探討“問題提出”教學(xué)的一般模式——基于“乘法分配律”的課堂分析

許天來，蔡金法

探討“問題提出”教學(xué)的一般模式——基于“乘法分配律”的課堂分析

許天來1，蔡金法2

（1．廣州大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510006；2．特拉華大學(xué) 數(shù)學(xué)系，特拉華 紐瓦克 19716）

結(jié)合“乘法分配律”的課堂實例探討“問題提出”教學(xué)的一般模式，包括：（1）教師呈現(xiàn)問題情境；（2）教師根據(jù)教學(xué)目標(biāo)設(shè)置恰當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)語；（3）學(xué)生以個體方式或小組方式提出問題；（4）師生對學(xué)生所提問題進(jìn)行“分析”“選取”“排序”和“求解”．一節(jié)課可能包含多個類似的問題提出教學(xué)活動．盡管“乘法分配律”的課堂設(shè)計遠(yuǎn)早于問題提出教學(xué)一般模式的呈現(xiàn)，但是該課例很符合此一般模式．研究表明了研究和實踐的交互作用：通過研究問題提出的一般模式指導(dǎo)問題提出教學(xué)，同時問題提出教學(xué)的實踐促進(jìn)了一般模式的研究．

問題提出；教學(xué)模式；引導(dǎo)語；乘法分配律；P-PBL

1 問題提出

數(shù)學(xué)問題提出（Mathematical Problem Posing）的研究在過去幾十年得到了較大的發(fā)展[1]．然而，問題提出融入數(shù)學(xué)課堂遠(yuǎn)未實現(xiàn)常態(tài)化．當(dāng)前關(guān)于問題提出教學(xué)研究的關(guān)鍵問題在于如何幫助教師更好、更多地將問題提出整合到課堂教學(xué)．除了要不斷進(jìn)行培訓(xùn)以提高教師運(yùn)用問題提出進(jìn)行教學(xué)的信念，更重要的是要對問題提出教學(xué)的一般模式進(jìn)行探討，幫助教師理解問題提出教學(xué)的過程，增加其運(yùn)用問題提出進(jìn)行教學(xué)的信心和實踐．

2 研究框架

蔡金法基于對運(yùn)用問題提出進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)的研究，總結(jié)出基于問題提出的教學(xué)模式（Problem-Posing-Based Learning instructional model，P-PBL教學(xué)模式）[2]，如圖1．此模式描述了用單個問題提出任務(wù)進(jìn)行教學(xué)的流程，詳見文[2]．步驟1和步驟2通常是同時呈現(xiàn)的，但在這個模式中將其分開討論，是為了強(qiáng)調(diào)在設(shè)計問題提出的教學(xué)任務(wù)時，問題情境和引導(dǎo)語同樣重要．首先，教師呈現(xiàn)問題情境，這個情境可以是數(shù)學(xué)情境、生活情境以及其它情境（如科學(xué)實驗情境或體育情境）[3-5]．其次，在呈現(xiàn)問題情境的同時，應(yīng)當(dāng)根據(jù)教學(xué)目標(biāo)設(shè)置恰當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)語，對學(xué)生所提問題的數(shù)量、難度、所涉及的知識領(lǐng)域等提出具體的要求．比如：（1）提出能夠?qū)δ愕耐瑢W(xué)或老師有一定挑戰(zhàn)的數(shù)學(xué)問題；（2）提出涉及百分比的數(shù)學(xué)問題；（3）提出3個數(shù)學(xué)問題，簡單、中等難度和較難的各一個；（4）提出盡可能多的數(shù)學(xué)問題；（5）模仿范例中的問題，提出類似/不同結(jié)構(gòu)的問題；（6）你能提出哪些至少包含2種運(yùn)算的數(shù)學(xué)問題；（7）提出現(xiàn)實生活中能用此方程求解的數(shù)學(xué)問題；（8）提出兩個能用加、減法解決的數(shù)學(xué)問題，并讓黑板上的3個數(shù)同時出現(xiàn)在你的問題里[5]．再次，學(xué)生根據(jù)教師設(shè)置的情境和引導(dǎo)語，可以自己提出數(shù)學(xué)問題，也可以在小組中自己先提出數(shù)學(xué)問題，與組內(nèi)同學(xué)交流與辯論，然后以小組的形式推選出最具代表性、最好的若干問題．最后，師生對學(xué)生所提問題進(jìn)行恰當(dāng)?shù)靥幚恚饕韵?個環(huán)節(jié)：（1）師生分析學(xué)生所提問題，包括對問題進(jìn)行糾錯與完善，以及對重復(fù)、無序的問題進(jìn)行分類；（2）選取難度適中、契合教學(xué)目標(biāo)的問題；（3）確定求解問題的順序；（4）求解問題．

圖1 基于問題提出的教學(xué)模式

需要指出的是，一節(jié)課可能包含多個問題提出的教學(xué)活動，對應(yīng)的課堂上亦會經(jīng)歷多個類似的教學(xué)流程．莫延安和王濤在上述研究的基礎(chǔ)上，結(jié)合多個小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實例對其中的教學(xué)步驟進(jìn)行了詳盡解讀[5]．研究結(jié)合基于問題提出進(jìn)行教學(xué)的一個具體課例，對如何更好地運(yùn)用這一教學(xué)模式展開進(jìn)一步的論述．蔡金法等提出了教學(xué)理論和教學(xué)實踐的雙向關(guān)系[6]．其中，為了教學(xué)的理論（theory for teaching）是指旨在為學(xué)生創(chuàng)造更多更好的學(xué)習(xí)機(jī)會提供指導(dǎo)的理論；為了理論的教學(xué)（teaching for theory）是指通過教與學(xué)不斷地為提升和發(fā)展理論提供素材．如果說為了教學(xué)的理論指的是為了更好地教學(xué)和促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的理論，那么為了理論的教學(xué)則指的是有意設(shè)計用于生成、闡述和測試?yán)碚摰慕虒W(xué)．研究旨在強(qiáng)調(diào)教學(xué)理論與教學(xué)實踐間的雙向關(guān)系的重要性．

3 研究對象

研究對象為小學(xué)數(shù)學(xué)特級教師丁老師2016年基于問題提出教學(xué)“乘法分配律”的課例[7]．此課例在大型優(yōu)質(zhì)課評比活動中獲得一等獎，是丁老師在特拉華大學(xué)蔡金法的建議和指導(dǎo)下，勇于突破教學(xué)舒適區(qū)，克服對失去課堂掌控的恐懼，從零開始深入學(xué)習(xí)，掌握基于問題提出的教學(xué)方法并首次基于問題提出進(jìn)行的教學(xué)嘗試[8]．整體教學(xué)過程如表1．

表1 “乘法分配律”總體教學(xué)過程

可以看出，課例可劃分為5個環(huán)節(jié)，具體為創(chuàng)設(shè)懸念、問題提出、點(diǎn)子圖、探索歸納和練習(xí)回顧．第一，設(shè)置懸念，引導(dǎo)學(xué)生思考為何丁老師算得這么快．第二，要求學(xué)生根據(jù)算式提出生活中的數(shù)學(xué)問題，幫助他們從這些數(shù)量眾多的、來自“自己的”例證中初步感受乘法分配律的合理性．這種解決“自己的”問題，加上小組“競賽”的氣氛，能很好地調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性．在解決問題的過程中，引發(fā)學(xué)生產(chǎn)生連續(xù)、愈加強(qiáng)烈的認(rèn)知沖突——“為什么兩種形式的算式可用以解決同一問題？”“為什么兩種形式的算式可用以解決所有問題？”第三，結(jié)合“點(diǎn)子圖”，幫助學(xué)生將具有“分”“合”特征的算式聯(lián)想成自己所提出的數(shù)學(xué)問題，促進(jìn)學(xué)生通過數(shù)形結(jié)合理解乘法分配律．第四環(huán)節(jié)則通過讓學(xué)生補(bǔ)充等式，引導(dǎo)其從特殊到一般驗證規(guī)律，結(jié)合符號進(jìn)行歸納．最后，精心設(shè)計習(xí)題，呼應(yīng)前文疑問，總結(jié)全課．

綜上所述，丁老師的課例僅包含一個問題提出活動．下面將結(jié)合此課例具體的教學(xué)片段，探討“問題提出”教學(xué)的一般模式．

4 研究結(jié)果和討論

4.1 關(guān)于教師呈現(xiàn)問題情境

第一個流程和第二個流程往往是同時呈現(xiàn)的．P-PBL教學(xué)模式將它們分開，是為了強(qiáng)調(diào)在運(yùn)用問題提出進(jìn)行教學(xué)設(shè)計時，情境和引導(dǎo)語同等重要．

【教學(xué)片段1】

師：咱們班的同學(xué)個個都是編題高手，現(xiàn)在把難度升級，如果只給你算式，你能根據(jù)算式提出生活中的數(shù)學(xué)問題嗎？

生：能！

師：謝謝你們自信的回答．這樣吧！丁老師把全班分成兩大組，第1、2組的同學(xué)請根據(jù)“算式1”，第3、4組則根據(jù)“算式2”，來提出現(xiàn)實生活中的數(shù)學(xué)問題并清楚地記錄下來．（老師故意把兩個算式隱藏起來，不讓第1、2組和第3、4組的同學(xué)分別知道對方的算式．）

學(xué)生活動：第1、2組編：(5+7)×4；第3、4組編：5×4+7×4．

評析：運(yùn)用問題提出進(jìn)行教學(xué)，首先應(yīng)選擇恰當(dāng)類型的任務(wù)情境引導(dǎo)學(xué)生提出數(shù)學(xué)問題，主要分為數(shù)學(xué)情境、生活情境和其它情境，教師可根據(jù)不同的學(xué)情和教學(xué)目標(biāo)選取不同類型的情境．?dāng)?shù)學(xué)情境包括算式、方程、幾何圖形、表格、函數(shù)圖象、模式（滿足特定規(guī)律的一組數(shù)字或圖形，如斐波那契數(shù)列和三角點(diǎn)陣）等．教師可要求學(xué)生根據(jù)“純”數(shù)學(xué)情境（如算式和方程）提出生活中的問題，以此幫助學(xué)生結(jié)合熟悉的生活場景探究抽象的數(shù)學(xué)知識．生活情境則體現(xiàn)了數(shù)學(xué)在現(xiàn)實中的運(yùn)用，貼近學(xué)生日常生活實際，具有一定的趣味性．要求學(xué)生根據(jù)生活情境提出數(shù)學(xué)問題，可以幫助他們從熟悉的場景中提煉數(shù)學(xué)關(guān)系．其它情境包括科學(xué)實驗情境和體育情境等學(xué)生相對陌生的場景．

在丁老師的教學(xué)片段一中，算式“(5+7)×4”和“5×4+7×4”均是“純”數(shù)學(xué)情境，相比教師直接給出問題讓學(xué)生求解，這種學(xué)生“自己的”問題更貼合其生活實際，學(xué)生可以結(jié)合生活中的所見所聞探究抽象的乘法分配律，教師在此基礎(chǔ)上展開教學(xué)能更好地幫助學(xué)生理解所學(xué)內(nèi)容．

4.2 關(guān)于教師設(shè)置引導(dǎo)語

在上述教學(xué)片段一中，丁老師設(shè)置的引導(dǎo)語為：“提出現(xiàn)實生活中的問題”，并未提出其它要求．一方面是因為數(shù)學(xué)表達(dá)式的“結(jié)構(gòu)較為穩(wěn)定”，另一方面是因為教學(xué)的重點(diǎn)在于幫助學(xué)生理解兩種形式的算式均可用以求解同一問題．在其它情境如“斐波那契數(shù)列”中，如若不通過引導(dǎo)語進(jìn)行限制，學(xué)生可能會為了追求數(shù)量而未能集中精力進(jìn)行更高層次的思維參與．因此，教師可以設(shè)置以下引導(dǎo)語：“（已知數(shù)列1，1，2，3，5，…，此數(shù)列前兩項為1，從第三項開始，每一項都等于前面兩項之和）你能根據(jù)這個情境提出一個簡單的數(shù)學(xué)問題、一個中等難度的數(shù)學(xué)問題和一個較難的數(shù)學(xué)問題嗎？”

由上可知，設(shè)置問題提出的任務(wù)包括問題情境類型的選取以及引導(dǎo)語的設(shè)計兩個方面．因此，為了更好地設(shè)置問題提出任務(wù)從而為學(xué)生提供更多的學(xué)習(xí)機(jī)會，教師在備課階段應(yīng)對學(xué)生可能會提出的問題進(jìn)行預(yù)測．首先，教師自己應(yīng)當(dāng)能提出盡可能多的、不同類型的數(shù)學(xué)問題，這有助于教師更好地預(yù)測學(xué)生可能會提出的正確問題，從而選擇恰當(dāng)?shù)那榫愁愋瓦M(jìn)行教學(xué)．在這個課例中，算式情境是一種“結(jié)構(gòu)較為穩(wěn)定”的情境，教學(xué)實踐表明，學(xué)生所提問題總體上在丁老師的預(yù)料范圍內(nèi)．

其次，教師還應(yīng)當(dāng)能較好地預(yù)測學(xué)生可能會提出的數(shù)學(xué)問題，包括正確的、錯誤的數(shù)學(xué)問題甚至是非數(shù)學(xué)問題，以進(jìn)行針對性的教學(xué)準(zhǔn)備．研究表明，中國教師在預(yù)測學(xué)生所提問題的準(zhǔn)確率上存在著極大的個體差異（7%～89%）[9]．對于具體的問題提出任務(wù)，可以通過問卷的形式收集盡可能多的師生所提問題，尤其應(yīng)注意選取同年齡段、學(xué)情相近的學(xué)生作為調(diào)查對象．如此才能更好地預(yù)測學(xué)生可能會提出的問題，在備課階段提前準(zhǔn)備應(yīng)對策略．在有了充分的準(zhǔn)備后，如若學(xué)生在課堂上提出教師課前未預(yù)料到的數(shù)學(xué)問題，后者可以有更多的時間思考處理對策．

4.3 關(guān)于學(xué)生以個體形式或小組形式提出數(shù)學(xué)問題

教師在呈現(xiàn)問題情境并設(shè)置引導(dǎo)語后，學(xué)生開始提出數(shù)學(xué)問題．

【教學(xué)片段2】

師：剛才同學(xué)們都討論得很熱烈，編得很起勁．下面哪個小組來展示一下你們組編的數(shù)學(xué)問題．

展示第3、4組根據(jù)5×4+7×4編的部分?jǐn)?shù)學(xué)問題（如圖2所示）．

師：請一位小組長來讀讀你們組編的數(shù)學(xué)問題．（生讀上述“買牛奶問題”．）

小組長（故作神秘）：我請坐在第1、2組的同學(xué)來猜猜看，我們是根據(jù)哪一道算式來編的？

生1：(5+7)×4．

生2：我認(rèn)為是5×4+7×4．

師（追問）：真是奇怪了，剛才有的同學(xué)猜的卻是(5+7)×4，這到底是怎么一回事？誰來說說其中的道理？

生3：(5+7)×4是先算“一瓶普通牛奶和一瓶脫脂牛奶的價錢是12元”，再乘4，就可以算出“各買4瓶共花的錢”；而5×4+7×4是先分別算出“4瓶普通牛奶的價錢”和“4瓶脫脂牛奶的價錢”，再把它們加起來，都是一樣的．

生4：我還發(fā)現(xiàn)，它們的得數(shù)也是相同的，這兩個算式都可以解決剛才這個小組編的數(shù)學(xué)問題．

師：原來如此！

圖2 學(xué)生提出的數(shù)學(xué)問題

評析：P-PBL教學(xué)模式的第三個流程為學(xué)生以個體方式或小組方式提出數(shù)學(xué)問題．學(xué)生可以在小組中先自己提出數(shù)學(xué)問題，與組內(nèi)同學(xué)進(jìn)行交流與辯論，以小組的形式推選出最具代表性、最好的若干問題．以小組為單位，課堂所解問題隸屬更多學(xué)生，小組間的良性“競爭”能較好地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性．在小組討論的過程中，學(xué)生不僅進(jìn)行了個人積極的主動建構(gòu)，還參與了社會性的溝通過程，有助于達(dá)成更有意義的學(xué)習(xí)[10]．教師也可以讓學(xué)生自己提出數(shù)學(xué)問題，從而在有限的課堂時間內(nèi)留給學(xué)生更多獨(dú)立思考的時間．

在此課例中，丁老師將學(xué)生分成兩大組，分別根據(jù)乘法分配律兩種不同形式的算式之一編制問題．在此基礎(chǔ)上丁老師要求每組學(xué)生通過討論交流，在規(guī)定時間內(nèi)提交最好的幾個問題，因此，不同水平的學(xué)生都能充分參與到問題提出活動之中．值得注意的是，在此課例中，并不知道學(xué)生是如何根據(jù)算式提出數(shù)學(xué)問題的．

此外，丁老師通過分組“競爭”的形式促進(jìn)學(xué)生積極思考．在第1、2小組學(xué)生中，至少猜中1種算式的學(xué)生包含以下4種情形．第一，未發(fā)現(xiàn)此問題可用給定算式(5+7)×4進(jìn)行求解，自行得到另一算式5×4+7×4；第二，發(fā)現(xiàn)此問題可用給定算式進(jìn)行求解，未進(jìn)行其它思考．第三，發(fā)現(xiàn)可用給定算式求解，但由于小組之間的“競爭”關(guān)系，認(rèn)為教師不會給兩個小組同一算式，通過積極的思考仍未能想出另一算式．第四，發(fā)現(xiàn)可用給定算式求解，最終通過積極的思考得到另一算式．無論何種情形，在教師讓學(xué)生結(jié)合生活情境做出解釋后，都能引發(fā)學(xué)生產(chǎn)生強(qiáng)烈的認(rèn)知沖突：“為什么兩種形式的算式都可用以解決同一問題？”特別對于后兩類學(xué)生，他們在此之前已進(jìn)行了積極主動的思維參與．相比直接求解教師提供的問題，運(yùn)用問題提出進(jìn)行教學(xué)的這部分學(xué)生尋求第二解法的意愿更為強(qiáng)烈．

4.4 關(guān)于師生處理問題

課堂上師生應(yīng)對學(xué)生所提的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行恰當(dāng)?shù)奶幚恚?/p>

【教學(xué)片段3】

前略，與上述片段類似，僅僅是兩個小組提問與猜測角色的互換．

師（小結(jié)）：雖然這兩個算式“長”得不一樣，但都可以同時解決這個數(shù)學(xué)問題（一套書上冊5元，下冊7元，小明買了4套，一共花了幾元？）．千金難買回頭看！剛才你們小組編的數(shù)學(xué)問題，是不是都可以用黑板上的這兩個算式來解決？

（給學(xué)生一點(diǎn)時間去靜靜地觀察和思考．）

生（齊答）：是的．

師：哇！看來這兩個算式真的很神奇．丁老師有一個圖更神奇，它可以把大家編的數(shù)學(xué)問題全部都表示出來，信不信？（學(xué)生半信半疑）

評析：丁老師點(diǎn)評學(xué)生所提問題，包括表達(dá)是否簡潔準(zhǔn)確、是否符合生活實際等．她讓兩個小組提問與猜測的角色進(jìn)行互換，由于有前面教學(xué)的鋪墊，第3、4組學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)第1、2組學(xué)生所提問題同樣可根據(jù)兩個算式進(jìn)行編制．教師進(jìn)而通過追問的方式引導(dǎo)學(xué)生思考：“這些問題是不是都可以用黑板上的兩個算式來解決？”以此激發(fā)學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突：“為什么兩種形式的算式均可用以解決所有問題？”很自然地過渡到第三環(huán)節(jié)的教學(xué)——通過點(diǎn)子圖幫助學(xué)生更好地理解乘法分配律．結(jié)合此前第3、4組展示和第1、2組猜測的教學(xué)處理，這種連續(xù)的、愈發(fā)強(qiáng)烈的認(rèn)知沖突，能提供學(xué)生更多的學(xué)習(xí)機(jī)會，更能調(diào)動學(xué)生積極主動的思維參與．

5 結(jié)論

“問題提出”教學(xué)的一般模式有助于教師更好地了解如何運(yùn)用問題提出進(jìn)行教學(xué)，從而提高其教學(xué)信念，最終促成問題提出教學(xué)更多、更好地融入到數(shù)學(xué)課堂，為學(xué)生提供更多的學(xué)習(xí)機(jī)會．蔡金法和他的合作者認(rèn)為，盡管現(xiàn)有的多個小學(xué)教學(xué)案例（包括此文中的案例）充分驗證了P-PBL教學(xué)模式的有效性[11-13]，但仍需結(jié)合更多的案例對其進(jìn)行驗證、細(xì)化和修改[2]．另一方面，這一教學(xué)模式也可作為教師開發(fā)P-PBL教學(xué)案例的理論指導(dǎo)．結(jié)合P-PBL教學(xué)模式發(fā)現(xiàn)，教師學(xué)習(xí)運(yùn)用問題提出進(jìn)行教學(xué)應(yīng)從學(xué)習(xí)設(shè)置教學(xué)任務(wù)開始，包括問題情境的類型與引導(dǎo)語．此為教師引導(dǎo)學(xué)生提出問題和隨后師生處理問題的基礎(chǔ)．

最后需要說明的是，運(yùn)用“問題提出”進(jìn)行教學(xué)，并不是要取代基于“問題解決”的教學(xué)等傳統(tǒng)手段，而是作為一種創(chuàng)新，通過恰當(dāng)?shù)膯栴}提出活動更好地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，引發(fā)其產(chǎn)生強(qiáng)烈的認(rèn)知沖突以突破教學(xué)重難點(diǎn)，最終幫助學(xué)生達(dá)成對數(shù)學(xué)知識的概念性理解．當(dāng)教師在教學(xué)設(shè)計階段判斷出基于問題提出的教學(xué)方式也許能為學(xué)生提供更多的學(xué)習(xí)機(jī)會，則可以大膽付諸實踐，做探究型教師．

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[12] 陳婷，徐紅，徐冉冉，等．?dāng)?shù)學(xué)教師學(xué)習(xí)使用“問題提出”教學(xué)法的個案研究——以“用字母表示稍復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系”為例[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2019，28（2）：7-12．

[13] 徐冉冉，裘曉麗，姚一玲，等．基于教師—研究者伙伴關(guān)系的初中數(shù)學(xué)教學(xué)改進(jìn)——以“一次函數(shù)”“問題提出教學(xué)”為例[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2021，30（1）：25-31．

Exploring the Problem-Posing Based (P-PBL) Instructional Model——An Analysis of a Teaching Case Involving the Distributive Law of Multiplication over Addition

XU Tian-lai1, CAI Jin-fa2

(1. School of Mathematics and Information Science, Guangzhou University, Guangzhou Guangdong 510006, China;2. The Department of Mathematics, University of Delaware, Delaware Newark 19716, USA)

Using a classroom example of a problem-posing teaching case involving the distributive law of multiplication over addition, this study discusses the general pattern of problem-posing instruction. The pattern includes the following steps: (1) The teacher presents a problem-posing situation; (2) the teacher provides a problem-posing prompt along with the problem situation, that is, sets up the appropriate guiding language according to the teaching objectives; (3) the students pose problems either individually or in groups; and (4) the teacher and students analyze, select, sort, and solve the problems posed by the students. A single class session might encompass multiple instances of similar problem-posing instructional activities. Although the lesson involving the distributive law of multiplication over addition predates the formal presentation of the general problem-posing instructional pattern, the example aligns well with this pattern. This paper further underscores the interplay between research and practice: Research on the general pattern of problem-posing instruction guides its implementation whereas the practical application of problem-posing instruction advances research on the general pattern.

problem posing; teaching model; problem-posing prompt; distributive law of multiplication over addition; P-PBL

G623.5

A

1004–9894（2023）05–0017–04

許天來，蔡金法．探討“問題提出”教學(xué)的一般模式——基于“乘法分配律”的課堂分析[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2023，32（5）：17-20．

2023–08–21

西南大學(xué)引進(jìn)人才計劃項目（SWU118118）

許天來（1990—），男，廣東博羅人，博士生，主要從事數(shù)學(xué)教育研究．蔡金法為本文通訊作者．

[責(zé)任編校：張楠、陳雋]