中學數學問題鏈教學的“道法術器”

馮園園，宿桂花，張定強

中學數學問題鏈教學的“道法術器”

馮園園，宿桂花，張定強

（西北師范大學 教師教育學院，甘肅 蘭州 730070）

數學問題鏈教學是落實立德樹人根本任務的重要途徑．從“道 法 術 器”闡釋了問題鏈教學的指導思想、教法學法、技術路線及問題鏈的基本形式，并從“設計—實施—評價”一體化的角度提出教學建議：不僅需要重視“道與法”的“頂層設計”，遵循“注重基礎、培養(yǎng)創(chuàng)新”的指導思想和問題鏈的設計思路、結構框架，采取講授式與發(fā)現式并重的教學方法引導學生實現“真探究”；而且需要關注“術與器”的“基礎建設”，明確問題鏈整體設計與分解實施的技術路線，重視問題之間的“方法關聯”，依據教學內容合理采用不同形式的問題鏈，并妥善處理問題鏈“預設”與“生成”之間的關系．

中學數學；問題鏈；“道 法 術 器”

1 問題提出

問題是數學的心臟，思想是數學的靈魂．無論是中國古代數學名著《九章算術》中收錄的246個數學問題，還是近代德國數學家希爾伯特在巴黎國際數學家大會上作演講時凝練的23個數學問題，都充分說明數學研究永恒不變的核心就是“問題”，它反映了一定歷史時期、特定文化背景下數學研究的發(fā)展趨勢．而在新興數學問題層出不窮的信息化時代，傳統數學問題也并沒有走下神壇，反而為新興問題的探索提供了寶貴的參考價值．各種各樣的數學問題交織在一起，為數學教育研究提供了堅實的知識基礎和思想載體．為了順應這一發(fā)展趨勢，以問題為主線的教學方式成為越來越多一線教師串聯知識、揭示思想、豐富智慧的重要手段，數學課堂也因此成為培養(yǎng)學生問題解決能力的主戰(zhàn)場，“問題鏈”教學模式應運而生．該模式通過一系列問題驅動思維、遷移拓廣知識，幫助學生將思想方法運用到問題域中，對深化基礎教育數學課程改革產生了深遠的影響．相關教學實踐也促進了“問題鏈”教學理論的多元化發(fā)展，并對教師專業(yè)發(fā)展提出了新的要求．從《普通高中數學課程標準（2017年版）》到《義務教育數學課程標準（2022年版）》頒布以來，數學課堂教學越來越提倡落實“四基”、培養(yǎng)“四能”、發(fā)展“數學核心素養(yǎng)”，標志著中國數學教育的培養(yǎng)目標經歷了從“知識立意”到“能力立意”再到“素養(yǎng)立意”的演變[1]．站在新的高度重新梳理數學“問題鏈”教學中的“道 法 術 器”，更有利于教師全面地認識問題鏈教學的指導思想、教學方法和技術路線、工具等，并不斷推進相關理論與實踐的深化發(fā)展．

2 “道 法 術 器”的功能定位

問題是師生在課堂教學活動中實現交互的有效載體，如何構建“問題鏈”？首先需要明確“問題鏈”的內涵．朱建中[2]認為，問題鏈的內涵是問題與問題的精心聯結與遞進；黃光榮[3]從知識結構的角度指出問題鏈是數學知識結構的表現形式，提出“問題鏈方法是以問題為主線，以發(fā)現問題—解決問題—再發(fā)現問題為全過程，以適應客觀世界運動變化和數學嚴謹邏輯思維之需要為目的的數學思維方法”；唐恒鈞等[4-6]認為，“問題鏈”是指在課堂上呈現給學生的有序的主干問題串，不僅關注基礎知識與基本技能的掌握，更關注數學知識結構的深度理解、數學基本思想方法與數學基本活動經驗的積累，并且提出確立問題鏈的3大基點：教學目標、學科思維與學生認知．基于上述分析可以認為，為達到教學目的，伴隨問題情境出現的圍繞同一核心問題的若干環(huán)環(huán)相扣的問題就可以構成“問題鏈”，問題鏈模式具備漸進式、階梯式、聯鎖式[7]等特征，多個問題能否構成問題鏈模式，關鍵在于問題之間是否具備有序聯結．

3 “道 法 術 器”的理路分析

3.1 “道”——價值取向與指導思想

課程、教師及學生關于數學學習的價值觀念是影響數學課程與教學改革的重要因素[9]．在進行問題鏈教學設計之前，首先應明確問題鏈教學的功能定位、價值取向與指導思想，即回答“問題鏈教學的功能是什么”的問題．教育的功能之一是要培養(yǎng)在某個方面具有創(chuàng)造力的有用之人[10]，“通過問題學數學”“不同的學生在數學上得到不同的發(fā)展”等教學理念的衍生回應了教育的功能訴求[11]，相應地，數學問題鏈教學從文化實踐的角度在一定程度上取得了“以人為本”的教學理念與“只注重解題、忽視數學的結構化”的現實之間的平衡[12]，為學生數學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)提供了現實載體．那么，在實際的問題鏈教學中如何把握該平衡，這就涉及到“數學問題鏈教學到底應該教給學生什么”的問題．

對數學的不同認識決定了教師不同的問題鏈教學價值取向．調查發(fā)現，中國大陸數學教師通常把數學看成是一個與邏輯有關的、有嚴謹體系的、關于圖形和數量的、精確運算的一門學科．而事實上，數學是一種多樣化的、連續(xù)不斷地、由問題驅動的人類創(chuàng)造性活動，問題鏈教學的真正價值就在于通過問題模擬數學知識的生成與思維發(fā)展的脈絡，并達到應用知識解決問題的目的．沒有問題就沒有創(chuàng)新，數學問題的提出能發(fā)展學生的創(chuàng)新能力并且促使學生成為更好的問題解決者[13]．于是，問題鏈教學既是問題生成式教學，也是問題解決式教學[4]，也就是在動態(tài)建構的過程中從知識深入到“方法、思想與能力”，而不能僅僅停留在“概念、理論與命題”的知識表層．下面以“等差數列通項公式”的教學為例進行說明．

案例1 在本節(jié)課的教學中，知識層面的教學目標是“讓學生明確等差數列的定義，掌握等差數列的通項公式”，素養(yǎng)層面的目標是“在探究的過程中發(fā)展觀察、歸納、分析、推理的能力，滲透從特殊到一般的思想方法”，而問題鏈教學模式則以發(fā)展能力、提升素養(yǎng)為目標，可以自然而然地以“思想方法”為引導，幫助學生達到“建構知識框架”“掌握思想方法”與“提升數學素養(yǎng)”齊頭并進的效果．

問題鏈教學的指導思想是以“思想方法”為引導建構數學知識框架．一方面，注重思想方法的滲透和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，通過問題間的思維跨度為學生提供探索的可能性[2]．另一方面，不能忽視學生的知識基礎，通過為學生提供環(huán)環(huán)相扣、逐步推進的問題，使學生獲得在內容上較為深入的數學，最終使不同學生的數學素養(yǎng)得到不同的提升．

3.2 “法”——設計思路與結構框架

明晰了問題鏈教學的“道”，就應確定問題鏈教學的教學方法、設計思路、結構框架．如前所述，問題鏈教學的價值在于教會學生思考問題的方法，但這并不意味著要讓學生思考和科學家一樣的問題，而是讓學生領悟發(fā)明和發(fā)現的精神和方法，用主干問題激發(fā)學生對更多問題的思考，并對已有經驗進行反思，使學生將已有知識經驗進行遷移反思[14]，弗賴登塔爾的“再創(chuàng)造”講的就是這個道理．因此，問題鏈教學的課堂設計應關注師生交互的過程，把握講授式與發(fā)現式教學法之間的平衡，不僅關注如何設計問題鏈，更要關注如何通過問題鏈教學促使學生深度理解知識、發(fā)展能力．

在問題鏈設計思路方面，“青浦經驗”的理論與實踐啟示數學教學應當實行新問題和舊知識之間的整合，循序漸進，把握知識之間的“潛在距離”，以適合學生的需要[15]．因此，問題之間應具有一定的層次結構、邏輯關系和先后順序，問題要適切于學生的思維水平，并且具有一定的思維跨度，留給學生獨立思考的空間，在解決問題的過程中體現學生的思維脈絡．在教學實施中通過講授式與發(fā)現式并重的教學方法，引導學生采取觀察、試驗、類比、歸納和猜想的學習方法，逐步發(fā)現問題、提出問題、分析問題、解決問題，揭示知識的形成、發(fā)展過程，使學生建立概念間豐富的網絡結構，激發(fā)探究意識，培養(yǎng)探究能力[2，5]．

問題與問題之間的主次關系形成了主問題鏈和子問題鏈的紐帶．因此，教師設計的問題鏈在宏觀框架上，應圍繞一個核心問題設置起點問題與若干中間問題（主問題），并依據問題間的主次關系設置主問題鏈與子問題鏈（具體設計思路與結構框架如圖1所示）．起點問題是問題鏈教學的起始，從具體情境出發(fā)，實現新問題和原有知識之間的整合，循序漸進；主問題鏈的功能在于體現知識的結構，子問題鏈在主問題之下，其功能是將學生的思維引入深處，使理解更深刻、具體．

圖5表示在不同業(yè)務量情況下，采用傳統二進制退避BEB算法和DOB算法的系統平均接入時延.由圖5可知，在低業(yè)務量情況下，由于BEB算法自身的初始碰撞窗口已經固定，在低業(yè)務量情況下也會產生退避時延，因此其接入時延較長.DOB算法會根據信道競爭情況，自動調整碰撞窗口值大小，從而減少了不必要的退避時延，降低了系統平均接入時延.另外，當網絡節(jié)點數N=6時，DOB算法比BEB算法平均接入時延降低了10s.而隨著網絡節(jié)點數量的增加，BEB算法的系統平均接入時延迅速增加，而DOB算法的平均接入時延仍然較低，接入時延參數性能改善明顯.

圖1 數學問題鏈的設計思路與結構框架

案例2 在函數的基本性質的學習過程中，節(jié)起始部分根據函數圖象提出的“你能說說它們分別反映了相應函數的哪些性質嗎？”是本節(jié)的起點問題，“定義域、值域、單調性、奇偶性”是4個主問題，構成主問題鏈，也即中間問題，這些問題均指向本節(jié)課的核心問題（函數的基本性質）．其中，每個知識點又包括若干個子問題，而每一個單獨的知識點也可以構成一個問題鏈，相應地派生出若干子問題鏈．隨之，子問題鏈中的核心問題、起點問題與中間問題也需重新確定．因此，主問題鏈與子問題鏈涵蓋的數學知識內容多少是相對的．

3.3 “術”——技術路線與處理手段

問題鏈的結構框架，是問題鏈教學過程中主要教學思路的體現，它是對教學思路的進一步教學化設計．因此，接下來應該關注的問題就是處理問題鏈的技術路線，即如何建構主問題鏈？如何通過子問題鏈完成主問題鏈教學．

首先，主問題鏈是統整單元、課時或某一教學環(huán)節(jié)的核心問題鏈，具有較大的思考空間，因此主問題鏈的建構必須反映某一教學單元的整體目標．為此，主問題鏈的設計應持以整體思維觀，在研讀課標、分析教材、把握學情及確定教學目標的基礎上進行．而學生在解決核心問題的過程中，往往需要通過子問題鏈引發(fā)深度思考，來降低問題理解難度，最終解決核心問題[16]．教師作為基礎教育改革發(fā)展中最重要的有生力量，設計問題鏈的能力與問題教學的經驗是進行問題鏈教學的關鍵[17]，而將主問題鏈逐級分解為子問題鏈則是問題鏈教學的必要手段．

案例3 在運用基本不等式求最值的課時教學設計中，教師首先應確定本節(jié)課的教學目標是“學生能夠正確運用基本不等式求最值”．其中，基本不等式運用的條件“一正、二定、三相等”是重點，因此為何要及如何滿足“一正、二定、三相等”則是問題的核心．于是，主問題鏈則由分別設計的“一不正”“二不定”（基于學情暫不考慮“三不等”情形，但可以告知學生“三不等”與對勾函數的聯系）的子問題構成；而對于“二不定”的問題情境，又會出現“積不定”、“和不定”或分式形式的問題．于是，為了逐個擊破這些子問題，子問題鏈可以被相應地確定下來（圖2）．通過探討“一不正”“二不定”的兩種情況均無法使基本不等式成立，從而確定基本不等式的條件．利用反向推理的方法，降低推理難度，并將分類討論思想與反證法等思想方法貫穿其中．

圖2 “利用‘基本不等式’求最值”課時問題鏈示例

其次，在問題鏈教學過程，應通過理性重構來體現問題間的知識、方法與思考視角關聯，才能反向促進問題鏈整體功能的實現，使課堂問題解決更具整體性．唐恒鈞[4]通過調查研究發(fā)現新手教師的問題鏈設計體現知識關聯，強調知識層層遞進；而專家型教師的問題鏈設計體現方法關聯，強調先粗后細、前鋪后琢．依據研究結論，該學者倡導“方法關聯”的問題鏈設計與處理手段，讓學生體驗、獲得數學探究的基本視角與通法，同時倡導問題鏈教學的單元設計思路，即將具有相同研究視角或共同研究方法的問題作為一個單元進行整體實施．例如，在人教版《普通高中教科書·數學》中，正余弦定理內容劃歸為“平面向量知識的應用”模塊，就是利用“方法關聯”建構知識體系的具體表現．通過第一個主題的學習提煉并獲得基本的研究視角與方法，并在后續(xù)主題中以問題解決的形式加以應用．

最后，問題鏈是教師課外預設的，但在真實的課堂教學活動中，師生的交互性使課堂“生成”的問題鏈并不一定與“預設”的相吻合．因此，問題鏈的課堂教學實踐并不是、也絕不能是教師在課堂上提出一個個預先設置好的問題，而應根據師生互動的實際情況靈活調整問題鏈，使學生在一些重要的數學思想方法的引領下拓展、延伸相應的問題[9]，實現深度學習．

3.4 “器”——基本形式與教學載體

在明確設計思路后，就需要利用動態(tài)課程與教學資源，建構基于問題情境的具體問題鏈，即“器”主要回答“教師在課堂教學中為學生呈現怎么樣的問題鏈”的問題，也即問題鏈的基本形式，這取決于核心問題的特征與難度．問題是引導探索的，核心問題的解決必須從起點問題出發(fā)，通過解決一連串中間問題（問題鏈）而實現，這就要求教師設計的問題鏈應具有啟發(fā)性、層次性和深刻性，反過來，對問題進行推廣、引申、綜合、深化等操作后，通過中間問題的過渡作用進而可以實現核心問題的探索．這一系列操作體現在問題鏈教學設計當中，就是教師對不同基本形式的問題鏈的尋找與建構過程．對此，有學者提出，問題鏈的基本形式可以大致分為推廣（收縮）鏈、引申鏈、綜合鏈與深化鏈4類（表1）．唐恒鈞[12]也從一般化、特殊化、類比、逆向等4種基本思維出發(fā)，相應地提出推廣鏈、特殊鏈、類比鏈與逆向鏈這4類問題鏈（表2）．

該案例所呈現的問題鏈，圍繞“平面向量的運算法則”這個核心問題，以問題①為起點問題，②③④⑤為中間問題（也即主問題），通過數的加法性質與力的合成，類比向量的加法性質，在得到向量平行四邊形法則的基礎上，引導思考三角形法則的性質，最后以問題⑤逐步引導學生對向量三角形法則的理解走向深化，是以深化鏈為基本形式的問題鏈．

表1 數學問題鏈的基本形式——案例1

表2 數學問題鏈的基本形式——案例2

案例5 再以“補集思想”進行詳細說明．如下題目[18]：小明家中有甲、乙、丙3個鬧鐘，他每天準時起床必須靠鬧鐘叫醒自己．假設任一鬧鐘響就能起床，甲鬧鐘準時響的概率是0.8，乙鬧鐘準時響的概率是0.9，丙鬧鐘準時響的概率是0.75，求小明能準時起床的概率．

若依據原問題設置“求小明不能準時起床的概率”的逆向鏈，進而由“甲鬧鐘不能按時響的概率”“乙鬧鐘不能按時響的概率”“丙鬧鐘不能按時響的概率”的問題鏈，引申出“甲、乙、丙3個鬧鐘都不能按時響的概率”的問題，就可以大大降低原問題的理解難度．

此外，不同形式問題鏈的建構還可以從其它不同角度出發(fā)，如依據數學知識（概念、命題、定理等）、數學思想方法、數學規(guī)律等尋找與建構概念鏈、命題鏈、方法鏈等問題鏈；依據數學學科核心素養(yǎng)、十大核心詞等尋找與建構運算鏈、推理鏈等問題鏈．凡此種種，所有基本形式均體現了以問題為主線，以“提出問題—解決問題—再發(fā)現問題”為全過程的、兼具收斂性和發(fā)散性的數學思維方法，能夠為教師問題鏈的尋找與建構提供基本參考依據[3]．

4 基于數學問題鏈教學優(yōu)化的教學建議

基于數學問題鏈的教學設計與實施是一項系統工程，要遵其“道”：注重基礎與培養(yǎng)創(chuàng)新相結合；循其“法”：講授式與發(fā)現式相結合；明其“術”：整體設計與分解實施相結合；用其“器”：課前預設與實際生成相結合．不僅關注問題鏈的“設計”，也要關注問題鏈的“實施”與“評價”，堅持“教、學、評”一體化，進而構建完善的問題鏈教學“設計—實施—評價”體系，具體流程如圖3所示．

圖3 數學問題鏈教學“設計—實施—評價”體系

4.1 頂層設計——道法一體

基于“問題鏈”的教學應充分發(fā)揮問題驅動培養(yǎng)學生問題解決能力的功能，體現“問題解決式”的教育價值取向，遵循“注重基礎、培養(yǎng)創(chuàng)新”的指導思想；明確主問題鏈與子問題鏈的設計思路與結構框架，并以講授式與發(fā)現式并重的教學方法引導學生實現真正的自主探究，堅持實現“道”與“法”的辯證統一．

具體而言，在教學設計方面，問題鏈的創(chuàng)設必須把握好注重基礎與培養(yǎng)創(chuàng)新的平衡點．衡量問題鏈教學價值的標尺并不在于其囊括了多少精深、生僻的問題，而貴在其能否讓學生體會思考問題的方法與視角、并不斷建構新知識[6]．在實施方面，不僅關注教師的引導，還應在師生交互的過程中，引導學生進行獨立探索，這是問題鏈教學中非常重要的學習行為[4]．因此，在問題鏈教學的推進過程中，學生不僅是回答問題、解決問題，還應發(fā)現、提出問題，教師則應給學生“冷靜思考的時間”和“充分表達的機會”．在評價方面，教師應關注自身設計的問題鏈是否體現了“問題驅動式”與“問題解決式”的指導思想和教學理念，是否能夠有效引導學生通過問題建構數學知識框架并持續(xù)探索；關注學生是否能夠真正通過觀察、試驗、猜想等學習行為進行問題鏈的探索．

4.2 基礎建設——術器合一

基于“問題鏈”的教學不僅需要重視“頂層設計”，還應關注“基礎建設”．在問題鏈的尋找與建構過程中應依據教學內容合理采用多種不同形式的問題鏈，明確問題鏈整體設計與分解實施的技術路線，重視問題之間的方法關聯，在問題鏈形式的選取上堅持課前預設與實際生成相結合，達到術器合一．

具體而言，在教學設計方面，教師應當積極開發(fā)教學資源，擴大問題搜索范圍，并依據教學內容篩選問題類型，依據知識內容的特征確定問題鏈的基本形式．在技術路線上應從宏觀入手，整體設計主問題鏈，逐步過渡到微觀，將主問題鏈分解到各個課時去完成，引導學生的思維不斷深化發(fā)展．在實施方面，教師應當注重不同問題之間的“方法關聯”，兼顧“知識關聯”，兼顧學生思想方法的掌握與知識框架的持續(xù)建構．倘若教師設計的問題鏈忽視問題間的關聯，就會使問題鏈教學淪為機械式的問題堆積與題海訓練，從而不利于學生知識框架的建構與問題解決能力的培養(yǎng)．同時，教師在實施過程還應把握先慢后快、先松后緊的教學節(jié)奏，使得學生建構知識、探索未知的空間也先小后大[4]，因此，教師不能滿足于預設好的、具有邏輯關聯的問題鏈形式，更不能“鄭人買履”或生搬硬套，而有必要依據實施中的具體情況靈活調整預設的問題鏈，抓住師生互動過程中“實際生成”的每一個有價值的問題．在評價方面，教師應思考自身是否能夠依據教學內容為學生呈現合適的問題鏈形式，關注自身是否能夠在整體觀的指導下設計與實施問題鏈教學，是否能夠有效處理問題鏈的預設與生成之間的關系，采取的知識關聯或方法關聯是否與本節(jié)課的知識內容相適應等．

5 結語

從“道 法 術 器”的角度梳理數學問題鏈教學，實則也是對現代數學教育哲學視角下問題鏈教學的“價值論”“目的論”及“方法論”的初步探索，這對數學問題鏈教學的理論探索和實踐操作均具有現實意義．后續(xù)研究應繼續(xù)側重于問題鏈教學的實踐，開展更為豐富的案例分析，如探析單元、大概念、深度學習等視域下的問題鏈（范疇、難易、方法、思維等）教學設計、實施、評價的理路等．

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“Dao FA Shu Qi” in Mathematics Problem Chain Teaching

FENG Yuan-yuan, SU Gui-hua, ZHANG Ding-qiang

(College of Teacher Education, Northwest Normal University, Gansu Lanzhou 730070, China)

Mathematics problem chain teaching is an important way to implement the fundamental task of “Building Morality and cultivating people”. This paper explains the guiding ideology, teaching and learning methods, teaching techniques and substantial forms of problem chain teaching from the perspective of “Dao FA Shu Qi”, and puts forward some teaching suggestions from the perspective of the integration of “Design-Implementation-Evaluation”. On the one hand, we should pay attention to the “Top-level design” of ideology and method: follow the guiding ideology of “Laying stress on foundation and cultivating innovation” and the design ideas and structural framework of the problem chains; both of the lecture and discovery method should be adopted to guide the students to achieve the “True inquiry”. On the other hand, we should pay attention to the “Basic construction” of teaching techniques and substantial forms: clarify the technical route for the overall design and decomposition of Problem Chains, and pay attention to the “Method connection” between the problems. In addition, various types of problem chains should be reasonably adopted according to the teaching content, and properly handle the relationship between “preset” and “generation” of the problem chains.

middle school mathematics; problem chain; “Dao FA Shu Qi”

G40–03

A

1004–9894（2023）05–0042–05

馮園園，宿桂花，張定強．中學數學問題鏈教學的“道 法 術 器”[J]．數學教育學報，2023，32（5）：42-46．

2023–06–21

國家社會科學基金“十三五”規(guī)劃2018年度教育學西部項目——西北民族地區(qū)高中生理科學科核心素養(yǎng)培育路徑研究（XHA180288）

馮園園（1997—），男，陜西榆林人，碩士生，主要從事數學教學論研究．張定強為本文通訊作者．

[責任編校：陳雋、張楠]