既要重視“形”，也要關(guān)注“數(shù)”
——談冪函數(shù)中的應(yīng)用問題

■任 遠(yuǎn)

冪函數(shù)是重要的基本初等函數(shù)之一。熟練掌握冪函數(shù)的概念、圖像與性質(zhì)是解決冪函數(shù)問題的關(guān)鍵。下面結(jié)合實例對冪函數(shù)的常見題型加以展示,希望對同學(xué)們的學(xué)習(xí)有所幫助。

一、冪函數(shù)的概念問題

判斷一個函數(shù)是否為冪函數(shù),要掌握冪函數(shù)的概念,確定其系數(shù)為1,不含常數(shù)項,指數(shù)是常數(shù),底數(shù)只能為自變量x,而不能是x的函數(shù)。

例1 若函數(shù)f(x)=(m2-4m-4)xm是冪函數(shù),則m=_____。

分析:抓住冪函數(shù)的概念,借助系數(shù)為1建立含有相應(yīng)參數(shù)的方程,通過解方程來確定相應(yīng)的參數(shù)值。

解:因為函數(shù)f(x)是冪函數(shù),所以m2-4m-4=1,即m2-4m-5=0,解得m=5或m=-1。答案為5或-1。

一個函數(shù)為冪函數(shù)的依據(jù)是該函數(shù)為y=xα(α為常數(shù))的形式,同時滿足三個條件:指數(shù)為常數(shù),底數(shù)為自變量,xα系數(shù)為1。如函數(shù)y=(3x)α,y=2xα,y=xα+5都不是冪函數(shù)。

二、冪函數(shù)的圖像及應(yīng)用問題

要熟練掌握冪指數(shù)在α>1、α=1、0<α<1、α=0,以及α<0 情況下冪函數(shù)y=xα的圖像特征,由此可以判斷對應(yīng)的函數(shù)圖像和簡單的應(yīng)用問題。

例2 圖1是冪函數(shù)y=xm與y=xn在第一象限內(nèi)的圖像,則( )。

圖1

A.-1

B.n<-1,0

C.-11

D.n<-1,m>1

分析:先利用冪函數(shù)y=xα(α為常數(shù))在第一象限內(nèi)的圖像變化規(guī)律,結(jié)合區(qū)間(0,1)內(nèi)的取值進(jìn)行比較,再判斷對應(yīng)冪指數(shù)的參數(shù)的取值情況。

解:(方法1)由圖知,y=xm在[0,+∞)上是增函數(shù),y=xn在(0,+∞)上是減函數(shù),所以m>0,n<0。又當(dāng)x>1 時,y=xm的圖像在y=x的下方,y=xn的圖像在y=x-1的下方,所以m<1,n<-1。綜上可知,0

(方法2)在區(qū)間(0,1)內(nèi)作直線x=x0,與兩個圖像都有交點(作法略)。根據(jù)“點低指數(shù)大”的圖像特征,可得0

依據(jù)圖像高低判斷冪指數(shù)大小的相關(guān)結(jié)論:在區(qū)間(0,1)內(nèi),冪指數(shù)越大,冪函數(shù)的圖像越靠近x軸(簡記為“指大圖低”);在區(qū)間(1,+∞)內(nèi),冪指數(shù)越大,冪函數(shù)的圖像越遠(yuǎn)離x軸(簡記為“指大圖高”)。由圖像確定冪指數(shù)α與0,1的大小關(guān)系,可根據(jù)冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖像(類似于y=x-1,y=或y=x3等)來判斷。

三、冪函數(shù)的比較大小問題

借助冪指數(shù)的相關(guān)取值情況及所對應(yīng)的冪函數(shù)的單調(diào)性,可判斷相關(guān)代數(shù)式的大小關(guān)系。

例3 比較下列各組數(shù)中兩個數(shù)的大小關(guān)系。

比較冪值大小的兩種常用的基本方法:直接法,當(dāng)冪指數(shù)相同時,利用冪函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較;轉(zhuǎn)化法,當(dāng)冪指數(shù)不相同時,先轉(zhuǎn)化為相同的冪指數(shù),再利用單調(diào)性進(jìn)行比較。

四、冪函數(shù)的綜合應(yīng)用問題

對于冪函數(shù)的綜合應(yīng)用問題,可利用相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識與相關(guān)的數(shù)學(xué)思維,結(jié)合冪函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析與處理。

例4 已知冪函數(shù)f(x)=x-k2+k+2(k∈Z)在區(qū)間(0,+∞)上為增函數(shù)。

(1)求整數(shù)k的值。

分析:利用冪函數(shù)在區(qū)間(0,+∞)上為增函數(shù),確定冪指數(shù)α>0,結(jié)合二次不等式的求解和參數(shù)k∈Z,確定整數(shù)k的值;由冪函數(shù)f(x)的解析式,得到函數(shù)g(x)的解析式,通過配方法處理,再結(jié)合分類討論確定正數(shù)p的存在情況。

解:(1)由冪函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上為增函數(shù),可得-k2+k+2>0,即k2-k-2<0,解得-1

冪函數(shù)y=xα(α為常數(shù))中,只有一個常數(shù)α,冪函數(shù)的所有性質(zhì)都與冪指數(shù)α的取值有關(guān),故由冪指數(shù)α可以確定冪函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性等。

編者的話:正確理解與掌握冪函數(shù)y=xα(α為常數(shù))的概念、圖像特征與性質(zhì),以及與其他相應(yīng)函數(shù)的概念、圖像與性質(zhì)之間的關(guān)系,是解決涉及冪函數(shù)問題的根本所在。在實際求解冪函數(shù)及其應(yīng)用問題時,既要重視“形”的作用,也要關(guān)注“數(shù)”的魅力。