例談數(shù)學運算和邏輯推理能力的培養(yǎng)
——以2023年北京卷第19題為例

西藏自治區(qū)山南市第二高級中學 周宗杰 (郵編:856099)

安徽省淮北市教育科學研究所 張建明 (郵編:235000)

章建躍曾經說過“運算是童子功,推理是命根子”,推理和運算是馬車的兩個車輪,其發(fā)展是相輔相成的,不能有失偏頗.《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版2020年修訂)》指出“數(shù)學教育要提升學生的數(shù)學素養(yǎng),引導學生會用數(shù)學眼光觀察世界,會用數(shù)學思維思考世界,會用數(shù)學語言表達世界”.要提升學生“會用數(shù)學思維思考世界”的能力,就要發(fā)展學生的數(shù)學運算能力和邏輯推理能力. 圓錐曲線是培養(yǎng)學生數(shù)學運算能力和邏輯推理能力很好的載體,下面以2023年北京卷第19題為例,談談邏輯推理能力和數(shù)學運算能力的培養(yǎng),以期起到拋磚引玉的作用,為課堂教學帶來一些啟示與思考.

1 真題再現(xiàn)

(Ⅰ)求橢圓E的方程;

(Ⅱ)設P為第一象限內橢圓E上的動點,直線PD與直線BC交于點M,直線AP與直線y=-2交于點N.求證:MN∥CD.

這道高考題是帕斯卡定理的退化形式. 帕斯卡(Blaise Pascal)是17世紀法國著名數(shù)學家,他指出:如果一個六邊形內接于一條二次曲線,那么它的三對對邊的交點在同一條直線上.

如圖1所示,橢圓E的退化內接六邊形ABCCDP的三組對邊AB與CD的交點無窮遠點、BC與PD的交點M、過點C的橢圓的切線CC與AP的交點N三點共線,由于AB∥CD,故MN∥CD.

圖1

2 問題分析

3 解法分析

又點B(-3,0),C(0,-2),則直線BC方程為:2x+3y+6=0

①

②

聯(lián)立①②得

故MN∥CD.

思路分析解法1直接從題目本身出發(fā),設點P的坐標來進行運算,當然也可以借助橢圓的參數(shù)方程設P(3sinθ,2cosθ),采用相同的方法來進行計算. 這種方法的優(yōu)點是思維成分少,便于入手,缺點是運算量大,一不小心就容易算錯.

3yM=2xM-2xN-6

③

又點M在直線BC:2x+3y+6=0上,即

2xM+3yM+6=0

④

對于本題而言,還可以從幾何的角度對信息進行轉化,比如:由于△BCD是等腰三角形,當MN∥CD時,因為BC和CM重合,且CN∥BD,故△BCD相似于△CMN,則CM=MN,即2xM=xN.當然如果從數(shù)的角度分析,可以發(fā)現(xiàn)當MN∥CD時,kMN=kCD=-kBC=-kCM,即CM=MN,則2xM=xN.

由此不難發(fā)現(xiàn),轉化化歸的角度既可以是幾何角度也可以從代數(shù)角度,數(shù)形結合的思想也伴隨其中,而邏輯推理能力是進行轉化化歸不可缺少的學科素養(yǎng)之一.

以上兩種解法都是從設點P的坐標入手解決問題,運算的難易程度與信息轉化的方式有關. 當然,解析幾何問題的入手點是不唯一的,不同的入手點和處理問題的角度所帶來的運算量也是不同的. 除了“設點”的方法入手,還可以考慮“設線”的方法入手,考慮到動直線AP與橢圓恒交于定點A(0,2),因此可以設直線AP的方程來入手.

該方法也可以設直線PD方程來進行求解.解題中巧妙運用了直線與橢圓交于已知的定點來進行處理相關問題,大大減少了數(shù)據(jù)運算,這里面在設直線方程的技巧背后所隱藏的邏輯推理能力是十分重要的.

4 總結

“設點”和“設線”是處理解析幾何綜合問題常用的思路和方法,到底應該從哪個角度入手?這就需要學生在處理問題之前進行相應的邏輯推理,注意發(fā)現(xiàn)處理問題的突破點和關鍵環(huán)節(jié),適當進行轉化化歸,將幾何關系與代數(shù)關系進行合理的轉化,從而降低問題的難度和簡化數(shù)學運算.

邏輯推理是得到數(shù)學結論、構建數(shù)學體系的重要方式,是數(shù)學嚴謹性的基本保證. 數(shù)學運算是解決數(shù)學問題的基本手段,數(shù)學運算包括理解運算對象、掌握運算法則、探究運算思路、獲得運算結果. 邏輯推理和數(shù)學運算是高中數(shù)學核心素養(yǎng)重要內容,在教學中不可偏廢,它們是相輔相成的整體. 缺少運算的推理就是空想;缺少推理的運算就是蠻干. 數(shù)學運算素養(yǎng)并不是僅僅算得對算得快,更要求學生要掌握一定的運算技巧,從多角度分析問題,盡可能的降低運算難度和運算量,這里就離不開邏輯推理能力. 因此,教學中一定要引導學生夯實運算能力,加強邏輯推理訓練.