巧思維視角切入，妙技巧方法求解

任小瑞

摘 要： 解三角形一直是高考數(shù)學試卷中的一個重要知識點，是溝通初中平面幾何與高中三角函數(shù)等基礎(chǔ)知識的一個主場所，實現(xiàn)數(shù)學知識與能力的交匯與融合.結(jié)合一道高考真題加以實例分析，從不同思維視角切入，總結(jié)解題規(guī)律，啟示教學學習，引領(lǐng)并指導數(shù)學教學與解題研究.

關(guān)鍵詞： 解三角形；面積；中點；公式；余弦定理

解三角形是新教材模塊中平面向量及其應用中的一個重要知識點，是平面向量的一個應用方向，也是聯(lián)系初高中知識的一個很好的媒介.此類問題有“數(shù)”的內(nèi)涵，有“形”的本質(zhì)，“數(shù)”“形”結(jié)合，充分契合新課標的命題理念——“在知識交匯點處命題”，合理融合初中的平面幾何，高中的函數(shù)與方程、不等式、三角函數(shù)、平面向量以及平面解析幾何等相關(guān)知識，成為新高考數(shù)學試卷命題中的一個基本考點，倍受各方關(guān)注.

1 真題呈現(xiàn)

【高考真題】 ??（2023年高考數(shù)學新課標Ⅱ卷·17） 記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知△ABC面積為 3 ，D為BC的中點，且AD=1.

（1） 若∠ADC= ?π ?3 ，求 tan ?B；

（2） 若b2+c2=8，求b，c.

2 真題剖析

本題通過兩小題的合理設(shè)置，通過題設(shè)中三角形的面積、中線長這兩個數(shù)值的給出，分別通過不同條件來設(shè)置兩個不一樣的問題，對應兩個不一樣的三角形，給考生兩種不同的體驗，具有很好的創(chuàng)新性.

同時借助相關(guān)角、邊的關(guān)系式等數(shù)據(jù)，全面調(diào)動三角形中相關(guān)元素及其對應關(guān)系，合理構(gòu)建關(guān)系式并加以變形與轉(zhuǎn)化，是考查學生邏輯推理與數(shù)學運算等數(shù)學能力與核心素養(yǎng)的一個重要場所.

而在具體解決解三角形綜合應用問題時，充分挖掘題設(shè)條件，進行有效審題，合理妙用定理（平面幾何中的相關(guān)定理，解三角形中的正弦定理或余弦定理等），正確應用公式（平面幾何中的相關(guān)公式、三角函數(shù)的相關(guān)公式等），合理化歸與轉(zhuǎn)化，科學邏輯推理，正確數(shù)學運算，優(yōu)化解題過程，提升解題效益.

3 真題破解

解析： ?（1） ??方法1 ?（平面幾何法）

在△ABC中，D為BC的中點，∠ADC= ?π ?3 ，AD=1，S △ABC= 3 ，

則S △ADC= 1 2 AD·DC sin ?∠ADC= 1 2 ×1× 1 2 a× ?3 ?2 = ?3 ?8 a= 1 2 S △ABC= ?3 ?2 ，解得a=4，

在△ADC中，由余弦定理可得b2=AD2+CD2-2AD·CD cos ?∠ADC=1+4-2×1×2× 1 2 =3，解得b= 3 ，

而AC2+AD2=4=CD2，則知∠CAD= ?π ?2 ，且有C= ?π ?6 ，

如圖所示，過點A作AE⊥BC交BC于點E.

于是CE=b cos ?C= 3 × ?3 ?2 ＝ 3 2 ，AE=b sin ?C= 3 × 1 2 ＝ ?3 ?2 ，BE=a-CE=4- 3 2 ＝ 5 2 ，

所以 tan ?B= AE BE ＝ ??3 ?2 ??5 2 ?= ?3 ?5 .

方法2 ?（解三角形法）

在△ABC中，D為BC的中點，∠ADC= ?π ?3 ，AD=1，S △ABC= 3 ，

則S △ADC= 1 2 AD·DC sin ?∠ADC= 1 2 ×1× 1 2 a× ?3 ?2 = ?3 ?8 a= 1 2 S △ABC= ?3 ?2 ，解得a=4，

在△ABD中，∠ADB= 2 π ?3 ，由余弦定理可得c2=AD2+BD2-2AD·BD cos ?∠ADB=1+4-2×1×2× - 1 2 ?=7，解得c= 7 ，

利用余弦定理有 cos ?B= AB2+BD2-AD2 2AB×BD = 7+4-1 2× 7 ×2 = 5 7 ?14 ，

由同角三角函數(shù)關(guān)系，得 sin ?B= 1- cos 2 B = ?21 ?14 ，所以 tan ?B= ?sin ?B ?cos ?B = ?3 ?5 .

解后反思： ?根據(jù)題設(shè)條件，結(jié)合三角形的面積公式以及中點性質(zhì)等，求解相應的邊長是關(guān)鍵.而在邊a求得的基礎(chǔ)上，可通過平面幾何數(shù)形結(jié)合，也可通過解三角形與三角函數(shù)的代數(shù)關(guān)系進行代數(shù)運算，以在一定程度上引導學生深入思考培養(yǎng)數(shù)學思維為目標，對于教學與學習都有一定的幫助.

（2） ??方法1 ?（解三角形法）

在△ABD與△ADC中，

由余弦定理可得

c2= 1 4 a2+1-2× 1 2 a×1× cos ?（ π -∠ADC），

b2= 1 4 a2+1-2× 1 2 a×1× cos ?∠ADC，

整理，得 1 2 a2+2=b2+c2，而b2+c2=8，解得a=2 3 ，

因為S △ABC= 3 ，則S △ADC= 1 2 AD·DC sin ?∠ADC = 1 2 ×1× 3 × sin ?∠ADC= 1 2 S △ABC= ?3 ?2 ，

解得 sin ?∠ADC=1，又0＜∠ADC＜ π ，所以∠ADC= ?π ?2 ，

由D為BC的中點，得△ABC為等腰三角形，利用等腰三角形的性質(zhì)知b=c=2 2 .

解后反思： ?根據(jù)三角形的圖形特征，結(jié)合余弦定理建立相應的方程，并通過三角形面積公式的應用來深入，探求對應角的數(shù)值，這是破解問題的關(guān)鍵點所在.借助直角的特征，以及中點的性質(zhì)，回歸到等腰三角形中去，利用等腰三角形的性質(zhì)來分析與求解.由代數(shù)思維的數(shù)學運算推導出圖形的結(jié)構(gòu)特征，由“數(shù)”轉(zhuǎn)“形”.

方法2 ?（平面向量法）

在△ABC中，D為BC的中點，則2AD =AB +AC ，

又CB =AB -AC ，

則4AD 2+CB 2=（AB +AC ）2+（AB -AC ）2=2AB 2+2AC 2=2（b2+c2）=16，

即4×12+a2=16，解得a=2 3 ，

后續(xù)同方法1，可得b=c=2 2 .

方法3 ?（平面向量+三角函數(shù)法）

在△ABC中，D為BC的中點，則2AD =AB +AC ，

又4AD 2=（AB +AC ）2=AB 2+AC 2+2AB ·AC ，即4×12=b2+c2+2bc cos ?A，

又b2+c2=8，解bc cos ?A=-2，

因為S △ABC= 1 2 bc sin ?A= 3 ，所以bc sin ?A=2 3 ，

以上兩式相除，整理，得 tan ?A=- 3 ，又0＜A＜ π ，即A= 2 π ?3 ，

因為bc sin ?A=2 3 ，所以bc=4，又b2+c2=8，解得b=c=2 2 .

解后反思： ?根據(jù)三角形中的中點巧妙引入平面向量的線性關(guān)系，回歸解三角形的知識本源，借助平面向量的線性運算、數(shù)量積等來轉(zhuǎn)化與應用，同時結(jié)合三角形的面積公式構(gòu)建對應的關(guān)系式加以綜合.將解三角形問題回歸到平面向量中去，利用平面向量的基礎(chǔ)知識來分析與應用，是解決此類問題中比較常用的一種技巧方法.

方法4 ?（平面幾何法）

在△ABC中，D為BC的中點，

由中線長公式，得4AD2+BC2=2（AB2+AC2），即4+a2=2（c2+b2），

由b2+c2=8，解得a=2 3 ，

如圖所示，過點A作AH⊥BC交BC于點H，又S △ABC= 1 2 a·AH= 3 ，解得AH=1，

因為AD=1，所以點H與點D重合，利用等腰三角形的性質(zhì)知b=c=2 2 .

解后反思： ?回歸平面幾何圖形與幾何性質(zhì)，通過數(shù)形直觀或性質(zhì)應用來解決一些相應的解三角形問題，有時可使得問題的解決更加簡單快捷，也是一種不錯的思維方式.

4 教學啟示

4.1 拓展思維視角

4.1.1 代數(shù)思維

“數(shù)”的視角解決解三角形問題，就是其中的代數(shù)思維，或借助解三角形中的定理、公式等構(gòu)建邊與角的關(guān)系式，或借助坐標運算、向量運算、解析幾何運算等來處理并解決解三角形問題.

在此過程中，往往離不開函數(shù)與方程、三角函數(shù)、不等式、平面解析幾何等相關(guān)知識與代數(shù)思維的綜合與應用.

4.1.2 幾何思維

“形”的視角解決解三角形問題，就是其中的幾何思維，或借助平面幾何圖形的直觀來分析處理問題，或借助平面向量的數(shù)形綜合來轉(zhuǎn)化與應用等，都可以從“形”的層面來解決解三角形問題.

在此過程中，往往離不開平面向量、三角函數(shù)、平面解析幾何等相關(guān)知識與幾何思維的綜合與應用.

4.2 培養(yǎng)思維能力

在平時數(shù)學教學與復習備考時，不能片面注重數(shù)學“刷題”，只注重數(shù)量，往往事倍功半；做題要注重質(zhì)量，要少而精.

而要做到少而精的做題，就需要典型性的問題，以及對問題的深入研究，借助典型問題，開展“一題多解”，“串聯(lián)”起不同的知識點，構(gòu)建相應的數(shù)學知識網(wǎng)絡(luò)，同時進一步加以拓展，實現(xiàn)“一題多得”的效果，優(yōu)化解題效益，從而更加有效促進學生的“四基”，全面提升數(shù)學能力，發(fā)展并開拓學生的數(shù)學思維，舉一反三，有效進行“促雙減”的深化與改革.

參考文獻：

［1］ 單墫.解題研究［M］.上海：上海教育出版社，2013.

［2］ 于道洋，寧連華.試論墨家的理性精神及其對數(shù)學教育的啟示［J］.數(shù)學教育學報，2021，30（5）：87 91.