關(guān)于絕對(duì)值和數(shù)軸的一個(gè)注

史寧中

關(guān)于絕對(duì)值和數(shù)軸的一個(gè)注

史寧中

（東北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130024）

現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教材關(guān)于絕對(duì)值的內(nèi)容，是通過線段長(zhǎng)度或者距離定義絕對(duì)值，然后再論述有理數(shù)的絕對(duì)值性質(zhì)，這樣的表述并不合適．絕對(duì)值概念源于復(fù)數(shù)大小的表達(dá)，然后用于向量長(zhǎng)度的表達(dá)，因此，實(shí)數(shù)的和線段長(zhǎng)度的絕對(duì)值表達(dá)都是特例，可以分別稱為絕對(duì)值的代數(shù)表達(dá)和幾何表達(dá)．兩種表達(dá)在形式上的一致性，構(gòu)成了數(shù)形結(jié)合的理論基礎(chǔ)，成為初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容．建議：未來(lái)初中數(shù)學(xué)教材的編寫和教學(xué)，可以嘗試回歸絕對(duì)值的本原．

絕對(duì)值；數(shù)軸；復(fù)數(shù)；向量

至少對(duì)于數(shù)學(xué)教育而言，數(shù)形結(jié)合始于初中數(shù)學(xué)，是通過數(shù)軸和絕對(duì)值表述的．但仔細(xì)閱讀現(xiàn)行的教材可以發(fā)現(xiàn)，這些內(nèi)容的表述不盡合理，不僅不能自圓其說(shuō)，也沒有揭示數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)本質(zhì)．正值《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》實(shí)施之際，特寫此文供教材編寫者、教研員和中學(xué)數(shù)學(xué)教師參考，歡迎批評(píng)指正．

現(xiàn)在，關(guān)于絕對(duì)值概念的論述出現(xiàn)了矛盾：非負(fù)數(shù)的絕對(duì)值到底是線段長(zhǎng)度呢？還是它本身所表達(dá)的數(shù)量的多少呢？因?yàn)樵诒举|(zhì)上，無(wú)論是正數(shù)還是負(fù)數(shù)都是對(duì)數(shù)量的抽象，數(shù)量相等、意義相反，而絕對(duì)值表達(dá)的正是相等的數(shù)量，因此才會(huì)有“相反數(shù)的絕對(duì)值相等”這樣的結(jié)論．事實(shí)上，這也是數(shù)學(xué)家定義絕對(duì)值的初衷．

因?yàn)樵谝话闱闆r下，復(fù)數(shù)是無(wú)法比較大小的，于是德國(guó)數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯于1841年發(fā)明了絕對(duì)值這個(gè)符號(hào)（參見：CAJORI F. A history of mathematical notations [M]. New York: Dover Publications, 1993: 123–124, 133．國(guó)內(nèi)著作參見：徐品方，張紅．?dāng)?shù)學(xué)符號(hào)史[M]．北京：科學(xué)出版社，2006：269．），用以表示復(fù)數(shù)的大小：復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部平方和的開方．因此，對(duì)于實(shí)數(shù)的特殊情況，絕對(duì)值就是：非負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)．也就是說(shuō)，任意實(shí)數(shù)的絕對(duì)值可以表示為

的形式．由此可見，最初定義的絕對(duì)值與數(shù)軸無(wú)關(guān)，可以稱為絕對(duì)值的代數(shù)表示．

的形式．這恰好是數(shù)軸上的線段長(zhǎng)度，可以稱為絕對(duì)值的幾何表示．

茍直線上之點(diǎn)，裂為前后兩段，前段各點(diǎn)均在后段各點(diǎn)之左，如是則必有一點(diǎn)，且僅有一點(diǎn)使此兩段之分裂得以產(chǎn)生．

是說(shuō)，數(shù)軸上的點(diǎn)是連續(xù)的，基本特征是：任意一個(gè)點(diǎn)都可以把數(shù)軸上的點(diǎn)劃分為兩類，一類點(diǎn)在另一類點(diǎn)的左邊，這樣的劃分能并且只能產(chǎn)生一個(gè)點(diǎn)．類比數(shù)軸上的點(diǎn)，戴德金認(rèn)為實(shí)數(shù)的連續(xù)性也具有這樣的特征：任何一個(gè)實(shí)數(shù)都對(duì)應(yīng)一個(gè)劃分，可以把實(shí)數(shù)分為兩類，一類中的實(shí)數(shù)小于另一類中的實(shí)數(shù)，這樣的劃分能并且只能產(chǎn)生一個(gè)實(shí)數(shù)．借助連續(xù)性公理，戴德金最終定義了具有連續(xù)性的實(shí)數(shù)，使得極限的嚴(yán)謹(jǐn)定義與表達(dá)成為可能．

綜上所述，初中數(shù)學(xué)教材的內(nèi)容最好既包括絕對(duì)值的幾何表示，也包括代數(shù)表示．?dāng)?shù)學(xué)教育應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生知道，正是因?yàn)檫@兩種表示形式上的一致性，使得有理數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的對(duì)應(yīng)（小學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容）升華到數(shù)量與距離的對(duì)應(yīng)（初中數(shù)學(xué)的內(nèi)容），幫助學(xué)生建立數(shù)形結(jié)合的直觀，感悟數(shù)學(xué)的本質(zhì)．

A Note on Absolute Value and the Number Axis

SHI Ning-zhong

(School of Mathematics and Statistics, Northeast Normal University, Jilin Changchun 130024, China)

The content of absolute value in current middle school mathematics textbooks defines absolute value through segment length or distance, and then discusses the properties of absolute value for rational number, which is not an appropriate statement. The concept of absolute value originates from the expression of the magnitude of complex number, and later extends to the representation of vector lengths. Therefore, theabsolute value expressions of real numbers and segment lengths are both special cases, being termed algebraic and geometric expressions of absolute value, respectively. The formal consistency of these two expressions constitutes the theoretical foundation of the combination of numbers and shapes, becoming a pivotal aspect of middle school mathematics. This article suggests that the writing and teaching of future middle school mathematics textbooks should consider returning to the origin of absolute value.

absolute value; number axis; complex number; vector

G632

A

1004–9894（2023）05–0001–02

史寧中．關(guān)于絕對(duì)值和數(shù)軸的一個(gè)注[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2023，32（5）：1-2．

2023–09–03

史寧中（1950—），男，江蘇南京人，教授，博士生導(dǎo)師，國(guó)家教材委員會(huì)數(shù)學(xué)專業(yè)委員會(huì)主任委員、中國(guó)教育學(xué)會(huì)學(xué)術(shù)委員會(huì)主任、高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組組長(zhǎng)、義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組組長(zhǎng)、CAP數(shù)學(xué)專家委員會(huì)主任，主要從事數(shù)理統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)教育研究．

[責(zé)任編校：周學(xué)智、陳漢君]