足假設(shè)1-3的系統(tǒng)(1),如果選擇合適的參數(shù)并且使用事件觸發(fā)無模型自適應(yīng)控制方案(25)-(29),其跟蹤誤差是漸近收斂的。

證明：鑒于動(dòng)態(tài)線性化模型(3)可知系統(tǒng)的跟蹤誤差為:

e(j+τ+1)=yd(j+τ+1)-y(j+τ+1)=

yd(j+τ+1)-y(j+τ)-φ(j)Δu(j)-αf(j)

(30)

在事件觸發(fā)時(shí)刻,即j=ji時(shí),根據(jù)控制輸入算法(28)和離散時(shí)間擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測器,則(30)變?yōu)?/p>

e(j+τ+1)=(1-φ(j)P(j))(yd(j+τ+1)-

(31)

定義Lyapunov函數(shù):V(j)=e2(j)。則

ΔV(j+τ+1)=[(1-φ(j)P(j))(yd(j+τ+1)-

(32)

(33)

由于事件觸發(fā)的誤差是σ(j)=e(ji)-e(j),很明顯可知在事件觸發(fā)時(shí)刻σ(ji)=0。然后,根據(jù)事件觸發(fā)條件(24),有

(34)

此外,根據(jù)(34)式,可以導(dǎo)出以下不等式

(35)

根據(jù)(33)式和(35)式,可以得到ΔV(j+τ+1)≤0。這也就是說,在所有觸發(fā)時(shí)刻,所設(shè)計(jì)的事件觸發(fā)無模型自適應(yīng)控制可以使跟蹤誤差漸近收斂。

在事件不觸發(fā)時(shí)刻,即j∈(ji-1,ji),在這個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)的控制輸入與上次觸發(fā)時(shí)刻的控制輸入保持相同。顯然,當(dāng)控制輸入保持不變時(shí),系統(tǒng)保持穩(wěn)定。

3 數(shù)值仿真

為了進(jìn)一步驗(yàn)證所提方法的有效性,對其進(jìn)行了如下模擬。值得注意的是,類似于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、系統(tǒng)的階數(shù)等系統(tǒng)的模型信息在控制方案中沒有用到。下面例子中給出的系統(tǒng)模型僅是為了產(chǎn)生系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù),不參與控制器的設(shè)計(jì)。

考慮如下含有輸入時(shí)滯和外部擾動(dòng)的離散時(shí)間非線性系統(tǒng):

離散時(shí)間非線性系統(tǒng)的期望輸出軌跡是:

yd(j+1)=

圖1 無模型自適應(yīng)控制的跟蹤性能

圖2 無模型自適應(yīng)控制的控制輸入變化

圖3 無模型自適應(yīng)控制的偽偏導(dǎo)數(shù)估計(jì)值

圖4 事件觸發(fā)無模型自適應(yīng)控制的跟蹤性能

仿真結(jié)果如圖1-3所示,分別展示了權(quán)重因子λ=0.1及λ=2時(shí)的跟蹤性能、控制輸入和偽偏導(dǎo)數(shù)估計(jì)值。從圖1可以看出,當(dāng)λ=0.1時(shí)系統(tǒng)反應(yīng)更快,能更好地跟蹤上期望的時(shí)變軌跡。在圖2中發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的控制輸入是有界的。從圖3可以看出,偽偏導(dǎo)數(shù)是一個(gè)慢時(shí)變的有界參數(shù)。

圖4展示了使用基于離散時(shí)間擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測器的事件觸發(fā)無模型自適應(yīng)控制的跟蹤性能,我們可以看出能跟蹤上期望的軌跡,并且通過設(shè)計(jì)事件觸發(fā)條件,控制器執(zhí)行次數(shù)會(huì)減少,以有效解決通信帶寬受限的問題。

4 結(jié) 語

針對一類具有時(shí)滯和有界擾動(dòng)的離散時(shí)間系統(tǒng),提出了一種改進(jìn)的無模型自適應(yīng)控制策略。首先,應(yīng)用基于緊格式動(dòng)態(tài)線性化的參數(shù)估計(jì)算法離線識別輸入和輸出數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)模型,然后將識別出的參數(shù)合并到無模型自適應(yīng)控制算法中,實(shí)時(shí)更新線性模型。其次,設(shè)計(jì)了一個(gè)離散時(shí)間擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測器來估計(jì)未知的殘差非線性時(shí)變項(xiàng),該項(xiàng)被認(rèn)為是一個(gè)新的狀態(tài)。此外,設(shè)計(jì)了事件觸發(fā)條件,以減少執(zhí)行次數(shù),有效解決通信帶寬問題。最后,通過結(jié)合離散時(shí)間擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測器估計(jì),分別提出了基于離散時(shí)間擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測器的無模型自適應(yīng)控制和基于離散時(shí)間擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測器的事件觸發(fā)無模型自適應(yīng)控制。通過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚摲治龊蛿?shù)值仿真驗(yàn)證了所提出方法的有效性。