基于單位根檢驗(yàn)和ARMA 模型的橋墩位移穩(wěn)定性時間序列分析

陳 剛，郭 鵬，皮 鶴，孫 聰，李春光

1. 同濟(jì)匯智（北京）科技發(fā)展有限公司，北京 102299；

2. 武漢市政建設(shè)集團(tuán)有限公司，湖北 武漢 430023；

3. 廣西葛洲壩田西高速公路有限公司，廣西 百色 533500；

4. 武漢生態(tài)環(huán)境設(shè)計研究院有限公司，湖北 武漢 430050；

5. 中國科學(xué)院武漢巖土力學(xué)研究所，湖北 武漢 430071

橋梁運(yùn)營期間不僅受到車輛荷載的反復(fù)作用，還受到自然環(huán)境的影響、侵蝕，以及地質(zhì)條件變化與使用環(huán)境的作用，甚至?xí)馐茏匀粸?zāi)害、撞擊等偶發(fā)事件，使得橋梁健康狀況發(fā)生變化。橋梁墩臺變位，不僅使其幾何形態(tài)發(fā)生改變，變位過大可能導(dǎo)致內(nèi)部應(yīng)力發(fā)生改變，嚴(yán)重的可能發(fā)生主梁、墩身開裂甚至破壞，為了保障橋梁運(yùn)營期內(nèi)的結(jié)構(gòu)安全，必須對橋梁進(jìn)行健康監(jiān)測。

全球定位系統(tǒng)（global positioning system，GPS）動態(tài)監(jiān)測技術(shù)可以精確獲取監(jiān)測點(diǎn)的三維坐標(biāo)，具有采樣率高、精度高、設(shè)站自由、全自動、全天連續(xù)觀測的優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于橋梁形變動態(tài)監(jiān)測中。

在獲取監(jiān)測數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，對監(jiān)測信息進(jìn)行處理和分析，成為橋梁狀態(tài)評估和分析的關(guān)鍵［1-3］。時間序列方法處理的對象是具有時間刻度的有序數(shù)據(jù)，對時序內(nèi)部各元素之間的關(guān)系進(jìn)行統(tǒng)計分析，是數(shù)據(jù)處理中廣泛采用的重要方法。將時間序列分析用于處理監(jiān)測數(shù)據(jù)，大多將側(cè)重點(diǎn)放在擬合時間序列模型進(jìn)行預(yù)測。唐浩等［4］采用自回歸移動平均（auto-regressive moving average，ARMA）模型技術(shù)對橋梁歷史靜態(tài)監(jiān)測量進(jìn)行分析，試驗(yàn)結(jié)果顯示出較高的預(yù)測精度。趙煒等［5］采用季節(jié)綜合自回歸移動平均（autoregressive integrated moving average，ARIMA）模型模擬橋梁檢測序列的變化趨勢，得到較好的擬合效果。文獻(xiàn)［6-8］通過國內(nèi)外各類規(guī)范對橋墩位移的限值規(guī)定的比較分析，對橋梁墩頂位移限值進(jìn)行了探討。韓曉冬等［9］采用ARMA 模型對基坑沉降監(jiān)測點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了分析，驗(yàn)證了該模型對變形監(jiān)測數(shù)據(jù)處理與預(yù)報可行性。為了克服單一時間序列模型ARMA 的不足，李修云等［10］提出時間序列模型和灰色關(guān)聯(lián)模型組合時序預(yù)測模型（auto regression and moving average-grey model，ARMA-GM），以描述監(jiān)測數(shù)據(jù)序列前后之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，獲得比單一模型更高的預(yù)測精度。陸萍等［11］對江津長江大橋撓度監(jiān)測數(shù)據(jù)建立時間序列預(yù)測模型進(jìn)行短期預(yù)測，但他們認(rèn)為長期預(yù)測精度不如短期預(yù)測精度高。宋福春等［12］通過對立交橋梁位移、應(yīng)變實(shí)時健康監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行ARMA 時間序列預(yù)測模型進(jìn)行分析，用于發(fā)現(xiàn)橋梁在使用過程中所存在的隱患。余加學(xué)等［13］采用ARMA模型對橋梁索塔形變監(jiān)測中的GPS 坐標(biāo)序列進(jìn)行預(yù)測研究，預(yù)測值曲線總體上與實(shí)測值保持一致，GPS 的使用保證了預(yù)測的全天候、實(shí)時性。

橋梁在受到短期偶發(fā)因素（如撞擊、側(cè)向填土、地質(zhì)條件變化等）影響導(dǎo)致橋墩發(fā)生位移，影響消除或采取工程措施后，如何評估其位移是否收斂和穩(wěn)定是橋梁健康評估的重要內(nèi)容。本文利用時間序列方法對橋墩位移穩(wěn)定性進(jìn)行分析，將橋墩GPS 監(jiān)測時間序列數(shù)據(jù)進(jìn)行單位根檢驗(yàn)，驗(yàn)證是否為平穩(wěn)序列，然后采用ARMA 模型對該序列進(jìn)行預(yù)測，以進(jìn)一步確定橋墩位移的長期穩(wěn)定性，流程如下。

1 時間序列模型

1.1 平穩(wěn)時間序列

若時間序列yt滿足［14］：

（1）對任意時間t，其均值E(xt) =μ為與時間t無關(guān)的常數(shù)；

（2）對任意時間t和s，其自相關(guān)系數(shù)只與時間間隔t-s相關(guān)，而與t和s的起始點(diǎn)無關(guān)，即方差Var(xt) =s2是與時間t無關(guān)的常數(shù)，協(xié)方差Cov(xt,xt+k) =gk是只與時期間隔k有關(guān)，與時間t無關(guān)的常數(shù)。

則該時間序列就是平穩(wěn)時間序列，即平穩(wěn)時間序列的各觀測值圍繞其均值上下波動，且該均值和方差與時間t無關(guān)。時間序列平穩(wěn)性刻畫的是時間序列的統(tǒng)計性質(zhì)關(guān)于時間平移的不變性。

1.2 單位根檢驗(yàn)

序列自相關(guān)可以粗略判斷時間序列的平穩(wěn)性，單位根檢驗(yàn)是檢驗(yàn)時間序列平穩(wěn)性的典型方法。

1.2.1 Dickey-Fuller（DF）檢驗(yàn) Dickey 和Fuller提出單位根檢驗(yàn)方法，考慮了如下的AR（1）過程：

式（1）中：εt為白噪聲，若參數(shù)|ρ|< 1，則序列是平穩(wěn)的，而當(dāng)|ρ|> 1 時，序列是爆炸性的，無實(shí)際意義，所以只需檢驗(yàn) |ρ|是否嚴(yán)格小于1。

根據(jù)yt的性質(zhì)不同，DF 檢驗(yàn)還允許序列yt有包含常數(shù)項(xiàng)和線性時間趨勢項(xiàng)的形式：

式（2）~式（3）中：c為常數(shù)項(xiàng)，ρ為滯后項(xiàng)系數(shù)，δ為時間趨勢項(xiàng)系數(shù)。一般地，如果序列yt在0 均值上下波動，則應(yīng)選擇不包含常數(shù)項(xiàng)和時間趨勢項(xiàng)的檢驗(yàn)方法，如果序列具有非0 均值，但沒有時間趨勢，可選擇式（2），若序列隨時間變化有上升或下降趨勢，應(yīng)選擇式（3）。

1.2.2 Augmented Dickey-Fuller（ADF）檢驗(yàn) 在DF檢驗(yàn)中，常常因?yàn)樾蛄写嬖诟唠A滯后相關(guān)而破壞隨機(jī)擾動項(xiàng)εt是白噪聲的假設(shè)，ADF 檢驗(yàn)對此進(jìn)行了改進(jìn)，假定序列yt服從AR（p）過程，檢驗(yàn)方程為：

式（4）中：γ=p-1，ξi為待定系數(shù)。

ADF 檢驗(yàn)假設(shè)與DF 檢驗(yàn)相同，ADF 檢驗(yàn)也可以包含常數(shù)項(xiàng)和線性時間趨勢項(xiàng)。

1.3 ARMA 模型

ARMA［15］模型包含自回歸（autoregressive，AR）模型和移動平均（moving average，MA）模型，是時間序列分析的典型模型。

若時間序列yt是平穩(wěn)時間序列，且其當(dāng)前值為前期值及隨機(jī)誤差項(xiàng)的線性函數(shù)：

則稱該時間序列yt是自回歸移動平均序列，（p，q）階自回歸移動平均模型記為ARMA（p，q）。實(shí)參數(shù)?1,?2,...,?p稱為自回歸系數(shù)，θ1,θ2,...,θq稱為移動平均系數(shù)。

引入滯后算子B，式（5）可簡寫為：

ARMA（p，q）過程的平穩(wěn)條件是滯后多項(xiàng)式?(B)的根均在單位圓外（倒數(shù)根在單位圓內(nèi)），可逆條件是θ(B)的根均在單位圓外。

平穩(wěn)解的均值為：

時間序列可以通過自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)的截尾性和拖尾性初步判定ARMA 模型的階數(shù)。選用ARMA 模型的前提條件是其自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)都不截尾，但這僅能限定p、q不為0，p、q的具體取值只能從低階到高階逐階嘗試。

由于不同的時間序列模型之間其相關(guān)函數(shù)具有不同的截尾性質(zhì)，可據(jù)此選擇合適的模型，若時間序列自相關(guān)函數(shù)呈現(xiàn)拖尾性質(zhì)，偏自相關(guān)函數(shù)呈現(xiàn)截尾性質(zhì)，則可選擇AR 模型，若正好相反，則可選用MA 模型。

ARMA 模型通常采用赤池信息準(zhǔn)則（Akaike information criterion，AIC）、施瓦茲信息準(zhǔn)則（Schwarz information criterion，SC）、德賓-沃森（Durbin-Watson，DW）統(tǒng)計量等對模型進(jìn)行整體評估。

2 工程應(yīng)用

2.1 監(jiān)測數(shù)據(jù)

大橋引橋因橋梁兩側(cè)堆土引起橋梁整體水平位移，為監(jiān)測橋墩位移變化情況，在橋梁兩側(cè)橋墩頂部各安裝1 套GPS 監(jiān)測設(shè)備，共布設(shè)3 對6 套設(shè)備，架設(shè)1 臺GNSS 信號接收基站，如圖1 所示。橋墩位移監(jiān)測數(shù)據(jù)為5 min 記錄1 次，經(jīng)基站自動上傳至服務(wù)器保存。

圖1 數(shù)據(jù)監(jiān)測：（a）測點(diǎn)平面布置，（b）GPS 位移監(jiān)測設(shè)備，（c）信號接收基站Fig.1 Monitoring：（a）GPS location，（b）GPS displacement monitoring equipment，（c）signal receiving base station

GPS 記錄數(shù)據(jù)為水平位移：X偏移為南北方向（向北為+，向南為-），Y偏移為東西方向（向東為+，向北為-），H偏移為錘子垂直方向（向上為+，向下為-），單位均為mm。

橋墩位移監(jiān)測5 min 記錄1 次，記錄時間為2020 年4-10 月。由于監(jiān)測周期較長，關(guān)注的是橋墩長期穩(wěn)定性，5 min 的數(shù)據(jù)時間窗太短，周和月度數(shù)據(jù)量偏少，因此采用以天為單位的監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行時間序列建模。

將橋墩水平和垂直位移單獨(dú)分析，水平位移經(jīng)坐標(biāo)變換換算成順橋方向和橫向2 個方向。由于該橋墩垂直方向位移較小，水平方向位移主要是順橋向位移，建模方法相同，以3#測點(diǎn)順橋向水平位移為對象進(jìn)行分析。

2.2 數(shù)據(jù)統(tǒng)計特征

水平位移監(jiān)測數(shù)據(jù)幅度最大發(fā)生在2020 年4月28 日，為13.58 mm（但未超過，其中L是橋梁跨度，滿足規(guī)范要求，還是安全的），之后隨時間振蕩衰減，表現(xiàn)出一定波動性，如圖2 所示。由圖3 可知，位移數(shù)據(jù)分布偏度為正，峰度接近正態(tài)分布，水平位移分布接近白噪聲。

圖2 橋墩水平位移時間序列Fig.2 Time series of horizontal displacement of piers

圖3 橋墩水平位移分布圖Fig.3 Distribution diagram of horizontal displacement of piers

2.3 單位根檢驗(yàn)

時間序列均值不為0，且呈現(xiàn)振蕩衰減特征，對時間序列進(jìn)行包含常數(shù)項(xiàng)的ADF 檢驗(yàn)。由表1可知，ADF 統(tǒng)計量顯著小于3 個臨界標(biāo)準(zhǔn)，序列不存在單位根，即序列是平穩(wěn)的。

表1 ADF 單位根檢驗(yàn)Tab.1 Unit root test by ADF

2.4 ARMA 建模

計算時間序列滯后60 d 相關(guān)關(guān)系。

序列自相關(guān)表現(xiàn)為1-7、10 階滯后相關(guān)，之后落入隨機(jī)區(qū)間；偏自相關(guān)表現(xiàn)為1、3、7 階顯著，之后落入隨機(jī)區(qū)間。圖4 展示了自相關(guān)和偏相關(guān)圖。ARMA 模型可以考慮p＝1~3、7，q＝1~7、10。經(jīng)試算，ARMA（1，7）的AIC 和SIC 較小且更為簡潔，是較為合適的模型，其模型參數(shù)估計見表2。

表2 ARMA 模型參數(shù)估計Tab.2 Estimation of ARMA model parameter

圖4 （a）自相關(guān)圖，（b）偏自相關(guān)圖Fig.4 （a）Autocorrelation，（b）partial autocorrelation

yt= 5.966 674 + 0.381716yt-1+ 0.228 782εt-7+εt

ARMA 模型滯后多項(xiàng)式?(B)的倒數(shù)根在單位圓內(nèi)，即序列是平穩(wěn)的。

圖5 給出了橋墩水平位移實(shí)測數(shù)據(jù)與模型擬合結(jié)果。對殘差序列進(jìn)行χ2檢驗(yàn)，其自相關(guān)和偏自相關(guān)系數(shù)均落入隨機(jī)區(qū)間，表明為隨機(jī)序列。

圖5 橋墩水平位移實(shí)測數(shù)據(jù)與模型擬合結(jié)果Fig.5 Measured data of horizontal displacement of piers and fitting results of model

含常數(shù)項(xiàng)的ADF 單位根檢驗(yàn)表明該監(jiān)測數(shù)據(jù)序列沒有時間趨勢，不存在單位根，是平穩(wěn)的，ARMA（1，7）模型能夠較好地刻畫該序列，且滯后多項(xiàng)式的倒數(shù)根在單位圓內(nèi)，也表明序列是有常均值（5.966 67 mm）常方差的平穩(wěn)序列，即水平位移幅度不會隨時間擴(kuò)散。

利用該模型對此后3 個月的水平位移進(jìn)行預(yù)測，并與實(shí)測數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，也表明趨于穩(wěn)定，如圖6 所示。

圖6 橋墩水平位移預(yù)測效果Fig.6 Forecast effects of horizontal displacement of piers

3 結(jié) 論

橋梁運(yùn)營期間健康狀況的監(jiān)測和評估是保障橋梁運(yùn)營期內(nèi)結(jié)構(gòu)安全的重要手段。通過將時間序列方法應(yīng)用于橋墩GPS 監(jiān)測數(shù)據(jù)的處理，對橋墩位移的穩(wěn)定性進(jìn)行分析。

工程實(shí)例表明，單位根檢驗(yàn)表明序列沒有時間趨勢，不存在單位根，數(shù)據(jù)序列為平穩(wěn)序列，具有常均值和方差；ARMA 模型能夠較好地刻畫監(jiān)測數(shù)據(jù)，且具有較高的可靠性和可行性；根據(jù)平穩(wěn)時間序列模型的特征，可以計算監(jiān)測數(shù)據(jù)序列的均值和方差。

時間序列方法可作為橋梁健康監(jiān)測工程數(shù)據(jù)的處理、分析、預(yù)測的有效方法，為橋梁健康評估提供依據(jù)，以保證橋梁的安全運(yùn)營。