促進(jìn)數(shù)學(xué)新授課新知生成的課例研究

【摘 要】在課堂教學(xué)中，教師要通過(guò)精心創(chuàng)設(shè)適切情境，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)與提出有研究?jī)r(jià)值的問(wèn)題，在數(shù)學(xué)抽象中獲得數(shù)學(xué)新知、建立數(shù)學(xué)模型；在師生共研中建構(gòu)數(shù)學(xué)對(duì)象的研究?jī)?nèi)容、研究路徑與研究方法，讓學(xué)生明晰數(shù)學(xué)的整體性、數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)在的邏輯性，培養(yǎng)學(xué)生的系統(tǒng)思維；在深度學(xué)習(xí)中讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)研究的嚴(yán)謹(jǐn)性，培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維；基于具有統(tǒng)攝性的大問(wèn)題，讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性、問(wèn)題解決方法的普適性，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)教學(xué)；新知生成；理性思維；數(shù)學(xué)研究活動(dòng)

【中圖分類號(hào)】G633.6? 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A? 【文章編號(hào)】1005-6009（2023）37-0011-04

【作者簡(jiǎn)介】盧勇，江蘇省南通市市直學(xué)校教育管理中心（江蘇南通，226007）高中數(shù)學(xué)教研員，高級(jí)教師。

中學(xué)教學(xué)應(yīng)進(jìn)一步強(qiáng)化基礎(chǔ)概念的教學(xué)，強(qiáng)調(diào)對(duì)于知識(shí)、概念的本質(zhì)的深入理解，夯實(shí)學(xué)生的知識(shí)地基，使學(xué)生能夠做到真懂會(huì)用，掌握進(jìn)一步學(xué)習(xí)的工具。［1］中學(xué)教學(xué)要在培養(yǎng)學(xué)生的知識(shí)見識(shí)上下功夫，在數(shù)學(xué)知識(shí)方法應(yīng)用的靈活性和創(chuàng)造性上下功夫，在培養(yǎng)關(guān)鍵能力上下功夫。［2］因此，在高中數(shù)學(xué)新授課教學(xué)中，教師要讓學(xué)生明晰新知的來(lái)龍去脈，讓新知的生成有理有據(jù)，在知識(shí)生成過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生的理性思維。

學(xué)習(xí)即研究，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)按研究的思維過(guò)程與思維方式展開，通過(guò)創(chuàng)設(shè)符合數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展規(guī)律（數(shù)學(xué)的邏輯）和學(xué)生思維規(guī)律及認(rèn)知特點(diǎn)（心理的邏輯）的系列化情境與問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生開展高質(zhì)量的數(shù)學(xué)研究活動(dòng)。這種以培養(yǎng)學(xué)生理性思維為目標(biāo)的數(shù)學(xué)研究活動(dòng)，要努力做到情境適切、方案科學(xué)、細(xì)節(jié)嚴(yán)謹(jǐn)、學(xué)以致用。

一、情境適切彰顯研究的必要性

在教學(xué)活動(dòng)中，教師應(yīng)結(jié)合教學(xué)任務(wù)及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)設(shè)計(jì)合適的情境和問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)象、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，使用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語(yǔ)言描述問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的思想、方法解決問(wèn)題。設(shè)計(jì)合適的教學(xué)情境，提出合適的數(shù)學(xué)問(wèn)題是有挑戰(zhàn)性的，但也為教師的實(shí)踐創(chuàng)新提供了平臺(tái)。

教師依托具體的情境，提出學(xué)生力所能及又富于挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，有助于學(xué)生理性思維的提升。教師提出的問(wèn)題要具有以下特征：（1）目的明確，即所提出的問(wèn)題要緊緊圍繞當(dāng)前的教學(xué)任務(wù)，使學(xué)生的注意力集中在教學(xué)任務(wù)上；（2）反映本質(zhì)，即問(wèn)題要直接反映所學(xué)新知識(shí)的本質(zhì)特征，要能引導(dǎo)學(xué)生的思維指向教學(xué)任務(wù)；（3）簡(jiǎn)明易懂，即學(xué)生不會(huì)因?yàn)閱?wèn)題的字面意思難懂而發(fā)生理解困難；（4）系統(tǒng)連貫，問(wèn)題應(yīng)按數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程，以相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法為主線，組成一個(gè)循序漸進(jìn)的、具有內(nèi)在聯(lián)系的問(wèn)題體系。

案例1：“有限樣本空間與隨機(jī)事件”（情境創(chuàng)設(shè)部分）

師：如果拋一次硬幣，觀察正面向上的結(jié)果有幾種可能？結(jié)果確定嗎？如果重復(fù)拋100次，并統(tǒng)計(jì)它們的結(jié)果，又會(huì)出現(xiàn)什么現(xiàn)象？

教師播放一段由GeoGebra制作的拋硬幣100次模擬試驗(yàn)動(dòng)畫，學(xué)生從中體會(huì)一次試驗(yàn)結(jié)果的偶然性和多次重復(fù)試驗(yàn)結(jié)果的規(guī)律性。

師：我們?cè)賮?lái)看一個(gè)更為有趣的情境。教師先介紹隨機(jī)數(shù)與隨機(jī)點(diǎn)構(gòu)建的規(guī)則，有一個(gè)正三角形，三個(gè)頂點(diǎn)分別標(biāo)作A1，A2，A3，準(zhǔn)備一個(gè)骰子，只有1、2、3三種點(diǎn)數(shù)，在正三角形內(nèi)部任取一點(diǎn)，記作P0。第一步，拋擲骰子一次，1、2、3中產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)數(shù)i（i=1，2，3），連接P0Ai，取P0Ai的中點(diǎn)記作P1。第二步，再次拋擲骰子一次，1、2、3中產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)數(shù)i（i=1，2，3），連接P1Ai，取P1Ai的中點(diǎn)記作P2，以此類推，得到點(diǎn)P3，P4，…，Pn。這些點(diǎn)的產(chǎn)生具有隨機(jī)性嗎？你看出這些點(diǎn)的分布有什么規(guī)律性嗎？

教師播放一段由Matlab編程制作的三千余個(gè)隨機(jī)點(diǎn)分布規(guī)律的視頻，學(xué)生驚奇地發(fā)現(xiàn)隨機(jī)點(diǎn)的分布具有明顯的規(guī)律性，呈著名的謝爾賓斯基三角形的形狀。（如圖1）

教師引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)以上現(xiàn)象的共同特征：就一次觀測(cè)而言，出現(xiàn)哪種結(jié)果具有偶然性；但在大量重復(fù)觀測(cè)下，結(jié)果又具有一定規(guī)律性的現(xiàn)象，我們稱之為隨機(jī)現(xiàn)象。

師：初中時(shí)，你們對(duì)隨機(jī)事件的認(rèn)識(shí)更多是一些感性的認(rèn)識(shí)。高中階段，我們將結(jié)合實(shí)例，從理性的角度刻畫和研究隨機(jī)現(xiàn)象。（引出本節(jié)課的課題“有限樣本空間與隨機(jī)事件”）

【設(shè)計(jì)意圖】概率論是研究隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律的數(shù)學(xué)分支，為人們提供了從不確定角度認(rèn)識(shí)客觀世界的思維模式和解決問(wèn)題的方法。概率課程承擔(dān)的主要育人任務(wù)是培養(yǎng)學(xué)生分析隨機(jī)現(xiàn)象的能力?；谡w單元化教學(xué)的需要，本節(jié)課作為高中概率單元的起始課，兼具知識(shí)預(yù)備和單元導(dǎo)引的雙重價(jià)值。上述教學(xué)片段教師分別選擇熟悉和有趣的兩個(gè)情境，引導(dǎo)學(xué)生歸納獲得隨機(jī)現(xiàn)象的共同特征，有利于提升學(xué)生進(jìn)一步研究隨機(jī)現(xiàn)象的好奇心，體會(huì)隨機(jī)思想，明確研究對(duì)象。

二、方案科學(xué)彰顯研究的合理性

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心是思維方法的學(xué)習(xí)。但在教學(xué)實(shí)踐中，不少課堂教學(xué)過(guò)程雜亂無(wú)序，沒有貫穿課堂始終的教學(xué)主線，缺乏有結(jié)構(gòu)的、邏輯關(guān)聯(lián)、層層遞進(jìn)且能啟迪學(xué)生思維的問(wèn)題引領(lǐng)，教學(xué)隨意性很大，“思維的教學(xué)”更是奢談。教師應(yīng)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的背景、抽象、推理過(guò)程進(jìn)行“本源性”思考，設(shè)計(jì)科學(xué)的研究方案，用高觀點(diǎn)、思想性去引領(lǐng)學(xué)生的學(xué)習(xí)，并在此基礎(chǔ)上構(gòu)建課堂教學(xué)主線，讓學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程中，領(lǐng)悟思考方法進(jìn)而學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)。

案例2：“斐波那契數(shù)列”（性質(zhì)探究部分）

問(wèn)題1：等差、等比數(shù)列的研究路徑是什么？

問(wèn)題2：你認(rèn)為應(yīng)該怎樣研究斐波那契數(shù)列的項(xiàng)與和的性質(zhì)？

【設(shè)計(jì)意圖】從數(shù)列大單元的角度，讓學(xué)生回顧等差數(shù)列、等比數(shù)列的研究過(guò)程，探尋數(shù)列研究的一般路徑，為接下來(lái)研究斐波那契數(shù)列找準(zhǔn)方向。

學(xué)生活動(dòng)：自主探究斐波那契數(shù)列中的項(xiàng)的特征、項(xiàng)的性質(zhì)、和的性質(zhì)。

活動(dòng)方式：小組討論，合作探究，自主展示，小組糾錯(cuò)，自我完善。

展示結(jié)果：開放性，對(duì)通項(xiàng)公式與項(xiàng)的性質(zhì)、和的性質(zhì)，挑一部分說(shuō)明結(jié)論的由來(lái)，不全部展開，留給學(xué)生課后探究的空間。

【設(shè)計(jì)意圖】一是讓學(xué)生掌握研究的方法：特殊到一般，歸納證明猜想；二是從數(shù)列大單元的角度，熟練運(yùn)用研究數(shù)列的一般方法：迭代法、定義法、累加法、錯(cuò)位相減法等探究斐波那契數(shù)列的性質(zhì)；三是讓學(xué)生感受相比等差、等比數(shù)列，斐波那契數(shù)列所具有的性質(zhì)更加豐富，其推導(dǎo)和研究的路徑也更為多樣。

三、細(xì)節(jié)嚴(yán)謹(jǐn)彰顯研究的完備性

細(xì)節(jié)決定成敗。數(shù)學(xué)概念教學(xué)中應(yīng)當(dāng)安排概念的“精致過(guò)程”，對(duì)概念內(nèi)涵進(jìn)行“深加工”，對(duì)概念要素作具體界定，讓學(xué)生在對(duì)概念的正例、反例作判斷的過(guò)程中，更準(zhǔn)確地把握概念的細(xì)節(jié)。［3］這樣不僅能讓學(xué)生深入理解當(dāng)前知識(shí)，還能為學(xué)生以后的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，更能培養(yǎng)學(xué)生思維縝密、嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致的理性精神。

案例3：“數(shù)列的概念及表示”（數(shù)列概念理解部分）

師：我們以數(shù)列1，2，4，8，16，…為例，來(lái)檢驗(yàn)下同學(xué)們是否掌握了數(shù)列的有關(guān)概念。

問(wèn)題1：該數(shù)列的首項(xiàng)是什么？對(duì)應(yīng)的序號(hào)呢？2，4，8，16對(duì)應(yīng)的序號(hào)呢？序號(hào)n對(duì)應(yīng)的就是第n項(xiàng)an，具體an是什么呢？

師：顯然an=2n-1反映了這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系。一般地，如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式叫作這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。

追問(wèn)：如何求a101呢？你是如何認(rèn)識(shí)符號(hào)“an”的？

【設(shè)計(jì)意圖】在師生交流的基礎(chǔ)上，學(xué)生認(rèn)識(shí)到符號(hào)“an”既是“確定的”又是“任意的”，即an表示的是數(shù)列的第n項(xiàng)，同時(shí)作為通項(xiàng)公式an意味著對(duì)數(shù)列中的每一項(xiàng)都是適用的。

師：通過(guò)前面的分析，序號(hào)1與數(shù)列中的項(xiàng)“1”對(duì)應(yīng)，序號(hào)2與數(shù)列中的項(xiàng)“2”對(duì)應(yīng)，序號(hào)3與數(shù)列中的項(xiàng)“4”對(duì)應(yīng)……這種對(duì)應(yīng)關(guān)系同學(xué)們熟悉嗎？之前的學(xué)習(xí)中同學(xué)們接觸過(guò)嗎？

生：這種對(duì)應(yīng)關(guān)系應(yīng)該是函數(shù)。

問(wèn)題2：數(shù)列是函數(shù)嗎？（小組討論）

學(xué)生交流發(fā)現(xiàn)：數(shù)列中，每一個(gè)序號(hào)n都有唯一的項(xiàng)an與之對(duì)應(yīng)，滿足函數(shù)的定義，所以數(shù)列是函數(shù)。

問(wèn)題3：通項(xiàng)公式為an=2n-1的數(shù)列{an}與f（x）=2x-1是否為同一個(gè)函數(shù)？

生：兩者的對(duì)應(yīng)關(guān)系是一致的，但定義域不同，an=2n-1中的n只能取正整數(shù)，而f（x）=2x-1的定義域?yàn)镽，所以它們不是同一個(gè)函數(shù)。

問(wèn)題4：那數(shù)列是一個(gè)什么樣的函數(shù)呢？從函數(shù)的觀點(diǎn)，談?wù)勀愕恼J(rèn)識(shí)。

教師在學(xué)生交流的基礎(chǔ)上總結(jié)完善，得到數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系：數(shù)列是一類特殊的函數(shù)。從定義域上看，數(shù)列的定義域是正整數(shù)集或其有限子集{1，2，…，k}；就對(duì)應(yīng)關(guān)系而言，數(shù)列的通項(xiàng)公式就是數(shù)列（函數(shù)）的解析式，即an=f（n）；函數(shù)值相應(yīng)的是數(shù)列中的項(xiàng)f（1），f（2），…，f（n），…。

【設(shè)計(jì)意圖】辨析數(shù)列的本質(zhì)，厘清數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系是本課的難點(diǎn)，也是后續(xù)學(xué)習(xí)中運(yùn)用函數(shù)觀點(diǎn)解決數(shù)列問(wèn)題的基礎(chǔ)。在處理方式上，由特殊到一般、由具體到抽象的方法貫穿始終。教師首先以具體數(shù)列為研究抓手，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想到所學(xué)函數(shù)知識(shí)，感悟數(shù)列的函數(shù)特征，進(jìn)而開展一般性探究，根據(jù)函數(shù)概念，明晰數(shù)列的本質(zhì)就是函數(shù)。

四、學(xué)以致用彰顯研究的有效性

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)學(xué)以致用，數(shù)學(xué)應(yīng)用既包含數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)與交互，也包含以數(shù)學(xué)作為工具，在自然科學(xué)乃至人文社會(huì)科學(xué)中的交叉應(yīng)用。通過(guò)數(shù)學(xué)應(yīng)用可以鞏固新知識(shí)的學(xué)習(xí)，檢查新概念的掌握程度，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，促進(jìn)真懂真會(huì)。例如，天文觀測(cè)、歷法推算和航海的發(fā)展推動(dòng)人們對(duì)球面進(jìn)行研究，從而產(chǎn)生了球面三角學(xué)，出于間接測(cè)量、測(cè)繪工作的需要又出現(xiàn)了平面三角學(xué)。正余弦定理的出現(xiàn)更是人類文明發(fā)展數(shù)學(xué)文化中的一顆耀眼的寶石，既解決了很多實(shí)際問(wèn)題，又在數(shù)學(xué)文化中展現(xiàn)了迷人的魅力。

案例4：“正余弦定理的應(yīng)用——測(cè)量距離問(wèn)題”（主問(wèn)題設(shè)計(jì)）

問(wèn)題：解三角形在測(cè)量上有著廣泛的應(yīng)用。你能設(shè)計(jì)出圖2中三種實(shí)際情況下測(cè)量A、B兩點(diǎn)間距離的方案嗎？

解決方案圖示：

【設(shè)計(jì)意圖】前兩種情況相對(duì)比較基礎(chǔ)，學(xué)生直接構(gòu)造三角形，運(yùn)用正弦定理和余弦定理可以直接解決。對(duì)于第三種情況A，B兩地均不可到達(dá)，借助前兩個(gè)問(wèn)題的求解經(jīng)驗(yàn)、建立的基本模型，我們需要學(xué)生明白這種情況求解的過(guò)程，讓學(xué)生感悟內(nèi)蘊(yùn)于其中的化歸數(shù)學(xué)思想方法。

章建躍先生指出，要努力提高數(shù)學(xué)教學(xué)的品位。這就要求教師在日常教學(xué)中，要以數(shù)學(xué)新知為載體，讓學(xué)生經(jīng)歷明確研究的問(wèn)題、獲得研究的對(duì)象、確定研究的內(nèi)容、選取研究的方法、建構(gòu)研究的過(guò)程、獲得研究的結(jié)論等完整的數(shù)學(xué)思考過(guò)程，讓新知生成有理有據(jù)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，發(fā)展理性思維。

【參考文獻(xiàn)】

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［2］教育部教育考試院.高考試題分析及解題精選（2023年版）：數(shù)學(xué)分冊(cè)［M］.北京：語(yǔ)文出版社，2022.

［3］章建躍.概括——概念教學(xué)的核心［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)：高中版，2008（11）：50.