彰顯模型思想 凸顯推理能力 盡顯素養(yǎng)立意
——一道“含參二次函數(shù)”中考題的解法賞析與教學啟示

江蘇省南京市竹山中學 夏乾冬 (郵編:211100)

江蘇省無錫市太湖格致中學 陳 鋒 (郵編:214125)

2023年中考數(shù)學江蘇南京卷第25題,與其他省市中考試題中二次函數(shù)與幾何圖形的糅合考查不同,它是基于含參二次函數(shù),利用參數(shù)對二次函數(shù)圖像以及性質的影響,考查整式的運算、二次函數(shù)、方程、不等式等“數(shù)與代數(shù)”領域的核心知識.試題設置3小問,文字表述簡約、嚴謹,入口寬,思維拾級而上,既能體現(xiàn)對基本知識、基本技能以及基本思想方法的考查,又能體現(xiàn)對思維品質和綜合能力的考查,彰顯模型思想、凸顯推理能力、盡顯素養(yǎng)立意.

1 試題呈現(xiàn)

(南京中考第25題)已知二次函數(shù)y=ax2-2ax+3(a為常數(shù),a≠0)

(1)若a<0,求證:該函數(shù)圖像與x軸有兩個公共點;

(2)若a=-1,求證:當-10;

(3)若該函數(shù)的圖像與x軸有兩個公共點(x1,0),(x2,0),且-1

2 試題評價

2.1 立足核心知識,彰顯模型思想

《義務教育數(shù)學課程標準(2022年版)》(以下簡稱《課標(2022年版)》)在“函數(shù)教學”中指出“理解函數(shù)圖像與表達式的對應關系,理解函數(shù)與對應的方程、不等式的關系”[1].方程、不等式和函數(shù)是刻畫現(xiàn)實世界的有效模型,本試題的命制與課標要求吻合.例如,本題中第(1)問是二次函數(shù)圖像與x軸的交點問題,可以從函數(shù)角度分析,也可以從方程的角度分析.第(2)問求證-x2+2x+3>0,可以從不等式的角度分析,也可函數(shù)的角度分析.因此,本題通過建立模型,選擇模型,從不同的數(shù)學模型來分析問題,彰顯模型思想.

2.2 關注數(shù)學思維,凸顯推理能力

《課標(2022年版)》中指出:“在義務教育階段,數(shù)學思維主要表現(xiàn)為運算能力、推理意識或推理能力”.代數(shù)推理作為一種手段,其目標可以是求得(發(fā)現(xiàn))未知結果或結論,也可以是證明(確定)已知結果或結論[2].試題的3小問也都可以利用代數(shù)推理解決,然而解決問題的思維水平逐級提升.第(1)問中,判斷一元二次方程ax2-2ax+3=0(a<0)有兩個不相等的實數(shù)根即可,這里可以證b2-4ac>0,也可以解方程,并說明兩根不相等,學生有一定的知識和技能儲備.然而第(2)問需要將問題轉化成:當-10,這里可以利用不等式的性質進行整理或分步推理、轉化為解不等式組,這里需要涉及對整式進行配方和因式分解,所涉及的方法較第(1)問更多.第(3)小問中,需要在得到方程的兩個不相等的解(當a<0或a>3時)的基礎上建立不等式組,這里,要將無理不等式組轉化為分式不等式組,結合a的范圍,分類討論,再轉化為一元一次不等式組求解,思維層次更高,運算、推理、求解難度更大.因此,運用代數(shù)方法進行推理,解法多樣、思維可見,這樣的推理過程,有助于學生養(yǎng)成合乎邏輯的推理習慣,感悟數(shù)學思維的嚴謹性.

2.3 聚焦關鍵能力,盡顯素養(yǎng)立意

本題中的參數(shù)a,一參二用,a用作二次項系數(shù),-2a用作一次項系數(shù),而不是使用多個參數(shù)去為難學生.其中,a既能決定開口方向,又能刻畫開口的大小以及頂點的位置,但不決定對稱軸,感受“變中有變”和“變中不變”.第(1)、(2)問要求學生寫出過程,考查學生用數(shù)學語言或圖形語言進行說理,做到“步步有據(jù),句句有理”的規(guī)范表達,突出數(shù)學的嚴謹性.第(3)問以填空題的形式出現(xiàn),而沒有刻意提示學生“結合函數(shù)圖像”,學生可以從幾何直觀、代數(shù)推理等多個的角度進行思考,然而不同角度帶來的思維難度、運算能力的要求都不一樣,有助于對學生思維能力的甄別.

本題蘊含著從特殊到一般、數(shù)形結合、分類討論以及轉化等思想方法的滲透,算式的建立、求解與證明,考查學生的幾何直觀、數(shù)學建模、數(shù)學運算和推理能力等素養(yǎng),實現(xiàn)了對數(shù)學核心素養(yǎng)的綜合考查.

3 解法賞析

3.1 關于第(1)問

思路1建立一元二次方程模型求證

法1因為令y=0,即ax2-2ax+3=0,所以b2-4ac=4a2-12a=4a(a-3),因為a<0,所以4a<0,a-3<0,所以b2-4ac=4a(a-3)>0.所以方程有兩個不相等的實數(shù)根,所以該函數(shù)圖像與x軸有兩個公共點.

思路2利用二次函數(shù)模型求證

法3因為y=ax2-2ax+3=a(x-1)2+3-a,所以該函數(shù)圖像的頂點為(1,3-a).因為a<0,所以該函數(shù)圖像的開口向下,且-a>0,所以3-a>0.即該函數(shù)圖像的頂點在x軸上方.所以由圖像可知,該函數(shù)圖像與x軸有兩個公共點.

法4因為a<0,所以二次函數(shù)圖像開口向下.因為x=0時,y=3,所以與y軸的交點為(0,3).因為二次函數(shù)圖像與y軸的交點為(0,3)且開口向下,所以當a<0時,該函數(shù)圖像與x軸有兩個公共點.

3.2 關于第(2)問

思路1利用二次函數(shù)模型求證

法1當a=-1時,y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,所以該函數(shù)圖像對稱軸為直線x=1.所以當-10.

法2因為當a=-1時,y=-x2+2x+3,所以可畫圖像如圖1所示;所以由圖像可知,當-10.

圖1

思路2利用不等式模型求證

法3因為當a=-1時,y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,又因為-1

所以-20.

法4當a=-1時,y=-x2+2x+3=(-x+3)(x+1).而-10,x+1>0.故(-x+3)(x+1)>0,即y>0.

法5當a=-1時,y=-x2+2x+3.因為-10.

法6因為當a=-1時,所以y=-x2+2x+3.因為當y>0時,所以-x2+2x+3>0,即(-x+3)(x+1)>0. 解得:-10.

3.3 關于第(3)問

思路1利用函數(shù)和不等式模型求解

法1畫出滿足條件的圖形,建立不等式組

因為y=ax2-2ax+3=a(x-1)2+3-a,所以該函數(shù)圖像對稱軸為直線x=1,頂點為(1,3-a).因為當x=0時,y=3;所以二次函數(shù)圖像經(jīng)過定點(0,3).

①當a<0時,畫出y=ax2-2ax+3的草圖,如圖2.因為-1

圖2

解得a<-1.

②當a>0時,畫出y=ax2-2ax+3的草圖,如圖3.因為當頂點在x軸下方時,滿足-1

圖3

思路2利用函數(shù)和方程模型求解

法2畫出臨界情況,建立方程

①當a<0時,畫出y=ax2-2ax+3的草圖, 如圖4.尋找臨界情況(虛線),此時,圖像經(jīng)過點(-1,0).當x=-1時,y=0,即a+2a+3=0,解得a=-1.在臨界情況的基礎上,當圖像的開口變小時,滿足-1

圖4

②當a>0時,畫出y=ax2-2ax+3的草圖,如圖5.尋找臨界情況(虛線),此時,圖像與x軸只有一個公共點(頂點在x軸上),即3-a=0,解得a=3.在臨界情況的基礎上,當圖像的開口變小時,滿足-13.所以a的取值范圍是a<-1或a>3.

圖5

思路3利用不等式模型求解

法3當y=0時,ax2-2ax+3=0,

4 教學啟示

4.1 強化知識關聯(lián),注重模型思想

模型思想可以在數(shù)學解題過程中提供一種思維突破口,教師不僅需要引導學生積極敏銳地去發(fā)現(xiàn)題目條件與所求問題之間的絲縷關聯(lián),還要鼓勵學生在已知的數(shù)學信息中探討模型的分類,并對不同解法進行探究、歸納總結,最終形成對應的解題方法.例如,本題的第(3)問,如果學生對二次函數(shù)圖像和性質掌握透徹,能夠從“形”入手,再結合方程和不等式來分析,那么這個問題的解決方法就很容易能想到,解法顯得簡便、簡潔.此時,需要根據(jù)含參函數(shù)中尋找“確定”條件,即圖像經(jīng)過兩個定點(0,3)、(2,3)和對稱軸直線x=1,雖然,頂點(1,3-a)不完全確定,但也很重要.此時,還要根據(jù)二次項系數(shù)a的正負進行分類討論,分別畫出開口向上、向下兩種情形,畫出符合條件的草圖.接下來,需要結合圖像尋找特殊的“點”(頂點、與x軸的交點等)滿足要求的不等式,建立不等式組求解,或者尋找臨界情況后,建立方程求解.利用“a決定形狀、開口大小,a的絕對值越大(小),開口就越小(大)”確定a的取值范圍.當然,也可以只從不等式的角度分析.這也是實現(xiàn)“數(shù)”“形”轉化的關鍵所在,是教師培養(yǎng)學生數(shù)學抽象能力的重要發(fā)力點．因此,教師在解題教學中要引導學生分析其中的確定元素,從“形”的特點出發(fā),借助圖形分析和解決問題.

在此情況下,如何尋找有效的解題模型?需要運用模型思想進行分析,碰到障礙適時調整建立模型的方法,并靈活調整解題模型,最終解決問題．因此,在平時教學中,教師要在問題求解的過程中,有意識地滲透模型思想,經(jīng)歷建立方程、函數(shù)等數(shù)學模型求解問題的過程,不斷提升學生的解題能力.

4.2 加強學法指導,重視推理能力

在實際的教學過程中,教師往往忽視代數(shù)推理,認為幾何證明才是發(fā)展學生推理能力的重要方面．事實上,推理是邏輯推理的重要組成部分,在培養(yǎng)學生推理能力方面有著不可替代的作用.本題的諸多解法中,大量使用到推理,說明推理在問題求解中有著非常重要的作用.例如,第(1)、(2)問的代數(shù)推理證明中,要引導學生知道證明的條件、結論是什么?如何由“果”索“因”或由“因”導“果”?需要用到哪些代數(shù)中的運算公式、法則、性質?教師要進行解題示范,規(guī)范證明的步驟,明白每一步的依據(jù),即代數(shù)推理證明的“基本套路”.最后,還要引導學生進行反思.例如,第(1)、(2)問中為什么這樣證可以?為什么那樣證不行?推理教給學生的不僅是解決問題的方法,更要培養(yǎng)學生重論據(jù)、合邏輯的思維習慣,幫助學生形成實事求是的科學態(tài)度和理性精神.因此,在數(shù)學教學中,教師應重視代數(shù)推理的教學,準確把握推理教學的時機,依托教學內容,適時、適度、適切地滲透推理的知識,培養(yǎng)學生邏輯推理的能力.

在“數(shù)與代數(shù)”領域,是學生形成抽象能力、模型思想、幾何直觀、運算能力、推理能力、感悟用數(shù)學語言表達世界的重要載體.教學中,教師要讓學生經(jīng)歷知識的發(fā)現(xiàn)或問題解決的全過程,加強學法指導,培養(yǎng)數(shù)學能力,發(fā)展數(shù)學素養(yǎng).