莫讓材料“暗示”僵化了學(xué)生的思維
——以《三角形的面積》教學(xué)為例

文| 許燕萍 俞 軍

在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022 年版）》中明確指出：數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)讓學(xué)生經(jīng)歷獨立的數(shù)學(xué)思維過程，理解數(shù)學(xué)基本概念和法則的發(fā)生和發(fā)展，探究自然現(xiàn)象或現(xiàn)實情境所蘊含的數(shù)學(xué)規(guī)律，經(jīng)歷數(shù)學(xué)“再發(fā)現(xiàn)”的過程，發(fā)展質(zhì)疑問難的批判性思維，初步養(yǎng)成講道理、有條理的思維品質(zhì)，逐步形成理性精神。因此，在課堂教學(xué)中，我們必須合理選擇學(xué)習(xí)材料，充分暴露學(xué)生的原生態(tài)思維，激發(fā)他們的思維廣度，使其深入思考，集思廣益，提出解決問題的多種策略，深刻體驗知識產(chǎn)生的過程，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)真正發(fā)生。帶著這種理念，筆者對《三角形的面積》一課教學(xué)進行了反復(fù)實踐，現(xiàn)將磨課中的一些思考與各位同仁分享。

環(huán)節(jié)一：精選探究材料，暴露學(xué)生思維

課堂上教師提供不同的學(xué)習(xí)材料，學(xué)生的思考就會有不同的方向。如果像教材那樣提供兩個完全一樣的三角形，學(xué)生可能就只會想到“倍拼法”，這樣的安排給學(xué)生過多的暗示，局限了學(xué)生的思維。如果僅提供一個三角形，學(xué)生想到的可能就是畫出示意圖，此時，相比教材呈現(xiàn)的方法就更為豐富多樣。

【教學(xué)片斷1】

教師多媒體出示三類不同的三角形（如圖1）。

圖1

師：如果讓你任選一類三角形來研究，你會選哪個？（學(xué)生齊答：直角三角形）

師：直角三角形的面積該怎么計算呢？把你的想法表示在圖上，然后再算一算，請完成《學(xué)習(xí)單》的第一題。

（學(xué)生獨立探究，教師關(guān)注學(xué)生探究的情況，了解學(xué)生的探究過程，并指導(dǎo)學(xué)生解釋計算背后的思考過程）

教師巡視中有意選取三種轉(zhuǎn)化方法投影反饋（如圖2）。

師：這是三位同學(xué)的作品，你看得懂嗎？請把你看懂的跟同桌交流一下。

師：我們一起來交流吧！誰先來說說？

生1：我看懂了第一種，他是用兩個一樣的直角三角形拼成長方形。

生2：三角形的面積是長方形面積的一半，所以可用16×10÷2來計算。

（教師根據(jù)學(xué)生的回答將這種方法貼到黑板上）

師：另外兩種呢？誰能指著說一說？

生：第二種是剪掉一個三角形，把它拼到下面來，拼成一個長方形。

師：這一刀能隨便剪嗎？

生：不能，要剪在高的中間，這樣才能拼成長方形。

師：現(xiàn)在誰會計算三角形的面積？

生：長方形的長是16，寬是10÷2，所以列式為10÷2×16。

師：一個三角形也能轉(zhuǎn)化成長方形，真了不起!老師也將這種方法展示到黑板上。

生1：第三種跟第二種一樣，都是剪掉三角形拼成長方形，只是第二種沿高的一半剪開，而這種是沿著底的一半剪開。

生2：我來補充算式：16÷2×10。

師：同學(xué)們真厲害！在研究直角三角形的時候都想到了轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過的長方形來計算。

這一環(huán)節(jié)，教師只提供《學(xué)習(xí)單》上的一個三角形，變教材主導(dǎo)材料為教學(xué)需求材料，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了探究的時空，能充分暴露學(xué)生的原生態(tài)思維。由于學(xué)生已有的知識經(jīng)驗和思考的角度不同，呈現(xiàn)的方法就多種多樣。

環(huán)節(jié)二：緊扣數(shù)學(xué)本質(zhì)，完善學(xué)生思維

直角三角形雖然有它的特殊性，但它的研究方法跟銳角三角形、鈍角三角形乃至其他平面圖形面積的研究是一樣的，其數(shù)學(xué)本質(zhì)都是轉(zhuǎn)化的思想方法。教學(xué)中，可以讓學(xué)生借鑒直角三角形的研究方法，自覺遷移到銳角三角形、鈍角三角形的研究中，實現(xiàn)轉(zhuǎn)化方法的多樣化。

【教學(xué)片斷2】

師：你們能帶著剛才的研究經(jīng)驗再來探究探究銳角三角形和鈍角三角形嗎？

教師在巡視中有意識地選擇三種典型方法，投影：

1.展示圖3

圖3

師：這種方法你能看明白嗎？

生1：這兩個三角形都是補了一個完全一樣的三角形拼成平行四邊形，也就是黑板上的第一種方法。

生2：三角形的面積都是拼完后平行四邊形面積的一半。

2.展示圖4

圖4

師：這又是怎么想的？

生1：他是將上面的三角形旋轉(zhuǎn)拼到下面，變成一個平行四邊形。

生2：也就是黑板上第二種方法，沿著高的一半剪開。

師：算式中12÷2 是什么意思呢？

生1：是平行四邊形的高，也就是原來三角形高的一半。

生2：我覺得還可以沿著底的一半剪開。

師：真會思考！底的一半剪開，拼成的是怎樣的一個圖形？在腦海中想想看。

3.展示圖5

圖5

師：有同學(xué)是這么想的，跟你想的一樣嗎？這種方法你有什么疑問嗎？

生1：底的一半怎么找？

生2：對折。

生3：應(yīng)該是左邊底的一半剪開，右邊底的一半也剪開，分別拼到上面。（請學(xué)生指一指）

師：你們真了不起！現(xiàn)在我們一起以動態(tài)的方式來回顧剛才的這幾種轉(zhuǎn)化過程。

（教師課件動態(tài)演示轉(zhuǎn)化過程，圖略）

師：你們很厲害！想到了這么多種轉(zhuǎn)化方法。那么，現(xiàn)在請你觀察黑板，你覺得三角形的面積可以怎么算？

生：（齊）底×高÷2。

教師根據(jù)學(xué)生回答，板書：三角形的面積＝底×高÷2，S＝ah÷2。

學(xué)生在已有的直角三角形的活動經(jīng)驗上，能夠自主利用方法再次遷移，由特殊到一般，從而讓推理過程更嚴密。通過大量的對三角形面積轉(zhuǎn)化過程的體驗與感悟，使學(xué)生對三角形面積公式的理解更為清晰和深刻，真正構(gòu)建起三角形面積計算的模型，學(xué)生的思維從模糊到清晰，從殘缺到完整，甚至從錯誤到正確，不斷完善自己的思維。

環(huán)節(jié)三：延長體驗過程，強化學(xué)生思維

公式推導(dǎo)完成后，接下去就是大量的公式應(yīng)用，這樣的教學(xué)，學(xué)生又回到枯燥的公式套用上，之前的大量探究就顯得多此一舉。因此，可以通過練習(xí)讓學(xué)生的體驗延續(xù)，思維得到進一步強化。

【教學(xué)片斷3】

1.課件呈現(xiàn)基本練習(xí)

師：你們學(xué)得都很棒！現(xiàn)在老師要來考考你！請看屏幕（課件出現(xiàn)原始三角形，如圖6）。

圖6

師：如果讓你求出這個三角形的面積，你會想到哪些轉(zhuǎn)化方法？靜靜地想一想。（讓學(xué)生只在腦海中想，不作交流）

課件依次呈現(xiàn)圖7 中左側(cè)的四張圖。

圖7

師：這些轉(zhuǎn)化方法你想到了嗎？

接著同時出示圖7 中右側(cè)的3 個算式。

師：現(xiàn)在請你將轉(zhuǎn)化的方法和匹配的算式連一連。

師：（課件出示答案）請看大屏幕，和你連的一樣的請舉手。

2.呈現(xiàn)拓展練習(xí)

請你在圖8 中畫一個三角形，使它的面積與平行四邊形的面積相等。（每相鄰兩點之間的距離為1）

圖8

師：看來，這些數(shù)學(xué)問題都難不倒大家。下面我們繼續(xù)研究，請看大屏幕，自由地讀一讀要求。同學(xué)們，題目讀完了，會嗎？請在《學(xué)習(xí)單》上試一試。

（1）展示底是4，高是6 的作品（如圖9）。

圖9

師：我們先來看這兩位同學(xué)的作品，先請他們說說他們是怎么畫的？

生：沿著高的一半剪開就可以拼成前面的平行四邊形。

師：他很會思考！同學(xué)們，我們一起觀察，當三角形的面積和平行四邊形的面積相等，并且底也相等時，那么它們的高有什么關(guān)系？

生：三角形的高是平行四邊形的高的2 倍。

（2）展示底是8，高是3 的作品（如圖10）。

圖10

師：我們再來看這兩幅作品，誰能猜猜他們是怎么想的？

生：沿著底的一半剪開就可以拼成前面的平行四邊形。

師：你表達得很清晰！同學(xué)們，這時候兩個三角形的底、高、面積之間有什么關(guān)系嗎？

生：當三角形的面積和平行四邊形的面積相等，如果高也相等時，那么三角形的底是平行四邊形的底的2 倍。

（3）展示底×高＝24 的作品（如圖11）。

圖11

師：這兩位同學(xué)畫的三角形底和高都不相等，面積會相等嗎？

生：面積相等，因為底和高相乘都等于24，再除以2 就都等于12 了。

師：原來只要做到底×高等于24 就可以了。

兩個練習(xí)注重的依然是轉(zhuǎn)化的思想本質(zhì)，利用想象、連線、畫圖等方法延長轉(zhuǎn)化過程的體驗，學(xué)生感悟到的是一種數(shù)學(xué)本質(zhì)，而非一個冷冰冰的公式。同時，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念和逆向思考的能力，以及萬變不離其宗的哲學(xué)思維，尤其對三角形面積計算公式這一數(shù)學(xué)模型有了更為深刻的建構(gòu)。

學(xué)習(xí)是自內(nèi)而外的生長，在提倡“生本教育”的今天，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)要時刻想著學(xué)生會怎么想，學(xué)生會怎么做，切勿給他們過多的材料“暗示”。只有基于“思維”而教、圍繞“思維”而學(xué)，才能將學(xué)生置于教學(xué)的核心地位, 順應(yīng)學(xué)生主動探索，促進思維自然生長。