基于數(shù)學(xué)史的運(yùn)算一致性教學(xué)的思考

□岳增成 林永偉

自《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》頒布以來，“數(shù)的認(rèn)識與運(yùn)算的一致性”備受關(guān)注，很多研究者對其內(nèi)涵以及教學(xué)進(jìn)行了深入的探索，為具體落實(shí)新課改理念帶來諸多啟示。［1-2］但有關(guān)運(yùn)算一致性的研究還有進(jìn)一步拓展的空間，特別是在運(yùn)算一致性的定位及其與算理、算法的關(guān)系上。數(shù)學(xué)史呈現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展歷程，數(shù)學(xué)運(yùn)算的演變歷史及其關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)的突破，能否為數(shù)的運(yùn)算一致性的教學(xué)帶來啟示呢？

一、對運(yùn)算一致性的再認(rèn)識

（一）運(yùn)算一致性是作為學(xué)習(xí)結(jié)果，還是作為學(xué)習(xí)手段

數(shù)的認(rèn)識與運(yùn)算的一致性的基礎(chǔ)都是計(jì)數(shù)單位。數(shù)的認(rèn)識的一致性是從計(jì)數(shù)單位的角度審視數(shù)的構(gòu)成，建立自然數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)之間抽象的聯(lián)系，從中抽象出的計(jì)數(shù)單位是認(rèn)識自然數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)共同的基礎(chǔ)。數(shù)的運(yùn)算的一致性就是計(jì)數(shù)單位之間的運(yùn)算和計(jì)數(shù)單位上的數(shù)字之間的運(yùn)算。雖然自然數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)的計(jì)數(shù)單位不同，但各類數(shù)的加減乘除運(yùn)算最終均可化歸為基于計(jì)數(shù)單位的運(yùn)算。從這個角度看，運(yùn)算一致性應(yīng)被視為一種學(xué)習(xí)的結(jié)果，是學(xué)生學(xué)完相關(guān)內(nèi)容后，在教師的引導(dǎo)下從各種運(yùn)算中抽象概括出的數(shù)學(xué)規(guī)律，是嵌入到學(xué)生認(rèn)知系統(tǒng)中的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。當(dāng)然，運(yùn)算一致性的形成是一個漸進(jìn)的過程，教材中數(shù)的運(yùn)算的編排均從計(jì)數(shù)單位之間的運(yùn)算開始，因此需要教師持續(xù)滲透一致性的理念。教師可從整數(shù)的加減法入手，借助小棒、計(jì)數(shù)器等學(xué)具，讓學(xué)生體會到整數(shù)加減法就是計(jì)數(shù)單位之間的加減法；借助現(xiàn)實(shí)情境圖、點(diǎn)子圖、面積模型、小棒等學(xué)習(xí)材料，讓學(xué)生感受到整數(shù)乘除法就是計(jì)數(shù)單位之間的運(yùn)算和計(jì)數(shù)單位上的數(shù)字之間的運(yùn)算。在這樣的過程中，教師一方面將運(yùn)算一致性作為一種分析工具，引導(dǎo)學(xué)生從計(jì)數(shù)單位的角度分析運(yùn)算過程，從運(yùn)算一致性的角度理解運(yùn)算過程。如“兩位數(shù)乘一位數(shù)”的豎式出現(xiàn)后，教師會引導(dǎo)學(xué)生分析計(jì)算過程：第一步是用第二個乘數(shù)乘第一個乘數(shù)個位上的數(shù)字，計(jì)算的是有多少個“一”；第二步是用第二個乘數(shù)乘第一個乘數(shù)十位上的數(shù)字，計(jì)算的是有多少個“十”。另一方面將運(yùn)算一致性作為一種學(xué)習(xí)支架，在學(xué)習(xí)運(yùn)算新知的過程中，引導(dǎo)學(xué)生從運(yùn)算一致性角度思考問題解決的方法與策略。如學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)”時，學(xué)生觀察除法算式后感覺無從下手，教師便詢問學(xué)生無從下手的原因，引導(dǎo)學(xué)生思考出解決問題的關(guān)鍵是要在相同計(jì)數(shù)單位的基礎(chǔ)上進(jìn)行包含除的運(yùn)算。在這個過程中，運(yùn)算一致性被視為一種解決問題的策略，學(xué)生將已有除法運(yùn)算一致性經(jīng)驗(yàn)遷移到“分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)”的問題解決過程中。

綜上可知，運(yùn)算一致性是學(xué)習(xí)結(jié)果與學(xué)習(xí)手段的統(tǒng)一。在運(yùn)算教學(xué)中，要讓已有運(yùn)算一致性作為分析工具、學(xué)習(xí)支架在不同類型的運(yùn)算中迭代，幫助學(xué)生建立運(yùn)算整體上的一致性，讓他們能從運(yùn)算一致性的視角重新審視運(yùn)算過程，更好地理解數(shù)學(xué)本質(zhì)。

（二）運(yùn)算一致性與算理算法的關(guān)系

算理與算法是運(yùn)算教學(xué)繞不開的話題，從注重算法到強(qiáng)調(diào)算理與算法的融通是課程改革的重要轉(zhuǎn)變。那為何要將運(yùn)算一致性引入運(yùn)算體系？運(yùn)算的一致性與算理、算法的關(guān)系如何？

從演繹體系的邏輯來看，需要從定義、公設(shè)、公理出發(fā)，借助已證的命題推導(dǎo)需要證明的命題。運(yùn)用這個邏輯審視數(shù)的運(yùn)算的過程，在進(jìn)行數(shù)的運(yùn)算時，首先要對參與運(yùn)算的全部數(shù)或部分?jǐn)?shù)進(jìn)行拆分。由于采用的計(jì)數(shù)系統(tǒng)是十進(jìn)位值制，整數(shù)、小數(shù)的拆分一般會基于數(shù)的認(rèn)識的一致性進(jìn)行。其次要運(yùn)用運(yùn)算律對拆分后的數(shù)進(jìn)行重組，這一步指向的是算理。重組的目的是將數(shù)的運(yùn)算化歸為計(jì)數(shù)單位之間的運(yùn)算和計(jì)數(shù)單位上的數(shù)字之間的運(yùn)算。最后計(jì)算出結(jié)果。運(yùn)算中數(shù)的拆分、運(yùn)算律和運(yùn)算一致性都是運(yùn)算的基礎(chǔ)，而數(shù)的運(yùn)算的目的是將其化歸為計(jì)數(shù)單位間和計(jì)數(shù)單位上的數(shù)字間的運(yùn)算（日常教學(xué)中一般不會回到數(shù)的運(yùn)算的一致性這一基礎(chǔ)上，如在“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的教學(xué)中，教師會讓學(xué)生先得到乘法筆算豎式，再引導(dǎo)學(xué)生分析運(yùn)算的第一步計(jì)算的是有多少個“一”，第二步計(jì)算的是有多少個“十”，正因?yàn)槿绱?，?shù)的運(yùn)算基于其一致性衍生出了多種算法），并計(jì)算出正確的結(jié)果。由此可知，化歸的依據(jù)是運(yùn)算律，運(yùn)算律操作的對象是拆分后的數(shù)；基于拆分的運(yùn)算律確定算理，算理是數(shù)的運(yùn)算的一致性的根，而算法是基于數(shù)的運(yùn)算的一致性結(jié)出的果。

從數(shù)學(xué)本身看，將運(yùn)算一致性引入運(yùn)算體系完善了運(yùn)算的基礎(chǔ)，使運(yùn)算體系更完備，同時聯(lián)結(jié)算理與算法，讓基于算理的算法具有可操作性。

從學(xué)生發(fā)展的角度看，運(yùn)算一致性關(guān)涉知識本質(zhì)，不僅有利于學(xué)生對運(yùn)算意義的理解，還有助于學(xué)生在運(yùn)算的各種轉(zhuǎn)化中發(fā)展推理意識和運(yùn)算能力。

從課程內(nèi)容與教師教學(xué)的角度看，對于運(yùn)算基礎(chǔ)中的數(shù)的拆分（“數(shù)的認(rèn)識”中的一個重要維度是數(shù)的組成）和運(yùn)算律，教材會編排專門的章節(jié)進(jìn)行教學(xué)。而運(yùn)算一致性的地位并未凸顯，無論是教材編寫，還是教師的教學(xué)，都未關(guān)注到這一點(diǎn)。

綜上所述，運(yùn)算一致性與算理、算法的關(guān)系密切，將其引入既有重要性，也有必要性。

二、數(shù)學(xué)史中的運(yùn)算一致性分析

從數(shù)學(xué)發(fā)展的史料看，與整數(shù)的乘除運(yùn)算、分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算相關(guān)的史料較為豐富，與整數(shù)的加減運(yùn)算、小數(shù)的四則運(yùn)算相關(guān)的史料相對匱乏。筆者將以與整數(shù)的乘除法、分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算相關(guān)的史料為基礎(chǔ)，分析數(shù)學(xué)史料中的運(yùn)算一致性。

就整數(shù)乘法而言，歷史上的計(jì)算方法十分多元，比如古埃及的“倍乘法”、中國古代的“算籌乘法”、古印度的“格子乘法”、收錄于《計(jì)算之書》中的“對角線法”等乘法計(jì)算方法。［3］但這些計(jì)算方法拆分的方式、運(yùn)算的順序與書寫格式極為相似，共性是乘數(shù)的加法分解。特別是十進(jìn)位值制被發(fā)明和廣泛應(yīng)用后，乘數(shù)以計(jì)數(shù)單位為標(biāo)準(zhǔn)被分解為一位數(shù)、整十?dāng)?shù)、整百數(shù)等的和，由此在運(yùn)算律的基礎(chǔ)上，將多位數(shù)的乘法轉(zhuǎn)化為多位數(shù)乘一位數(shù)（由于十進(jìn)位值制的存在，多位數(shù)乘一位數(shù)實(shí)際上計(jì)算的是有多少個計(jì)數(shù)單位）或一位數(shù)乘一位數(shù)（在十進(jìn)位值制中，計(jì)數(shù)單位乘計(jì)數(shù)單位產(chǎn)生的新的計(jì)數(shù)單位最先被確定，因此一位數(shù)乘一位數(shù)實(shí)際上計(jì)算的是有多少個新的計(jì)數(shù)單位）。

就整數(shù)除法而言，雖然不同年代有不同的方法，比如古埃及利用除數(shù)的加倍與減半試商得出運(yùn)算的結(jié)果、中國古代的算籌除法、現(xiàn)代豎式演變過程中的各種代表性方法［4］，但共性是在試商的基礎(chǔ)上對被除數(shù)進(jìn)行分解。同樣在十進(jìn)位值制被發(fā)明和廣泛應(yīng)用后，基于試商的拆分將被除數(shù)分解為商是不同計(jì)數(shù)單位個數(shù)和的形式。如現(xiàn)代豎式演變（如圖1）中的后三個算式，被除數(shù)732 被拆分為600+120+12，其中600 是能夠被除數(shù)6 整除且結(jié)果包含最多個“百”的數(shù)，120 是732-600 后能夠被6整除且結(jié)果包含最多個“十”的數(shù)，12 是732-600-120 后能夠被6 整除且結(jié)果包含最多個“一”的數(shù)，最終得到的商為1 個百、2 個十、2 個一的和。從這個演變過程看，數(shù)學(xué)史上并未明確提出整數(shù)乘除法運(yùn)算的一致性概念，但古代整數(shù)乘除法的運(yùn)算確實(shí)是在對參與運(yùn)算的全部數(shù)或部分?jǐn)?shù)進(jìn)行拆分后，運(yùn)用運(yùn)算律，圍繞計(jì)數(shù)單位之間的運(yùn)算進(jìn)行的。

圖1

東西方國家都有對分?jǐn)?shù)計(jì)算的記載，其中中國是最早形成分?jǐn)?shù)理論體系的國家。中國古代勞動人民在進(jìn)行分?jǐn)?shù)運(yùn)算時發(fā)現(xiàn)，多個分?jǐn)?shù)沒有統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，因而無法運(yùn)算。如《九章算術(shù)》在對分?jǐn)?shù)加法的注釋中提到：“數(shù)非一端，分無定準(zhǔn)，諸分子雜互，群母參差。粗細(xì)既殊，理難從一?！保?］意思是說：分?jǐn)?shù)不只一個，分?jǐn)?shù)單位也不是同一個標(biāo)準(zhǔn)；多個分子相互錯雜，多個分母參差不齊；分?jǐn)?shù)單位的大小既然不同，從道理上說難以遵從其中一個數(shù)。因此，古人發(fā)明了“齊同術(shù)”來進(jìn)行分?jǐn)?shù)的加法、減法、除法運(yùn)算。“同”即參與運(yùn)算的各個分?jǐn)?shù)的分母相乘，使各個分?jǐn)?shù)有統(tǒng)一的分?jǐn)?shù)單位，保證運(yùn)算的可操作性；“齊”是用每一個分?jǐn)?shù)的分子乘參與運(yùn)算的其他分?jǐn)?shù)的分母，保證分?jǐn)?shù)的大小未發(fā)生改變。由此可見，在分?jǐn)?shù)運(yùn)算中，中國古代已有了運(yùn)算的一致性思想。

三、基于數(shù)學(xué)史的運(yùn)算一致性的教學(xué)建議

（一）基于數(shù)學(xué)史開展前后測，以測評驅(qū)動運(yùn)算一致性的教學(xué)變革

歷史的相似性告訴我們，數(shù)學(xué)史可以幫助教育者預(yù)測學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中可能存在的認(rèn)識障礙和容易出現(xiàn)的錯誤，并能為解決這些問題提供有益的借鑒。［6］學(xué)生的這些認(rèn)識障礙和容易出現(xiàn)的錯誤往往是教學(xué)的重難點(diǎn)，因此有必要在厘清數(shù)學(xué)史的發(fā)展歷程及關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)的前提下，通過前測精準(zhǔn)定位教學(xué)的重點(diǎn)及學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，幫助教師設(shè)計(jì)有針對性的教學(xué)活動，以使學(xué)生突破認(rèn)識障礙、減少錯誤的出現(xiàn)。如通過對歷史上筆算除法的考察，發(fā)現(xiàn)被除數(shù)的拆分方式多元、運(yùn)算書寫格式多樣，這反映出歷史上的數(shù)學(xué)家也在積極尋求筆算除法的最優(yōu)方法，由此推測學(xué)生在學(xué)習(xí)相關(guān)內(nèi)容時，也會在拆分被除數(shù)、運(yùn)用豎式運(yùn)算時出現(xiàn)“掙扎”。因此，教師可以在教學(xué)“筆算除法”前，利用前測，讓學(xué)生嘗試通過動手操作和豎式表征解決“54÷3”這樣的退位除法問題，以此了解學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)，設(shè)置多元表征的數(shù)學(xué)活動，促進(jìn)學(xué)生理解算理和提煉運(yùn)算的一致性。也可以在教學(xué)后通過后測及對教學(xué)結(jié)果的分析，對學(xué)生的學(xué)和教師的教進(jìn)行反思，并采取補(bǔ)救性的教學(xué)措施或?qū)ふ倚碌慕虒W(xué)方式，使學(xué)生有效實(shí)現(xiàn)所學(xué)知識的內(nèi)化。如歷史上分?jǐn)?shù)除法的算法易得易記，很多國家很早就有“除以一個不為零的分?jǐn)?shù)等于乘上這個數(shù)的倒數(shù)”的相關(guān)記錄，但這一結(jié)論的推導(dǎo)卻相對滯后，由此推測分?jǐn)?shù)除法算法的獲得過程是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。因此，教師可以在學(xué)生學(xué)完分?jǐn)?shù)除法后進(jìn)行“計(jì)算，并寫出計(jì)算理由”的后測（也可以將其作為前測），分析學(xué)生是否理解了包含利用算理得出算法在內(nèi)的推導(dǎo)方法。實(shí)踐結(jié)果表明，無論是后測還是前測，學(xué)生在公式推導(dǎo)方面的情況都不容樂觀。這就需要教師借助數(shù)學(xué)史，在拓展課、復(fù)習(xí)課中幫助學(xué)生進(jìn)一步理解分?jǐn)?shù)除法背后的原理。

（二）基于多樣的算法，促進(jìn)學(xué)生理解算理與掌握算法的統(tǒng)一

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個順應(yīng)、同化的過程，學(xué)生要將所學(xué)知識通過提煉、反思、總結(jié)納入已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。因此學(xué)習(xí)的結(jié)果是獲得有意義的精致化的數(shù)學(xué)結(jié)論，如筆算乘法的學(xué)習(xí)結(jié)果是步驟最少且保留過程的簡潔豎式。但精致化的數(shù)學(xué)結(jié)論往往會掩蓋學(xué)生火熱的思維和思考過程，教師在教學(xué)相關(guān)內(nèi)容時，也常常會直指精致化的數(shù)學(xué)結(jié)論，如教學(xué)一位數(shù)除兩位數(shù)的筆算除法時，教師往往會忽略學(xué)生多樣的分小棒方法，直接借部分學(xué)生先分整、再把整零合在一起的操作方法引出教材豎式。雖然這樣的教學(xué)安排效率較高，但學(xué)生對于由一種算法得到的算理、提煉出的運(yùn)算一致性的理解不深刻。歷史上針對某一種運(yùn)算的算法往往較為多元，多元的方法內(nèi)蘊(yùn)不同的思考方式。如整數(shù)乘法運(yùn)算中，不同的方法可能涉及不同的乘數(shù)拆分方式、運(yùn)算順序、運(yùn)算格式；但通過對比不同思考方式下的多樣算法的異同，學(xué)生較易發(fā)現(xiàn)運(yùn)算過程中的共性，而這些共性往往指向算理與運(yùn)算的一致性，因而經(jīng)歷這樣的學(xué)習(xí)過程得到的數(shù)學(xué)結(jié)論更為深刻。因此，在進(jìn)行運(yùn)算教學(xué)時，可以基于歷史上多樣的算法重構(gòu)教學(xué)，比如兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算，就可以在拓展課中直接呈現(xiàn)歷史上的各種方法，供學(xué)生理解、對比、辨析，也可以在新授課、拓展課中以歷史上多樣的算法為原型，設(shè)計(jì)借助操作、圖式、豎式等表征方式及它們之間的聯(lián)系理解算法的活動，并通過多種算法的對比、聯(lián)系，幫助學(xué)生理解算理，構(gòu)建對運(yùn)算一致性的認(rèn)知。

（三）選擇關(guān)鍵的史料，適配相應(yīng)的課型與教學(xué)活動

前文已經(jīng)介紹，與整數(shù)的乘除運(yùn)算、分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算相關(guān)的史料較為豐富。在這樣的研究背景下，要促進(jìn)學(xué)生實(shí)現(xiàn)運(yùn)算的一致性，教師需要考慮怎樣選取數(shù)學(xué)史料、選擇課型和設(shè)計(jì)教學(xué)活動等問題。目前，拓展課是應(yīng)用數(shù)學(xué)史的常用課型，教材中也編排了相關(guān)的主題與素材。比如“格子乘法”，它是幫助學(xué)生理解運(yùn)算的一致性的理想素材。從表面上看，“格子乘法”只通過乘法口訣就計(jì)算出了多位數(shù)乘多位數(shù)的結(jié)果，但它的實(shí)質(zhì)其實(shí)是揭開隱藏在背后的運(yùn)算的一致性，即計(jì)數(shù)單位與計(jì)數(shù)單位相乘，計(jì)數(shù)單位上的數(shù)字與計(jì)數(shù)單位上的數(shù)字相乘。此外，教師更需要在新授課中嘗試借助數(shù)學(xué)史，促進(jìn)學(xué)生對運(yùn)算的一致性的理解，因?yàn)檫@樣的嘗試不僅能夠促進(jìn)課程內(nèi)容的整合及教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成，還能改善教師對數(shù)學(xué)史教育價(jià)值與應(yīng)用方式的看法。比如“除數(shù)是一位數(shù)的筆算除法”的新授課，同時也是一節(jié)單元整體設(shè)計(jì)視角下的種子課，教師教學(xué)時應(yīng)參照長豎式這一歷史原型和現(xiàn)代豎式的演變過程，結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，通過設(shè)計(jì)實(shí)物操作、圖式表征、豎式表征及多種表征之間的關(guān)聯(lián)等數(shù)學(xué)活動，充分暴露學(xué)生的思維過程，豐富學(xué)生對豎式意義及算理的理解，幫助學(xué)生感悟運(yùn)算的一致性。

綜上，本文對運(yùn)算一致性進(jìn)行了定位，對算理、算法的關(guān)系進(jìn)行了梳理，并基于對數(shù)學(xué)史料的分析，提出了借助數(shù)學(xué)史進(jìn)行運(yùn)算的一致性教學(xué)的建議?？梢灶A(yù)見的是，作為人類長期積累的成果，有關(guān)運(yùn)算的數(shù)學(xué)史勢必會對運(yùn)算一致性這一新理念的落實(shí)產(chǎn)生積極影響，由此，也為借助數(shù)學(xué)史落實(shí)新課改理念帶來啟示。