基于序列二次規(guī)劃算法的超小尺寸微納波長分束器的逆向設(shè)計*

李家祥 王慧琴 徐和慶 張華 馮艷 董美彤

1) (上海工程技術(shù)大學(xué)數(shù)理與統(tǒng)計學(xué)院,上海 201620)

2) (上海工程技術(shù)大學(xué)機器人研究所,上海 201620)

3) (上海展訊通信公司集成技術(shù)資源部,上海 201203)

1 引言

波長分束器(波分器)是用于將不同波長的復(fù)合光按波長進(jìn)行分離的器件,分束器作為片上集成的一個重要組成部分,在光信號處理[1]、光通信[2]、量子計算[3]、量子通信[4]等領(lǐng)域均有廣泛的應(yīng)用.波分器主要實現(xiàn)方式有基于光子晶體[5,6]、表面等離激元微腔型[7]、陳列波導(dǎo)光柵[8]、馬赫曾德干涉[9]、多模干涉耦合器[10]和定向耦合器[11]等.其中,表面等離激元微腔型結(jié)構(gòu)的尺寸小,分束效果較好,適合片上集成,被關(guān)注度高,但表面等離激元的傳輸損耗問題仍有待解決;基于光子晶體諧振腔型器件尺寸較小,分束效果好,但加工容錯度低,在設(shè)計中對光場模擬計算的硬件要求高、耗時長[12,13];陣列波導(dǎo)光柵型器件已商用化,但尺寸大;基于其他類型的光干涉、普通型諧振腔或耦合原理的結(jié)構(gòu)同樣尺寸大,不適合片上集成.

智能逆設(shè)計可突破傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)的局限,設(shè)計出前所未有的緊湊的、調(diào)控能力強的一些新型結(jié)構(gòu),因而得到了人們的廣泛推崇,如二元搜索法[14]、最速下降法[15]、伴隨法[16]、遺傳算法[17]、移動漸近線法[18,19]、目標(biāo)優(yōu)先法[20]以及梯度下降算法[21]等智能算法越來越多地應(yīng)用于微納光學(xué)器件的逆設(shè)計中,包括微納波分器的設(shè)計[22?27].例如在2018 年,Su[24]最早使用交替乘子法設(shè)計了波長范圍在1500—1580 nm,間隔為40 nm 的三通道波分器,其尺寸為5.50 μm × 4.50 μm.2020 年,Han 等[25]利用目標(biāo)優(yōu)先算法設(shè)計了波長間隔在65 nm 左右尺寸為2.80 μm × 2.80 μm 的四通道波分器.2020 年,Yilmaz 等[26]利用目標(biāo)優(yōu)先法設(shè)計了波長間隔在100 nm 左右的雙通道、四通道和六通道的T型結(jié)構(gòu)的波分器,尺寸分別為2.80 μm × 2.80 μm,4.60 μm × 2.80 μm,6.95 μm × 2.80 μm.2021 年,Yuan 等[27]利用二元搜索法設(shè)計了波長間隔100 nm,尺寸為3.60 μm × 2.40 μm 不對稱結(jié)構(gòu)雙通道多模波分器.綜上,微納波分器設(shè)計智能化已有成效,如何進(jìn)一步尋找更好的算法、提高器件密集度、提升設(shè)計效率是人們當(dāng)下關(guān)注的問題.

序列二次規(guī)劃算法(sequence quadratic program,SQP)[28?30]常應(yīng)用于機械拓?fù)浜托螤顑?yōu)化的工業(yè)設(shè)計和鋼構(gòu)框架設(shè)計[29].本文將用于求解非線性約束問題的SQP 首次引進(jìn)到微納光子器件的設(shè)計中,具體而言是選擇了SQP 算法家族中的稀疏非線性優(yōu)化算法(sparse nonlinear optimization,SNOPT)[31]進(jìn)行設(shè)計,該算法多用于力學(xué)特性與幾何形狀問題的求解.本次是用SNOPT 聯(lián)合有限元法進(jìn)行光場監(jiān)控來執(zhí)行幾何形狀的優(yōu)化,對片上集成微納波分器進(jìn)行設(shè)計,設(shè)計了尺寸為1.5 μm × 1.5 μm 的多個超小型的波分器,其中Y 型雙通道波分器可同時實現(xiàn)TE/TM 模式的分束,模式適應(yīng)度良好;T 型雙通道波分器實現(xiàn)了雙波長大角度分束,傳輸效率均達(dá)到88%;同時還設(shè)計了小波長間隔的十字型和非對稱型兩種三通道波分器,兩者相比,十字型波分器不僅分束角度更大,且傳輸效率更高,非對稱三通道波長分束器的波長間隔更小僅為20 nm.所設(shè)計的波分器在尺寸、分束角等性能參數(shù)上均優(yōu)于或達(dá)到現(xiàn)有方法的設(shè)計結(jié)果[32,33],且本方法的設(shè)計周期短、設(shè)計效率高,適用于微納光學(xué)器件的設(shè)計.與前期遺傳算法和移動漸近線法等智能設(shè)計法[17?19]相比,SQP 逆設(shè)計法所設(shè)計的結(jié)構(gòu)更為簡潔、加工工藝要求更低.本方法將為光子器件的設(shè)計提供了一種新思路和借鑒,為器件結(jié)構(gòu)的多樣性和靈活性提供了更大的可能.

2 設(shè)計原理與方法

SQP 算法是目前公認(rèn)求解約束非線性優(yōu)化問題的最有效方法之一,優(yōu)點是收斂性好、計算效率高、邊界搜索能力強,其基本思想是將復(fù)雜的約束非線性優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為簡單的二次規(guī)劃(QP)子問題,然后在每次迭代中求解一個或多個QP 子問題.所謂QP 子問題,就是利用泰勒展開,將非線性約束問題的目標(biāo)函數(shù)在迭代點處簡化成二次函數(shù),將約束條件簡化成線性函數(shù),得到QP 子問題,然后求解QP 子問題,將其最優(yōu)解作為原問題的下一次迭代的起點繼續(xù)迭代計算.

該算法首先要設(shè)置好全局變量,例如擬設(shè)計一雙通道波分器,待分波長分別為λ1和λ2,則全局變量設(shè)為

式中,A和B為雙通道的調(diào)節(jié)系數(shù),其目的是為了能根據(jù)設(shè)計要求對各輸出端信號進(jìn)行調(diào)節(jié),使各端口之間達(dá)到一定的平衡.W1,λ1和W2,λ2表示對應(yīng)波長的傳輸效率.

為全局變量設(shè)定目標(biāo)函數(shù)和約束條件:

(2)式為約束條件,其中x(k)為目標(biāo)函數(shù),μ是根據(jù)需求定義的最小損耗適應(yīng)度函數(shù),λ為光波長,ε為各點的介電常數(shù),用來作為懲罰因子,定義ε為

其中,r為襯底坐標(biāo),η為控制變量中的自由度,p為階躍系數(shù),本文中εsi和εair分別為硅和空氣的介電常數(shù)εsi=3.48,εair=1.

SQP 算法會生成一個迭代序列,這個迭代序列是基于拉格朗日函數(shù)的二次模型和非線性約束線性化定義的QP 子問題的近似解,先設(shè)定一個變量S:

其中c(k)為目標(biāo)函數(shù)x(k)的值,S=x-x(k),H為約束矩陣.(4)式的最優(yōu)可行性條件為

迭代后目標(biāo)函數(shù)升級為

其中參數(shù)α(k)由迭代搜索過程中確定,海森矩陣?2c(k)可用近似值表示.不斷重復(fù)上述過程,就可以得到原問題x(k)的最優(yōu)解.

以Y 型雙通道波分器的設(shè)計為例,器件的設(shè)計大體分成3 個階段: 第1 階段是器件的初始化設(shè)置,本文選擇1.5 μm×1.5 μm 尺寸的硅基片進(jìn)行設(shè)計,輸入端(IN)位于基片的左側(cè)中間位置;輸出端分別位于基底右部上側(cè)(O1)和下側(cè)(O2),分別對應(yīng)著1140 nm 和1200 nm 的波長輸出;輸入輸出端的連接波導(dǎo)寬度為0.3 μm,如圖1(a)所示.第2階段是目標(biāo)函數(shù)和約束條件的設(shè)定及器件結(jié)構(gòu)優(yōu)化,本次雙通道波分器的設(shè)計期望是兩波長的透過率能達(dá)到70%.在運用SNOPT 算法進(jìn)行器件結(jié)構(gòu)逆設(shè)計的過程中,每一次迭代,程序都會調(diào)用有限元法對當(dāng)下結(jié)構(gòu)的分光能力進(jìn)行評估,若沒達(dá)到設(shè)計期望將進(jìn)入下一次結(jié)構(gòu)迭代,直到達(dá)到設(shè)計預(yù)期,確定最優(yōu)結(jié)構(gòu),如圖1(b)所示,其中黑色部分為介質(zhì)硅,白色部分為空氣,即擬蝕刻掉的部分,灰色部分介于硅與空氣之間的介質(zhì).第3 階段是二值化和整形,初始結(jié)構(gòu)中硅與空氣的邊界處存在少量灰色區(qū)域,即存在少量中間介質(zhì),過濾掉中間過度介質(zhì),并對形成的新邊界進(jìn)行平滑整形,再重新填充硅和空氣兩種介質(zhì),輸出最終結(jié)構(gòu),如圖1(c)所示.

3 光波分器的設(shè)計

3.1 雙通道波分器

3.1.1 Y 型結(jié)構(gòu)雙通道波分器的性能

首先設(shè)計了Y 型雙通道波分器,擬實現(xiàn)在TE 模式下1140 nm 和1200 nm 雙波長分束,得到的結(jié)構(gòu)如圖2(a)所示.圖2(b)和圖2(c)是該結(jié)構(gòu)在1140 nm 和1200 nm 波長下TE 模的光場圖,可見該兩波長的光分別被輸送到了O1和O2端,較好地實現(xiàn)了分光功能.同時分析了該結(jié)構(gòu)在TM模式的分束情況,如圖2(f)和圖2(g)是TM 模兩波長的光場圖,結(jié)果表明該結(jié)構(gòu)對TM 光仍然有良好的分束效果.

圖2 Y 型雙通道波分器 (a) 結(jié)構(gòu)圖;(b) TE 模1140 nm 的光場分布;(c) TE 模1200 nm 的光場分布;(d) TE 模傳輸效率圖;(e) TE模的消光比圖;(f) TM 模1140 nm 的光場分布;(g) TM 模1200 nm 的光場分布;(h) TM 模傳輸效率圖;(i) TM 模消光比圖Fig.2.Y-type dual-channel wavelength beam splitter: (a) Structure;(b) optical field distribution at 1140 nm in TE mode;(c) optical field distribution at 1200 nm in TE mode;(d) transmission efficiency in TE mode;(e) extinction ratio in TE mode;(f) optical field distribution at 1140 nm in TM mode;(g) optical field distribution at 1200 nm in TM mode;(h) transmission efficiency in TM mode;(i) extinction ratio in TM mode.

定義輸出輸入端的功率之比為傳輸效率,定義某波長λk對應(yīng)的目標(biāo)端口k的輸出功率與該波長串?dāng)_到其他端口的功率的比值為波長λk對應(yīng)端口的消光比(extinction ratio,ER),則傳輸效率和消光比分別可表示為

圖2(d)和圖2(h)分別為TE 和TM 模式下兩輸出端在1000—1400 nm 波長范圍內(nèi)的光譜圖.從圖中可見,TE 模式下兩波長的傳輸效率分別為80%和81%,半高寬分別為34 和47 nm;TM 模該兩波長的傳輸效率分別為70%和67%,半高寬分別為49 和106 nm.比較兩模式的譜圖可以發(fā)現(xiàn),兩模式的峰值位置基本不變,TM 模較TE模的傳輸效率略有下降.說明該結(jié)構(gòu)在TE 和TM模式下均可實現(xiàn)該兩波長的分束,且輸出峰值沒有漂移.

圖2(e)和圖2(i)分別為TE 和TM 模式下的消光比圖,在TE 模式下兩端口的消光比分別為64 (18.1 dB)和43 (16.3 dB),在TM 模式下它們的消光比分別為67 (18.3 dB)和39 (15.9 dB),消光效果非常接近,可見該結(jié)構(gòu)偏振模式的適應(yīng)性良好,既能在TE 模式下工作,也能在TM 模式下工作,在混模環(huán)境下同樣能工作良好,實現(xiàn)了不同模式環(huán)境下工作的兼容.

接下來進(jìn)一步對器件結(jié)構(gòu)與輸入輸出波導(dǎo)的匹配情況進(jìn)行了分析,波導(dǎo)寬度分別被設(shè)為0.30,0.35 和0.40 μm,計算它們的傳輸效率,結(jié)果如圖3所示.從圖3 可見,兩端口的傳輸效率峰值波長位置不變,峰值有微小上漲,波導(dǎo)寬度適度增大時傳輸效率略有提高.可見設(shè)計的器件核心部分與連接波導(dǎo)匹配度良好,即便在加工過程出現(xiàn)了一定的誤差,對分束效果影響較小,結(jié)構(gòu)具有較好的容錯度.

圖3 波導(dǎo)寬度對傳輸效率的影響Fig.3.Influence of the waveguide width on transmission efficiency.

3.1.2 T 型雙通道波分器

同樣設(shè)計的T 型波分器擬實現(xiàn)TE 模式下1100 nm 和1170 nm 波長分束,波導(dǎo)寬度為0.4 μm,圖4(a)為其設(shè)計結(jié)構(gòu)圖.圖4(b)和圖4(c)分別為1100 和1170 nm 的光場圖,圖4(d)為其光譜圖,圖4(e)為其消光比圖.由圖可知,兩波長的傳輸效率達(dá)到了88%,半高寬分別為334 和115 nm,在1100 和1170 nm 處的消光比分別為46 (16.6 dB)和31 (15.0 dB).

圖4 T 型雙通道波分器 (a) 結(jié)構(gòu)圖;(b) 1100 nm 的光場分布;(c) 1170 nm 的光場分布;(d) 傳輸效率圖;(e) 消光比圖Fig.4.T-type dual-channel wave beam splitter: (a) Structure;(b) optical field distribution at 1100 nm;(c) optical field distribution at 1170 nm;(d) transmission efficiency;(e) extinction ratio.

一般情況下尺寸越小,分束難度越大;光束偏轉(zhuǎn)角度越大,分束難度越大.該結(jié)構(gòu)不僅在1.5 μm×1.5 μm 的尺寸內(nèi)實現(xiàn)了波長分束,而且將兩波長的光90°偏轉(zhuǎn)后180°相向分離,傳輸效率達(dá)到了88%,分束效果極好,而結(jié)構(gòu)又并不復(fù)雜難加工,充分體現(xiàn)該算法的優(yōu)越性.

3.2 三通道波分器

同時設(shè)計了小波長間隔的十字型和不對稱型兩種三通道波分器.圖5(a)為十字型波分器的結(jié)構(gòu),波導(dǎo)寬度為0.4 μm,擬實現(xiàn)波長間隔為50 nm 的分束,在1100,1150 和1200 nm 三波長的分束.圖5(b)—(d)是該結(jié)構(gòu)在對應(yīng)三波長的光場分布圖,可見實現(xiàn)了良好的分束效果.圖5(e)為三輸出端在900—1400 nm 范圍內(nèi)的光譜圖,三波長的傳輸效率分別達(dá)到73%,66%和 70%,半高寬分別為43,28 和42 nm.圖5(f)為其消光比圖,三輸出端的消光比分別為53 (17.2 dB),24 (13.8 dB)和24 (13.8 dB).

圖5 十字型三通道波分器 (a) 結(jié)構(gòu)圖;(b) 1100 nm 的光場分布;(c) 1150 nm 的光場分布;(d) 1200 nm 的光場分布;(e) 傳輸效率圖;(f) 消光比Fig.5.Cross-type three-channel wavelength beam splitter: (a) Structure;(b) optical field distribution at 1100 nm;(c) optical field distribution at 1150 nm;(d) optical field distribution at 1200 nm;(e) transmission efficiency;(f) extinction ratio.

圖6(a)為非對稱型三通道波分器的結(jié)構(gòu)圖,波導(dǎo)寬度為0.4 μm,擬實現(xiàn)波長間隔為20 nm,在1200,1220 和1240 nm 的分束.圖6(b)—(d)為對應(yīng)三波長的光場分布圖,同樣實現(xiàn)了良好的分束效果.圖6(e)為三輸出端的光譜圖,三波長的傳輸效率分別為61%,56%和57%,半高寬分別為28,21和158 nm.圖6(f)所示的不對稱結(jié)構(gòu)波分器的消光比分別為12 (10.8 dB),6 (7.9 dB)和9 (8.9 dB),相比于上述十字型波分器,傳輸效率略低些,串?dāng)_略大些.

圖6 不對稱型結(jié)構(gòu)三通道波分器 (a) 結(jié)構(gòu)圖;(b) 1200 nm 的光場分布;(c) 1220 nm 的光場分布;(d) 1240 nm 的光場分布;(e) 傳輸效率圖;(f) 消光比圖Fig.6.Asymmetric structure three-channel wave splitter: (a) Structure;(b) optical field distribution at 1200 nm;(c) optical field distribution at 1220 nm;(d) optical field distribution at 1240 nm;(e) transmission efficiency;(f) extinction ratio.

4 結(jié)論

本文將SQP 算法引用到微納光學(xué)器件的智能逆設(shè)計中,設(shè)計了以Si 為基底的尺寸為1.5 μm ×1.5 μm 的多個超小型波分器.其中Y 型雙通道波分器同時實現(xiàn)了TE/TM 模式下1140 和1200 nm兩波長良好分束;T 型雙通道波分器兩波長的光180°相向分離,1100 和1170 nm 兩波長的傳輸效率均達(dá)到了88%;同時設(shè)計了小波長間隔的十字型和非對稱型兩種三通道波分器,其中十字型波分器實現(xiàn)了波長間隔50 nm,在1100,1150 和1200 nm三波長分束,傳輸效率分別達(dá)到了73%,66%和70%;非對稱型波分器實現(xiàn)了波長間隔20 nm,在1200,1220 和1240 nm 三波長分束,傳輸效率分別達(dá)到61%,56%和57%.以上所有波分器的消光比均在20 dB 附近,且器件性能穩(wěn)定、與輸入輸出波導(dǎo)適配性良好.設(shè)計結(jié)果充分表明該方法在片上集成波分器的設(shè)計中適用性良好,所得器件結(jié)構(gòu)均簡潔、易加工,且優(yōu)化時間短、硬件需求低.該反向智能設(shè)計方法可打破傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)的壁壘,為微納光子器件提供更多的可能和更靈活的結(jié)構(gòu),為光子芯片提供了更大的實現(xiàn)空間.