DC-DC 降壓變換器的固定時間變增益二階滑模

陸佳州，戴遼軒，張國勝，胡銀龍，石尚，2

（1. 河海大學(xué)能源與電氣學(xué)院，南京 211100；2. 東南大學(xué)自動化學(xué)院，南京 234299）

0 引言

由于具有高效率、小尺寸、高穩(wěn)定性等優(yōu)點，DC-DC 變換器已廣泛應(yīng)用于直流電機(jī)驅(qū)動、計算機(jī)系統(tǒng)、通信設(shè)備和其他工業(yè)系統(tǒng)［1-2］。DC-DC 變換器作為基礎(chǔ)單元電路廣泛應(yīng)用于各類電力電子設(shè)備，其穩(wěn)定性對電力電子設(shè)備在一些高科技行業(yè)的應(yīng)用起著至關(guān)重要的作用，其中DC-DC 降壓變換器是最重要的開關(guān)變換器之一。隨著新應(yīng)用的不斷發(fā)展，DC-DC 降壓變換器對動態(tài)響應(yīng)速度和穩(wěn)定性精度的要求越來越高。因此，以實現(xiàn)DC-DC 降壓變換器輸出電壓精確調(diào)節(jié)為目標(biāo)，選擇最優(yōu)的控制方法顯得尤其重要。

線性平均數(shù)學(xué)模型常被用于DC-DC 變換器的控制設(shè)計問題，因此PID 控制被廣泛運用［3-4］，但是PID 控制器無法消除由不確定性和外部擾動等構(gòu)成的集總干擾的影響。因此，非線性控制策略給帶有集總干擾的DC-DC 降壓變換器帶來了新的解決思路。針對這一主題，相關(guān)研究者已經(jīng)提出了許多新穎控制方法，如基于觀測器的控制［5］、自適應(yīng)控制［6］和魯棒控制［7］等。近年來，滑模控制（sliding mode control，SMC）因具有魯棒性好和物理實現(xiàn)簡單等優(yōu)點，被廣泛用于降壓控制，并產(chǎn)生大量積極成果［8-9］。文獻(xiàn)［9］介紹了DC-DC 降壓變換器滑?？刂破鞯囊话阍O(shè)計思路。隨后，在文獻(xiàn)［10］中，研究者提出了一種通過選擇滑模系數(shù)來進(jìn)行有效控制的簡單方法，以確保所設(shè)計的控制器也是最優(yōu)的。應(yīng)該注意的是，上述的所有SMC 控制器可能會遇到兩個問題：一個問題是滑模變量的相對階必須等于1，這大大限制了滑模面的選取；而第二個問題是由不連續(xù)項引起的抖振問題，這限制了它的實際應(yīng)用范圍。二階滑模（second order slide mode，SOSM）技術(shù)已被廣泛用于解決這兩個問題［11］。作為最簡單的SOSM 算法之一，文獻(xiàn)［12］提出的twisting 控制器只需要狀態(tài)變量的符號進(jìn)行反饋，其中仿真結(jié)果表明，這種SOSM 控制方法可以顯著減少抖振問題。在文獻(xiàn)［13］中，針對DC-DC 降壓變換器，提出了次優(yōu)SOSM 控制器。文獻(xiàn)［14］中，學(xué)者通過幾何方法為DC-DC 降壓變換電路提出了SOSM控制器。

以上許多控制方法都屬于有限時間控制，系統(tǒng)收斂時間受到初始條件的嚴(yán)重制約，并且當(dāng)初始條件趨于無窮大時將無限增長［15］。為了解決這個限制條件，固定時間收斂現(xiàn)象在文獻(xiàn)［16］中首次發(fā)現(xiàn)并在之后得到不斷發(fā)展［17-18］。近年來，固定時間控制在DC-DC 變換器中的應(yīng)用也逐漸得到學(xué)者們的關(guān)注，但與有限時間控制相比，相關(guān)成果還不是很多。在文獻(xiàn)［19］中，作者針對參數(shù)已知和未知兩種情況下的DC-DC 升壓-降壓和降壓變換器電路提出了固定時間控制算法。在文獻(xiàn)［20］中，作者針對存在參數(shù)不確定、輸入電壓波動以及負(fù)載變化等未知動態(tài)的降壓型變換器系統(tǒng)提出一種基于未知系統(tǒng)動態(tài)估計器的快速固定時間控制方法。然而，文獻(xiàn)［19-20］均未考慮外部干擾對系統(tǒng)的影響，且當(dāng)系統(tǒng)具有未知參數(shù)時，收斂誤差只能到原點的鄰域內(nèi)。在最近的文獻(xiàn)［21］中，研究者引入干擾和參數(shù)誤差，針對降壓電路系統(tǒng)設(shè)計了基于固定非奇異終端滑?？刂频碾妷赫{(diào)解算法?？梢园l(fā)現(xiàn)，文獻(xiàn)［21］中的算法也僅能讓系統(tǒng)收斂在原點的鄰域內(nèi)，但是必須保證干擾具有一個已知的常數(shù)上界。然而在實際的降壓電路中系統(tǒng)的集總干擾包含了未建模動態(tài)、內(nèi)部外部擾動等，是依賴于與系統(tǒng)的狀態(tài)的，其上界也將隨狀態(tài)的變化而變化。因此，常數(shù)上界假設(shè)僅能在局部條件下成立，將常數(shù)上界假設(shè)推廣至函數(shù)上界更為合理。目前擾動由函數(shù)條件限定下降壓電路的固定時間輸出調(diào)節(jié)問題尚未解決。

基于以上分析，本文針對擾動由函數(shù)條件限定下的DC-DC 降壓電路系統(tǒng)，設(shè)計了一種新型變增益SOSM 控制的輸出電壓調(diào)節(jié)算法。本文的優(yōu)勢主要有兩個方面。

1） DC-DC 降壓電路的傳統(tǒng)控制方法許多都是誤差有限時間收斂，收斂時間受初始條件影響［12-14］。不同于其他算法，本文所提出的方法可以實現(xiàn)固定時間收斂，收斂時間不依賴于系統(tǒng)初始條件，因此具有更廣泛的應(yīng)用。

2） 現(xiàn)有DC-DC 降壓電路的固定時間控制［19-21］僅能保證輸出誤差在固定時間內(nèi)收斂到原點的鄰域，且所考慮的干擾具有一個已知的常數(shù)上界。本文首次在將常數(shù)上界推廣至函數(shù)上界的前提下，設(shè)計變增益SOSM 算法，確保輸出誤差能在固定時間內(nèi)精確收斂到0。

1 系統(tǒng)建模與預(yù)備知識

1.1 DC-DC降壓變換器建模

如圖1 所示為DC-DC 降壓變換器系統(tǒng)原理圖。其中Vin為輸入電壓源，S 為半導(dǎo)體開關(guān)，D 為二極管，C和L分別為濾波電容和電感，R為負(fù)載電阻。

圖1 DC-DC 降壓變換器系統(tǒng)原理圖Fig.1 Schematic diagram of DC-DC buck converter system

DC-DC 降壓變換器可以用平均狀態(tài)空間方程表示為：

式中：V0為負(fù)載電阻R的輸出電壓；Vin為輸入電壓；iL為電感L的電流；μ為PWM 的控制信號；C為電容值。但在實際情況下，變換器的參數(shù)存在一定誤差，存在不確定性。此外，外部干擾也會對模型產(chǎn)生影響。本文以電感參數(shù)不確定和外部干擾為誤差，因此將狀態(tài)空間方程改寫為：

式中：ΔL為L誤差值；d(t)為有界干擾。

本文的設(shè)計目標(biāo)是提出一種電壓調(diào)節(jié)控制器，能夠在參數(shù)不確定和外部干擾的情況下，讓DCDC 降壓變換器的輸出電壓V0在不依賴于系統(tǒng)初值的固定時間內(nèi)精確跟蹤期望參考電壓Vref。

1.2 不等式引理

本節(jié)會介紹3 個不等式引理，為下文具體設(shè)計步驟提供理論依據(jù)。首先，做出定義：xα=|x|αsign(x)，?x，α∈R。

引理1［22］，不等式（3）成立。

式中：x、y為實數(shù)變量；p1和p2為常數(shù)，p1＞0 且0 ＜p2＜1。

引理2［23］不等式（4）成立。

式中：x、y∈R 為實數(shù)變量；c、d＞0 是正常數(shù)；那么對任意給定函數(shù)γ＞0且?x、y∈R。

引理3［24］不等式（5）成立。

式中：?xi∈R，i= 1，…，n為實數(shù)變量，那么對任意實數(shù)p滿足0 ＜p＜1。

1.3 固定時間穩(wěn)定性

考慮如下等式：

式中：x∈Rnx為狀態(tài)向量；x?(t)為狀態(tài)向量的導(dǎo)數(shù)；f：R+× Rnx→Rnx為非線性函數(shù)，且可以是不連續(xù)的。當(dāng)f(t，x)不連續(xù)時，等式（6）的解被稱為Filippov意義下的解［25］。

定義1［15］對于?x0∈Rnx，存在一個固定時間Tmax，且不受系統(tǒng)初值x(t，x0)依賴，使得等式（（6）的解收斂到0 的時間始終在Tmax內(nèi)，即x(t，x0) = 0，?t≥Tmax，那么稱系統(tǒng)（6）在原點是全局固定時間穩(wěn)定的。

引理4［26］考慮等式（6），如果對?x0∈Rnx，存在一個全局徑向無界且正定的C1函數(shù)V(x)，標(biāo)量α，β＞0， 0 ＜p＜1，q＞1， 使 得V?(x)≤-αVp(x)-βVq(x)。由此可知，等式（6）能夠在原點處達(dá)到穩(wěn)定，屬于全局固定時間穩(wěn)定，收斂時間T(x0)滿足：

2 SOSM控制器設(shè)計

文獻(xiàn)［11］闡述了SOSM 的基礎(chǔ)理論，可知設(shè)計SOSM 控制器首先要確定一個滑模變量。定義滑模變量s1=V0-Vref，其中Vref為期望輸出電壓。根據(jù)文獻(xiàn)［11］可得：

式中：滑模變量s2為s1的導(dǎo)數(shù)；s?2為s2的導(dǎo)數(shù)；u為控制器；a和b為平滑函數(shù)，可以表示為：

由文獻(xiàn)［11］可知，傳統(tǒng)的二階滑?？刂仆僭O(shè)不確定項a具有已知的常數(shù)上界。由式（8）可知，a受到iL、V0限制，上界也會受iL、V0的改變而變化。因此，常數(shù)上界只能在局部狀態(tài)空間內(nèi)滿足，從全局的角度來看這一假設(shè)非常嚴(yán)格。因此，本文將采用如下假設(shè)。

假設(shè)1 存在一個常數(shù)-b≥0 和函數(shù)(t，x) ≥0，使得a，b滿足b≥，|a|≤(t，x)。

假設(shè)1 放寬了傳統(tǒng)SOSM 控制中對于不確定函數(shù)a的上界要求，將a的常數(shù)上界aˉ推廣至?xí)r變函數(shù)上界(t，x)。同時，假設(shè)1移除了對不確定函數(shù)b的上界要求。

2.1 主要結(jié)論

在給出主要結(jié)論之前，先選定任意參數(shù)滿足ρ≥a1≥r1＞0，并定義r2=r1+τ，r3=r2+τ，其中τ∈[-，0)。

定理1 以假設(shè)1 的成立為前提，全局固定時間控制器根據(jù)式（10）進(jìn)行設(shè)計。

式中：s1、s2為式（7）給出的滑模變量；(t，x)和由假設(shè)1 給出；、β1(s1)為控制器設(shè)計的變量函數(shù)。

函數(shù)、β1(s1)滿足：

式中：α0＞0，β0＞0 為任意給定正常數(shù)；c1(β0)、c2(s1)、c3(s1)滿足：

閉環(huán)系統(tǒng)式（7）和式（9）滿足全局固定時間穩(wěn)定，收斂時間Tmax滿足：

2.2 穩(wěn)定性分析

本節(jié)將對定理1進(jìn)行嚴(yán)格推導(dǎo)證明。

證明方法可分為3個部分。

1） 第一步：首先，選擇一個C1正定Lyapunov函數(shù)V1(s1)的導(dǎo)數(shù)可以計算為：

式中：是需要設(shè)計的虛擬控制器；s1、s2為式（8）給出的滑模變量；常數(shù)參數(shù)ρ、r1、r2滿足2.1 中條件。定義并且選擇虛擬控制器為：

2） 第二步：選擇Lyapunov函數(shù)

式中常數(shù)參數(shù)ρ、a1、r2、τ滿足2.1 中條件。根據(jù)文獻(xiàn)［27］可知，Lyapunov 函數(shù)V2為C1正定的。定義V2的導(dǎo)數(shù)滿足：

式中：u為控制器；a和b為平滑函數(shù)。

命題1不等式（19）成立

式中：c1(β0)為固定的正常數(shù)；c2(s1)、c3(s1)為正函數(shù)。

將式（19）代入到式（18），可得：

由ξ1和的定義可得：

因此，控制器函數(shù)可以寫成：

因此，將式（22）代入式（21）可得：

因此，V2滿足：

注意到2ρ(2ρ-τ)＜1，對式（23）使用引理3可以得出：

對式（25）使用引理3可得：

由式（23）以及式（26）—（27）可得：

式中η1和η2由定理1 給出。容易證明

根據(jù)引理4 可知，存在固定時間Tmax不依賴于初始狀態(tài)，使得在?t≥Tmax情況下都有V2≡0 ?s1≡s2≡0成立。由此，定理1證明完畢。

文獻(xiàn)［28］已經(jīng)提出了一種變增益固定時間二階滑?？刂扑惴?。一方面，文獻(xiàn)［28］要求未知函數(shù)b的上界已知，因此相比本文所采用的假設(shè)1更為嚴(yán)格。另一方面，文獻(xiàn)［28］中的控制器和本文的也大為不同。本文控制器包含兩個連續(xù)項，而文獻(xiàn)［28］中的控制器只包含一項。在附加連續(xù)項的幫助下，本文控制器中的不連續(xù)項增益函數(shù)只需用來抑制輸入通道不確定項，因此和文獻(xiàn)［28］相比，本文的控制器具有更小的不連續(xù)控制增益，從而有助于進(jìn)一步削弱抖振現(xiàn)象。

由式（17）可知，定理1 中所提控制器的收斂時間是可調(diào)節(jié)的。選擇合適的參數(shù)α0、β0，收斂時間Tmax可以為任意小的值。

3 模擬仿真

為了驗證所提出的SOSM算法的準(zhǔn)確性，通過模擬仿真測試了基于本文控制器的閉環(huán)DC-DC 降壓變換器系統(tǒng)。對DC-DC降壓變換器進(jìn)行參數(shù)設(shè)置如表1所示。為了進(jìn)行仿真，干擾設(shè)置為d(t)=0.1sin(2t)，其上界為dmax= 0.1。根據(jù)定理1，本文設(shè)計的全局固定時間SOSM控制器常數(shù)參數(shù)如表2所示。

表2 可變增益SOSM控制器常數(shù)參數(shù)設(shè)置Tab.2 Parameters settings of variable gain SOSM controller constant

DC-DC 降壓變換器被廣泛應(yīng)用于電力、通信、家電、鐵路交通、工業(yè)控制等領(lǐng)域中。本文所提出的SOSM 算法對于閉環(huán)DC-DC 降壓變換器系統(tǒng)的控制具有普遍適用性，因此在模擬仿真測試中并沒有給出具體的應(yīng)用環(huán)境，而是將變換器常見的故障干擾等問題以外部信號的方式出現(xiàn)在模擬仿真中，以此來辨別本文所提出算法的優(yōu)勢。實際上，不同的應(yīng)用場景意味著系統(tǒng)具有不同的負(fù)載電阻。

根據(jù)表1 與表2 提供的各個參數(shù)，滑模變量為s1=V0- 12，s2=s?1，控制器中(t，x)和分別為：

函數(shù)、的表達(dá)式為：

c1(β0)、c2(s1)、c3(s1)可具體表示為：

因此有：

可得SOSM控制器的具體表達(dá)式為：

基于上述選擇的參數(shù)和函數(shù)，將通過MATLAB軟件來仿真模擬。首先，將本文設(shè)計控制器分別與有限時SOSM 控制器與PID 控制器比較控制效果。根據(jù)文獻(xiàn)［29］，有限時間SOSM控制器設(shè)計為：

式中：滑模變量s=V0-Vref；β1= 10。同時，根據(jù)線性控制理論，PID控制器設(shè)計為：

式中：KP= 13，KI= 100，KD= 0.01。采樣時間設(shè)置為1 ms，初始狀態(tài)選擇為(iL(0)，V0(0))=(0，0)。

本文比較了所提出的可變增益固定時間SOSM控制器、有限時間SOSM 控制器和傳統(tǒng)PID 控制器之間的控制性能。狀態(tài)啟動后，觀察從啟動時間t= 0 s 以后，系統(tǒng)的輸出電壓從0 V 穩(wěn)定到跟蹤參考電壓的瞬態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能，以此來判斷控制器的控制性能。除此之外，考慮到在實際操作中，參考電壓Vref可能不是恒定不變的，可能會需要在運行過程中修改參考電壓Vref。所以在模擬仿真中，在1 s 時將參考電壓Vref進(jìn)行修改，觀察控制器是否能做出應(yīng)對。選取參考電壓Vref滿足式（36）。

仿真結(jié)果如圖2 所示，可變增益固定時間SOSM 控制器、有限時間SOSM 控制器和PID 控制器從啟動到達(dá)到穩(wěn)態(tài)的時間大約在0.15 s、0.18 s和0.26 s。可以明顯發(fā)現(xiàn)可變增益固定時間SOSM控制器不僅響應(yīng)速度快，超調(diào)量也更小，控制性能更強(qiáng)。除此之外，在面對參考電壓Vref陡變時，3類控制器雖然都很快做出響應(yīng)，但從曲線走向可以看出可變增益固定時間SOSM 控制器還是比另外兩種控制方式稍快。在3 類控制器的比較中可以發(fā)現(xiàn)，可變增益固定時間SOSM 控制器不管在正常啟動后還是運行過程中系統(tǒng)參考電壓Vref陡變時，都具有最優(yōu)的瞬態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能。事實上，通過調(diào)整參數(shù)可以稍微改善有限時間SOSM 控制器和PID 控制器的啟動性能，但干擾抑制會變得更糟。

圖2 PID控制器、有限時間SOSM控制和可變增益固定時間SOSM控制器下輸出電壓V0的仿真結(jié)果Fig.2 Simulation results of output voltage V0 under PID controller, finite-time SOSM controller and variable gain fixedtime SOSM controller

考慮在實際應(yīng)用中會因為器件老化等原因存在一定的故障干擾。所以在進(jìn)行模擬仿真時，引入ΔR= 10 Ω 作為系統(tǒng)電阻R故障時產(chǎn)生的誤差，被控對象表達(dá)式改為：

將電阻負(fù)載器件故障擾動前后3 種控制方式下的輸出電壓V0進(jìn)行對比，模擬結(jié)果如圖3 所示。從圖3中可以發(fā)現(xiàn)，在被控對象發(fā)生變化后，ΔR對于3 種控制器都是未知的，所以在t= 1：1.1s時，輸出電壓V0出現(xiàn)明顯的抖動。并且可變增益固定時間SOSM 控制器的抖動幅度明顯低于有限時間SOSM控制器和PID 控制器的抖動幅度。但當(dāng)ΔR消失后，3 種控制器開始恢復(fù)穩(wěn)態(tài)，固定時間的SOSM 控制器的回復(fù)穩(wěn)態(tài)的響應(yīng)時間也比有限時間SOSM 控制器和PID 控制器更短，表明可變增益固定時間SOSM控制器具有更好抗干擾性。

圖3 電阻器件故障擾動前后3種控制方式輸出電壓V0對比Fig.3 Comparison of output voltage V0 of three control modes before and after disturbance of resistance device fault

除此之外，本文在模擬仿真時，還考慮了由于外部干擾導(dǎo)致輸入電壓Vin失效的情況，被控對象表達(dá)式改為：

將輸入電壓Vin失效前后3種控制方式下的輸出電壓V0進(jìn)行對比，模擬結(jié)果如圖4所示。由于在t=1 1.1s時，Vin= 0 V，所以3種控制方式無論怎么迭代都會被抵消為0，無法起到控制作用。因此3種控制方式下的輸出電壓V0在這段時間內(nèi)是基本一致的，都是上下波動并逐漸趨向于收斂到某一個值。但當(dāng)將輸入電壓Vin恢復(fù)正常后，3 種控制方式開始正常工作。從3 條曲線進(jìn)行對比，固定時間的SOSM 控制器的回復(fù)穩(wěn)態(tài)的響應(yīng)時間還是比有限時間SOSM控制器和PID 控制器更短。所以可以得出結(jié)論：可變增益固定時間SOSM控制器具有最佳性能。

圖4 輸入電壓干擾前后3種控制方式輸出電壓V0對比Fig.4 Comparison of output voltage V0 of three control modes before and after input voltage interference

本文還驗證了常數(shù)參數(shù)α0、β0如何影響閉環(huán)系統(tǒng)的收斂。根據(jù)式（17）可知，只保留α0、β0，其余參數(shù)根據(jù)表2進(jìn)行計算，收斂時間Tmax滿足：

當(dāng)保持其中一項不變，則另一項與Tmax呈負(fù)相關(guān)。

相應(yīng)的模擬結(jié)果如圖5—6所示，分別顯示了其他常數(shù)參數(shù)不變只有α0、β0變化的SOSM控制器下輸出電壓和滑動變量S的響應(yīng)曲線。從兩幅圖中可以清楚地觀察到，隨著α0、β0的增加，收斂時間縮短。

圖6 可變增益固定時間SOSM控制器在常數(shù)參數(shù)α0、β0變化，其他參數(shù)不變的條件下，滑模變量S的仿真結(jié)果Fig.6 Simulation results of sliding mode variable S for variable gain fixed-time SOSM controller under the condition that constant parameters α0、β0 change and other parameters remain unchanged

本文所提算法是在充分考慮理想電路模型和實際電路模型差異的前提下設(shè)計的，因此在實際電路應(yīng)用中具有更高的可行性?，F(xiàn)有的大部分模擬仿真所考慮的數(shù)學(xué)模型［30-32］都是實際模型根據(jù)其運行原理的理想化表示。但在實際情況下，變換器的參數(shù)存在一定誤差，存在不確定性。此外，外部干擾也會對模型產(chǎn)生影響。本文在充分考慮了參數(shù)不確定和外部干擾對系統(tǒng)影響的情況提出了一種新的固定時間變增益二階滑?？刂扑惴?，該算法的設(shè)計背景更符合實際電路的運行情況，因此在實際應(yīng)用中具有更高的可行性。通過與已有算法進(jìn)行仿真比較，證明了本文所提算法的優(yōu)越性。后續(xù)將考慮在實際應(yīng)用中驗證所提算法的有效性。

4 結(jié)語

本文對于DC-DC 降壓變換器提出了一種新的可變增益固定時間SOSM 控制器。通過Lyapunov分析表明，可以發(fā)現(xiàn)本文所設(shè)計的控制器有如下兩個優(yōu)勢：首先，即使存在參數(shù)未知以及具有函數(shù)上界的集總干擾，本文所提控制算法可以實現(xiàn)固定時間收斂，收斂時間不依賴于系統(tǒng)初始條件，因此與傳統(tǒng)的有限時間收斂相比具有更廣泛的應(yīng)用；除此之外，本文將干擾的常數(shù)上界拓展到干擾的函數(shù)上界，將原來的誤差只能收斂到原點的鄰域內(nèi)變?yōu)榫_收斂到0，準(zhǔn)確性得到極大的提高。