二維負剛度負泊松比超材料及其力學性能

任晨輝， 楊德慶

(1.上海交通大學 海洋工程國家重點實驗室，上海 200240；2.上海交通大學 高新船舶與深海開發(fā)裝備協(xié)同創(chuàng)新中心，上海 200240；3.上海交通大學 船舶海洋與建筑工程學院，上海 200240)

超材料指的是人為設計的新奇材料，具有自然界中普通材料不具備的物理性質(zhì)，其宏觀特性很大程度上取決于內(nèi)部微結構(胞元或功能基元)構造而非母材本身的性質(zhì)。超材料在近年來受到廣泛關注，眾多學者對其進行了一系列研究[1-5]。負剛度超材料是其中重要的一個類別，其在變形時力與位移變化的方向相反[6-9]。Qiu等[10]提出了預成型余弦曲梁，該梁在中點受集中力時發(fā)生屈曲而產(chǎn)生負剛度效應。Correa 等[11]結合選擇性激光燒結技術，設計了一種負剛度蜂窩超材料，可用于抗沖擊吸能。Restrepo等[12]引入相變概念，研究了多層負剛度超材料結構的多穩(wěn)態(tài)效應，指出其力-位移關系的遲滯特性，Shan等[13]利用彈性傾斜直梁屈曲的負剛度效應提出了一種負剛度超材料，并通過實驗驗證了其具備多穩(wěn)態(tài)、最大屈曲力閾值、抗沖擊防護能力等多種特性。大多數(shù)工程材料在承受單軸拉伸時橫截面會發(fā)生收縮，承受壓縮時橫向膨脹，而負泊松比超材料恰好與之相反。后者通常表現(xiàn)出低相對密度、高阻尼、吸聲、隔熱等物理特性，對航空航天、半導體器件、光學元件、精密儀器以及建筑材料等領域具有重要意義[14-18]。Hewage等[19]設計了一種同時展現(xiàn)負剛度和負泊松比特性的超材料，由帶接頭的六邊形部件組成，部件之間利用彈簧、PMI泡沫、磁鐵對或屈曲梁裝配連接，不適合一體化成型，對材料尺度有要求。如果可以得到一體化的負剛度負泊松比胞元，結合增材制造即可實現(xiàn)從微觀到宏觀不同尺度的雙負超材料設計，目前這方面的研究還比較少。

本文設計了一種一體化成型負剛度負泊松比效應超材料，其胞元由傾斜放置的余弦形曲梁與其支撐框架組成，胞元垂向受壓時內(nèi)部微曲梁發(fā)生屈曲并產(chǎn)生橫向位移。介紹了該超材料的胞元結構與宏觀變形特性，基于局部對稱性對胞元準靜態(tài)大變形過程進行了分析，探討幾何參數(shù)對其剛度和泊松比特性的影響，研究了該超材料結構在沖擊載荷作用下的力學行為。

1 負剛度負泊松比超材料設計

圖1所示為余弦形曲梁，其參數(shù)包括梁兩約束端的距離l、梁截面厚度t、梁截面寬度b和梁軸線中點距兩端點連線的距離h等，初始構為：

w(x)=h/2·[1-cos(2πx/l)]

(1)

梁中點受到垂直向下的力f作用時，梁產(chǎn)生躍越屈曲而表現(xiàn)為負剛度。中心點垂向位移d和f的關系、變形過程及力學特性已由Qiu等[10]給出。Ren等[20]在此基礎上設計了具有多向負剛度特性的周期性超材料。

圖1 跨中受壓的余弦形曲梁Fig.1 Schematic diagram of prefabricated cosine beam under lateral force at midpoint

本文將雙向負剛度超材料在平面內(nèi)旋轉，使原胞元的對角線平行于水平軸，得到如圖2所示的另一種負剛度周期性超材料。該超材料可以看作由矩形胞元周期排布形成，每個胞元含4組傾斜對置的余弦形曲梁及其支撐框架，框架剛度遠大于曲梁。為增強橫向剛度，在框架水平兩端點間額外增加了連接梁。垂向受壓時，傾斜曲梁發(fā)生躍越屈曲，垂向剛度存在小于零的情況，又因為在水平方向表現(xiàn)為收縮變形，所以該材料也具有負泊松比特性。泊松比為：

(2)

式中：εX為超材料橫向應變；εY為垂向應變。

2 雙負超材料的胞元靜力學特性

2.1 雙負超材料胞元的泊松比與等效彈性模量

根據(jù)對稱性，圖2中胞元靜力學性能(泊松比與等效彈性模量)可通過研究僅含一條曲梁的1/8胞元模型得到，如圖3。其中，BDC段為曲梁，其余為支撐結構?？勺儏?shù)為曲梁的厚度t以及與水平軸的夾角α。下文中，計算結果下標為大寫字母(如X、Y)對應胞元坐標系，見圖2，下標為小寫字母(如x、y)對應1/8模型局部坐標系，見圖3。

圖2 負剛度負泊松比超材料及其胞元Fig.2 A metamaterial displaying negative stiffness and negative Poisson’s ratio and its unit cell

圖3 負剛度負泊松比超材料胞元的1/8模型Fig.3 The 1/8 model of the NSNPR metamaterial unit cell

在短梁A端點設置簡支邊界條件，對OFB段施加垂直向下的強制位移Uy，可得OEC對稱面的水平位移Ux及壓縮過程中支座上的反力FRy。由于幾何大變形的存在，水平位移及垂向支反力與垂向位移的關系均呈強非線性，因此引入增量泊松比：

(3)

增量等效彈性模量：

(4)

式中：H、H0=4|yA|分別是胞元的實際高度與初始高度；W、W0=4|xA|分別是胞元的實際寬度與初始寬度；FY為胞元上的垂向力，如圖2，Ar=Wb為胞元受壓面積，如圖1。

根據(jù)圖3局部結構與圖2胞元的關系，有：

(5)

和

(6)

代入式(3)、(4)中得增量泊松比與增量等效彈性模量。

根據(jù)圖2中的位置關系，每層胞元允許的最大垂向壓縮距離為：

|UYmax|=2×(|yA|-|yC-yA|)=4(lAD+h)cosα

(7)

則每條曲梁(圖3)允許的最大垂向壓縮距離為：

|Uymax|=(lAD+h)cosα

(8)

式(8)即為OFB梁段強制位移的最大值。利用數(shù)值分析得到的Ux-Uy、FRy-Uy關系，即可按式(3)～(6)計算胞元增量泊松比與增量等效彈性模量。以參數(shù)l=90 mm、h=4 mm、t=1 mm、b=1 mm、α=45°時為例，材料選取聚乳酸(PLA，彈性模量為3 283 MPa、泊松比0.38、密度1 210 kg/m3)，其計算結果如圖4所示。

從圖4(a)可以看出，隨著壓縮增加，垂向支反力變化趨勢與正置曲梁的一致，均可劃分為正剛度段、負剛度段和強化段。變形過程中，增量等效彈性模量與垂向支反力曲線的斜率呈正相關，例如支反力取到極大值時，增量等效彈性模量降到零；當垂向位移達到M時，增量等效彈性模量等于零，支反力取到極小值。在強化段，增量等效彈性模量曲線上存在一個角點(橫坐標為N)，在該點處支座A處轉角取極小值，轉動方向發(fā)生改變，因此影響了梁的整體剛度。由圖4(b)，水平方向變形始終表現(xiàn)為收縮(UX>0)，且收縮得越來越快(曲線斜率越來越大)，曲線到達角點N后則變得緩和。增量泊松比始終小于零，極小值點在橫坐標為M時取到，即在該點單位垂向壓縮引起的橫向收縮最大，之后隨著曲梁進入強化階段，增量泊松比絕對值將迅速減小。

圖4 胞元垂向受壓靜力學特性與垂向位移的關系Fig.4 The relations between static properties of the vertically-compressed metamaterial cell and the vertical displacement

2.2 胞元中曲梁角度對其靜力學特性的影響

保持曲梁的跨長l、拱高h、厚度t不變，通過修改與水平軸的夾角α，研究其對負剛度負泊松比超材料胞元力學特性的影響，α的取值分別為20°、30°、45°、60°和70°。得到一系列的水平位移、增量泊松比、垂向支反力及增量等效彈性模量，轉換得到胞元對應結果，如圖5所示。

由圖5可知，保持其他條件不變時，允許的最大垂向位移隨α的增大而減小，水平方向最大收縮則逐漸增大，但角度增大到一定程度后(如α=70°)，水平位移曲線的第2段不再出現(xiàn)。這是因為此時支座A處的轉動方向不發(fā)生第2次改變，對應圖4中橫坐標N點之后的部分不再出現(xiàn)。對于增量泊松比，夾角α越大，其絕對值越大，即橫向的收縮越明顯，不同角度下其隨垂向位移的變化趨勢一致。由圖中的支反力曲線可知，夾角α越大，初始剛度越大，屈曲臨界力也越大，垂向位移的負剛度段也越短。對于增量等效彈性模量，隨著夾角α的增大，正剛度段、負剛度段和強化段3個部分的絕對值均增加，正負剛度均加強。

圖5 不同夾角α的胞元垂向受壓時的影響Fig.5 The effections of the metamaterial cell with different angle α

2.3 胞元中曲梁的厚度對其靜力學特性的影響

僅通過修改曲梁的厚度t來改變曲梁自身剛度，研究其對負剛度負泊松比超材料胞元力學特性的影響，t的取值分別為0.6、0.8、1.0、1.2和1.4 mm。得到一系列的水平位移、增量泊松比、垂向支反力及增量等效彈性模量，轉換得到胞元對應結果，如圖6所示。

圖6 不同曲梁厚度t的胞元垂向受壓時的影響Fig.6 The effections of the metamaterial cell with different thickness

從圖6可以看出，保持其他條件不變時，改變梁的厚度，對于水平位移的影響不大，同樣對于增量泊松比，也僅影響峰值(絕對值)區(qū)域，隨著厚度增加，增量泊松比最大值(絕對值)減小。同時，垂向支反力和增量等效彈性模量(絕對值)均呈現(xiàn)為增大的趨勢。此外，增大梁的厚度導致關鍵點位置M點和N點(見圖4)均提前。因此改變梁厚度可以在垂向和水平位移量(即超材料的宏觀變形)保持不變的情況下，有效地調(diào)整其剛度特性。

2.4 胞元完全壓縮時負泊松比效應

計算胞元中傾斜梁在垂向壓縮達到最大時OEC對稱面的水平位移，可得完全受壓胞元泊松比(初始胞元間隙被占滿，如圖2)：

(9)

式中：Uxmax表示垂向壓縮達到最大時OEC對稱面水平位移。給出不同夾角α和曲梁厚度t下的泊松比計算結果，如圖7所示。

由圖7可以看出，夾角α和厚度t的增加均導致泊松比減小。但夾角對于泊松比的影響更為明顯，在所給的參數(shù)范圍內(nèi)，泊松比變化范圍超過1.5；而改變厚度時泊松比變化范圍僅約為0.02，且后一條曲線向上凹，繼續(xù)增加厚度對減小泊松比的作用將變?nèi)?。這是因為對于后者來說，結構的基本構型保持不變，僅改變曲梁厚度不足以對泊松比產(chǎn)生很大影響。

圖7 不同幾何參數(shù)的胞元垂向完全壓縮泊松比Fig.7 Ultimate Poisson’s ratio of the fully-compressed cell with different geometric parameters

3 負剛度負泊松比超材料抗沖擊性能

3.1 抗沖擊模型與邊界條件

以5層4列胞元構成的超材料平面結構為例，采用顯式動力學方法研究其抗沖擊性能。結構底部固定，上方跌落一質(zhì)量為10 kg的剛性方形重物，重物水平位移與面內(nèi)轉動自由度被約束，但允許其在垂向自由反彈。設置重物在撞擊結構前的初速度分別為80、160、240、320、400、480 mm/s，確保輸入能量在結構的承載范圍內(nèi)(碰撞后結構內(nèi)部不會發(fā)生胞元間碰撞或穿透)，計算其在碰撞過程中的位移、速度、加速度響應。

3.2 幾何參數(shù)對于特性的影響

以參數(shù)l=90 mm、h=4 mm、b=10 mm為參考模型，通過修改胞元內(nèi)曲梁與水平軸的夾角α與曲梁的厚度t，分別研究兩者對雙負超材料結構抗沖擊性能的影響，α的取值分別為20°、30°、45°、60°和70°，t的取值分別為0.6、0.8、1.0、1.2和1.4 mm。選取2個物理量作為抗沖擊性能指標，分別為碰撞后與碰撞前重物動能之比(如圖8)和垂向最大變形與初始高度之比(如圖9)。

圖8 重物與不同幾何參數(shù)的超材料結構碰撞后動能與初始動能之比Fig.8 The ratio of the mass’s kinetic energy after impact with metamaterial structures to its initial kinetic energy

圖9 不同幾何參數(shù)的超材料結構碰撞后最大垂向變形與初始高度之比Fig.9 The ratio of the metamaterial structure’s maximal vertical deformation to its initial height

如圖8所示，夾角α的改變對于動能比-沖擊速度曲線的趨勢影響不大，動能比在低速沖擊時比較大且隨沖擊速度變化很小，而隨著沖擊速度的增加，動能比逐漸減小，這一趨勢約從v0=240 mm/s處開始較為顯著。對(α=20°，v0=480 mm/s)，動能比減小到了約0.58。改變斜梁的厚度t，動能比-沖擊速度曲線的趨勢則產(chǎn)生變化。t增大時，曲線后端依次升高，高速區(qū)域的動能比大幅增加，超材料結構剛度變大，吸能效應減弱。

從圖9可以看出，隨著沖擊速度的增加，最大垂向變形與初始高度之比逐漸增加，更多的胞元參與變形。在同一沖擊速度時，夾角α越大，變形比越?。缓穸萾越大，變形比越小。相比α，斜梁厚度t對變形比的影響更為顯著，當t=0.6 mm、v0=480 mm/s時，變形比高達0.163。

4 結論

1)該雙負超材料的負剛度負泊松比效應可分別采用增量等效彈性模量和增量泊松比評價。胞元內(nèi)傾斜微曲梁與水平軸夾角決定了該超材料的幾何構型，對泊松比影響較大；胞元內(nèi)微曲梁厚度則可以有效調(diào)節(jié)該超材料剛度，對其抗沖擊性能影響更大。

2)該負剛度負泊松比超材料為一體成型的周期性多孔材料，便于實現(xiàn)，且對于幾何參數(shù)敏感，具有較強的可設計性。該超材料組成的結構兼顧大變形，具備較好的抗沖擊吸能性，且因其不產(chǎn)生塑性變形的特點而可重復使用。