保持規(guī)則前件信息的概念約簡

李 炎,趙思雨,任睿思,魏 玲,3

(1.西北大學 數(shù)學學院,陜西 西安 710127;2.西北大學 概念、認知與智能研究中心,陜西 西安 710127;3.閩南師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院,福建 漳州 363000)

形式概念分析(formal concept analysis, FCA)是由德國數(shù)學家Wille于1982年首次提出[1],此后,由Ganter等多位學者逐步發(fā)展完善[2]。形式概念分析已成為數(shù)據(jù)分析與處理的有效工具,被廣泛應用于關聯(lián)分析[3]、推薦系統(tǒng)[4]、知識發(fā)現(xiàn)[5]等領域。

約簡理論是形式概念分析中重要的研究方向之一。2005年張文修等首次提出保持概念格結(jié)構(gòu)的屬性約簡理論,并給出了屬性約簡的一般研究框架[6]。隨后,不少學者在此框架下深入研究了保持其他特性的屬性約簡[7-9]。雖然在特定語義下進行的屬性約簡可以簡化形式背景,但在一定程度上會損失部分原始信息。鑒于此,魏玲等于2018年提出了概念約簡這個新的研究方向,已逐步引起學者們的關注[10-11]。謝小賢等通過布爾矩陣運算研究了概念特征與概念約簡方法[12];李俊余等研究了三元背景上保持所有三元關系不變的三元概念約簡[13];王霞等通過定義概念可辨識矩陣給出了獲取全部概念約簡的方法[14];智慧來等研究了面向?qū)ο蟾拍畹母拍罴s簡問題[15];Zhao等通過定義代表概念矩陣,給出了一種較為簡單、直觀的概念約簡求解方法[16];Zhou等基于形式概念的矩陣理論,對3類概念進行概念特征分析[17]。

規(guī)則獲取一直是知識發(fā)現(xiàn)研究領域的熱點問題,眾多學者從不同角度研究了決策形式背景的屬性約簡問題。魏玲等通過定義強弱協(xié)調(diào)性,探討了決策形式背景的屬性約簡[18];陳雪等在屬性三支協(xié)調(diào)下,探討了保持非冗余規(guī)則信息不丟失的屬性約簡[19];Wei等從三支概念格的角度給出了決策形式背景的規(guī)則提取方法[20];Chen等研究了大規(guī)模決策形式背景的屬性約簡問題[21];李金海等對規(guī)則提取的相關研究成果進行了梳理、總結(jié)與展望[22]。

在屬性約簡理論框架下,決策形式背景中的屬性約簡研究已相對完善,通過挖掘有意義的決策知識,以滿足決策者的不同需求。而在概念約簡理論框架下,目前還沒有對決策形式背景展開概念約簡的相關研究。因此,本文基于文獻[10-11]中概念約簡的思想,在保持規(guī)則前件信息不變的條件下,設法用部分概念反映規(guī)則前件的全部信息,繼而探討弱協(xié)調(diào)決策形式背景中的概念約簡問題。

1 預備知識

定義1[1]設(G,M,I)是形式背景。其中:G={g1,g2,…,gp}為對象集,gi(i≤p)稱為對象;M={m1,m2,…,mq}為屬性集,mj(j≤q)稱為屬性;I為G與M之間的二元關系,I?G×M。若(g,m)∈I,則表示對象g具有屬性m,記為gIm。

在形式背景(G,M,I)中,對任意的X?G,B?M,Wille[1]定義了一對誘導算子為

X*={m|m∈M,?g∈X,gIm},

(1)

B*={g|g∈G,?m∈B,gIm}。

(2)

式中:X*表示集合X中所有對象共同具有的屬性集合;B*表示共同擁有集合B中所有屬性的對象集合。這對誘導算子的性質(zhì)見文獻[2]。

對于任意X?G,B?M,如果二元組(X,B)滿足X*=B且B*=X,則稱(X,B)是一個形式概念。其中X稱為概念(X,B)的外延,B稱為其內(nèi)涵。

用L(G,M,I)表示形式背景(G,M,I)的全體概念,記(X1,B1)≤(X2,B2)?X1?X2(?B2?B1),則≤是L(G,M,I)上的偏序關系,從而(L(G,M,I),≤)是偏序集。其中,下確界和上確界分別為

(X1,B1)∧(X2,B2)=(X1∩X2,(B1∪B2)**),

(X1,B1)∨(X2,B2)=((X1∪X2)**,B1∩B2)

時,L(G,M,I)是完備格,稱為(G,M,I)的概念格[2]。

對于任意兩個概念(X1,B1),(X2,B2),若(X1,B1)≤(X2,B2),則稱(X1,B1)為(X2,B2)的亞概念,(X2,B2)為(X1,B1)的超概念。

為了得到由概念格形成的規(guī)則,文獻[18,23]提出了決策形式背景的概念,并給出了決策形式背景協(xié)調(diào)性的定義。

定義2[23]設(G,M,I)和(G,T,J)為形式背景且M∩T=?,稱五元組(G,M,I,T,J)為決策形式背景。其中:M為條件屬性集;T為決策屬性集。

稱(G,M,I)為條件子背景,(G,T,J)為決策子背景,相應的概念格分別稱為條件格和決策格。

設L(G,M1,I1)和L(G,M2,I2)是兩個概念格。若存在單射f:L(G,M2,I2)→L(G,M1,I1),滿足:①f((G,?))=(G,?),f((?,M2))=(?,M1);② 對任意(X,B)∈L(G,M2,I2),f((X,B))的外延包含于X,則稱f是L(G,M2,I2)到L(G,M1,I1)的蘊含映射。若存在L(G,M2,I2)到L(G,M1,I1)的一個蘊含映射,則稱L(G,M1,I1)弱細于L(G,M2,I2),記作L(G,M1,I1)≤L(G,M2,I2)。

定義3[18]設(G,M,I,T,J)為決策形式背景,如果L(G,M,I)≤L(G,T,J),那么稱(G,M,I,T,J)是弱協(xié)調(diào)的,否則為不協(xié)調(diào)的。

定義4[24]設(G,M,I,T,J)為決策形式背景,對于任意的(X,B)∈L(G,M,I),(Y,C)∈L(G,T,J),若X?Y,且X,B,Y,C≠?,則稱(X,B)→(Y,C)是規(guī)則,其中(X,B)稱為(X,B)→(Y,C)的前件,(Y,C)稱為(X,B)→(Y,C)的結(jié)論。

記條件格L(G,M,I)到?jīng)Q策格L(G,T,J)的所有規(guī)則集合為R(M,T),即R(M,T)={(X,B)→(Y,C)|X?Y,(X,B)∈L(G,M,I),(Y,C)∈L(G,T,J)}。

設(X,B)→(Y,C),(X′,B′)→(Y′,C′)∈R(M,T),若B?B′,C′?C,則稱(X,B)→(Y,C)蘊含(X′,B′)→(Y′,C′),并稱(X′,B′)→(Y′,C′)是冗余的,記所有非冗余規(guī)則構(gòu)成的集合為R°(M,T)。

2 保持規(guī)則前件信息的概念約簡

2.1 條件子背景的壓縮

條件子背景的二元關系I存儲了對象與屬性之間的所有信息,但其中存在一些對獲取規(guī)則無關的信息,為簡化數(shù)據(jù),首先對條件子背景進行壓縮。壓縮時為保留規(guī)則前件的完整信息,考慮定義4的所有規(guī)則,給出前件背景的定義。

定義5設(G,M,I,T,J)為弱協(xié)調(diào)決策形式背景,R(G,M,I)={(X,B)|(X,B)→(Y,C),(X,B)∈L(G,M,I)}為所有規(guī)則前件的概念集合。令G′=∪{X|(X,B)∈R(G,M,I)},M′=∪{B|(X,B)∈R(G,M,I)},IR=∪{X×B|(X,B)∈R(G,M,I)},稱(G′,M′,IR)為弱協(xié)調(diào)決策形式背景(G,M,I,T,J)的前件背景,其概念格記為L(G′,M′,IR)。

由定義5知,前件背景即由決策形式背景的所有規(guī)則前件重新構(gòu)造的背景,它是條件子背景的一個子背景,且R(G,M,I)?L(G′,M′,IR)。

性質(zhì)1設R(G,M,I)是所有規(guī)則前件的概念集合,對于任意的(X,B)∈R(G,M,I),令S={(Xi,Bi)|(Xi,Bi)≤(X,B),(Xi,Bi)∈L(G,M,I),i∈τ},則S?R(G,M,I)。

證明設(X,B)∈R(G,M,I),則存在(Y,C)∈L(G,T,J),使得X?Y。對于任意(Xi,Bi)∈L(G,M,I),(Xi,Bi)≤(X,B),有Xi?X,故Xi?Y,則(Xi,Bi)→(Y,C),即(Xi,Bi)∈R(G,M,I),故S?R(G,M,I)。

性質(zhì)1表明對于任意規(guī)則前件(X,B),(X,B)的所有亞概念都是規(guī)則前件。

性質(zhì)2設(G′,M′,IR)為弱協(xié)調(diào)決策形式背景(G,M,I,T,J)的前件背景,對于任意g∈G′,有{g}×g*∈IR。

證明對于任意g∈G′,由定義5知,存在(X,B)∈R(G,M,I),使得g∈X,且(X,B)∈L(G,M,I),顯然有X=B*,g∈B*,則B=B**?g*。又因為B=X*,故X*?g*,則有g(shù)**?X**=X,因此,(g**,g*)≤(X,B)。由性質(zhì)1知,(g**,g*)∈R(G,M,I),由R(G,M,I)?L(G′,M′,IR),進而(g**,g*)∈L(G′,M′,IR),則g**×g*∈IR,又{g}?g**,故{g}×g*∈IR。

為進一步說明前件背景與條件子背景之間的關系,給出封閉關系的定義。

定義6[2]如果形式背景(G,M,J)的每個概念都是形式背景(G,M,I)的概念,那么,關系J?I稱為形式背景(G,M,I)的一個封閉關系。

性質(zhì)1和性質(zhì)2表明,R(G,M,I)是由一些概念及其所有亞概念構(gòu)成的集合。利用R(G,M,I)構(gòu)造前件背景,它會保留條件子背景中對象集為G′的整行對象信息?；诖?前件背景不會生成除條件格外其他的概念,即前件背景的二元關系是條件子背景的封閉關系。因此,得出以下性質(zhì)。

性質(zhì)3設(G′,M′,IR)為弱協(xié)調(diào)決策形式背景(G,M,I,T,J)的前件背景,則IR是條件子背景(G,M,I)的封閉關系。

例1[25]表1為中國港口危險品事故分析的決策形式背景(G,M,I,T,J)。G={1,2,3,4,5,6,7,8}表示8起港口危險品事故,M={a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9}表示危險品事故發(fā)生因素。其中:a1為人員專業(yè)性;a2為操作規(guī)范;a3為倉庫儲存;a4為企業(yè)經(jīng)營;a5為監(jiān)督管理;a6為設施與設備;a7為應急管理;a8為貨物登記;a9為自然因素。I為對象和條件屬性之間的二元關系。其中:0表示對應行事故在對應列因素下合格;1表示不合格。T={d1,d2,d3}表示事故類型。其中:d1為火災;d2為爆炸;d3為泄露。J為對象和決策屬性之間的二元關系。其中:0表示未發(fā)生該事故;1表示發(fā)生該事故。

條件格和決策格分別如圖1和圖2所示。其中,條件格L(G,M,I)有18個概念。為便于討論,將每個概念以ci(i=1,2,…,18)編號。

圖1 概念格L(G,M,I)Fig.1 Concept lattice L(G,M,I)

圖2 概念格L(G,T,J)Fig.2 Concept lattice L(G,T,J)

根據(jù)條件格L(G,M,I)和決策格L(G,T,J),可以構(gòu)造蘊含映射f1:(G,?)→c18,(13457,d2)→c14,(2568,d3)→c4,(1347,d1d2)→c3,(5,d2d3)→c2,(?,T)→c1。因此,由定義3可知,決策形式背景(G,M,I,T,J)是弱協(xié)調(diào)的。

由定義4可知,條件子背景與決策子背景之間的所有規(guī)則構(gòu)成的集合為

R(M,T)={(13457,a1a2)→(13457,d2),

(3457,a1a2a4)→(13457,d2),

(1457,a1a2a5)→(13457,d2),

(457,a1a2a4a5a7)→(13457,d2),

(45,a1a2a4a5a7a8)→(13457,d2),

(57,a1a2a4a5a6a7)→(13457,d2),

(7,a1a2a3a4a5a6a7a9)→(13457,d2),

(5,a1a2a4a5a6a7a8)→(13457,d2),

(6,a3a5a7a8)→(2568,d3),

(5,a1a2a4a5a6a7a8)→(2568,d3),

(7,a1a2a3a4a5a6a7a9)→(1347,d1d2),

(5,a1a2a4a5a6a7a8)→(5,d2d3)}。

根據(jù)R(M,T)可得,所有規(guī)則前件的概念集合為R(G,M,I)={c1,c2,c3,c4,c5,c6,c7,c10,c11,c14}。從圖1可看出,c14∈R(G,M,I),c14的所有亞概念為c1、c2、c3、c5、c6、c7、c10、c11,顯然這些亞概念都屬于R(G,M,I),即滿足性質(zhì)1。

根據(jù)定義5, 利用R(G,M,I)構(gòu)造前件背景(G′,M′,IR)如表2所示, 其概念格L(G′,M′,IR)如圖3所示。 其中,L(G′,M′,IR)有15個概念。 為便于討論,將每個概念以ci(i=1, 2, …, 15)編號。

圖3 概念格L(G′,M′,IR)Fig.3 Concept lattice L(G′,M′,IR)

表2 形式背景(G′,M′,IR)Tab.2 Formal context(G′,M′,IR)

對比表1和表2發(fā)現(xiàn),(G,M,I)中危險品事故1、事故3、事故4、事故5、事故6、事故7的整行信息,完全保留在前件背景(G′,M′,IR),即滿足性質(zhì)2。

從圖1和圖3可以看出,L(G′,M′,IR)中的任意概念都是L(G,M,I)中的概念,即IR是條件子背景的封閉關系,則通過前件背景和決策子背景即可獲取全部規(guī)則。

為便于后續(xù)討論,由圖2和圖3找出該決策形式背景的所有非冗余規(guī)則集合為

R°(M,T)={(13457,a1a2)→(13457,d2),

(6,a3a5a7a8)→(2568,d3),

(7,a1a2a3a4a5a6a7a9)→(1347,d1d2),

(5,a1a2a4a5a6a7a8)→(5,d2d3)}。

依次記上述4條規(guī)則分別為r1、r2、r3、r4。規(guī)則r1表明如果人員專業(yè)性、操作規(guī)范不合格時,則會發(fā)生爆炸;規(guī)則r2表明如果倉庫存儲、監(jiān)督管理、應急管理、貨物登記不合格時,則會發(fā)生泄露;規(guī)則r3表明如果人員專業(yè)性、操作規(guī)范、倉庫存儲、企業(yè)經(jīng)營、監(jiān)督管理、設施與設備、應急管理、自然因素不合格時,則會發(fā)生火災和爆炸;規(guī)則r4表明如果人員專業(yè)性、操作規(guī)范、企業(yè)經(jīng)營、監(jiān)督管理、設施與設備、應急管理、貨物登記不合格時,則會發(fā)生爆炸和泄露。

2.2 概念約簡的定義及存在性

給定前件背景(G′,M′,IR),IR表示對象集G′與屬性集M′之間的二元關系,同時IR也存儲了決策形式背景所有規(guī)則前件的信息,為保留這些信息并簡化概念格,給出保持規(guī)則前件信息的概念約簡的定義。

定義7設(G,M,I,T,J)為弱協(xié)調(diào)決策形式背景,(G′,M′,IR)為其前件背景,L(G′,M′,IR)是其概念格。對于F?L(G′,M′,IR),如果IR=∪(Xi,Bi)∈FXi×Bi,稱F為保持規(guī)則前件信息的概念協(xié)調(diào)集,本文簡稱概念協(xié)調(diào)集;若進一步,對任意(X,B)∈F,F ′=F {(X,B)},有IR≠∪(Xi,Bi)∈F ′Xi×Bi,稱F 為保持規(guī)則前件信息的概念約簡,本文簡稱概念約簡。

概念協(xié)調(diào)集是保持前件背景中所有規(guī)則前件信息不丟失的概念格子集,概念約簡是極小概念協(xié)調(diào)集。

定理1弱協(xié)調(diào)決策形式背景的保持規(guī)則前件信息的概念約簡必存在。

證明設(G,M,I,T,J)為弱協(xié)調(diào)決策形式背景,(G′,M′,IR)為其前件背景,L(G′,M′,IR)是概念格。若對于任意(X,B)∈L(G′,M′,IR),有∪(Xi,Bi)∈L(G′,M′,IR)Xi×Bi≠∪(Xi,Bi)∈L(G′,M′,IR){(X,B)}Xi×Bi,則L(G′,M′,IR)本身即為概念約簡。若存在(X1,B1)∈L(G′,M′,IR),使得∪(Xi,Bi)∈L(G′,M′,IR)Xi×Bi=∪(Xi,Bi)∈L(G′,M′,IR){(X1,B1)}Xi×Bi,則考慮F=L(G′,M′,IR){(X1,B1)},若對于任意的(Xj,Bj)∈F,有∪(Xi,Bi)∈F{(Xj,Bj)}Xi×Bi≠∪(Xi,Bi)∈FXi×Bi,則F 為概念約簡。否則,進一步考慮F1=F {(X2,B2)}。重復上述過程,由于L(G′,M′,IR)為有限集,則至少可以找到一個約簡。因此,概念約簡必存在。

2.3 概念協(xié)調(diào)集判定定理

代表概念矩陣中,部分代表概念集之間存在包含關系,記Λmin是由包含關系下所有代表概念極小集組成的矩陣,稱Λmin為(G′,M′,IR)的最小代表概念矩陣。

下面從代表概念矩陣角度給出概念協(xié)調(diào)集的判定定理。

定理2設(G,M,I,T,J)為弱協(xié)調(diào)決策形式背景,(G′,M′,IR)為其前件背景,L(G′,M′,IR)是其概念格。對于F?L(G′,M′,IR),F≠?,以下命題等價:

1) F是概念協(xié)調(diào)集;

2) 對任意(g,m)∈IR,F∩REP((g,m))≠?;

3) 對任意D?L(G′,M′,IR),若F∩D=?,則D?Λ。

證明1)?2)。假設F是概念協(xié)調(diào)集,則有IR=∪(X,B)∈FX×B。那么,對于任意(g,m)∈IR,存在(X,B)∈F,使得(g,m)∈X×B成立。因此,(X,B)∈REP((g,m))。故F∩REP((g,m))≠?。

2)?1)。若對于任意(g,m)∈IR,F∩REP((g,m))≠?,則存在(X,B)∈F,滿足(X,B)∈REP((g,m)),使得(X,B)∈F和(g,m)∈X×B成立。因此,∪(X,B)∈FX×B=∪(g,m)∈X×B,(X,B)∈F{(g,m)}=IR,故F是概念協(xié)調(diào)集。

2)?3)。若對于任意(g,m)∈IR,D?L(G′,M′,IR),有F∩REP((g,m))≠?和F∩D=?成立。假設D∈Λ,則存在(g0,m0)∈IR,使得REP((g0,m0))=D。進一步地,有F∩D=F∩REP((g0,m0))≠?,與條件F∩D=?矛盾。故D?Λ。

3)?2)。對于任意D?L(G′,M′,IR),若F∩D=?,有D?Λ。反之,若D∈Λ,則有F∩D≠?。又因為(g,m)∈IR,那么,REP((g,m))∈Λ,故F∩REP((g,m))≠?。

結(jié)合定義7和定理2可得概念約簡的判定定理。

定理3設(G,M,I,T,J)為弱協(xié)調(diào)決策形式背景,(G′,M′,IR)為其前件背景,L(G′,M′,IR)是其概念格。對于F?(G′,M′,IR),如果滿足條件:

1) 對任意(g,m)∈IR,F∩REP((g,m))≠?;

2) 對任意(Xi,Bi)∈F,存在(g0,m0)∈IR,使得(F {(Xi,Bi)})∩REP((g0,m0))=?,則F是概念約簡。

定理3實際上給出了一種獲取所有概念約簡的方法,要找概念約簡,就是對任意的(g,m)∈IR,找滿足F∩REP((g,m))≠?的極小概念集合F。

例2(續(xù)例1) 根據(jù)定義8可得到前件背景(G′,M′,IR)的代表概念矩陣Λ為

最小代表概念矩陣Λmin為

通過代表概念矩陣可知,該前件背景有12個概念約簡:

F1={c2,c3,c4,c6,c10,c11},

F2={c3,c4,c5,c6,c10,c11},

F3={c2,c3,c4,c8,c10,c11},

F4={c3,c4,c5,c8,c10,c11},

F5={c2,c3,c8,c9,c10,c11},

F6={c3,c5,c8,c9,c10,c11},

F7={c2,c3,c4,c6,c10,c13,c14},

F8={c3,c4,c5,c6,c10,c13,c14},

F9={c2,c3,c4,c8,c10,c13,c14},

F10={c3,c4,c5,c8,c10,c13,c14},

F11={c2,c3,c8,c9,c10,c13,c14},

F12={c3,c5,c8,c9,c10,c13,c14}。

以概念約簡F1為例,如果需要知道所有規(guī)則前件擁有的信息,不需要圖1中的所有概念,僅通過F1中的6個概念就能得到所有規(guī)則前件的信息。概念約簡保持所有規(guī)則前件的信息,進而也會保持非冗余規(guī)則前件的信息。由例1可知,所有非冗余規(guī)則前件的概念集合為{c2,c3,c4,c13},而F1含有規(guī)則前件c2、c3、c4,相應就會直接保留與之對應的非冗余規(guī)則R1°(M,T)={r2,r3,r4}。

3 概念特征分析

定義9設(G,M,I,T,J)為弱協(xié)調(diào)決策形式背景,(G′,M′,IR)為其前件背景,L(G′,M′,IR)是其概念格,記W={Fi|i∈τ,τ為指標集}為(G′,M′,IR)的所有概念約簡的集合,可將L(G′,M′,IR)中的概念分為3類:

例3(續(xù)例2) 由例2的概念約簡結(jié)果,可將L(G′,M′,IR)中的概念分為3類。核心概念集為C={c3,c10},相對必要概念集為K={c2,c4,c5,c6,c8,c9,c11,c13,c14},絕對不必要概念集為U={c1,c7,c12,c15}。

下面給出3類概念特征的判定定理。

定理4設(G,M,I,T,J)為弱協(xié)調(diào)決策形式背景,(G′,M′,IR)是其前件背景,L(G′,M′,IR)是其概念格。對于任意(X,B)∈L(G′,M′,IR),(X,B)是核心概念當且僅當存在(g0,m0)∈IR,有REP((g0,m0))={(X,B)}。

證明若(X,B)是核心概念?L(G′,M′,IR){(X,B)}不是概念協(xié)調(diào)集?存在(g0,m0)∈IR,使(L(G′,M′,IR){(X,B)})∩REP((g0,m0))=?成立?REP((g0,m0))={(X,B)}。

例4(續(xù)例2) 由于REP((7,a9))={c3},根據(jù)定理4知c3是核心概念,則c3存在于每個概念約簡。同時,c3是非冗余規(guī)則r3:(7,a1a2a3a4a5a6a7a9)→(1347,d1d2)的前件,因此,每個概念約簡都會得到與c3對應的非冗余規(guī)則r3。

下面給出核心概念的判定定理。

定理5設(G,M,I,T,J)為弱協(xié)調(diào)決策形式背景,(G′,M′,IR)是其前件背景,L(G′,M′,IR)是其概念格。Fi是(G′,M′,IR)的概念約簡,每個概念約簡對應保留的非冗余規(guī)則集合記為Ri°(M,T)。若∩Ri°(M,T)={(X0,B0)→(Y0,C0)|(X0,B0)∈L(G′,M′,IR),(Y0,C0)→L(G,T,J)},則(X0,B0)是L(G′,M′,IR)的核心概念。其中,i∈τ,τ指標集。

證明Ri°(M,T)是與概念約簡Fi對應保留的非冗余規(guī)則集合。若∩Ri°(M,T)={(X0,B0)→(Y0,C0)|(X0,B0)∈L(G′,M′,IR),(Y0,C0)→L(G,T,J)},則(X0,B0)∈∩Fi,即(X0,B0)∈C,故(X0,B0)是L(G′,M′,IR)的核心概念。

一個絕對不必要概念是不包含在任何概念約簡中的概念,下面給出絕對不必要概念的判定定理。

定理6設(G,M,I,T,J)為弱協(xié)調(diào)決策形式背景,(G′,M′,IR)是其前件背景,L(G′,M′,IR)是其概念格。對于任意(X,B)∈L(G′,M′,IR),(X,B)是絕對不必要概念當且僅當對于任意REP((g,m))∈Λmin,有(X,B)?REP((g,m))。

證明下面證明定理6的逆否命題。

由定理3知,若存在REP((g0,m0))∈Λmin,滿足(X,B)∈REP((g0,m0))?存在概念約簡F0,使得(X,B)∈F0?(X,B)?U,即(X,B)不是絕對不必要概念。

結(jié)合定理5和定理6,容易得到相對必要概念的概念特征。

定理7設(G,M,I,T,J)為弱協(xié)調(diào)決策形式背景,(G′,M′,IR)是其前件背景,L(G′,M′,IR)是其概念格。對于任意(X,B)∈L(G′,M′,IR),(X,B)是相對必要概念當且僅當存在REP((g,m))∈Λmin,有(X,B)∈REP((g,m))成立,且對于任意(g0,m0)∈IR,有REP((g0,m0))≠{(X,B)}。

例5(續(xù)例2) 對任意的REP((g,m))∈Λmin,c7?REP((g,m)),根據(jù)定理6可知c7是絕對不必要概念;存在REP((4,a8))∈Λmin,使c8∈REP((4,a8)),且對于任意(g0,m0)∈IR,REP((g0,m0))≠{c8},根據(jù)定理7可知c8是相對必要概念。

4 結(jié)語

概念約簡是形式概念分析領域中一種新的約簡理論,它既能保留形式背景的信息,又可以簡化概念格。本文將概念約簡思想運用到?jīng)Q策形式背景,討論決策形式背景上保持規(guī)則前件信息的概念約簡問題。首先,為簡化數(shù)據(jù)節(jié)省儲存空間,對條件子背景壓縮構(gòu)造前件背景;其次,提出了保持規(guī)則前件信息的概念約簡,并得到了獲取所有概念約簡的方法;最后,從最小代表概念矩陣角度討論了3類形式概念的概念特征。

決策形式背景上的概念約簡還有許多值得研究探討的問題,如現(xiàn)實生活中涉及的非協(xié)調(diào)決策形式背景較多,未來可以考慮一般的決策形式背景上的概念約簡問題。此外,還可以考慮條件格與決策格之間的聯(lián)系,針對決策格討論約簡問題,這些都將會豐富概念約簡理論。