嘗試教學(xué)研究新路徑　踐行數(shù)學(xué)教育新要求

【摘 要】為進(jìn)一步改進(jìn)和提高數(shù)學(xué)教育教學(xué)質(zhì)量，新課標(biāo)指明了方向，新教材提供了示范，但在一線的實(shí)際教學(xué)中與國(guó)家的要求還存在著一定的距離.通過(guò)課堂轉(zhuǎn)型，作業(yè)創(chuàng)新研究，重視數(shù)學(xué)語(yǔ)言教學(xué)等途徑，進(jìn)行嘗試與實(shí)踐，不斷達(dá)成或提高教學(xué)效果.

【關(guān)鍵詞】研究性學(xué)習(xí)課堂;作業(yè)多樣化;數(shù)學(xué)語(yǔ)言教學(xué)

培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，已成為目前數(shù)學(xué)教育教學(xué)的首要任務(wù).但是在有關(guān)培訓(xùn)的講座中，聽(tīng)到最多的還是一些“新說(shuō)法”；在有關(guān)新著作、有的中學(xué)數(shù)學(xué)期刊文章中，看到的是一些“晦澀難懂”的指教；在教學(xué)一線的實(shí)踐中，“標(biāo)語(yǔ)、口號(hào)”不少，實(shí)際做的卻不盡人意或是另外一回事.

當(dāng)下越來(lái)越多的老師正在成為別人研究成果的消費(fèi)者或模仿者，拿來(lái)主義者，而非產(chǎn)品的生產(chǎn)者.如與外地區(qū)學(xué)校聯(lián)考就是其中一例，外地的試卷是其階段性針對(duì)該地區(qū)的學(xué)生實(shí)際而命制的，而并非針對(duì)我們的學(xué)生實(shí)際.雖然本不想這樣做，但如果不嘗試實(shí)踐教學(xué)研究新路徑又能怎么樣呢？此方法不靈了，再想個(gè)新辦法.我們總是在不斷提口號(hào)、訂制度、搞活動(dòng)中前進(jìn).

新課標(biāo)、新教材、新高考呼喚新教學(xué)，我們要做教學(xué)變革的踐行者.教師要與時(shí)俱進(jìn)，但也不要指望觀摩一節(jié)課、聽(tīng)一次講座、參加一個(gè)教研活動(dòng)、讀幾篇教研文章就會(huì)使自己的教科研水平一下子提高多少.而首先要靜下心來(lái)研究備好每一節(jié)課，上好每一天的課，改好每一次的作業(yè)，再是記下自己覺(jué)得有益的事、問(wèn)題以及處理問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想方法等，不斷實(shí)踐，日積月累.

嘗試研究新途徑，本人也沒(méi)有什么特別與眾不同的做法，事實(shí)上多年來(lái)的實(shí)踐證明也不會(huì)有什么“高效、奇效”的方法，如果有那也是曇花一現(xiàn).只是在繼承我國(guó)傳統(tǒng)的因材施教、啟發(fā)式教學(xué)上“依標(biāo)施教”“交流式”教學(xué)，側(cè)重于教與學(xué)的某個(gè)方面做了一點(diǎn)思考和實(shí)踐.

1 努力將課堂轉(zhuǎn)型為師生共同參與探討研究性學(xué)習(xí)的新型課堂

北師大顧明遠(yuǎn)教授指出，教育的本質(zhì)在某種意義上來(lái)講就是培養(yǎng)學(xué)生的思維，而課堂是培養(yǎng)學(xué)生思維的最好場(chǎng)所.培養(yǎng)學(xué)生思維，提高教育質(zhì)量，從課堂教育入手.教學(xué)的主陣地在課堂，我們要努力將課堂轉(zhuǎn)型成研究性學(xué)習(xí)的課堂，與學(xué)生同步分析、思考、探索，守正創(chuàng)新.這就需要對(duì)教學(xué)內(nèi)容的呈現(xiàn)方式和課堂結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)進(jìn)行新的嘗試和實(shí)踐，減少有套路、老問(wèn)題的分析講解，多增加一些研究性學(xué)習(xí)問(wèn)題的討論，增加課堂教學(xué)的“開(kāi)放度”，少“習(xí)題化”課堂.

如專題或微專題是研究性學(xué)習(xí)課堂的常見(jiàn)教學(xué)設(shè)計(jì)：（1）數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)方面如空間想象的設(shè)計(jì)；（2）數(shù)學(xué)思想方法方面如類比的設(shè)計(jì)；（3）數(shù)學(xué)基本技能方面如問(wèn)題串（問(wèn)題鏈）的設(shè)計(jì)；（4）數(shù)學(xué)思維能力方面如概念教學(xué)的設(shè)計(jì)等.這當(dāng)中有交集，僅是聚焦于某個(gè)方面.

案例1（1） 正弦定理的引入（片段1：“退而求其次”）［1］.

下面的問(wèn)題盡量讓學(xué)生說(shuō)或?qū)懀ㄔ诤诎遄笥覍?duì)應(yīng)圖形下方分別板書(shū)）.

邊角關(guān)系（探索）：任何三角形中：C>Ac>a，b<cB<C（大角對(duì)大邊，小邊對(duì)小角）.

直角三角形中： sinA=a/c，sinB=b/c，sinC=1=c/c（或?qū)懗蒩=csinA，b=csinB）.

cosA=b/c，cosB=a/c，cosC=0．tanA=a/b，tanB=b/a（鼓勵(lì)學(xué)生，充分地讓學(xué)生說(shuō)、寫(xiě)）.

注 課前不要求學(xué)生預(yù)習(xí)，課上也不允許學(xué)生翻看教科書(shū)（在蘇教版新教材中也沒(méi)有上述內(nèi)容）．老師接著在黑板右邊斜三角形（圖1）的下方寫(xiě)上一個(gè)醒目的“？”（觸及課題）．

教師提出問(wèn)題：直角三角形中邊角關(guān)系的結(jié)論在斜三角形中都不能直接的成立，那么能否退而求其次，其中間接的關(guān)系有成立的嗎？如從sinA=a/c，sinB=b/c，能得出a/sinA=b/sinB，即asinB=bsinA等等？自然過(guò)渡，引出正弦定理.

設(shè)問(wèn)（循序漸進(jìn)）：在圖1中能找到asinB，bsinA；csinB，bsinC的幾何意義嗎？讓學(xué)生思考并上黑板嘗試畫(huà)出（添加輔助線——高線）．這里教學(xué)重點(diǎn)得到了體現(xiàn)，難點(diǎn)得到了突破．

（片段2：“向量實(shí)數(shù)化”）

我們知道要使向量a=OA“變成”實(shí)數(shù)，可以通過(guò)數(shù)量積“自乘”a2=OA2∈R，或者“它乘”a·j=OA·j∈R來(lái)實(shí)現(xiàn).

在△ABC中，因?yàn)锳B=AC+CB，所以

①AB2=（AC+CB）2，展開(kāi)即得余弦定理c2=a2+b2－2abcosC；

②AB2=AC·AB+CB·AB，得c2=bccosA+accosB，即射影定理c=bcosA+acosB；

③若j是與AB平行的單位向量，則AB·j=AC·j+CB·j，即c=bcosA+acosB；

若j是與AB垂直的單位向量，則由AB·j=AC·j+CB·j，可得0=bcos（90°－A）+acos（90°+B），0=bsinA－asinB，即正弦定理a/sinA=b/sinB；

若j是滿足〈AB，j〉=θ的單位向量，則可得ccosθ=bcos（A+θ）+acos（B－θ）.上述分別是θ=0或θ=π，和θ=π/2的特殊情形.

案例1（2） 異面直線所成角的定義（片段）［2］.

在圖2中，我們知道AB與A1D1，AB與A1C1都是異面直線，再用兩根棒針在空中旋轉(zhuǎn)演示，試問(wèn)它們?cè)诳臻g的位置有什么區(qū)別呢？如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言合情合理地刻畫(huà)（度量）不同位置情形的兩條異面直線呢？能否類比初中相交直線進(jìn)行描述？自然引出兩條異面直線a與b所成的“角”的概念．

讓我們用聯(lián)系運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)，來(lái)研究圖3中兩個(gè)圖．?dāng)?shù)學(xué)本質(zhì)往往沒(méi)有寫(xiě)在教材上，需要我們自己去體會(huì)和領(lǐng)悟．將兩條異面直線“回歸”（平移）共面，滲透空間問(wèn)題平面化的思想，再用平面幾何知識(shí)刻畫(huà)度量（這比教材中從空間任取一點(diǎn)O，引兩條異面直線的平行線定義來(lái)的自然）：

（1）由等角定理可知，角的大小與O點(diǎn)的位置選擇無(wú)關(guān)．為了方便，通常將O點(diǎn)取在其中一條直線上（如有關(guān)線段的中點(diǎn)、端點(diǎn)等）；（2）如果所成的角為90°，則稱異面直線a與b垂直，記作a⊥b，并且得到一個(gè)很常用的結(jié)論：a⊥b，b∥ca⊥c；（3）兩條異面直線所成角的范圍為0，π/2．

案例2 函數(shù)單調(diào)性的呈現(xiàn)方式與拓展應(yīng)用.

定義：設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)锳，區(qū)間IA.如果對(duì)于區(qū)間I內(nèi)的任意兩個(gè)值x1，x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f（x1）<（>）f（x2），那么稱y=f（x）在區(qū)間I上單調(diào)遞增（減），I稱為y=f（x）的增（減）區(qū)間.

2 從課堂研究到作業(yè)研究，彰顯作業(yè)的作用，放大作業(yè)的功能

經(jīng)典的課堂案例我們欣賞、學(xué)習(xí)、研討過(guò)不少，但是作為教與學(xué)之間不可缺少的重要紐帶——作業(yè)，長(zhǎng)期以來(lái)卻被“遺忘”一邊，重視、研究、利用的程度不夠.如今在新課程、“雙減”背景下得以彰顯，它的功能與力量逐漸放大.

目前數(shù)學(xué)作業(yè)存在的問(wèn)題：作業(yè)的隨意性太大，缺乏目標(biāo)意識(shí)；作業(yè)脫離學(xué)情，不注意難度或難易把握不??；作業(yè)沒(méi)有試做的習(xí)慣，更不去認(rèn)真推敲；作業(yè)缺乏改編創(chuàng)新，抄襲陳題；作業(yè)不能及時(shí)批閱、反饋（糾正）和鞏固等．

嘗試有效的改進(jìn)方法，本人也沒(méi)有什么特別與眾不同的做法，只是在傳統(tǒng)做法的基礎(chǔ)上做了一點(diǎn)改良．布置一些課堂上與學(xué)生一起學(xué)習(xí)、共同研究或探索過(guò)的問(wèn)題（主要是例題、練習(xí)題等）的改編題、引申題等．盡可能體現(xiàn)一定的層次性，盡量少一刀切．根據(jù)教學(xué)內(nèi)容及課堂教學(xué)的實(shí)際，作業(yè)的布置靈活多樣．

在課后讓學(xué)生做什么樣的習(xí)題，做多少才能達(dá)到“精煉高效”上本人傾注了很多時(shí)間．凡交給學(xué)生練的都事先做一遍，將不適當(dāng)?shù)牧?xí)題（比較偏、怪、難、繁的，陳舊的、重復(fù)的、以后做簡(jiǎn)便的等）毫不猶豫的刪掉，教師不事先做一遍是體會(huì)不到的．

案例5 （1）去掉本節(jié)課學(xué)案后面作業(yè)［3］（或配套資料××頁(yè)練習(xí)）中的××條、××條（以減輕學(xué)生的課業(yè)負(fù)擔(dān)）；（2）將某一題的某個(gè)條件或某一題的某一小問(wèn)改為……，或?qū)⒄n上講的某一問(wèn)題再增加一小問(wèn)……；（3）有時(shí)會(huì)根據(jù)課堂觀察、基于課堂真實(shí)的學(xué)情，將課堂上的例題或課本上典型的習(xí)題或優(yōu)秀的高考試題進(jìn)行改編等，另外適當(dāng)補(bǔ)充一兩條；

（4）概念多的課或?qū)嵺`性、內(nèi)容研究性較強(qiáng)的課就要求交一自選作業(yè)或數(shù)學(xué)小文章，如建議學(xué)生通過(guò)學(xué)校圖書(shū)館查閱有關(guān)資料摘抄或上網(wǎng)下載與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的信息整理等．現(xiàn)實(shí)一點(diǎn)，學(xué)生能夠做到．

盡量做到少留作業(yè)，難度根據(jù)學(xué)生的反映不斷變化，學(xué)生很喜歡，每次布置練習(xí)時(shí)，他們都會(huì)熱切的期待．我們要做一名“作業(yè)設(shè)計(jì)師”，提供一些值得同行相互學(xué)習(xí)、借鑒和推廣的“作業(yè)范例”，如研究如何設(shè)計(jì)情境題、開(kāi)放性探索性試題、數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)不良試題、糾錯(cuò)題，或是課堂問(wèn)題的延續(xù)等等，每周盡可能高質(zhì)量地設(shè)計(jì)1-2次．

案例6 “直線與方程”的一次作業(yè)：判斷下列命題真假，如果是假命題，說(shuō)明理由.

1．平面上任意一條直線都既有傾斜角α，又有斜率k．

2．若兩條直線的傾斜角相等，則它們的斜率相等；反之，若兩條直線的斜率相等，則它們的傾斜角相等．

3．經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1（－2，a）與P2（b，3）連線的斜率k=3－a/b+2．

4．直線xsinθ－ycosθ+1=0的傾斜角為θ．

5．直線l過(guò)點(diǎn)P（1，3）且到點(diǎn)Q（2，1）的距離為1，則l的方程為3x+4y－15=0．

6．已知集合A=（x，y）y－3/x－2=4－3/3－2，B={（x，y）|y=x+1}，則A=B．

7．過(guò)點(diǎn)（4，3）且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的方程是x+y－7=0．

8．直線l1：（a+2）x+（1－a）y－3=0與l2：（a－1）x+y+2=0垂直的充要條件是a=-1.

9．設(shè)直線l的方程為（m2－2m－3）x+（2m2+m－1）y－2m+6=0（m≠－1），

坐標(biāo)原點(diǎn)到直線（a2+1）x+y-a2=0的距離的取值范圍是［1，2］.

10．因?yàn)辄c(diǎn)（x0，y0）關(guān)于直線y=x+m的對(duì)稱點(diǎn)為（y0－m，x0+m）；同樣可求證點(diǎn)（x0，y0）關(guān)于直線y=－x+n的對(duì)稱點(diǎn)為（－y0+n，－x0+n）．所以點(diǎn)（－2，3）關(guān)于直線y=2x－1的對(duì)稱點(diǎn)為（2，－5）．

案例7（探究） 人教版新教材：構(gòu)造其它可用解析式y(tǒng)=x（10－x）描述其中變量關(guān)系的問(wèn)題情境.

蘇教版新教材：已知一個(gè)函數(shù)的解析式為y=x2，它的值域?yàn)椋?，4］，這樣的函數(shù)有多少個(gè)？試寫(xiě)出其中兩個(gè)函數(shù).

人教版、蘇教版新教材：設(shè)a，b是給定實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)锳.x∈A，都有（1）f（a－x）=f（a+x）；（2）f（2a－x）+f（x）=2b.問(wèn)此函數(shù)的圖象分別具有怎樣的對(duì)稱性？說(shuō)明理由.

作業(yè)既是一次教學(xué)全流程的終結(jié)性環(huán)節(jié)，也是不可缺少的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，更是實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)的“最后一公里”.由于作業(yè)是完整課堂的有機(jī)組成部分，所以作業(yè)研究可以被視為課堂研究的延伸、拓展和深化，是課堂研究新的拓展點(diǎn)、深化點(diǎn)和生長(zhǎng)點(diǎn).如，利用作業(yè)案例導(dǎo)入新課是一個(gè)非常棒的做法.

為了取得實(shí)效，還要充分利用、有效使用現(xiàn)代信息技術(shù)工具，它和作業(yè)設(shè)計(jì)與實(shí)施有關(guān)，尤其是服務(wù)于作業(yè)布置、批改與評(píng)價(jià)，也是提供典型范例的現(xiàn)實(shí)需求.3 重視數(shù)學(xué)語(yǔ)言教學(xué)，加強(qiáng)數(shù)學(xué)文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖表語(yǔ)言間的轉(zhuǎn)化訓(xùn)練數(shù)學(xué)語(yǔ)言具有準(zhǔn)確性、簡(jiǎn)約性、應(yīng)用廣泛性等特點(diǎn)，從形式上可分為文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言和圖表語(yǔ)言三類，并具有表達(dá)功能、應(yīng)用功能和思維功能.數(shù)學(xué)語(yǔ)言既是數(shù)學(xué)思維的載體，又是數(shù)學(xué)思維的具體體現(xiàn).斯托利亞爾提出：“數(shù)學(xué)教學(xué)也就是數(shù)學(xué)語(yǔ)言教學(xué).”［4］能否運(yùn)用恰當(dāng)、準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言有邏輯地表達(dá)、交流，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的高低．學(xué)會(huì)正確、合理地使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一項(xiàng)基本而重要的任務(wù).

目前中學(xué)生在“讀、說(shuō)、寫(xiě)、畫(huà)”數(shù)學(xué)方面的能力表現(xiàn)欠佳，從教學(xué)實(shí)際情況看，數(shù)學(xué)語(yǔ)言的教學(xué)還存在種種問(wèn)題：書(shū)寫(xiě)較隨意，表述不規(guī)范，意義不了解，思維不嚴(yán)謹(jǐn)，轉(zhuǎn)換不靈活；從重視程度看，師生為了應(yīng)試中、高考，在數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)訓(xùn)練上認(rèn)為不值得花功夫等．

在義務(wù)教育和普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中，凝練提出的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象（基于初中生實(shí)際，這一素養(yǎng)在義務(wù)課標(biāo)中要求低、不明顯）、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析，以及數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平質(zhì)量中雖然沒(méi)有明確提出“數(shù)學(xué)語(yǔ)言教學(xué)”，但在每個(gè)核心素養(yǎng)給出的詳細(xì)具體表述中，幾乎都有“數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)”的教學(xué)要求（多達(dá)十多處）：

“用數(shù)學(xué)語(yǔ)言對(duì)數(shù)學(xué)抽象予以表征”“提出命題，探索和表述論證過(guò)程，有邏輯地表達(dá)與交流；增強(qiáng)交流能力”“用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題．學(xué)生能有意識(shí)地用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”“利用幾何圖形描述問(wèn)題”“規(guī)范化思考問(wèn)題”“基于數(shù)據(jù)表達(dá)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題”．在高中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平質(zhì)量中有關(guān)數(shù)學(xué)表達(dá)的描述也是非常多且詳細(xì)的．如其中思維與表達(dá)——表達(dá)的嚴(yán)謹(jǐn)性和準(zhǔn)確性；交流與反思——能夠用數(shù)學(xué)語(yǔ)言直觀地解釋和交流．

人教版、蘇教版新教材均有體現(xiàn)，比如閱讀、鏈接等，但還不夠凸顯，可以充分利用學(xué)校圖書(shū)館資源，發(fā)揮圖書(shū)館的育人功能．本人從中提出了“數(shù)學(xué)語(yǔ)言教學(xué)”，要重視中學(xué)數(shù)學(xué)語(yǔ)言教學(xué)的觀點(diǎn)，使數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落實(shí)有了一個(gè)很好的抓手（獲得2021年江蘇省教學(xué)成果二等獎(jiǎng)）.

將圖形語(yǔ)言（首先要能識(shí)別）表示成符號(hào)語(yǔ)言（函數(shù)式），再轉(zhuǎn)化為文字語(yǔ)言（用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)客觀世界）.這才真正體現(xiàn)課標(biāo)的要求，體現(xiàn)教書(shū)育人的宗旨.

要根據(jù)不同的數(shù)學(xué)語(yǔ)言形式采取不同的教學(xué)策略，打好數(shù)學(xué)語(yǔ)言基本功.常見(jiàn)的文字、符號(hào)、圖表三種形式的數(shù)學(xué)語(yǔ)言的學(xué)習(xí)是相互制約又相輔相成的，文字語(yǔ)言是基礎(chǔ)，符號(hào)語(yǔ)言是抽象的，圖表語(yǔ)言是直觀的.加強(qiáng)數(shù)學(xué)閱讀，提高數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)能力.突破狹隘的數(shù)學(xué)語(yǔ)言能力培養(yǎng)觀，重視數(shù)學(xué)模型意識(shí)培養(yǎng).

引導(dǎo)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界.學(xué)生才能夠具備適應(yīng)其終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的關(guān)鍵能力（能使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言）、必備品格（習(xí)慣正確的使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言）和價(jià)值觀念（堅(jiān)持把數(shù)學(xué)語(yǔ)言使用規(guī)范靈活）．才能培養(yǎng)出有責(zé)任擔(dān)當(dāng)、造福國(guó)家、服務(wù)社會(huì)高素質(zhì)的科研型人才．

參考文獻(xiàn)

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［3］黃桂君．高中數(shù)學(xué)作業(yè)現(xiàn)狀及其改進(jìn)的嘗試．中學(xué)數(shù)學(xué)雜志（高中）［J］.2011（09）：5.

［4］黃桂君，王新珍．要重視學(xué)生數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)的教學(xué)［J］．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)通訊，2019（04下旬）：10.

作者簡(jiǎn)介 黃桂君（1964—），男，江蘇省特級(jí)教師，中學(xué)正高級(jí)教師，連續(xù)3次獲得江蘇省教學(xué)成果獎(jiǎng)二等獎(jiǎng)、江蘇省教育科學(xué)優(yōu)秀成果三等獎(jiǎng)一項(xiàng)；個(gè)人教學(xué)思想入選蘇派著名特級(jí)教師教學(xué)思想錄，“江蘇人民教育家培養(yǎng)工程”首批培養(yǎng)對(duì)象，第八屆“蘇步青數(shù)學(xué)教育獎(jiǎng)”獲得者，“全國(guó)優(yōu)秀教師”等．