學生自主梳理 教學精準施策
——以《平面圖形面積復習》為例談“畫結構”在復習課中的運用

文|陳 昱（特級教師）王 芳

“畫結構” 在復習教學中的運用非常普遍，我們常常將“畫結構” 的任務前置于復習課堂，通過典型作品展評來促進學生的知識復習，捕捉課堂互動中學生的真實生成，再綜合利用學生在“畫結構”與課堂展評中的表現(xiàn)，給予及時有力的針對性引導與練習。

【教學片段一】“畫結構”作品課堂展評

師：課前大家整理了小學階段學過的平面圖形面積的知識，下面一起來欣賞幾幅作品。這是秦同學的作品（出示圖1），你能看懂嗎？覺得怎么樣？

圖1

生：他整理的知識非常全面，有文字和字母表示公式的方法，每種圖形都畫出圖例，但缺少各個圖形面積推導的過程。

生：還可以把我們平時容易錯的知識點用其他顏色的筆標注出來。

師：大家提的意見你能接受嗎？

秦同學：大家提的建議非常好，我會認真修改。

師：（出示圖2） 這位同學的作品就有推導過程，她是用什么方法推導出每一個圖形的面積的？你同意這位同學推導面積的方法嗎？

圖2

生：用的是數(shù)格子的方法。

生：我覺得梯形不行，上面一層勉強變成3 格，但下面絕對不是4 格，而且圓形也不能用數(shù)格子的方法推導出面積公式。

師：你觀察得很仔細，梯形和圓真的不能用數(shù)格子的方法推導出面積嗎？四人小組快速討論一下。

組1：梯形可以從任意一條高剪開，拼組變成長方形，就能用數(shù)格子的方法了。

組2：圓形也能剪拼轉化成近似的長方形，當然也能用數(shù)格子的方法。不過，我們組建議要把圓形這個數(shù)格子面積推導的過程也畫出來，不要搞特殊，看上去好像它不適用數(shù)格子的方法一樣，容易引起別人誤解。

師：真好！不僅有觀點、方法，還有優(yōu)化建議。其實，數(shù)格子是很基本的面積計算方法，想一想為什么這么說？小組內再快速討論討論。

組3：我們認為圖形的面積就是看這個圖形里包含多少個面積單位，這些小格子就相當于面積單位，數(shù)格子就相當于看圖形里可以擺多少個面積單位。所以數(shù)格子是基本的面積計算方法。

師：（出示圖3）這幅作品也有推導過程，與上一幅作品相比，有什么不一樣？

圖3

生：這個的推導方法不是都用數(shù)格子，長方形、正方形用數(shù)格子的方法，其他圖形都是轉化成長方形。

生：三角形轉化成長方形這個過程有意思，與我之前探究三角形面積時想的一樣，通過畫圖推理就搞定！

生：按照這位同學的方法，直角梯形可以轉化成長方形，但普通的梯形不能直接轉化成長方形，需要先變成平行四邊形，再轉化成長方形。

師：你們知道嗎，古人推導出梯形是可以直接轉化成長方形的，我們一起來看一個微課（播放圖4 視頻）。

圖4

生：古人和我想到的那種方法是一個道理。

師：（出示圖5）再來看一幅作品，請生1 說說是怎么想的。

圖5

生1：長方形和正方形都是用數(shù)格子的方法，每一行有幾個就代表長是幾，擺了幾行就是代表寬是幾；平行四邊形是轉化成長方形；兩個完全一樣的三角形可以轉化成平行四邊形；兩個完全一樣的梯形也可以轉化成平行四邊形；圓形可以轉化成長方形或平行四邊形，長或底就是πr，寬或高是半徑r。

生2：我明白你整理的面積推導方法與書上的方法一樣，我不太明白的是，你在上面添了一些內容是什么意思？

生1：我在整理的時候發(fā)現(xiàn)不同平面圖形的面積計算公式的推導是有聯(lián)系的，然后我就把我發(fā)現(xiàn)的關系圖畫在上面了。

師：（放大關系圖）這是生1的發(fā)現(xiàn)，你能看懂嗎？

生：三角形和梯形的面積是由平行四邊形面積公式推導出來的，正方形、平行四邊形和圓形都是轉化成長方形面積推導出來的。

生：我也看懂了這個關系圖，但是它太簡略了，可以通過畫圖說明推導過程，也就是要與下面的知識結構圖結合起來就好了。

師：你的建議很好，這里就有一幅作品與你說的類似（出示圖6），大家能看懂嗎？

圖6

生：這幅作品先用“一行擺幾個，可以擺幾行”數(shù)面積單位的方法推導出長方形面積公式，再將正方形、平行四邊形、圓形轉化成長方形推導出面積公式，其中正方形是看成特殊的長方形，然后三角形和梯形的面積公式是轉化成平行四邊形來推導的。

師：整理時不僅要關注知識點，更要關注知識之間的聯(lián)系。（快速出示其他作品）這幾位同學的作品也非常有趣有料，但因為時間原因，課堂上就不一一展示了，課下大家把自己的作品適當修改完善一下，請班長把優(yōu)秀作品展示在班級 “數(shù)學廣角”專欄內。

【教學思考】讀懂學生，引領學習

一、“展”的策略

1.知識結構圖展評的層次性

不同學生對知識內容的梳理存在個體差異，“畫結構” 作品能充分體現(xiàn)每一位學生的個性化理解和整理。面對這些豐富多樣的學生作品，我們一般會利用SOLO分類理論搭建分析與評價框架，并基于水平層次分析來實施具有層次性的課堂展評。

表1 平面圖形面積“畫結構”作品評價框架

不難看出，教學片段中的課堂展評正是按照作品的水平層次從低到高依次進行的：圖1 還是水平1 單一結構，圖3 屬于水平2 多元結構，圖5 則是水平2 向水平3 過渡的作品，直到圖6 達到關聯(lián)結構水平。這樣的展評次序利于全體學生在對比評價中反思提升認識水平，最后通過修改作品改善每位學生“畫結構”的實踐能力。

值得注意的是，作品展評很考驗教師的素質，讀懂學生、準確分層、互動評價、適時拓展等已經成為 “數(shù)學畫” 項目教師的基本功。教學片段中教師對圖2 的處理還可以優(yōu)化，表面上看似乎只是一幅多元結構的作品，呈現(xiàn)了不同平面圖形面積的計算方法與推導過程，但是，一旦深入理解作品，就能發(fā)現(xiàn)小作者企圖用“數(shù)格子” 方法對平面圖形的面積計算“一網(wǎng)打盡”，只要稍加引導，很容易得出“數(shù)格子”方法觸及的正是平面圖形面積計算的數(shù)學本質。如此，不但溝通了各個平面圖形面積計算的聯(lián)系，還深刻理解了面積概念，即：不同的平面圖形基于面積概念本質在面積計算上實現(xiàn)了一致性。所以，圖2 的呈現(xiàn)次序可以后移，至少放到圖3 后。

2.知識結構圖展評的拓展性

在“畫結構”作品展評時，教師經常會抓住一些課堂互動的契機，對某些內容進行適當?shù)耐卣寡由?。比如片段中有學生提到“普通的梯形不能直接轉化成長方形”，教師用微課形式引出“古人推導梯形面積方法”，拓展學生的知識面，彌補新課教學的不足，也讓學生進一步感受平面圖形面積公式推導方法的多樣性與統(tǒng)一性。

當然，以上只是拓展的一種情況，這種內容拓展我們還有其他的處理方式。比如，由學生觀點“普通的梯形不能直接轉化成長方形”引出一個探究性問題：普通梯形真的不能直接轉化成長方形嗎？據(jù)此設計一份探究性作業(yè)，由學生課后自主研究，形成探究報告甚至小論文。

這樣將課堂拓展到課外，是“畫結構”課型的常態(tài)?！爱嫿Y構”作品除了課前作業(yè)、課后探究以外，還有課堂展評延伸到課外，將優(yōu)秀作品張貼到班級“數(shù)學廣角”專欄展出，使得展評更細致、更深入、更開放、更常態(tài)、更具影響力。

二、“評”的引領

1.指向知識的關聯(lián)

“畫結構”教學意在引導學生對知識的整體把握和結構化理解，其關鍵就是知識的關聯(lián)，即學生要認識到并梳理出某一單元知識的結構（此處“單元”不僅指自然單元，還有“大單元”之意）。因個體差異，有的學生對關聯(lián)的把握強一些，有的則弱一些，會呈現(xiàn)不同的層次水平。教學需要引導每一位學生提升對“知識的關聯(lián)”的認識與把握，因此課堂上基于作品的 “評價” 非常強烈地指向“知識的關聯(lián)”。

片段中作品的層次性展評最終引向的是“關聯(lián)結構”的作品，而把之前的理解水平作為 “未完成狀態(tài)”，也是“修改完善”的對象。所以，“畫關系”不僅是畫結構圖的關鍵，也成為了改結構圖的重點，圖7 就是圖3 的修改作品。

2.指向知識的本質

需要注意的是，“對知識的整體把握和結構化理解”這句話，雖然關鍵詞是“整體”和“結構化”，但落腳點還是“把握”和“理解”，即“畫結構”教學的目的是把握知識、理解知識，需要指向知識的本質。也就是，知識的有效關聯(lián)基于對知識本質的理解，對知識本質理解得越深刻就越能進行知識間的關聯(lián)；反過來，能否進行知識間的關聯(lián)是檢驗是否理解知識本質的指標。

因此，我們說圖2 是特別值得關注的作品，雖說教師起初沒有完全讀懂，但是在展評過程中能夠敏銳捕捉到作品中包含的價值，及時組織小組討論：為什么說“數(shù)格子”是基本的面積計算方法？成功引導學生把握平面圖形面積概念的本質，從而為知識的系統(tǒng)性梳理和結構化認識奠定基礎。

【教學片段二】針對性練習

1.畫一畫（出示圖8）

圖8

師：已經畫完的同學可以繼續(xù)畫形狀不同但面積大小一樣的圖形，看看你能畫多少種。

2.小組討論

師：先判斷組員畫的圖形是否正確，并說說你是怎么畫的，再比較這些圖形，你有什么發(fā)現(xiàn)？

3.展評作品

（1）出示圖9

圖9

師：你畫三角形時劃掉了一個，后來又重畫一個，是怎么想的？

生：只要保證底和高的乘積是30 就行，一開始我以為底乘高等于15 就可以了，后來檢查還需要除以2，面積就不是15 了。

師：你們也是這樣的嗎？我發(fā)現(xiàn)很多同學畫梯形時也是有困難的，誰來說說你是怎么快速畫出和長方形面積相等的梯形的？

生：其實和三角形一樣，只要保證上底和下底的和乘高等于30就行，因為它的面積也要除以2。

（2）出示圖10

圖10-1

圖10-2

圖10-3

師：對比觀察這些圖形，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：面積相等的圖形，形狀不相同。

師：面積相等的圖形，形狀不一定相同，這里需要加一個“不一定”更加嚴謹一些，因為有時候它的形狀又是一樣的。

生：我發(fā)現(xiàn)面積都是15 的圖形不僅形狀可以是平行四邊形、三角形和梯形，而且即使都是同一種圖形，形狀也不一樣，比如雖然這兩個平行四邊形的面積都是15，但是它們的底和高就不一樣，形狀也不一樣。

師：觀察真仔細！再來看看這組圖形（出示圖11），大家又有什么想說的呢？

圖11

生：即使等底等高的平行四邊形，形狀也有可能不一樣，因為角度不一樣了。

師：除了平行四邊形，三角形、梯形也會出現(xiàn)這種情況嗎？

生：會！

師：請你在已經畫好的三角形和梯形旁邊畫一個與它等底等高但形狀不一樣的三角形和梯形。

（學生畫圖略）

（3）出示圖12

圖12

師：剛剛我們發(fā)現(xiàn)了面積相等時同種圖形之間的關系，那不同圖形之間存在什么關系呢？請看這些圖形，可以兩兩比較，四人小組交流討論。

生：面積相等的平行四邊形和三角形，高相等，那么三角形的底就是平行四邊形的底的2 倍。

生：面積相等的平行四邊形和三角形，底相等，那么三角形的高就是平行四邊形的高的2 倍。

（4）出示圖13

圖13

師：觀察這個梯形，你能畫出與它面積相等高不變的不同圖形嗎？請想一想，在頭腦里畫一畫。

（教師指名說一說，課件適時出示相應圖形，如圖14）

圖14

師：仔細觀察，你發(fā)現(xiàn)了什么？先小組內說一說，再說給全班同學聽。

生：當高不變時，上底和下底的和都是10cm，面積也不變。

生：我們組發(fā)現(xiàn)，三角形、梯形和長方形的面積計算也是有聯(lián)系的，當梯形的上底越來越小，最后變成0 時，就得到三角形，當梯形的上底越來越大，變成與下底一樣大時，就得到平行四邊形和長方形，它們都可以用梯形面積公式來計算面積，也可以轉化成它們自己的計算方法。

師：為你們的發(fā)現(xiàn)點贊，聽懂了嗎？我們一起來看微課學習一下（播放相關微課視頻）?？赐晡⒄n你又有什么新的感受？

生：梯形面積公式也可以推導出三角形、平行四邊形和長方形的公式，真的是太神奇了！

生：圖形之間是可以相互轉化的，不同圖形的面積計算是有聯(lián)系的。

【教學思考】建立關聯(lián) 融會貫通

一、“練”的設計

1.聚焦圖形關系

“畫結構”作品展評已經突出了不同平面圖形面積計算方法上的關聯(lián)，但依據(jù)作品評價框架分析發(fā)現(xiàn)，展評前達到水平3 的學生只占17.4%，學生對這一知識關聯(lián)結構的整體認識水平較低。因此，復習課設計了聚焦圖形關系的針對性練習。

這一組練習圍繞 “畫與已知長方形面積相等的不同平面圖形”展開，通過多次對比引導學生依次發(fā)現(xiàn)：面積相等，形狀不一定相同；面積相等的同一種圖形，形狀也不一定相同；面積相等且等底等高的同一種圖形，形狀也不一定相同；面積相等的平行四邊形和三角形，若底相等，則三角形的高是平行四邊形的2 倍，若高相等，則三角形的底是平行四邊形的2 倍。梯形比較特殊，所以單獨設計了 “畫與已知梯形等積等高的梯形”活動，再通過交流反饋發(fā)現(xiàn)：梯形高不變時，兩底之和保持不變，則面積不變；并結合動圖演示進而發(fā)現(xiàn)：當上底=0 時，梯形就變成三角形；當上底=下底時，梯形就變成平行四邊形或長方形等；并且三角形、平行四邊形、長方形的面積計算公式都可以由梯形面積公式推導得出。學生在自主探究、直觀演示和討論交流中深刻認識到圖形之間、圖形面積計算之間是相互聯(lián)系且可以相互轉化的，達到了知識的融會貫通。

2.給予操作工具

本練習提供方格紙，學生的畫圖操作和觀察比較都在方格紙上完成。方格紙在“數(shù)學畫”教學中是常見的操作工具，可以賦予直觀之“形”以精確之“數(shù)”，從而更容易量化把握，更容易發(fā)現(xiàn)圖形關系。

本練習還運用了平行線工具（如圖14），非常形象直觀地呈現(xiàn)等積等高的梯形隨著底的改變，形狀發(fā)生的變化，利于學生發(fā)現(xiàn)規(guī)律、感受聯(lián)系。

二、“練”的實操

1.錯例的價值

練習設計再好也需要在實際操作中落實，學生在實際練習中出錯是最自然、最常見的現(xiàn)象，經驗豐富的教師總會抓住錯例組織教學，提高練習實效。

片段中教師沒有放過學生畫圖中的錯誤，一般個別性錯誤在巡視過程中點對點就解決掉了，而當教師巡視發(fā)現(xiàn)很多學生對于“畫與已知長方形面積相等的三角形和梯形”存在困難時，就借助錯例將問題暴露在全班面前，放慢展評進程，不僅請錯例小作者說想法，還請學生概述此類畫圖的一般方法，找到問題的癥結：因為三角形和梯形面積計算時底乘高后還要除以2，所以畫與長方形等積的三角形和梯形時，底（高）相等，則高（底）必須是長方形對應長度的2 倍。

錯誤是教學的契機，高明的教師不但不回避，反而會利用學生的錯誤引發(fā)思考，讓學習真正發(fā)生。

2.討論的時機

以上練習片段，組織了三次小組討論，前兩次都是為學生比較所畫圖形發(fā)現(xiàn)關系而預設的活動，第一次放在學生剛畫好圖形時，需要交流各自畫法，再對比討論，這是基礎性的；第二次聚焦面積相等的平行四邊形和三角形，比較它們的底、高關系，屬于聚焦性的；第三次不在預設內，而是實際操作中發(fā)現(xiàn)學生對等積等高梯形的底與形狀的變化情況不能很快發(fā)現(xiàn)規(guī)律，所以在全班交流前組織小組討論，姑且稱之為緩沖性的。

簡言之，學生在需要了解同伴思維時、在需要集中解決問題時、在獨立學習遇到困難時都可以組織同伴間的討論。片段中則是通過把握討論時機，引導學生順利發(fā)現(xiàn)知識間的聯(lián)系，完成對知識的結構化理解。