導數(shù)解答題中數(shù)列不等式的證明思路策略

張國飛

(安徽省桐城中學,安徽 桐城 231400)

1 抓住常用思路,進行逐項比較

2 融合可選思路,利用數(shù)列單調(diào)(性)

例2設函數(shù)f(x)=(x-1)2+blnx,其中b為常數(shù).

(1)判斷函數(shù)f(x)在定義域上的單調(diào)性;

①當b≤0時,x1≤0舍去,而x2≥1,此時f′(x),f(x)隨x在定義域上的變化情況如下表:

表1 函數(shù)單調(diào)性與導數(shù)關系

點評這里利用數(shù)列的單調(diào)性來證明相關的數(shù)列不等式成立時,其證明過程與逐項比較寫的過程有點差異,但本質(zhì)上兩種方法之間有著異曲同工之妙.注意證明數(shù)列的單調(diào)性時,往往要回歸題目前面部分所涉及的函數(shù)不等式問題,合理應用.

3 借助性質(zhì)思路,合理放縮處理

例3已知函數(shù)f(x)=x-mlnx-1(m∈R)在x=1處取得極值A.

(1)求出實數(shù)m的值,并判斷A是函數(shù)f(x)的最大值還是最小值;

點評在解決導數(shù)解答題中數(shù)列不等式的證明問題時,往往要先從前面小題的過程或結論中選取合適的函數(shù)不等式加以應用,這非?？简灴忌挠^察能力.而在對數(shù)列不等式進行累加求和處理后,合理的放縮是正確證明的關鍵,要注意觀察所要證明的數(shù)列不等式的結構特征加以巧妙放縮處理.

在解決導數(shù)解答題中數(shù)列不等式的證明時,除了以上三種基本的證明思路策略,還可以借助推理與證明思維進一步加以綜合與應用,利用可行的思路方法與技巧策略來剖析,有時在證明數(shù)列不等式時還可以多種證明思路策略聯(lián)合應用,實現(xiàn)問題的綜合應用與巧妙解決[4].