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    面向?qū)傩愿拍罡竦母拍罴s簡及其在知識空間理論中的應(yīng)用

    2023-10-28 03:18:40于亞琪趙思雨
    關(guān)鍵詞:背景定義概念

    于亞琪,趙思雨,魏 玲,3

    (1.西北大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,陜西 西安 710127;2.西北大學(xué) 概念、認知與智能研究中心,陜西 西安 710127;3.閩南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,福建 漳州 363000)

    1982年,Wille提出了形式概念分析(formal concept analysis, FCA)理論[1-2]。該理論對哲學(xué)中的“概念”進行形式化描述,并將所有概念按照一定的偏序關(guān)系和上下確界的定義,形成一個格結(jié)構(gòu),稱之為概念格。經(jīng)過多年的研究探索,形式概念分析在屬性約簡[3-5]、規(guī)則獲取[6-8]、三支概念分析[9-10]等領(lǐng)域產(chǎn)生了一些研究成果。

    Duntsch和Gediga在FCA框架下提出了面向?qū)傩愿拍罡馵11];Yao提出了面向?qū)ο蟾拍罡馵12]。目前,關(guān)于面向?qū)傩愿拍罡衽c面向?qū)ο蟾拍罡褚旬a(chǎn)生了許多研究成果。比如:魏玲等提出了一種直接從形式背景出發(fā),獲得簡化面向?qū)傩愿拍罡竦姆椒╗13];Medina研究了概念格、面向?qū)傩愿拍罡褚约懊嫦驅(qū)ο蟾拍罡竦膶傩蕴卣髦g的關(guān)系[14];周銀鳳等基于面向?qū)傩愿拍罡袂蠼庥珊先〖寄苡成浯_定的知識結(jié)構(gòu)[15]。

    近年來,為減少形式背景與概念格中存在許多冗余信息的問題,許多約簡理論被相繼提出。其中:魏玲等于2018年提出的保持二元關(guān)系不變的概念約簡是形式概念分析中新的約簡理論[16-17],與屬性約簡相比,既避免了原始信息發(fā)生改變,又減少了概念數(shù)量;王霞等利用概念可辨識矩陣給出了一種求解概念約簡的方法[18];謝小賢等借助布爾矩陣運算研究了概念約簡問題[19];Zhao等從代表概念矩陣角度給出了求解概念約簡的方法[20];智慧來等把概念約簡思想引入面向?qū)ο蟾拍罡?并研究了面向?qū)ο蟾拍罴s簡的相關(guān)問題[21]。

    目前,關(guān)于概念約簡的相關(guān)研究還沒有涉及面向?qū)傩愿拍罴s簡。本文研究面向?qū)傩愿拍罡竦母拍罴s簡及其在知識空間理論中的應(yīng)用。

    本文首先給出面向?qū)傩愿拍罴s簡的定義,隨后引入POC代表概念矩陣,基于POC代表概念矩陣給出面向?qū)傩愿拍罴s簡的求解方法與面向?qū)傩愿拍钐卣?其次,結(jié)合面向?qū)ο蟾拍罴s簡,給出面向?qū)傩愿拍罴s簡與面向?qū)ο蟾拍罴s簡之間的聯(lián)系;最后,從知識空間的角度,探討面向?qū)傩愿拍罴s簡的意義。

    1 預(yù)備知識

    定義1[1]稱(G,M,I)是形式背景,其中G={g1,…,gp}為對象集,M={m1,…,mq}為屬性集,I?G×M為G和M之間的二元關(guān)系。(g,m)∈I,表示對象g具有屬性m,記為gIm。(g,m)?I,表示對象g不具有屬性m,記為gIcm。

    對任意的X?G,B?M,Wille[1]定義了一對導(dǎo)出算子如下,其性質(zhì)見文獻[2]。

    X*={m∈M|?g∈X,gIm},

    (1)

    B*={g∈G|?m∈B,gIm}。

    (2)

    式中:X*表示X中的所有對象共同具有的屬性集合;B*表示共同具有B中所有屬性的對象集合。如果二元組(X,B)滿足X*=B且X=B*,則稱(X,B)是一個概念。其中X稱為概念的外延,B稱為概念的內(nèi)涵。

    類似地,對任意的X?G,B?M,Qi[9]定義了一對負算子如下,其性質(zhì)見文獻[9]。

    (3)

    (4)

    Duntsch和Gediga[11]在對象集和屬性集上分別定義了□、◇,并給出了面向?qū)傩愿拍畹亩x。

    定義2[11]設(shè)(G,M,I)是形式背景,在對象集X?G和屬性集B?M上,定義一對近似算子□、◇。

    X□={m∈M|m*?X};

    (5)

    X◇={m∈M|m*∩X≠?};

    (6)

    B□={g∈G|g*?B};

    (7)

    B◇={g∈G|g*∩B≠?}。

    (8)

    對于□、◇,有以下基本性質(zhì)。

    性質(zhì)1[11-12]設(shè)(G,M,I)形式背景,X1,X2,X?G,B1,B2,B?M,有下列基本性質(zhì):

    2)X□◇□=X□,X◇□◇=X◇;

    B□◇□=B□,B◇□◇=B◇。

    定義3[11]如果二元組(X,B)滿足X=B□且B=X◇,則稱(X,B)為面向?qū)傩愿拍?。其中X稱為面向?qū)傩愿拍畹耐庋?B稱為面向?qū)傩愿拍畹膬?nèi)涵。

    將形式背景(G,M,I)上的面向?qū)傩愿拍钊w記為Lp(G,M,I)。

    若(X1,B1)和(X2,B2)是面向?qū)傩愿拍?其偏序關(guān)系定義為(X1,B1)≤(X2,B2)?X1?X2(?B1?B2),則(Lp(G,M,I),≤)是偏序集。上確界和下確界分別為

    (X1,B1)∨(X2,B2)=((X1∪X2)◇□,B1∪B2),

    (X1,B1)∧(X2,B2)=(X1∩X2,(B1∩B2)□◇),

    則(Lp(G,M,I),∨,∧)是完備格,稱之為面向?qū)傩愿拍罡瘛?/p>

    面向?qū)ο蟾拍罡竦南嚓P(guān)定義及性質(zhì)見文獻[12]。

    例1表1給出了一個形式背景(G,M,I) 。其中:對象集G={1,2,3,4,5} ;屬性集M={a,b,c,d,e,f,g}。(g,m)∈I用1表示,(g,m)I用0表示。該形式背景的面向?qū)傩愿拍罡袢鐖D1所示。為了方便表述,將每個面向?qū)傩愿拍钜詂i(i=1,2,…,9)編號。

    圖1 面向?qū)傩愿拍罡馤p(G,M,I)Fig. 1 Property-oriented concept lattice Lp(G,M,I)

    表1 形式背景(G,M,I) Tab. 1 Formal context (G,M,I)

    2 面向?qū)傩愿拍罴s簡

    2.1 面向?qū)傩愿拍罴s簡的定義及存在性

    本小節(jié)從保持形式背景補二元關(guān)系不變的角度給出面向?qū)傩愿拍罴s簡的定義,并給出兩種特殊的面向?qū)傩愿拍顓f(xié)調(diào)集。

    文獻[2]給出了形式背景的二元關(guān)系與其所有概念之間的關(guān)系,如下引理所示。

    引理1[2]設(shè)(G,M,I)是形式背景,L(G,M,I)是其概念格,有

    I=∪{X×B|(X,B)∈L(G,M,I)}。

    類似地,補二元關(guān)系可表示為

    Ic=∪{X×B|(X,B)∈NL(G,M,I)}。

    根據(jù)算子之間的聯(lián)系,面向?qū)傩愿拍钆cN概念的關(guān)系如下。

    性質(zhì)2[14]設(shè)(G,M,I)是形式背景,Lp(G,M,I)是其面向?qū)傩愿拍罡?NL(G,M,I)是其N概念格,有

    (X,B)∈Lp(G,M,I)?(X,Bc)∈NL(G,M,I)。

    由引理1和性質(zhì)2易得補二元關(guān)系也可由所有面向?qū)傩愿拍钌伞?/p>

    定理1設(shè)(G,M,I)是形式背景,Lp(G,M,I)是其面向?qū)傩愿拍罡?則

    Ic=∪{X×Bc|(X,B)∈Lp(G,M,I)}。

    定義4設(shè)(G,M,I)是形式背景,Lp(G,M,I)是其面向?qū)傩愿拍罡?F?Lp(G,M,I)。如果Ic=∪(X,B)∈FX×Bc,則稱F為保持補二元關(guān)系不變的面向?qū)傩愿拍罡竦母拍顓f(xié)調(diào)集,簡稱面向?qū)傩愿拍顓f(xié)調(diào)集;若對于任意(X0,B0)∈F,F′=F{(X0,B0)},有Ic≠∪(X,B)∈F′X×Bc,則稱F為保持補二元關(guān)系不變的面向?qū)傩愿拍罡竦母拍罴s簡,簡稱面向?qū)傩愿拍罴s簡。

    定理2設(shè)(G,M,I)是形式背景,Lp(G,M,I)是其面向?qū)傩愿拍罡?則面向?qū)傩愿拍罴s簡必存在。

    證明若對任意(X0,B0)∈Lp(G,M,I),有∪(X,B)∈Lp(G,M,I)X×Bc≠∪(X,B)∈Lp(G,M,I){(X0,B0)}X×Bc,則Lp(G,M,I)本身即為面向?qū)傩愿拍罴s簡。若存在(X1,B1)∈Lp(G,M,I),使∪(X,B)∈Lp(G,M,I)X×Bc=∪(X,B)∈Lp(G,M,I){(X1,B1)}X×Bc,則研究F=Lp(G,M,I){(X1,B1)},若對于任意(X2,B2)∈F,有∪(X,B)∈FX×Bc≠∪(X,B)∈F{(X2,B2)}X×Bc,則F為面向?qū)傩愿拍罴s簡,否則,進一步研究F1=F{(X2,B2)},重復(fù)上述過程,由于Lp(G,M,I)是有限集,所以,至少可以找到一個約簡。因此,面向?qū)傩愿拍罴s簡必存在。

    性質(zhì)3對于任意g∈G,m∈M,一定有

    (g◇□,g◇)∈Lp(G,M,I),

    (m◇c,m◇c◇)∈Lp(G,M,I)。

    證明由定義2可得,m◇c={g∈G|gIcm}=mc□,則m◇c◇=mc□◇,故(m◇c,m◇c◇)=(mc□,mc□◇)。由定義3和性質(zhì)1可知,(g◇□,g◇)∈Lp(G,M,I),(m◇c,m◇c◇)∈Lp(G,M,I)。

    定義5設(shè)(G,M,I)是形式背景,稱(g◇□,g◇)是面向?qū)傩愿拍罡竦膶ο蟾拍睢S浰忻嫦驅(qū)傩愿拍罡竦膶ο蟾拍畹募蠟镺p(G,M,I)。對偶地,稱(m◇c,m◇c◇)是面向?qū)傩愿拍罡竦膶傩愿拍?。記所有面向?qū)傩愿拍罡竦膶傩愿拍畹募蠟锳p(G,M,I)。

    本文中面向?qū)傩愿拍罡竦膶ο蟾拍钆c屬性概念分別簡稱為對象概念與屬性概念。

    定理3Op(G,M,I)與Ap(G,M,I)均為面向?qū)傩愿拍顓f(xié)調(diào)集。

    例2(續(xù)例1)由例1可知在形式背景(G,M,I)中,1◇={a,c,e,f},1◇□={1,3,4},a◇c={3,4},a◇c◇={c,f},由定義5知,c4為對象概念,c7為屬性概念。類似地,得Op(G,M,I)={c4,c6,c7,c8},Ap(G,M,I)={c2,c3,c4,c6,c7}??沈炞C此時Op(G,M,I)、Ap(G,M,I)均是面向?qū)傩愿拍顓f(xié)調(diào)集。

    2.2 面向?qū)傩愿拍罴s簡求解方法

    本小節(jié)給出面向?qū)傩愿拍顓f(xié)調(diào)集判定定理,并從POC代表概念矩陣的角度給出面向?qū)傩愿拍罴s簡的求解方法。

    定義6設(shè)(G,M,I)是形式背景,g∈G,m∈M,(X,B)∈LP(G,M,I)。如果(g,m)∈X×Bc,則稱(X,B)是(g,m)關(guān)于面向?qū)傩愿拍畹拇砀拍?簡稱POC代表概念,其全體記為REP((g,m))。在此基礎(chǔ)上,稱

    Λ={REP((g,m))|(g,m)∈X×Bc}

    (9)

    為形式背景(G,M,I)關(guān)于面向?qū)傩愿拍畹拇砀拍罹仃?簡稱POC代表概念矩陣。

    事實上,與所有非空REP((g,m))相交非空的面向?qū)傩愿拍罴褪敲嫦驅(qū)傩愿拍顓f(xié)調(diào)集。

    定理4(面向?qū)傩愿拍顓f(xié)調(diào)集判定定理) 設(shè)(G,M,I)是形式背景,Lp(G,M,I)是其面向?qū)傩愿拍罡瘛τ谌我釬?Lp(G,M,I),F≠?,下列命題等價:

    1)F是面向?qū)傩愿拍顓f(xié)調(diào)集;

    2) 對于任意(g,m)∈Ic,F∩REP((g,m))≠?;

    3) 對于任意D?Lp(G,M,I),若F∩D=?,則D?Λ。

    證明1)?2)。由F是面向?qū)傩愿拍顓f(xié)調(diào)集可知:Ic=∪(X,B)∈FX×Bc。 所以對任意(g,m)∈Ic,存在(X,B)∈F,使得(g,m)∈X×Bc,即(X,B)∈REP((g,m))。故F∩REP((g,m))≠?。

    2)?1)。對任意(g,m)∈Ic,F∩REP((g,m))≠?,故存在(X,B)∈F,滿足(X,B)∈REP((g,m)),即存在(X,B)∈F滿足(g,m)∈X×Bc。因此,∪(X,B)∈FX×Bc=∪(g,m)∈X×Bc,(X,B)∈F{(g,m)}=Ic,故F是面向?qū)傩愿拍顓f(xié)調(diào)集。

    2)?3)。假設(shè)D∈Λ,因為Λ={REP((g,m))|(g,m)∈X×Bc}且對于任意(g,m)∈Ic,F∩REP((g,m))≠?,所以F∩D≠?,矛盾。因此,D?Λ。

    3)?2)。假設(shè)對于任意的(g,m)∈Ic,有F∩REP((g,m))=?。因為對于任意D?Lp(G,M,I),若F∩D=?,有D?Λ,所以REP((g,m))?Λ,矛盾。故對于任意(g,m)∈Ic,F∩REP((g,m))≠?。

    結(jié)合定義4與定理4即可得到面向?qū)傩愿拍罴s簡判定定理。

    定理5(面向?qū)傩愿拍罴s簡判定定理) 設(shè)(G,M,I)是形式背景,Lp(G,M,I)是其面向?qū)傩愿拍罡瘛τ谌我釬?Lp(G,M,I),若滿足以下兩個條件:

    1)對于任意(g,m)∈Ic,F∩REP((g,m))≠?;

    2)對于任意(X,B)∈F,有(g0,m0)∈Ic,使得(F{(X,B)})∩REP((g0,m0))=?。

    則F是面向?qū)傩愿拍罴s簡。

    在POC代表概念矩陣中存在一些冗余的REP((g,m)),使得求解面向?qū)傩愿拍罴s簡的時間復(fù)雜度有所增加。為解決此問題,定義了最小POC代表概念矩陣Λmin。

    定義7設(shè)(G,M,I)是形式背景,Λmin是包含關(guān)系下由所有極小REP((g,m))組成的矩陣,則稱Λmin為形式背景(G,M,I)的最小POC代表概念矩陣。

    基于最小POC代表概念矩陣給出求解面向?qū)傩愿拍罴s簡的方法。

    定義8設(shè)(G,M,I)是形式背景,Lp(G,M,I)是其面向?qū)傩愿拍罡?面向?qū)傩愿拍畹拇砀拍詈瘮?shù)定義為

    (10)

    f(Λmin)所對應(yīng)的最小析取范式的所有合取式為形式背景(G,M,I)的所有面向?qū)傩愿拍罴s簡。

    例3(續(xù)例1) 由性質(zhì)2可知所有補概念為(G,?),(1345,d),(2345,e),(134,bdg),(345,de),(25,cef),(34,abdeg),(5,cdef),(?,M)。遍歷所有補概念可知,(1,b)∈{1,3,4}×{b,d,g},所以,由定義6知REP((1,b))={({1,3,4},{a,c,e,f})}={c4}。類似地,對于任意g∈G,m∈M,REP((g,m))即可得。由此,形式背景(G,M,I)的POC代表概念矩陣與最小POC代表概念矩陣為

    進而得

    f(Λmin)=

    c4∧c6∧c7∧(c2∨c5∨c8)=

    (c2∧c4∧c6∧c7)∨(c4∧c5∧

    c6∧c7)∨(c4∧c6∧c7∧c8)。

    即形式背景的面向?qū)傩愿拍罴s簡有3個,分別是

    F1={c2,c4,c6,c7},

    F2={c4,c5,c6,c7},

    F3={c4,c6,c7,c8}。

    2.3 面向?qū)傩愿拍钐卣?/h3>

    每個面向?qū)傩愿拍钤诿嫦驅(qū)傩愿拍罡裰兴鸬淖饔檬遣煌?本小節(jié)從面向?qū)傩愿拍罴s簡出發(fā),將面向?qū)傩愿拍罘譃?類,即核心面向?qū)傩愿拍?相對必要面向?qū)傩愿拍?絕對不必要面向?qū)傩愿拍?并分別研究其特征。

    定義9設(shè)(G,M,I)是形式背景,Lp(G,M,I)是其面向?qū)傩愿拍罡瘛S汻={Fi|i∈τ,τ為指標集}為(G,M,I)的所有面向?qū)傩愿拍罴s簡的集合,則Lp(G,M,I)可分為3類:

    1)核心面向?qū)傩愿拍罴疌=∩i∈τFi;

    2)相對必要面向?qū)傩愿拍罴?/p>

    K=∪i∈τFi∩i∈τFi;

    3)絕對不必要面向?qū)傩愿拍罴?/p>

    U=Lp(G,M,I)∪i∈τFi。

    例4(續(xù)例1) 在形式背景(G,M,I)中,C={c4,c6,c7},K={c2,c5,c8},U={c1,c3,c9}。

    下面從POC代表概念矩陣角度給出核心面向?qū)傩愿拍畹母拍钐卣鳌?/p>

    定理6設(shè)(G,M,I)是形式背景,Lp(G,M,I)是其面向?qū)傩愿拍罡?。c∈C當(dāng)且僅當(dāng)存在(g,m)∈Ic,使得REP((g,m))={c}。

    證明c∈C?Lp(G,M,I){c}不是面向?qū)傩愿拍顓f(xié)調(diào)集?存在(g,m)∈Ic,使得Lp(G,M,I){c}∩REP((g,m))=??存在(g,m)∈Ic使得REP((g,m))={c}。

    定理7從最小POC代表概念矩陣角度給出絕對不必要面向?qū)傩愿拍畹母拍钐卣鳌?/p>

    定理7設(shè)(G,M,I)是形式背景,Lp(G,M,I)是其面向?qū)傩愿拍罡?。c∈U當(dāng)且僅當(dāng)對于任意REP((g,m))∈Λmin,c?REP((g,m))。

    證明必要性。假設(shè)存在REP((g,m))∈Λmin,c∈REP((g,m)),由定理4可知,存在面向?qū)傩愿拍罴s簡F0,使得c∈F0,即c?U,矛盾。故對任意REP((g,m))∈Λmin,c?REP((g,m))。

    充分性。假設(shè)c?U,則存在面向?qū)傩愿拍罴s簡F0,使得c∈F0。即存在REP((g,m))∈Λmin,使得c∈REP((g,m)),矛盾。故c∈U。

    結(jié)合定理6與定理7,可得相對必要面向?qū)傩愿拍钐卣魅缤普?。

    推論1設(shè)(G,M,I)是形式背景,Lp(G,M,I)是其面向?qū)傩愿拍罡?。c∈K當(dāng)且僅當(dāng)存在REP((g,m))∈Λmin,c∈REP((g,m))且對于任意(g,m)∈Ic,滿足REP((g,m))≠{c}。

    3 面向?qū)傩愿拍罴s簡與面向?qū)ο蟾拍罴s簡的關(guān)系

    智慧來等在文獻[21]中研究了面向?qū)ο蟾拍罴s簡,本文第2節(jié)中主要研究了面向?qū)傩愿拍罴s簡,本節(jié)討論兩者之間的關(guān)系。

    定義10[21]設(shè)(G,M,I)是形式背景,Lo(G,M,I)是其面向?qū)ο蟾拍罡?F?Lo(G,M,I)。如果Ic=∪(X,B)∈FXc×B,則稱F為面向?qū)ο蟾拍顓f(xié)調(diào)集;若對于任意(X0,B0)∈F,F′=F{(X0,B0)},有Ic≠∪(X,B)∈F′Xc×B,則稱F為面向?qū)ο蟾拍罴s簡。

    引理2給出面向?qū)傩愿拍钆c面向?qū)ο蟾拍钪g的關(guān)系。

    引理2[14]設(shè)(G,M,I)是形式背景,Lp(G,M,I)是其面向?qū)傩愿拍罡?Lo(G,M,I)是其面向?qū)ο蟾拍罡瘛?X,B)∈Lp(G,M,I)當(dāng)且僅當(dāng)(Xc,Bc)∈Lo(G,M,I)。

    下面從定義角度給出面向?qū)傩愿拍罴s簡與面向?qū)ο蟾拍罴s簡之間的聯(lián)系。

    充分性同理可證。

    由定理8可知,面向?qū)傩愿拍罴s簡與面向?qū)ο蟾拍罴s簡可相互得到。下面定理說明面向?qū)傩愿拍钐卣髋c面向?qū)ο蟾拍钐卣髦g的關(guān)系。

    定理9設(shè)(G,M,I)是形式背景,Lp(G,M,I)與Lo(G,M,I)分別是其面向?qū)傩愿拍罡衽c面向?qū)ο蟾拍罡?。C、K、U分別是核心、相對必要、絕對不必要面向?qū)傩愿拍罴?Co、Ko、Uo分別是核心、相對必要、絕對不必要面向?qū)ο蟾拍罴?。對于任?X,B)∈Lp(G,M,I),有

    1) (X,B)∈C?(Xc,Bc)∈Co;

    2) (X,B)∈K?(Xc,Bc)∈Ko;

    3) (X,B)∈U?(Xc,Bc)∈Uo。

    2)、3)同理可得。

    例5(續(xù)例1) 由定理8知,形式背景(G,M,I)的面向?qū)ο蟾拍罴s簡分別為

    由定理9可知,核心面向?qū)ο蟾拍罴疌o、相對必要面向?qū)ο蟾拍罴疜o、絕對不必要面向?qū)ο蟾拍罴疷o分別為

    Co={(25,bdg),(134,cef),(125,abdeg)},

    Ko={(2,d),(12,de),(1234,cdef)},

    Uo={(?,?),(1,e),(G,M)}。

    4 面向?qū)傩愿拍罴s簡的應(yīng)用

    Rusch和Wille在文獻[22]中將知識空間與形式背景相結(jié)合,提出了由形式背景構(gòu)造知識空間的方法。李進金等通過知識基建立了形式背景和知識空間的聯(lián)系[23]。周銀鳳等將合取技能映射轉(zhuǎn)換成技能背景,通過求解技能背景的所有面向?qū)傩愿拍畹玫接珊先〖寄苡成湔T導(dǎo)的知識結(jié)構(gòu)[15]。對于合取技能映射誘導(dǎo)的知識結(jié)構(gòu),可通過所有面向?qū)傩愿拍畲_定相應(yīng)的技能背景。但由合取技能映射誘導(dǎo)的知識結(jié)構(gòu)中存在冗余信息,本節(jié)通過面向?qū)傩愿拍罴s簡對應(yīng)的部分知識結(jié)構(gòu)確定與之對應(yīng)的技能背景。

    首先,給出知識結(jié)構(gòu)的定義。

    定義11[24]給定問題集Q,學(xué)習(xí)者能解決的問題子集K?Q稱為知識狀態(tài)。(Q,K )為知識結(jié)構(gòu),其中,K 是由知識狀態(tài)構(gòu)成的集族且至少包含?和Q。

    在問題集Q明確的情況下,知識結(jié)構(gòu)簡記為K 。

    例6假設(shè)問題集為Q={1,2,3,4,5},則K1=P (Q),K2={?,{1,2},Q}都是知識結(jié)構(gòu)。

    定義12[25]三元組(Q,S,μ)稱為一個合取技能映射。其中:Q為非空問題集;S為非空技能集;μ為Q到2S?的映射,且對于任意q∈Q,μ(q)?S表示解決問題q的極小能力。對任意技能子集T?S,T通過合取技能映射μ誘導(dǎo)的知識狀態(tài)表示為K={q∈Q|μ(q)?T}。所有的知識狀態(tài)組成的知識結(jié)構(gòu)用K 表示。

    下面,給出合取技能映射與技能背景之間的聯(lián)系。

    定義13[15]設(shè)(Q,S,μ)是合取技能映射,問題集Q為對象,技能集S為屬性,根據(jù)關(guān)系s∈μ(q)?(q,s)∈I,則合取技能映射(Q,S,μ)可轉(zhuǎn)換為形式背景(Q,S,I),稱這樣的形式背景為技能背景。

    例7給定合取技能函數(shù)(Q,S,μ)。其中:Q={1,2,3,4,5}表示5個問題;S={a,b,c,d,e,f,g}表示7種辦公技能,a表示文案撰寫,b表示LaTeX排版,c表示W(wǎng)ord排版,d表示外文翻譯,e表示Python編程,f表示宣傳策劃,g表示圖片處理。設(shè)μ(1)={a,c,e,f},μ(2)={a,b,d,g},μ(3)={c,f},μ(4)={c,f},μ(5)={a,b,g},則技能背景(Q,S,I)如表2所示。其中,μ(5)={a,b,g}表示求解問題5需至少具備技能a,b,g。

    表2 技能背景(Q,S,I)Tab. 2 Skill context(Q,S,I)

    定理10[15]設(shè)(Q,S,I)是與合取技能映射(Q,S,μ)對應(yīng)的技能背景。對于任意(K,T)∈Lp(Q,S,I),技能子集T?S通過μ誘導(dǎo)的知識狀態(tài)為K,記

    K ={K|(K,T)∈Lp(Q,S,I)},

    則K 是由μ誘導(dǎo)得到的知識結(jié)構(gòu)。

    由于知識結(jié)構(gòu)是所有面向?qū)傩愿拍畹耐庋咏M成的集族,根據(jù)本文第2節(jié)可知所有面向?qū)傩愿拍羁纱_定技能背景中的所有補二元關(guān)系,即由知識結(jié)構(gòu)可確定與之對應(yīng)的技能背景。但知識結(jié)構(gòu)中存在冗余信息,通過面向?qū)傩愿拍罴s簡的定義可知,面向?qū)傩愿拍罴s簡即可確定形式背景中所有補二元關(guān)系,即由面向?qū)傩愿拍罴s簡的外延構(gòu)成的部分知識結(jié)構(gòu)可確定與之對應(yīng)的技能背景。

    例8(續(xù)例7)技能背景中的所有面向?qū)傩愿拍顬閏1=(Q,S),c2=(1345,abcefg),c3=(2345,abcdfg),c4=(134,acef),c5=(345,abcfg),c6=(25,abdg),c7=(34,cf),c8=(5,abg),c9=(?, ?)。 其中,c6=(25,abdg)表示解決問題2與問題5需至少具備技能a,b,d,g。

    由定理9可知,合取技能映射誘導(dǎo)的知識結(jié)構(gòu)為K ={Q,{1,3,4,5},{2,3,4,5},{1,3,4},{3,4,5},{2,5},{3,4},{5},?}。由知識結(jié)構(gòu)K 可得對應(yīng)的技能背景,即表2。

    由例3可知,技能背景(Q,S,I)有3個面向?qū)傩愿拍罴s簡,分別為F1={c2,c4,c6,c7},F2={c4,c5,c6,c7},F3={c4,c6,c7,c8}。以F1為例,{c2,c4,c6,c7}包含的部分知識結(jié)構(gòu)是K ′={{1,3,4,5},{1,3,4},{2,5},{3,4}},通過K ′即可確定與之對應(yīng)技能背景(Q,S,I)。

    5 結(jié)語

    概念約簡作為一種新的約簡理論,既保持了形式背景原始信息不變,又減少了概念數(shù)量。本文將概念約簡思想引入面向?qū)傩愿拍罡?研究了面向?qū)傩愿拍罴s簡的問題。 首先,給出了面向?qū)傩愿拍罴s簡的定義,隨后給出了面向?qū)傩愿拍罴s簡的求解方法并根據(jù)面向?qū)傩愿拍钤诩s簡中的不同作用,將其分為核心、相對必要、絕對不必要面向?qū)傩愿拍?其次,從定義角度探討了面向?qū)傩愿拍罴s簡與面向?qū)ο蟾拍罴s簡之間的關(guān)系;最后,給出了面向?qū)傩愿拍罴s簡在知識空間中的應(yīng)用。

    形式概念分析的研究已不再局限于經(jīng)典的形式背景,因此,如何將面向?qū)傩愿拍罴s簡理論擴展到不完備形式背景、模糊背景、區(qū)間值背景也是值得探討的問題。

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