深化概念理解 促進(jìn)模型抽象
——《點(diǎn)到直線(xiàn)的距離》素養(yǎng)進(jìn)階習(xí)題展評(píng)與教學(xué)建議

文| 陳金波

一、習(xí)題展評(píng)

●習(xí)題一

1.習(xí)題內(nèi)容

（1）涂一涂：將表示點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)與線(xiàn)、線(xiàn)與線(xiàn)的“距離”的線(xiàn)段涂成紅色。

量一量：圖①AB 兩點(diǎn)的距離是（ ）毫米，圖②點(diǎn)O 到直線(xiàn)AD的距離是（ ）毫米，圖③兩條平行線(xiàn)之間的距離是（ ）毫米。

（2）下圖中線(xiàn)段OA 為4 厘米，線(xiàn)段OB 為3 厘米，線(xiàn)段OC為2 厘米，點(diǎn)O 到直線(xiàn)MN 的距離是（ ）。

A.小于2 厘米 B.2 厘米

C.大于2 厘米

2.能力指向

對(duì)“距離”的認(rèn)識(shí)。通過(guò)涂一涂活動(dòng)和判斷點(diǎn)O 到直線(xiàn)MN 的距離，考查學(xué)生對(duì)點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)與線(xiàn)、線(xiàn)與線(xiàn)的“距離”的認(rèn)識(shí)。

3.學(xué)情分析

對(duì)鄉(xiāng)鎮(zhèn)38 名學(xué)生進(jìn)行后測(cè)，第（1）小題三個(gè)涂色全部正確的人數(shù)為34 人（占89.5%），第（2）小題正確的人數(shù)為38 人（ 占100%）。大多數(shù)學(xué)生都能找到點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)與線(xiàn)、線(xiàn)與線(xiàn)的“距離”，說(shuō)明當(dāng)線(xiàn)處于水平或垂直方向時(shí)，學(xué)生對(duì)距離有較好的認(rèn)識(shí)。

●習(xí)題二

1.習(xí)題內(nèi)容

人與高壓線(xiàn)的安全距離為50米，“安全距離”我們可看作（ ）之間的距離，并在圖中畫(huà)出表示安全距離的線(xiàn)段。

A.點(diǎn)與點(diǎn) B.點(diǎn)與線(xiàn)

C.線(xiàn)與線(xiàn)

2.能力指向

能根據(jù)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，抽象出點(diǎn)到直線(xiàn)的問(wèn)題，并抽象出“點(diǎn)”和“直線(xiàn)”。通過(guò)尋找人與高壓線(xiàn)之間的“安全距離”，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì)是點(diǎn)到直線(xiàn)的問(wèn)題。

3.學(xué)情分析

從后測(cè)情況來(lái)看，31.6%的學(xué)生選擇了點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離，63.2%的學(xué)生選擇了點(diǎn)與線(xiàn)的距離。說(shuō)明有部分學(xué)生無(wú)法在真實(shí)情境中抽象出點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，無(wú)法利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離解決實(shí)際問(wèn)題。

●習(xí)題三

1.習(xí)題內(nèi)容

小明在四邊形的游泳池里游泳，點(diǎn)O 是小明現(xiàn)在的位置。

（1）如果他想在AB 邊上岸，請(qǐng)你畫(huà)出他上岸的最短線(xiàn)路，并用OE 表示。

（2）如果他想在BC 邊上岸，請(qǐng)你畫(huà)出他上岸的最短線(xiàn)路，并用OF 表示。

（3）如果他想盡快上岸，請(qǐng)畫(huà)出他上岸的最短線(xiàn)路。

2.能力指向

根據(jù)已知的點(diǎn)和線(xiàn)段，尋找點(diǎn)到直線(xiàn)的距離。通過(guò)畫(huà)出點(diǎn)O到線(xiàn)段AB、線(xiàn)段BC、線(xiàn)段AD 的距離，考查學(xué)生對(duì)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的綜合應(yīng)用能力。

3.學(xué)情分析

從后測(cè)情況來(lái)看，點(diǎn)O 到線(xiàn)段AB、線(xiàn)段BC、線(xiàn)段AD 的距離都能正確畫(huà)出的人數(shù)占65.8%。學(xué)生的錯(cuò)誤集中在畫(huà)點(diǎn)O 到線(xiàn)段BC 和線(xiàn)段AD 的距離，學(xué)生畫(huà)的不是垂直線(xiàn)段，而是與AB 平行的線(xiàn)段。說(shuō)明當(dāng)線(xiàn)不是處于水平或垂直狀態(tài)時(shí)，出錯(cuò)的學(xué)生明顯增加，得出學(xué)生對(duì)“距離”的理解還不夠。

二、教學(xué)建議

1.加強(qiáng)對(duì)“距離”的認(rèn)識(shí)

點(diǎn)到直線(xiàn)的距離實(shí)質(zhì)上是點(diǎn)到直線(xiàn)的所有連線(xiàn)中垂直線(xiàn)段最短，所以對(duì)“距離”的認(rèn)識(shí)可以從“最短”“唯一” 這兩個(gè)方面入手。從學(xué)生測(cè)試情況來(lái)看，當(dāng)線(xiàn)不是處于水平或垂直方向時(shí)，學(xué)生的出錯(cuò)率較高。為此，在教學(xué)時(shí)要加強(qiáng)學(xué)生對(duì)“距離”的概念理解，也要設(shè)計(jì)相對(duì)應(yīng)的變式練習(xí)，提高學(xué)生的能力水平。

2.加強(qiáng)對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的模型抽象

點(diǎn)到直線(xiàn)的距離在生活中應(yīng)用較為廣泛，也是后期學(xué)習(xí)圖形的高、軸對(duì)稱(chēng)等相關(guān)知識(shí)的基礎(chǔ)。所以對(duì)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的認(rèn)識(shí)要加強(qiáng)模型的抽象，能在簡(jiǎn)單的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中或者在圖形中抽象出點(diǎn)到直線(xiàn)的模型。從學(xué)生的測(cè)試情況來(lái)看，學(xué)生的抽象能力較弱，對(duì)點(diǎn)和線(xiàn)的抽象能力不夠。為此，在教學(xué)時(shí)要加強(qiáng)學(xué)生對(duì)點(diǎn)和線(xiàn)的認(rèn)識(shí)，提供豐富的素材，提升學(xué)生的抽象能力。