理解教材:新教材教學(xué)實踐中的疑惑與釋疑
——以人教A版概率統(tǒng)計內(nèi)容的教學(xué)疑問剖析為例

湖南省長沙市雷鋒學(xué)校 童繼稀 (郵編:410217)

湖北省恩施州教育科學(xué)研究院 周 威 (郵編:445000)

湖南省長沙縣第一中學(xué) 付 艷 (郵編:410138)

自新教材使用以來,一線教師參加了各級各類線上、線下培訓(xùn)．實際上,作為這些培訓(xùn)的后續(xù),如何更好地理解新教材、使用新教材,教師在實踐教學(xué)中依然會產(chǎn)生各種疑惑,可能還需要更接地氣、更注重操作的培訓(xùn)或交流,才能解釋這些疑惑,才能實現(xiàn)更好地使用教材的目的．筆者以人教A版概率統(tǒng)計內(nèi)容的教學(xué)疑問為例,就代表性疑問的分析及釋疑過程與讀者交流.

疑問1為什么教輔資料把放回簡單隨機(jī)抽樣說成不是簡單隨機(jī)抽樣?如何深刻理解有放回簡單隨機(jī)抽樣和不放回簡單隨機(jī)抽樣?

剖析該疑問產(chǎn)生的原因就在于新舊教材(新教材指人教高中數(shù)學(xué)2019版,舊教材指人教高中數(shù)學(xué)2004版)對概念的定義不同．詳細(xì)定義如下:

定義1(2004版必修3第56頁)一般地,設(shè)一個總體含有N個個體,從中逐個不放回抽取n個個體作為樣本(n≤N),如果每次抽取時總體內(nèi)的各個個體被抽到的機(jī)會都相等,就把這種抽樣方法叫做簡單隨機(jī)抽樣．

定義2(2019版必修第二冊第174頁)一般地,設(shè)一個總體含有N(N為正整數(shù))個個體,從中逐個抽取n(1≤n

從以上對簡單隨機(jī)抽樣的兩個不同定義,可知定義1抽樣方式是定義2抽樣方式中的一種方式,同時回答了疑問1的前面問題(編題人對新教材不夠熟悉)．舊教材的定義避免了隨機(jī)抽樣產(chǎn)生重復(fù)個體來提高抽樣調(diào)查效率．而新教材的定義有兩種抽樣方式,從而涉及兩種簡單隨機(jī)抽樣(有放回與不放回)的對比．

統(tǒng)計的研究對象是數(shù)據(jù),首先要設(shè)法獲取與問題有關(guān)的數(shù)據(jù),抽樣調(diào)查自然希望抽取的樣本數(shù)據(jù)能很好地反映總體的情況．新教材先從統(tǒng)計學(xué)視角以說理方式舉例(必修第二冊第174頁探究)介紹了兩種抽樣的區(qū)別,有放回簡單隨機(jī)抽樣可能產(chǎn)生極端現(xiàn)象,即每次抽到同一個體,而不放回簡單隨機(jī)抽樣可以避免這現(xiàn)象．后一章又從概率視角舉例(必修第二冊第237頁例10)用數(shù)值對極端現(xiàn)象發(fā)生的可能性進(jìn)行比較,得出結(jié)論,即不放回簡單隨機(jī)抽樣可以有效降低出現(xiàn)極端樣本的概率．進(jìn)一步,我們可歸納出兩種抽樣的共性,兩種簡單隨機(jī)抽樣都屬于等概率抽樣,即每個個體被抽中的概率相等,且適用于總體規(guī)模和樣本量都較小的情形．區(qū)別是有放回隨機(jī)抽樣的優(yōu)點(diǎn)是各次抽樣結(jié)果互不影響,便于進(jìn)一步統(tǒng)計分析,也便于計算機(jī)模擬實現(xiàn),缺點(diǎn)是產(chǎn)生極端樣本的可能性大;而不放回隨機(jī)抽樣的優(yōu)點(diǎn)是同一個體不會被重復(fù)抽到,產(chǎn)生極端樣本的可能性小,缺點(diǎn)是各次抽樣結(jié)果之間不獨(dú)立,統(tǒng)計分析要困難一些．從知識的發(fā)展來看,有放回隨機(jī)抽樣可以延伸到事件的獨(dú)立性,再到二項分布;而不放回隨機(jī)抽樣可以延伸到條件概率,再到超幾何分布．當(dāng)總體規(guī)模很大,且樣本量與總體規(guī)模相比很小時,兩種抽樣所得到樣本的特性相差無幾,其中“超幾何分布可以用二項分布近似”也印證了這觀點(diǎn)．

另外,新教材中的定義2出現(xiàn)了旁白“從總體中,逐個不放回地隨機(jī)抽取n個個體作為樣本,一次性批量隨機(jī)抽取n個個體作為樣本,兩種方法是等價的”．從而有必要對旁白進(jìn)行解釋,其實兩種不放回的抽取方式只是在抽樣過程與形式上有所不同,文獻(xiàn)[1]從概率視角,證明了逐個不放回地隨機(jī)抽取與一次性批量隨機(jī)抽取時,某個體被抽中的概率值相等,過程略．由于一次性批量隨機(jī)抽取操作性不強(qiáng),不太方便,現(xiàn)實中很少選用該抽樣方式．

疑問2如何在教學(xué)中讓學(xué)生輕松理解并重視分層抽樣的方差公式?

剖析要講好分層抽樣的方差公式,先要了解它的背景是由于整合不同來源的數(shù)據(jù)的需要,以及在數(shù)據(jù)龐大的情況下為減少計算量的需要．《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017版2020年修訂)》(簡稱課標(biāo))要求結(jié)合具體實例掌握該內(nèi)容,教材也是以實例(2019版必修第二冊第212頁例6)呈現(xiàn)該問題．

接下來對總體的方差值計算才是我們要突破的難點(diǎn),我們完全可以參照課標(biāo)要求進(jìn)行,落實數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng),即:

聯(lián)想到方差有兩種計算形式,故還有以下解法:

教材課后習(xí)題(2019版必修第二冊第216頁習(xí)題11)要求三層的方差計算,運(yùn)算技巧還是“添減項,平方和分解”．其實在實際應(yīng)用中還有兩個遞推計算思想:①如果一組數(shù)據(jù)由多個來源組成,可以先計算其中兩組合在一起的方差,再逐一和另一組合在一起,計算方差;②如果按計算公式計算一組數(shù)據(jù)的方差,可先計算前面幾個數(shù)的方差,再逐一和后面一個數(shù)合在一起計算方差．例1計算去掉一個數(shù)據(jù)后的平均數(shù)和方差,從高考的視角體現(xiàn)了其中的遞推計算思想,同時也證明了掌握該方差公式的重要性．

例1(2017年全國Ⅰ卷理科第19題節(jié)選)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程,檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個零件,并測量其尺寸(單位:cm)．根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗,可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(μ,σ2)．

一天內(nèi)抽檢零件中,如果出現(xiàn)了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件,就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況,需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查．下面是檢驗員在一天內(nèi)抽取的16個零件的尺寸:

9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

疑問3如何引導(dǎo)學(xué)生重視概率公式的證明?

剖析重視概率公式的證明是肯定的．以條件概率為例,它的本質(zhì)就是在縮小的樣本空間A上計算事件AB的概率,它的產(chǎn)生背景是解決積事件的概率問題．

課標(biāo)要求結(jié)合古典概型進(jìn)行推理,教材對條件概率的定義是逐步抽象進(jìn)行的,即:從兩個實例,其第(1)問為無條件古典概型,第(2)為有條件古典概型,一般化到古典概型的條件概率,再抽象到一般概型的條件概率,最后變形成概率的乘法公式．該過程說明條件概率是無條件概率的進(jìn)一步抽象,因為當(dāng)樣本空間A=Ω時,P(B|A)=P(B)．同時,過程中也給出求條件概率的方法:①根據(jù)直觀意義,樣本空間縮小為A,條件概率P(B|A)就是以A為樣本空間計算AB的概率;②基于樣本空間Ω,計算P(A),P(AB),通過條件概率公式求P(B|A)．

例2(2022年新全國Ⅰ卷第20題節(jié)選)一醫(yī)療團(tuán)隊為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣(衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類)的關(guān)系,在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例(稱為病例組),同時在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人(稱為對照組),得到如下數(shù)據(jù):

不夠良好良好病例組4060對照組1090

例2以構(gòu)建一項度量指標(biāo)為情境,用證明題的方式考查條件概率公式P(AB)=P(A)·P(B|A)=P(B)P(A|B)的靈活運(yùn)用,式子結(jié)構(gòu)體現(xiàn)了“條件”的相對性．本題對學(xué)生的邏輯推理能力要求較高,檢測了學(xué)生對基本公式的掌握和關(guān)鍵能力的水平層級,從高考的考向視角證實了公式推導(dǎo)證明的重要性．

疑問4如何在教學(xué)中讓學(xué)生透徹理解全概率公式?

剖析講透全概率公式,需要結(jié)合教師教學(xué)用書對教材進(jìn)行深度解讀,才能夠在教學(xué)中讓學(xué)生對相關(guān)內(nèi)容的理解更透徹．

首先,教材通過古典概型實例(2019版選擇性必修第三冊第49頁思考)進(jìn)行兩層情況的全概率公式探究,探究過程需要深度解讀,如事件發(fā)展的流程不清晰時,可以借助樹狀圖處理．又如對思考題的解答推理過程揭示了全概率公式的數(shù)學(xué)本質(zhì),即先利用一組兩兩互斥的事件(和為必然事件)分割事件B,再由概率的加法公式和乘法公式求事件B的概率,換句話說,就是用已知可求事件的概率推算未知復(fù)雜事件的概率．

其次,從兩層的推理結(jié)果歸納到n層的全概率公式,沒有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明過程．結(jié)合教師教學(xué)用書,我們可以借助Venn圖直觀理解,但過程還是不嚴(yán)謹(jǐn),從而我們需要進(jìn)行如下嚴(yán)謹(jǐn)處理:

證明借助樹狀圖分割事件B,即B=ΩB=(A1∪A2∪…∪An)B=A1B∪A2B∪…∪AnB,可得P(B)=P(A1B)+P(A2B)+…+P(AnB)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+…+P(An)P(B|An)．

以上證明過程的思路,可理解為將復(fù)雜事件B進(jìn)行分類,變成一些積事件,再用和事件與積事件的概率性質(zhì)求概率．從這個證明過程,我們也可得知,當(dāng)事件A1,A2,…,An與B相互獨(dú)立時,可用P(B)=P(A1B)+P(A2B)+…+P(AnB)=P(A1)P(B)+P(A2)P(B)+…+P(An)P(B)求解．

因此,全概率公式的使用可以借助樹狀圖或結(jié)構(gòu)圖等處理好全概率公式中事件的關(guān)系,通過對事件的發(fā)生發(fā)展的“路徑”分析和樣本空間中事件關(guān)系的分析把事件進(jìn)行轉(zhuǎn)化,條理會更加清晰．教材后面的例5展示了借助Venn圖劃分樣本空間,突出樣本空間的層次;例6用結(jié)構(gòu)圖對事件發(fā)生發(fā)展進(jìn)行路徑分析．

疑問5關(guān)于卡方獨(dú)立性檢驗及線性回歸內(nèi)容,教材有大篇幅的公式推理過程,如何在教學(xué)中落實學(xué)生的核心素養(yǎng)培養(yǎng)?

剖析這些相關(guān)內(nèi)容主要涉及邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng),而解決該疑問需要把握好兩點(diǎn):①統(tǒng)計量的構(gòu)建思想就是從直觀想法出發(fā),逐步進(jìn)行修正;②借助信息技術(shù),突破計算困難而導(dǎo)致的教學(xué)困境．

(1)經(jīng)歷構(gòu)建過程,滲透思想方法

對于數(shù)據(jù)分析中的統(tǒng)計量的構(gòu)建,舊教材只作了適當(dāng)說明就直接給出統(tǒng)計量的公式,從而顯得邏輯關(guān)系與統(tǒng)計思想不夠清晰．而新教材要求我們教學(xué)時,要重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)統(tǒng)計量的構(gòu)建過程,并在過程中滲透思想方法．

從以上過程,可以體會到構(gòu)造的思想方法,即根據(jù)要刻畫的數(shù)字特征的意義,從直觀想法出發(fā),逐步進(jìn)行修正,特別要把握好兩化過程,即“中心化”與“標(biāo)準(zhǔn)化”．這是構(gòu)造統(tǒng)計量的常用思想方法,高中數(shù)學(xué)中的其它統(tǒng)計量構(gòu)建都用到了這些思想,作為疑問5的回答,以下討論教材中的幾個統(tǒng)計量的構(gòu)建思路．

以構(gòu)建卡方公式為例,因為獨(dú)立性檢驗的本質(zhì)是比較觀測值與期望值之間的差異,利用分類變量的獨(dú)立性及獨(dú)立事件的概率公式,通過樣本的頻率來估計概率,從而求得四個頻數(shù)的期望值．先將四個觀測值減去各自的期望值,即“中心化”;為了方便計算,且平衡頻數(shù)的期望值大小對統(tǒng)計量的影響,然后將四個差的絕對值取平方后分別除以相應(yīng)的期望值(即“標(biāo)準(zhǔn)化”),再求和得

(2)借助信息技術(shù),突破教學(xué)困境

真實情境的處理困難不僅是將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,還有數(shù)學(xué)化后的真實數(shù)據(jù)一般都很復(fù)雜．這就要求我們能借助信息技術(shù)突破計算困難而導(dǎo)致的教學(xué)困境,提升學(xué)生的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)．課標(biāo)對統(tǒng)計分析的內(nèi)容要求與教學(xué)提示中都講到了要學(xué)生會用統(tǒng)計軟件,也就是說:如果不用統(tǒng)計軟件,那么就無法完成本單元的教學(xué)任務(wù)．以成對數(shù)據(jù)的相關(guān)分析與回歸分析為例,教學(xué)過程就要求我們計算均值、平方和等．近幾年高考試題中的概率統(tǒng)計解答題對相關(guān)計算的考查也一直是熱點(diǎn),如2015年全國Ⅰ卷理科第19題、2016年全國Ⅲ卷理科第18題、2017年全國Ⅰ卷理科第19題、2020年全國Ⅱ卷第18題與2022年全國乙卷第19題等,都涉及對各公式兩種形式的轉(zhuǎn)化運(yùn)算和整式的數(shù)據(jù)值代入運(yùn)算．

現(xiàn)以教材中有關(guān)回歸分析的例題(2019版選擇性必修第三冊第115頁問題)為例．如果借助Excel或GeoGebra等軟件進(jìn)行分析,直接得到擬合圖、經(jīng)驗回歸方程和一些相關(guān)量的值,該過程只適合熟練的學(xué)生使用,但不利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)．

=-0.85585815(線性關(guān)系較強(qiáng));再求得

這5個問題以教材中概率統(tǒng)計內(nèi)容的編寫順序呈現(xiàn),遍及整個高中概率統(tǒng)計內(nèi)容,反映了新舊高中數(shù)學(xué)教材使用過渡時期,教材中的新定義、新內(nèi)容與新理論給一線老師帶來的一些困惑．結(jié)合疑問剖析,我們可以歸納以下四種應(yīng)對策略．

第一,類比辨析探究,深化概念理解．類比推理是研究數(shù)學(xué)問題的常見方法．用類比方法探究概念與性質(zhì),學(xué)生能夠體驗和經(jīng)歷在新情境中選擇和運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決問題．如類比集合的關(guān)系與運(yùn)算,更好地理解事件的關(guān)系與運(yùn)算意義;通過類比函數(shù)的研究得到研究概率的思路和啟發(fā)等．通過對容易混淆的概念進(jìn)行對比辨析,能夠深化對概念理解,尤其是相同概念的不同定義(如疑問1剖析)．

第二,深度解讀教材,依據(jù)學(xué)情施教．教材是實現(xiàn)課程目標(biāo)、發(fā)展學(xué)科核心素養(yǎng)的重要資源．結(jié)合教師教學(xué)用書,對教材進(jìn)行深度解讀,能夠在教學(xué)中讓學(xué)生對相關(guān)內(nèi)容理解得更透徹(如疑問4剖析)．

第三,重視推理構(gòu)建,滲透思想方法．公式教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分,其掌握程度直接影響學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解和數(shù)學(xué)理論的應(yīng)用(如疑問2與疑問3剖析)．現(xiàn)實中,一些不良教學(xué)現(xiàn)象依然存在,如簡化公式的生成,淡化公式的聯(lián)系,依靠刷題讓學(xué)生應(yīng)用公式,應(yīng)付考試,不利于發(fā)展學(xué)生的推理論證能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力．再是引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷統(tǒng)計量的構(gòu)建過程,讓學(xué)生領(lǐng)悟其中的思想方法,從而發(fā)展學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng),培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識．

第四,借助信息技術(shù),突破教學(xué)困境．統(tǒng)計學(xué)中的需要使用大量復(fù)雜公式與符號、數(shù)據(jù)進(jìn)行運(yùn)算,使得學(xué)生很難真正理解,畏難心很強(qiáng),給我們教學(xué)帶來了挑戰(zhàn)．如果發(fā)揮信息技術(shù)的直觀優(yōu)勢,不僅能解決學(xué)生的疑問,積累數(shù)據(jù)分析的基本活動經(jīng)驗,還能激發(fā)學(xué)生的興趣,提高教學(xué)效率(如疑問5剖析)．

基于以上應(yīng)對策略教學(xué)也是落實大單元教學(xué)理念．歸根就是依據(jù)課標(biāo)教學(xué),結(jié)合教參深度解讀教材,注重數(shù)學(xué)知識的發(fā)生發(fā)展．