利用 Dandelin 雙球探究橢圓的性質

芮強 張萍

摘 要： 利用 Dandelin 雙球探究橢圓的性質，如離心率、短軸、準線，讓學生感受到這個模型解決問題的巧妙，以此培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

關鍵詞： ?Dandelin 雙球；橢圓性質；解決問題

1 引言

人教 A 版《數(shù)學（選擇性必修第一冊）》中的第三章《圓錐曲線的方程》給出了“用一個不垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，當圓錐的軸與截面所成的角不同時，可以得到不同的截口曲線，它們分別是橢圓、拋物線和雙曲線.”［1］蘇教版《數(shù)學（選擇2 1）》2.1節(jié)圓錐曲線也提出了“用平面截圓錐面還能得到哪些曲線？ 這些曲線具有哪些幾何特征？”［2］ 歷史上， Dandelin， G. P 出生于法國巴黎，是比利時科學院院士，他于1822年首次提出并證明了上述命題. ［3］ ??Dandelin 利用同時和圓錐側面和截面都相切的兩個球來推導出橢圓、雙曲線、拋物線的定義，這兩個球就稱為“ Dandelin 雙球”.

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》提出“整體把握教學內容，促進數(shù)學學科核心素養(yǎng)連續(xù)性和階段性發(fā)展”的教學建議［4］，提倡“大單元教學”.很多《圓錐曲線》的大單元教學設計都是以平面截圓錐為背景引出圓錐曲線，利用 Dandelin 雙球得到橢圓的定義，但往往止步于此.

筆者借助于 Geogebra 軟件，利用 Dandelin 雙球研究了橢圓的相關性質，比如離心率、短軸、準線，而雙曲線和拋物線的性質可以通過類比得到，本文不再贅述.

2 利用 Dandelin 雙球探究橢圓的性質

2.1 離心率

探究1.1： ??如圖1.1.1所示，圓錐的軸截面的半頂角

（即圓錐的母線與軸的形成的角）為α 0＜α＜ ?π ?2 ??， 在圓錐內放半徑分別為r、R（R＞r）的兩個球與圓錐的側面、截面相切，兩個球分別與截面相切于點F 1，F(xiàn) 2，則求所得的截口曲線（截面與圓錐側面的交線）的離心率.

解析 ：在截口曲線上任取一點P，過P作圓錐的母線，分別與兩個球相切于點E、F，由相切的幾何性質可知，PE=PF 1，PF=PF 2，PE+PF=PF 1+PF 2=EF，為橢圓的定義. 如圖1.2，設兩球的球心分別為O 1、O 2，圓錐頂點為A，取兩球與圓錐同一母線上的切點B、C，連接O 1B、O 2C、O 1F 1、O 2F 2，連接O 2A交F 1F 2于M，設∠CAO 2=α，兩個球的半徑分別為r、R.

由題意可知， tan ?α= r AB = R AC ，BC=AC-AB= R-r ?tan ?α ，

sin ?α= r AO 1 = R AO 2 ，O 1O 2=AO 2-AO 1= R-r ?sin ?α ，

又 ?r R = O 1M O 2M ，

O 1M+O 2M=O 1O 2， 解得 O 1M= r ?sin ?α · R-r R+r ，

O 2M= R ?sin ?α · R-r R+r ，

在直角△O 1F 1M和△O 2F 2M中，

MF 2= O 2M2-R2 = ??R ?sin ?α · R-r R+r ?2-R2 = R ?sin ?α ???R-r R+r ?2- sin 2 α ，MF 1= r ?sin ?α ???R-r R+r ?2- sin 2 α ?，

則MF 1+MF 2= 1 ?sin ?α ?（R-r）2-（R+r）2 sin 2 α ，

故該橢圓的離心率e= c a = MF 1+MF 2 BC = 1 ?cos ?α · 1- sin 2 α ?R+r R-r ?2 .（1）

探究1.2： ?如圖1.2所示，圓錐的軸截面的半頂角為α 0＜α＜ ?π ?2 ?，截面與圓錐的軸形成的角為β 0＜β＜ ?π ?2 ?，求截口曲線的離心率.

解： 不妨設β＞α，在直角△O 2F 2M中，∠F 2MO 2=β，

tan ?β= R MF 2 = R ?R ?sin ?α ???R-r R+r ?2- sin 2 α ?，

化簡，得 ?R-r R+r ?2= sin 2 α+ ?sin 2 α ?tan 2 β = ?sin 2 α ?sin 2 β ?，代入上式（1），

所以離心率e= 1 ?cos ?α · 1- sin 2 α ?R+r R-r ?2 = 1 ?cos ?α · 1- sin 2 α ?sin 2 β ?sin 2 α ?= ?cos ?β ?cos ?α .

由此可以得到：當β＞α ，截口曲線為橢圓；當β=α，截口曲線線為拋物線；當β＜α，截口曲線為雙曲線.

探究1.3： ?如圖1.3.1所示，圓柱的半徑為r ，截面與圓柱的軸形成的角為β 0＜β＜ ?π ?2 ?，在圓柱內放半徑為r的兩個球與圓柱的側面、截面相切，兩個球分別與截面相切于點F 1，F(xiàn) 2，求截口曲線的離心率.

解析： 在截面曲線上任取一點P，過P作圓柱的母線，分別與兩個球相切于點B、F，由相切的幾何性質可知，PB=PF 1，PF=PF 2，PB+PF=PF 1+PF 2=EF，為橢圓的定義 .設兩球的球心分別為O 1、O 2，取兩球與圓柱同一母線上的切點B、E，連接O 1F 1、O 2F 2，連接O 1O 2交F 1F 2于M，連接F 1F 2交橢圓于C、D，連接BE交橢圓于點P，可知∠O 1MF 1=β，兩個球的半徑為r. 由題意可知PB=PF 1，PE=PF 2，PB+PE=PF 1+PF 2=BE=O 1O 2=2a=CD，可知 Rt △O 1MF 1≌ Rt △O 2MF 2，則 MO 1=MO 2，a= 1 2 O 1O 2=MO 1 ，c=MF 1=MO 1· cos ?β=a· cos ?β ，所以該橢圓的離心率是e= cos ?β .又MO 12-MF2 ?1=a2-c2=r2=b2，該橢圓的半短軸長為球的半徑.

2.2 短軸

探究2： ?如圖2.1所示，在圓錐內放半徑分別為r、R（R＞r）的兩個球與圓錐的側面、截面相切，兩個球分別與截面相切于點F 1，F(xiàn) 2，則求截口曲線為橢圓的半短軸長.

解析 ：由題可知EO 1，EO 2 分別是∠BEF，∠CEF的角平分線，則∠O 1EF+∠O 2EF= ?π ?2 ，所以 Rt △EF 2O 2∽ Rt △O 1F 1E，則 EF 1 O 2F 2 = O 1F 1 EF 2 ，設橢圓長半軸為a，半焦距長為c，則 a+c R = r a-c ，即Rr=a2-c2=b2，即橢圓的半短軸長為兩個球的半徑的等比中項.

2.3 準線

探究3： ?如圖3.1所示，圓錐的軸截面的半頂角（即圓錐的母線與軸的形成的角）為α 0＜α＜ ?π ?2 ?，截面與圓錐的軸形成的角為β 0＜β＜ ?π ?2 ?，求截口曲線為橢圓的準線.

解析 ：如圖3.1，設上面的 Dandelin 球與圓錐的交線為圓S，記圓S所在的平面 π 為與截面 π ′的交線為l.在橢圓上任取一點P，連接PF 1.在截面 π ′中過點P做l的垂線，垂足為B.過P平面 π 的垂線，垂足為D，連接BD，則BD是PB在平面 π 上的投影.

易證∠PBD是平面 π 為與截面 π ′所成的二面角的平面角，且∠PBD=β，在 Rt △PBD中，PD=PB· cos ?β.（2）

過P的母線與圓S交于點C，

則在 Rt △PCD中，∠CPD=α，PD=PC· cos ?α=PF 1· cos ?α，（3）

所以PD=PB· cos ?β=PF 1· cos ?α， PF 1 PB = ?cos ?β ?cos ?α ，

由探究1.2可知， PF 1 PB = ?cos ?β ?cos ?α =e，即l為橢圓的準線.

4 應用

4.1 ?一個半徑為r的球放在桌面上，有一個點光源A，點光源形成的圓錐的軸截面的半頂角為α 0＜α＜ ?π ?2 ?，點光源A與球心的連線與桌面的夾角為β 0＜β＜ ?π ?2 ?，則球在桌面上的投影是什么形狀？離心率是多少？

解析 ：由探究1.2可知，球在桌面上的投影是橢圓，離心率為e= ?cos ?β ?cos ?α .

4.2 ?一個半徑為r的球放在桌面上，一束平行光線與桌面成β 0＜β＜ ?π ?2 ?，則球在桌面上的投影是什么形狀？離心率是多少？

解析 ：由探究1.3可知，投影是橢圓，離心率是e= cos ?β，可見離心率與球的半徑無關.

3 結束語

利用 Dandelin 雙球探究橢圓的性質，這就是一個“好的問題”. 一方面讓學生感受到利用 Dandelin 雙球這個數(shù)學模型解決問題的巧妙和簡潔，另一方面也讓學生感受到數(shù)學發(fā)現(xiàn)的不易.正如數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）所提倡的“數(shù)學學科核心素養(yǎng)是在數(shù)學學習和應用的過程中逐步形成和發(fā)展的”，我們要用好的問題“引導學生感悟數(shù)學的科學價值、應用價值、文化價值和審美價值.”［5］

參考文獻：

［1］ 人民教育出版社課程教材研究所.普通高中教科書A版數(shù)學選擇性必修第一冊［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］ 單墫.普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學選修2 1［M］. 南京：江蘇鳳凰教育出版社，2012.

［3］ 《數(shù)學辭海》編輯委員會．數(shù)學辭海（第六卷）［M］.太原：山西教育出版社，2002.

［4］［5］ 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［6］ 昌明.Dandelin雙球之問［J］.數(shù)學通報，2018，57（2）.