化隱為顯 揭示本質(zhì)

宋輝

摘 要：

眾所周知，所謂的解題過程，就是在條件與結(jié)論之間架起橋梁，通過條件的不斷轉(zhuǎn)化、化隱為顯、揭示本質(zhì)，最終解決問題的過程.本文通過幾類問題，探究“化隱為顯、揭示本質(zhì)”的解題過程.

關(guān)鍵詞： 解題；轉(zhuǎn)化；化隱為顯

1 隱“零點”問題

例1 ??已知函數(shù)f（x）＝aex- ln ?x，a＞0，求證：f（x）≥2+ ln ?a.

解： ?f ′（x）＝aex- 1 x ＝ axex-1 x （x＞0），令h（x）＝axex-1，則h′（x）＝aex+axex＝aex（1+x）.

因為a＞0，所以h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，又h（0）＝-1＜0，h ?1 a ?＝e 1 a -1＞0，所以存在x 0∈ 0， 1 a ?，使h（x 0）＝0，即存在x 0∈ 0， 1 a ?，使 f ′（x 0）＝aex ?0- 1 x 0 ＝0，即x 0＝ 1 aex ?0 ，

又當(dāng)x∈（0，x 0）時，f ′（x）＜0，所以f（x）在（0，x 0）上單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（x 0，+∞）時，f ′（x）＞0，

所以f（x）在（x 0，+∞）上單調(diào)遞增，所以f（x） ?min ＝f（x 0）＝aex ?0- ln ?x 0＝ 1 x 0 - ln ??1 aex ?0 ＝ 1 x 0 +x 0+ ln ?a≥2 ?1 x 0 ·x 0 + ln ?a＝2+ ln ?a，

當(dāng)且僅當(dāng) 1 x 0 ＝x 0時，即x 0＝1時等號成立，所以f（x）≥2+ ln ?a.

例2 ??已知函數(shù)f（x）＝ex-ax+b，其中a，b∈ R . 若f（x）在x＝0處存在極值-1，且x∈（-1，+∞）時，f（x）+2＞k（x+1）恒成立，求實數(shù)k的最大整數(shù)值.

解： ?由f（x）在x＝0處存在極值-1，得f ′（0） ＝0，f（0）＝-1，所以a＝1，b＝-2；則f（x）＝ex-x-2，f ′（x） ＝ex-1.

當(dāng)x∈（-∞，0）時，f ′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（0，+∞）時，f ′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增.

則f（x）在x＝0處存在極值f（0）＝-1，滿足題意.

由題意f（x）+2＞k（x+1）恒成立，即ex-x＞k（x+1）在x∈（-1，+∞）恒成立，

即k＜ ex-x x+1 ，設(shè)h（x）＝ ex-x x+1 ，只需k＜h ?min ?（x）.

因為h′（x）＝ xex-1 x+1 ，令t（x）＝xex-1，t′（x）＝ex （x+1），

所以t′（x）＞0在（-1，+∞）上恒成立，t（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞增，

因為t ?1 2 ?＝ 1 2 ?e -1＜0，t（1）＝e-1＞ 0，所以存在x 0∈ ?1 2 ，1 ，使得t（x 0）＝x 0ex ?0-1＝0.

即ex ?0＝ 1 x 0 ，且在（-1， x 0）上，t′（x）＜0，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減；

在（x 0，+∞）上，t′（x） ＞0，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，

所以，h ?min （x）＝h（x 0）＝ ex ?0-x 0 x 0+1 ＝ ?1 x 0 -x 0 x 0+1 ＝ 1 x 0 -1.

又x 0∈ ?1 2 ，1 ，所以h（x 0）∈（0，1） ，

所以k的最大整數(shù)值為0.

小結(jié)： ?隱“零點”問題，就是零點不能精確求出，通過尋找零點滿足的隱性條件，不斷化簡問題，最后解決問題.

2 隱“軌跡”問題

例3 ??（多選題） ：已知點A（-1，0），B（1，0），若圓（x-2a+1）2+（y-2a-2）2＝1上存在點M，滿足MA ·MB ＝3，則實數(shù)a的值可以為（ ?）.

A. ?-2

B. ?-1

C. ?2

D. ?0

解： ?設(shè)點M（x，y），則MA ＝（-x-1，-y），MB ＝（-x+1，-y），因為MA ·MB ＝（-x-1）（-x+1）+y2＝3，所以點M的軌跡方程為x2+y2＝4，圓心為（0，0），半徑為2.

由題意知，圓（x-2a+1）2+（y-2a-2）2＝1與圓x2+y2＝4有公共點，又圓（x-2a+1）2+（y-2a-2）2＝1的圓心為（2a-1，2a+2），半徑為1，所以1≤ （2a-1）2+（2a+2）2 ≤3，解得-1≤a≤ 1 2 .

故選擇答案： B 、 D .

例4 ??過點P（2，4）任作兩條互相垂直的直線l 1，l 2.若l 1交x軸于A點，l 2交y軸于B點，記線段AB中點為M，求PM的最小值.

解： ?設(shè)點M的坐標(biāo)為（x，y），因為M為線段AB的中點，所以A（2x，0），B（0，2y）.又l 1⊥l 2，且l 1，l 2交于點P，所以PA⊥PB，即PA ·PB ＝0.

又P（2，4），所以PA ＝（2x-2，-4），PB ＝（2，2y-4），

所以-2（2x-2）-4（2y-4）＝0，

化簡，得x+2y-5＝0.所以點M的軌跡方程為x+2y-5＝0.

PM的最小值就是點P（2，4）到直線x+2y-5＝0的距離，故PM的最小值為 2+2×4-5 ?12+22 ?＝ 5 .

小結(jié)： ?對于隱“軌跡”問題，當(dāng)問題中出現(xiàn)動點時，探究動點的運動軌跡是必然的過程.

3 隱“結(jié)構(gòu)”問題

例5 ??已知函數(shù)f（x）＝ ln ?x+ ln ?a+（a-1） x+2（a＞0），若不等式ex-2≥f（x）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

解： ?ex-2≥f（x）即ex-2≥ ln ?x+ ln ?a+（a-1）x+2

即ex-2+x-2≥ ln ?（ax）+ax即 ln ?ex-2+ex-2≥ In ?（ax）+ax

觀察不等式兩邊的結(jié)構(gòu)，得是同一種結(jié)構(gòu).

設(shè)g（x）＝ ln ?x+x，則原不等式恒成立等價于g（ex-2） ≥g（ax）在（0，+∞）上恒成立，

因為g′（x ） ＝ 1 x +1＞0，所以g（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，

則g（ex-2）≥g（ax）在（0，+∞）上恒成立，等價于ex-2≥ax在（0，+∞）上恒成立，

等價于a≤ ex-2 x 在（0，+∞）上恒成立，

令h（x）＝ ex-2 x （x＞0），則h′（x ）＝ （x-1）ex-2 x2 .

又（0，1）上，h′（x）＜0，（1，+∞）上h′（x）＞0，所以h（x）在（0，1）上為減函數(shù)，在（1， +∞）上為增函數(shù)，

所以h ?min （x）＝h（1）＝ 1 e ，故 1 e ≥a＞0.所以實數(shù)a的取值范圍為 0， 1 e ?.

小結(jié)： ?對于隱“結(jié)構(gòu)”問題，將“不同”結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化成相同結(jié)構(gòu)，利用同構(gòu)解決問題是關(guān)鍵.

4 隱“函數(shù)”問題

例6 ??試求函數(shù)f（x）＝（3x-1）（ 9x2-6x+5 +1）+（2x-3）（ 4x2-12x+13 +1）的零點.

解： ?f（x）＝（3x-1）（ （3x-1）2+4 +1）+（2x-3）（ （2x-3）2+4 +1）.

令f（t）＝t（ t2+4 +1）， t∈ R ，由 f（-t）＝-f（t），得f（t）為奇函數(shù)，易知f（t）在 R 上單調(diào)遞增，原函數(shù)可表達(dá)為y＝f（3x-1）+f（2x-3）.

令y＝0，即f（3x-1）+f（2x-3）＝0，f（3x-1）＝-f（2x-3）＝f（3-2x），由f（t）在 R 上單調(diào)遞增，得3x-1＝3-2x，解得x＝ 4 5 .所以f（x）的零點為 4 5 .

小結(jié)： ?對于隱“函數(shù)”問題，通過合元、并元、消元等方法轉(zhuǎn)化成函數(shù)問題.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 單墫.解題研究［M］.上海：上海教育出版社，2013.