基于“三教”理念的跨學科“情境―問題”教學探索
——以“指數(shù)函數(shù)的概念”為例

張琳玲，冉勝利，張轉(zhuǎn)周

（1.貴州師范大學數(shù)學科學學院，貴州 貴陽 550025；2.遵義師范學院數(shù)學學院，貴州 遵義 563006）

隨著基礎教育課程改革的深入，學科的交叉與融合成為一個必然的趨勢。通過數(shù)學學科與其他學科的融合，創(chuàng)設跨學科情境，發(fā)展跨學科思維，促進學生數(shù)學核心素養(yǎng)的提升?！镀胀ǜ咧袛?shù)學課程標準（2017 年版）》指出：“數(shù)學教學活動應該把握數(shù)學的本質(zhì)，創(chuàng)設合適的教學情境，提出合適的數(shù)學問題，引發(fā)學生思考與交流，形成和發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)”。[1]可見，創(chuàng)設教學情境與提出數(shù)學問題對發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)有著不可或缺的作用。但是實際課堂中存在情境不夠真實、有時浮于表面、問題不深刻、流于形式等現(xiàn)象，不能有效促進學生理解性學習和激發(fā)學生解決問題的熱情。為此，以“指數(shù)函數(shù)的概念”內(nèi)容為例，談談對開展跨學科“情境―問題”教學的幾點認識與思考。

一、“三教”理念與跨學科“情境―問題”教學

呂傳漢教授[2]提出在數(shù)學教學中教思考、教體驗、教表達（簡稱“三教”）的教育理念，嘗試用“三教”引領“情境―問題”教學，培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)?！敖趟伎肌?，即“想數(shù)學”，關注學生的數(shù)學思維活動，促進學生思辨能力的發(fā)展；“教體驗”，即“做數(shù)學”，關注學生的數(shù)學活動體驗，促進學生個體經(jīng)驗的獲得；“教表達”，即“說數(shù)學”，關注學生的數(shù)學語言表達，促進學生的思維活動。[2]

跨學科“情境―問題”教學是在“情境―問題”教學模式的基礎上，對情境外延做拓展，即基于其他學科背景進行情境創(chuàng)設并提出問題，情境內(nèi)容蘊含著數(shù)學本質(zhì)，需要學生轉(zhuǎn)換思維方式和分析視角，建立起跨學科情境與數(shù)學問題之間的橋梁，從而打破學科之間的壁壘，豐富學生的直接體驗和發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)。

跨學科“情境―問題”教學是“三教”理念的重要載體，而“三教”理念引領跨學科情境的創(chuàng)設。所以，基于“三教”理念的跨學科“情境―問題”教學旨在激發(fā)學生學習的主動性和參與度[3]，幫助學生運用多個學科觀念思考和解決問題，使學生深入思考、深刻體驗、精準表達，進而強化學科理解，達到“活知識”與“活技能”。

二、教學案例分析

立足雙新課程，根據(jù)人教版新教材關于函數(shù)主題的編排順序和《普通高中數(shù)學課程標準（2017 年版）》[1]關于指數(shù)函數(shù)的學習要求，基于“三教”理念創(chuàng)設跨學科情境開展“指數(shù)函數(shù)的概念”的教學，更新教育觀念，促使學生轉(zhuǎn)變學習方式。

（一）創(chuàng)設情境——深入思考，把握數(shù)學本質(zhì)

創(chuàng)設情境旨在激發(fā)學生興趣和確定問題解決的方向。因此，跨學科情境的創(chuàng)設應當緊扣數(shù)學知識的本質(zhì)，其難點在于如何從其他學科中汲取合適的情境，并引導學生從數(shù)學的角度思考和解讀情境，將跨學科情境問題轉(zhuǎn)化為與數(shù)學知識本質(zhì)相契合的數(shù)學問題。

典故 少年：“讀書有什么妙法？”

陶淵明：“學習并沒有什么妙法，只有笨法子，必須下苦功，勤學則進，輟學則退！”

名言 勤學如春起之苗，不見其增，日有所長；輟學如磨刀之石，不見其損，日有所虧?！諟Y明

設計意圖：教師以講述陶淵明勸學典故創(chuàng)設跨學科情境，此情境與該年齡段學生的實際想法相吻合，能激發(fā)學生的思維活力，主動參與學習并融入情境中去，讓學生置身于“少年”角色，使學習者角色化，深入思考“讀書妙法”的問題，理解情境的內(nèi)涵。

思考1 你能從數(shù)學的角度解讀陶淵明先生的勸學名言嗎？

問題1 如果每天進步1%，進步結(jié)果y 與天數(shù)x 的關系是什么？

問題2 如果每天退步1%，退步結(jié)果y 與天數(shù)x 的關系是什么？

請同學們思考并填入表1：

表1

設計意圖：學生在初步感知了情境的內(nèi)涵和名言警句的含義之后，教師再拋出問題，引導學生變化思路，從數(shù)學的角度思考問題，能更好地把握其數(shù)學本質(zhì)，抽象數(shù)學關系式，發(fā)展數(shù)學抽象的核心素養(yǎng)。學生通過問題1 和問題2 的指引，嘗試完成表格，在填寫表格的過程中感受進步結(jié)果與退步結(jié)果的變化趨勢。同時，兩句名言的內(nèi)涵也正好與指數(shù)函數(shù)的變化相呼應，反映出不同底數(shù)的指數(shù)函數(shù)變化趨勢，為后續(xù)指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)的學習做鋪墊。學生從語文和數(shù)學的學科角度思考問題并表述自己的想法，發(fā)展跨學科思維。

（二）形成概念——類比討論，抽象本質(zhì)屬性

概念的形成需要學生對情境充分體驗后再對問題進行辨別，接著類化共同屬性和抽象本質(zhì)屬性，最后概括形成概念并符號化。這是知識的發(fā)生發(fā)展過程，學生需要基于已有的知識經(jīng)驗不斷反復地對問題進行分析與判斷，類比推理，從而建構(gòu)新舊知識的聯(lián)系。

討論1 上述兩個關系式中，變量y是變量x的函數(shù)嗎？

討論2 它們與冪函數(shù)的區(qū)別是什么？它們在結(jié)構(gòu)上有什么共同特征？

設計意圖：學生經(jīng)歷了“填表”之后，組織學生小組討論，教師稍加提示，便能得出關于“勤學”與“輟學”的兩個數(shù)學關系式并清晰快速地確定兩者皆為函數(shù)。此時學生已經(jīng)將晦澀的古詩詞抽象為數(shù)學關系式，鑒于冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)在知識點和結(jié)構(gòu)上有一定的關聯(lián)，引導學生將二者作比較，得出關系式的異同，再對其結(jié)構(gòu)進行分析并得出結(jié)構(gòu)的共同特征。

思考2 為使函數(shù)應用更廣泛，當x 取全體實數(shù)時，底數(shù)的取值范圍有限制嗎？

思考3 你能類比冪函數(shù)的定義，歸納概括指數(shù)函數(shù)的概念嗎？

設計意圖：“討論”與“思考”環(huán)環(huán)相扣、層層遞進、不斷深入。指數(shù)函數(shù)底數(shù)的取值范圍的討論是教學難點之一，對定義域的范圍進行擴充，逐步引導學生發(fā)現(xiàn)其限制范圍，為完善定義做好鋪墊，加深對分類討論思想方法的理解。學生通過類比的方法自主概括出指數(shù)函數(shù)的概念，在類比的過程中組織和規(guī)范語言，進而讓學生學會用數(shù)學語言表達。

（三）回歸情境——嘗試表達，提升文化素養(yǎng)

情境的作用并不只是簡單地引入課題，學生應當是在情境中學有所悟，悟有所得。學生基于情境得到相應的數(shù)學知識與模型后，應再次回歸于情境之中加以應用，即強調(diào)學生的數(shù)學表達。學生在表達中思辨、深化理解，以思考推動自己主觀體驗與感受。

問題3 當x=365 時，請分別求出兩個函數(shù)的函數(shù)值。

設計意圖：學生嘗試計算結(jié)果，在具體的計算中比對表格發(fā)現(xiàn)兩個函數(shù)的變化趨勢，一個函數(shù)值是在不斷地增大，另一個在不斷地減小，從而確定“進步”與“退步”兩者之間的巨大差異，在具體操作中感受數(shù)學所刻畫的客觀事實。

問題4 結(jié)合你的計算結(jié)果，談一談你對陶淵明勸學名言的理解。

設計意圖：學生將具體的函數(shù)值與晦澀的古詩詞相對應起來，即用數(shù)學的語言表達世界，可以更加深刻地理解其含義，并結(jié)合數(shù)學與語文的學科特征表達自己的觀點，增強孜孜不倦的學習信念，豐富文化素養(yǎng)。

（四）動手實踐——加深體驗，鞏固概念理解

根據(jù)教材“閱讀與思考”欄目中“放射性物質(zhì)的衰減”這一閱讀材料設計跨學科相關的典型例題，學生用跨學科思維解決問題，進一步促進數(shù)學思維的發(fā)展。通過數(shù)學活動進行猜想與操作，體驗從具體到抽象的過程，感悟其中蘊含的思想方法和知識本質(zhì)，豐富學生的數(shù)學活動經(jīng)驗，感受數(shù)學的現(xiàn)實意義。同時引導學生對數(shù)學知識進行應用，自主構(gòu)建認知結(jié)構(gòu)，加深對概念的理解，發(fā)展數(shù)學抽象與數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。

例1 生物死亡后機體內(nèi)原有的碳14 含量會按比例衰減，大約每經(jīng)過5730 年衰減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期”。按照上述變化規(guī)律，生物體內(nèi)碳14 含量與死亡年數(shù)之間有怎樣的關系？

設計意圖：放射性物質(zhì)碳14 含量的衰減是物理現(xiàn)象，其含量變化是指數(shù)函數(shù)的典型例題，題目中信息量較大，概念較多，當學生初步形成了對指數(shù)函數(shù)概念的理解之后再進行探究，能較為清晰地分析出該題目的問題結(jié)構(gòu)和抽象出數(shù)學模型，感受指數(shù)函數(shù)的科學價值。

活動與猜想 一張紙，將之對折，厚度變?yōu)樵瓉淼膬杀?，假設一張紙的厚度約為0.1 毫米，不斷對折后其厚度會發(fā)生什么變化？（教師播放視頻：紙張對折103 次，厚度將超過宇宙；同時展示相關數(shù)據(jù)：對折次數(shù)、紙的層數(shù)）

問題5 在折紙活動中，蘊含著函數(shù)模型，同學們能不能從中提煉出函數(shù)關系呢？

問題6 觀看視頻，這個函數(shù)值有什么特征呢？

問題7 在折紙活動中，折疊后紙的面積也會隨之變化，其中蘊含的函數(shù)模型同學們知道是什么嗎？

設計意圖：指數(shù)函數(shù)的變化速率也是指數(shù)函數(shù)的一大特征，純粹的數(shù)字并不能給學生帶來直觀的感受與體驗，學生通過折紙實驗和觀看視頻感受指數(shù)函數(shù)的變化速率，再次經(jīng)歷數(shù)學抽象與數(shù)學建模的過程，加深對指數(shù)函數(shù)特征的體驗和理解。

（五）升華理解——落實三教，浸潤思想德育

跨學科情境的創(chuàng)設融入了其他的學科觀念，讓學生在充分思考、深刻體驗過后感受問題的多面性以及學科之間的關聯(lián)性。學生的感悟并不僅限于數(shù)學感悟，更應該是多學科理念與思維方式的獲得以及思維品質(zhì)的提升。

問題8 本節(jié)課我們是怎樣學習指數(shù)函數(shù)的概念？從中你悟到了什么道理？

名言 勤學則進，輟學則退。——魏晉陶淵明

不積跬步，無以至千里；不積小流，無以成江海。

——戰(zhàn)國荀子《勸學》

設計意圖：在鞏固指數(shù)函數(shù)的概念和數(shù)學思想方法的同時，讓學生回顧學習方式并抒發(fā)從中感悟到的道理，談一談自己的學習心得。最后，教師借助《勸學》名言警句寄語學生，升華理解，浸潤德育教育，幫助學生感悟“勤學”與“輟學”的區(qū)別，端正學生的學習態(tài)度，樹立正確的學習信念，感悟腳踏實地、勤奮刻苦才是學習的唯一途徑，提升學生文化素養(yǎng)。

三、結(jié)語

在數(shù)學教學中，創(chuàng)設問題情境的一個重要任務就是促進學生在數(shù)學學習中的思維參與。教師應注重角色由“主導”到“支架”的轉(zhuǎn)變，創(chuàng)設問題情境，引導學生真實性參與[3-5]。以陶淵明勸學典故創(chuàng)設跨學科情境開展教學，讓學生基于兩種學科觀念分析問題，不僅幫助學生建構(gòu)了兩個形象具體的指數(shù)函數(shù)模型，為后續(xù)圖象與性質(zhì)的學習打下基礎，也讓學生真正地融入情境中進行體驗、思考和表達，既傳遞了正確的學習觀念，又讓學生感受到數(shù)學的文化價值以及學科之間的聯(lián)系?；凇叭獭崩砟畹目鐚W科“情境―問題”教學強調(diào)多學科理念的同步滲透，問題情境的創(chuàng)設關鍵在于找到學生在情境中的落腳點，將情境與學生關聯(lián)起來，讓學生在情境中體驗，在問題中思考，在感悟中表達。